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专题22.28 二次函数与一元二次方程（直通中考）（培优练）
【要点回顾】
1. 二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
2.二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图像上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式
的解集.
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·统考中考真题）将二次函数 的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个
单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
2．（2023·四川广安·统考中考真题）已知 ， ， 为常数，点 在第四象限，则关于x的一元
二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定
3．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过 两点的抛物线
（ 为自变量）与 轴有交点，则线段 长为（ ）A．10 B．12 C．13 D．15
4．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 、
两点，设 ， 则下列结论正确的个数为（ ）
① ，
② ，
③当线段 长取最小值时，则 的面积为
④若点 ，则
A． B． C． D．
5．（2023·四川遂宁·统考中考真题）抛物线 的图象如图所示，对称轴为直线
．下列说法：① ；② ；③ （t为全体实数）；④若图象上存在
点 和点 ，当 时，满足 ，则m的取值范围为 ．其中正
确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数 的图象与x轴的一个交点坐
标为 ，对称轴为直线 ，下列四个结论：① ；② ；③ ；④当
时， ；其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．点 在该函数的图象上
B．当 且 时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧
8．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．
若关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线 与x轴交于点 ，
对称轴为直线 ．则下列结论正确的有（ ）① ；
② ；
③方程 的两个根为 ；
④抛物线上有两点 和 ，若 且 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴
交于点C，对称轴为直线 ，若点A的坐标为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 是关于x的一元二次方程 的一个根
D．点 ， 在抛物线上，当 时
二、填空题
11．（2022·四川遂宁·统考中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设
m=a-b+c，则m的取值范围是 ．12．（2022·福建·统考中考真题）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线
与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
13．（2022·黑龙江大庆·统考中考真题）已知函数 的图象与坐标轴恰有两个公共
点，则实数m的值为 ．
14．（2022·湖北荆州·统考中考真题）规定：两个函数 ， 的图象关于y轴对称，则称这两个函数
互为“Y函数”．例如：函数 与 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．
若函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解
析式为 ．
15．（2023·四川巴中·统考中考真题）规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互
为“Y函数”．例如：函数 与 互为“Y函数”．若函数 的图象与
x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ．
16．（2022·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于
点 ，点 是抛物线上的点，则点 关于直线 的对称点的坐标为 ．17．（2022·湖北武汉·统考中考真题）已知抛物线 （ ， ， 是常数）开口向下，过
， 两点，且 ．下列四个结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若点 ， 在抛物线上， ，且 ，则 ；
④当 时，关于 的一元二次方程 必有两个不相等的实数根．
其中正确的是 （填写序号）．
18．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线 （ 是常数， ）经过
三点，且 ．下列四个结论：
① ；
② ；
③当 时，若点 在该抛物线上，则 ；
④若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 ．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
19．（2022·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，点 在抛物线
上，设抛物线的对称轴为
（1）当 时，求抛物线与y轴交点的坐标及 的值；（2）点 在抛物线上，若 求 的取值范围及 的取值范围．
20．（2023·浙江·统考中考真题）已知点 和 在二次函数 是常数，
的图像上．
（1）当 时，求 和 的值；
（2）若二次函数的图像经过点 且点A不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；
（3）求证： ．
21．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点 和
．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．22．（2021·贵州遵义·统考中考真题）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a为常数且a≠0）与y轴交于点
A（0， ）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若直线y＝kx （k≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x，x，当x2+x2＝10时，
1 2 1 2
求k的值；
（3）当﹣4＜x≤m时，y有最大值 ，求m的值．
23．（2022·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 （b，c是常数）的图像与x轴交于
A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数 的表达式及其图像的对称轴．
（2）若函数 的表达式可以写成 （h是常数）的形式，求 的最小值．
（3）设一次函数 （m是常数）．若函数 的表达式还可以写成 的形式，当函数 的图像经过点 时，求 的值．
24．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程 的根就是相应的二次函数 的图象
（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交
点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实
数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（ ， ）和一元二次方程根的判别式 ，分别分
和 两种情况进行分析：
（1） 时，抛物线开口向上．
