文档内容
专题22.29 实际问题与二次函数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】列二次函数解应用题
列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，
表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1）审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等
量关系（即函数关系）．
(2）设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3）列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4）按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5）检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6）写出答案．
常见的问题：求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最小周长等）、涵洞、桥梁、抛物体、抛
物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数
关系式.
【知识点2】建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：（1）恰当地建立直角坐标系；（2）将已知条件转化为点的坐标；（3）合理地设出所求
函数关系式；（4）代入已知条件或点的坐标，求出关系式；（5）利用关系式求解问题．
（1）利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中
存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实
际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
（2）对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
①首先必须了解二次函数的基本性质；
②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
③借助二次函数的性质来解决实际问题.
【考点一】实际问题与二次函数➼➼➻图形问题
【例1】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14
米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米
宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃 的一边 长为x米．（1） 长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃 的面积为 ，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃 的面积最大，最大面积为多少？
【答案】（1）（36-3x）；（2）8；（3）当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃 的一边 长为x米，即得
BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得， ，即可解得x的值；（3）设苗圃 的面积
为w， ，由二次函数的性质可得答案．
解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃 的一边 长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得， ，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃 的面积为w，
，
∵4<36-3x 14，
∴ ，
∵-3<0，图象开口向下，∴当 时，w取得最大值，w最大为 ；
答：当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
【举一反三】
【变式1】如图，四边形 中， ，若 ，则四边形 的面积最大值为（
）
A．6 B．18 C．36 D．144
【答案】B
【分析】设 ， ，根据题意表示四边形 的面积，根据二次根式的性质作答即可．
解：如图，设AC、BD交于点M
设
四边形 的面积
即四边形 的面
积
当 时，四边形 的面积最大，最大为18．
故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质与最值问题、四边形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若
抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为 ．
【答案】（2，0）
【分析】根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称
轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B
的坐标．
解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4，
∴该抛物线的对称轴是直线x ，点D的坐标为（0，4），
∴OD＝4，
∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，
∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，
∴CD∥AB，即CD∥x轴，
∴CD 2＝5，
∴AD＝5，
∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5，
∴AO 3，
∵AB＝5，
∴OB＝5﹣3＝2，
∴点B的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
【考点二】实际问题与二次函数➼➼➻销售问题【例2】某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销
售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是
多少元？
【答案】（1） ；；（2）40元或20元；；（3）当玩具的销售单价定为30元时，日销售
利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与 的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为 ，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是 元，则
，
解得： ， ，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，整理得： ；
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的
关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【举一反三】
【变式1】某超市销售一种商品，每件成本为 元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量
（件）与销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所
获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A． 元， 元 B． 元， 元
C． 元， 元 D． 元， 元
【答案】B
【分析】设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
解：设每月总利润为 ，
依题意得：
，此图象开口向下，又 ，
当 时， 有最大值，最大值为 元．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的
方法是解题的关键．
【变式2】某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、
80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，
在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果
这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是 元．
【答案】1264
【分析】根据题意，总利润= 快餐的总利润＋ 快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
解：设 种快餐的总利润为 ， 种快餐的总利润为 ，两种快餐的总利润为 ，设 快餐的份数
为 份，则B种快餐的份数为 份．
据题意： ，
，
∴ ，
∵ ，
∴当 的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元，