①当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当 时，有 ．∵ ，∴顶点纵坐标 ．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程 有两个相等的实数根．
③当 时，
……
（2） 时，抛物线开口向下．
……
任务：（1）上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；
A．数形结合
B．统计思想
C．分类讨论．
D．转化思想
（2）请参照小论文中当 时①②的分析过程，写出③中当 时，一元二次方程根的情况
的分析过程，并画出相应的示意图；
（3）实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函
数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为参考答案
1．D
【分析】先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可
求出b的取值．
解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为： ，
则 ，
，
，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选：D．
【点拨】主要考查的是二次函数图象的平移和两函数的交点问题，二次函数与一次函数图象有公共点．
2．B
【分析】根据点 在第四象限，得出 ，进而根据一元二次方程根的判别式 ，
即可求解．
解： 点 在第四象限，
，
，
方程 的判别式 ，
方程 有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点拨】本题考查了第四象限点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，得出 是解题
的关键．
3．B
【分析】根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式，根据抛物线与 轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求得 的横坐标，即可求解．
解：∵抛物线 的对称轴为直线
∵抛物线经过 两点
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴有交点，
∴ ，
即 ，
即 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的对称性，与 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
解：直线 与抛物线 交于 、 两点，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ 正确；∵ ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ；
∴ 正确；
∵ ，
当 时，即 轴时， 有最小值，
∴ ，
∴ ；
∴ 正确；
当点 时，假设 ，则：
是直角三角形，
取 的中点为点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 ，
∴点 ，
∵点 ，
∴ ，
∴ 时， ，
即 与 不一定垂直；∴ 错误；
∴正确的为： ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，
两点间的距离公式．
5．C
【分析】开口方向，对称轴，与y轴的交点位置判断①，特殊点判断②，最值判断③，对称性判断④
即可．
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，抛物线与y轴交点位于负半轴，
∴ ，
∴ ，
故①正确；
由图象可知， ，根据对称轴，得 ，
∴
∴ ，
故②正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线 ，
∴抛物线的最大值为 ，
当 时，其函数值为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
故③错误；
如图所示， 和点 满足 ，
∴ 和点 关于对称轴对称，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
解得 ，
故④正确；
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
6．D
【分析】根据二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴， ，根据对称轴为直线 可
得 ，由此即可判断①；求出二次函数与x轴的另一个交点坐标为 ，进而得到当 时，
，由此即可判断②；根据 时， ，即可判断③；利用图象法即可判断④．
解：∵二次函数开口向上，与y轴交于y轴负半轴，
∴ ，
∵二次函数的对称轴为直线 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴的一个交点坐标为 ，
∴二次函数 的图象与x轴的另一个交点坐标为 ，
∴当 时， ，
∴ ，故②正确；
∵ 时， ，
∴ ，
∴ ，即 ，故③正确；
由函数图象可知，当 时， ，故④正确；
综上所述，其中正确的结论有①②③④共4个，
故选D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，二次函数的性质等
等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
7．C
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
解：∵ ，
当 时： ，
∵ ，
∴ ，
即：点 不在该函数的图象上，故A选项错误；
当 时， ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ， ，
∴当 时， 有最大值为 ，当 时， 有最小值为 ，
∴ ，故B选项错误；
∵ ，
∴该函数的图象与x轴一定有交点，故选项C正确；
当 时，抛物线的对称轴为： ，
∴该函数图象的对称轴一定在直线 的右侧，故选项D错误；
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
8．D
【分析】利用“倍值点”的定义得到方程 ，则方程的 ，可得 ，
利用对于任意的实数 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出 的取值范围．
解：由“倍值点”的定义可得： ，
整理得，
∵关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数 总成立，
∴
整理得，
∴
∴ ，
∴ ，或当 时，解得 ，
当 时，此不等式组无解，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不
等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
解：由抛物线的开口可知： ，由抛物线与y轴的交点可知： ，由抛物线的对称轴可知：
，∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线 与x轴交于点 ，对称轴为直线 ，
则另一个交点 ，
∴ 时， ，
∴ ，故②正确；
∵抛物线 与x轴交于点 和 ，
∴ 的两根为6和 ，
∴ ， ，则 ， ，
如果方程 的两个根为 成立，
则 ，
而 ，∴ ，
∴方程 的两个根为 不成立，故③不正确；∵ ，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵ ，
即 到对称轴的距离小于 到对称轴的距离，
∴ ，故④不正确．
综上，正确的有①②，
故选：B．
【点拨】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口
方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
10．C
【分析】根据对称轴为 得到 ，即可判断A选项；根据当 时， ，
即可判断B选项；根据当 时， 即可判断C选项；根据当 时，y随着x的增大而
增大即可判断D选项．
解：A．抛物线 的对称轴为直线 ，则 ，则 ，即 ，
故选项错误，不符合题意；
B．抛物线 的对称轴为直线 ，点A的坐标为 ，当 时，
，故选项错误，不符合题意；
C．抛物线 的对称轴为直线 ，若点A的坐标为 ，可得点 ，当
时， ，即 是关于x的一元二次方程 的一个根，故选项正确，
符合题意；
D．∵抛物线 的对称轴为直线 ，开口向上，
∴当 时，y随着x的增大而增大，∴点 ， 在抛物线上，当 时 ，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
11．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，
c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴- ＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），
∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴a+b=2，b=2-a，
∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，
∴0＜a＜2，
∴-4＜2a-4＜0，
故答案为：-4＜m＜0．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方
程的关系．
12．8
【分析】先求出抛物线 与x轴的交点，抛物线 与x轴的交点，然后根据
，得出 ，列出关于n的方程，解方程即可。解： 把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
令 ，则 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出 ，列出关于n的
方程是解题的关键．
13．1或【分析】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种
情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
解：当函数图象过原点时，函数 的图象与坐标轴恰有两个公共点，
此时满足 ，解得 ；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足 ，解得 或 ，
当 是，函数变为 与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得， 或 时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次
函数的图象和性质．
14． 或
【分析】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
解： 函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为 ，它的“Y函数”解析式为 ，它们的图象与x轴只有一个
交点，
当 时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点分别在x轴上，
，得 ，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为 ，故它的“Y函数”解析式为 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数
及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
15． 或
【分析】根据题意 与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标
关于y轴对称，再进行分类讨论，即 和 两种情况，求出 与x轴的交点坐
标，即可解答．
解：①当 时，函数的解析式为 ，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当 时，可得 ，解得 ，
与x轴的交点坐标为 ，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ；
①当 时，
函数 的图象与x轴只有一个交点，
，即 ，
解得 ，
函数的解析式为 ，
当 时，可得 ，
解得 ，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 ，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为 或 ，故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行
分类讨论是解题的关键．
16． 或
【分析】先求出A、B、C、D的坐标，再将点 代入抛物线的解析式，得出m的值，确定 的坐标，
再根据点 的坐标分情况画图求解，即可求出点 关于直线 的对称点坐标．
解：∵抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是抛物线上的点，
∴ ，
解得 ，
∴当 时， ，
当 时， ，
①当 时，此时点 与点 重合，
如图1，设点 关于直线 对称点为 ，连接 ，
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ；②当 时，
∴ 轴，
∴
如图2，设点 关于直线 的对称点为M，连接 ，
∵点 关于直线 的对称点为M，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上可得：点 关于直线 的对称点的坐标为 或 ．
故答案为： 或
【点拨】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，熟练掌握二次
函数图像上的点的坐标特征和轴对称的性质是解题的关键．
17．①③④
【分析】首先判断对称轴 ，再由抛物线的开口方向判断①；由抛物线经过A（-1，0），
，当 时， ，求出 ，再代入 判断②，抛物线
，由点 ， 在抛物线上，得， ，把两个等式相减，整理得
，通过判断 ， 的符号判断③；将方程 写
成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得 ，再利用判别式即可判断④．
解： 抛物线过 ， 两点，且 ，
，
，
，即 ，
抛物线开口向下， ，
，故①正确；
若 ，则 ，
，
，故②不正确；
抛物线 ，点 ， 在抛物线上，
∴ ， ，把两个等式相减，整理得
，
， ， ，
，
，
，故③正确；依题意，将方程 写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得 ，
，
， ，
， ，
， 故④正确．
综上所述，①③④正确．
故答案为；①③④．
【点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方
程及不等式的关系．
18．②③④
【分析】①根据图象经过 ， ，且抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，判断
出抛物线的开口向下， ，再把 代入 得 ，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线 的右侧，得出抛物线的顶点在点 的右侧，得出 ，
根据 ，即可得出 ，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，根
据 ，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出 ，把 代入 得 ，
即 ，求出 ，根据根与系数的关系得出 ，即 ，根据 ，得出 ，求出
m的取值范围，即可判断④正确．
解：①图象经过 ， ，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与
x轴的两个交点都在 的左侧，∵ 中 ，
∴抛物线与x轴的一个交点一定在 或 的右侧，
∴抛物线的开口一定向下，即 ，
把 代入 得 ，
即 ，
∵ ， ，
∴ ，故①错误；
②∵ ， ， ，
∴ ，
∴方程 的两个根的积大于0，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即抛物线的对称轴在直线 的右侧，
∴抛物线的顶点在点 的右侧，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确；
③∵ ，
∴当 时， ，
∴抛物线对称轴在直线 的右侧，
∴ 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
∵ ，抛物线开口向下，
∴距离抛物线越近的函数值越大，∴ ，故③正确；
④方程 可变为 ，
∵方程有两个相等的实数解，
∴ ，
∵把 代入 得 ，即 ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，n为方程 的两个根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上分析可知，正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，根据已知
条件判断得出抛物线开口向下 ．
19．（1）（0，2）；2；（2） 的取值范围为 ， 的取值范围为
【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点 关于对称轴为 对称，可得t的值，即可求解；
（2）抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当
时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点 ，点
，点（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的
右侧时，即可求解．
（1）解：当 时， ，
∴当x=0时，y=2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；
∵ ，
∴点 关于对称轴 对称，
∴ ；
（2）解：当x=0时，y=c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴抛物线与y轴交点关于对称轴 的对称点坐标为（2t，c），
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，当 时，y随x的增大而增大，
当点 ，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，
∵ 1＜3，
∴2t＞3，即 （不合题意，舍去），
当点 在对称轴的左侧，点 ，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点 在对称轴的右侧，
，
此时点 到对称轴 的距离大于点 到对称轴 的距离，
∴ ，解得： ，
∵ 1＜3，∴2t＞3，即 ，
∴ ，
∵ ， ，对称轴为 ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴ 的取值范围为 ， 的取值范围为 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
20．（1） ；（2） ；（3）见分析
【分析】（1）由 可得图像过点 和 ，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线 ，则抛物线过点 ，即 ，然后再结合
即可解答；
（3）根据图像的对称性得 ，即 ，顶点坐标为 ；将点 和
分别代入表达式并进行运算可得 ；则 ，进而得
到 ，然后化简变形即可证明结论．
（1）解：当 时，图像过点 和 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ ．（2）解：∵函数图像过点 和 ，
∴函数图像的对称轴为直线 ．
∵图像过点 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵图像过点 和 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∴ ，顶点坐标为 ．
将点 和 分别代人表达式可得
① ②得 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，
掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
21．（1） ，顶点坐标为 ；（2）
【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化
为顶点式，可得顶点坐标；（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
（1）解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
∴顶点坐标为： ；
（2）当 时， ，
∴
解得： ， ，
如图，当 时，
∴ ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解
不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
22．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 代入抛物线的解析式，解方程求解即可；
（2）联立两个函数的解析式，消去 得： 再利用根与系数的关系与可得关于 的方程，解方程可得答案；
（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当 ＜ ＜ 结合函数图象，利
用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.
解：（1）把 代入 中，
抛物线的解析式为：
（2）联立一次函数与抛物线的解析式得：
整理得：
∵x +x =4-3k，x •x =-3，
1 2 1 2
∴x 2+x 2=（4-3k）2+6=10，
1 2
解得：
∴
（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m＜2时，当x=m时，y有最大值， =- （m-2）2+3，
解得m=± ，∴m=- ，
当m≥2时，当x=2时，y有最大值，
∴ =3，
∴m= ，
综上所述，m的值为- 或 ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与 轴的交点坐标，一元二次方
程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.
23．（1） ， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）利用待定系数法计算即可．
（2）根据等式的性质，构造以b+c为函数的二次函数，求函数最值即可．
（3）先构造y的函数，把点 代入解析式，转化为 的一元二次方程，解方程变形即可．
解：（1）由题意，二次函数 （b，c是常数）经过（1，0），（2，0），
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式 ．
∴ 图像的对称轴是直线 ．
（2）由题意，得 ，
∵ ，∴b=-4h，c=
∴ ，
∴当 时， 的最小值是 ．
（3）由题意，得
因为函数y的图像经过点 ，
所以 ，
所以 ，或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的待定系数法，二次函数的最值，对称性，熟练掌握二次函数的最值，
对称性是解题的关键．
24．（1）AC；（2）分析见分析；作图见分析；（3）答案见分析
【分析】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；
（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；
（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC；
（2）解：a>0时，抛物线开口向上．
当 =b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a△>0，
∴顶点纵坐标 ﹒
∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：∴一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根．
（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一
次不等式的解集，等）
【点拨】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化
成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与 x轴的交点个数确定一元二次方
程根的情况是本题的关键．