故答案为：1264．
【点拨】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关
键点．
【考点三】实际问题与二次函数➼➼➻拱桥问题
【例3】成绵苍巴高速正在修建中，某单向通行隧道设计图由抛物线与矩形的三边组成，尺寸如图所
示，隧洞限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线．
（1）水平安置一根限高杆，两端固定在洞门上，求限高杆的最小长度．
（2）某卡车若装载一集装箱箱宽 ，车与车箱共高 ，此车能否不跨越标线通过隧道（标线宽度
不计）？说明理由．
【答案】（1） 米；（2）不能不跨越标线通过隧道
【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，得出A（-4,-4），B（4,-4），设抛物线的解析式为 ，然后将点代入得出 ，再由题意得当y=-2时满足条件，求解即可；
（2）根据题意结合（1）中函数解析式求当x=3时，y的值，然后结合图形即可得出结果
（1）解：如图所示建立直角坐标系，根据题意得：
AE=BE=DF=CF=4，AD=EF=BC=2，OF=6，
∴OE=6-2=4，
∴A（-4,-4），B（4,-4），
设抛物线的解析式为 ，
将点A代入得： ，
解得：a= ，
∴抛物线的解析式为 ，
∵隧洞限高4米，隧洞道路正中间标有一条实线，
∴当y=-2时满足条件，
即 ，
解得： ，
∴限高杆的最小长度为 米；
（2）∵集装箱箱宽3m，且不跨越标线通过隧道，
∴当x=3时，
，∴不能不跨越标线通过隧道．
【点拨】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，建立恰当的直角坐标系确定函数解析式是解题关
键．
【举一反三】
【变式1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度
为（ ）m．
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解
析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知
O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐
标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题
的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
【变式2】如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水
面3米，水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是 ．
【答案】
【分析】设出抛物线方程y=ax2（a≠0）代入坐标（-2，-3）求得a．
解：设出抛物线方程y=ax2（a≠0），由图象可知该图象经过（-2，-3）点，
∴-3=4a，
a=- ，
∴抛物线解析式为y=- x2．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求解二次函数解析
式．
【考点四】实际问题与二次函数➼➼➻掷球问题
【例4】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，
其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x-6）2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【答案】（1）y= （x－6）2+2.6；（2）球能越过网；球会过界；（3）h≥
试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时， ，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，
此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得
出答案．
解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣ ，
故y与x的关系式为：y=﹣ （x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣ （x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时， ，
解得：x =6+2 ＞18，x =6﹣2 （舍去）
1 2
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：，
解得： ，
此时二次函数解析式为：y=﹣ （x﹣6）2+ ，
此时球若不出边界h≥ ，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解
析式得：
解得： ，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥ ．
考点：二次函数的应用
【举一反三】
【变式1】一身高1.8m的篮球运动员在距篮板AB=4m（DE与AB的水平距离）处跳起投篮，球在运
动员头顶上方0.25m处出手，在如图所示的直角坐标系中，球在空中运行的路线可以用 来
描述，那么球出手时，运动员跳离地面的高度为（ ）A．0.1 B．0.15 C．0.2 D．0.25
【答案】C
【分析】当 时，代入解析式 ，解得 ，求得 ，当 时，
，即可得到结论．
解：当 时，
即 ，
解得： ，
，
当 时， ，
（m），
答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，求出球出手时，对应的横坐标，代入表达式是解题关键．
【变式2】如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛
物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位：m）与飞行时间 （单位：s）之间具有函数关系：
，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
【答案】2
【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案．解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
且-5＜0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．
【考点五】实际问题与二次函数➼➼➻喷水问题
【例5】小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面
0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，
并设抛物线的表达式为 ，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面
的高度．
（1）求抛物线的表达式．
（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的
头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】（1） ；（2）2或6m
【分析】（1）根据顶点 ，设抛物线的表达式为 ，将点 ，代入即可求
解；
（2）将 代入（1）的解析式，求得 的值，进而求与点 的距离即可求解．
（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为 ，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入，得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ，
（2）由 ，令 ，
得 ，
解得 ，
爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，
当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为 （m），或 （m）．
【点拨】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，
使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，
水管的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用顶点式求得抛物线的解析式，再令x=0，求得相应的函数值，即为所求的答案．
解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，
∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．
∵该抛物线过点（3，0），
∴0=a（3-1）2+3，
解得：a=- ．∴y=- （x-1）2+3．
∵当x=0时，y=- （0-1）2+3=- +3= ，
∴水管应长 m．
故选：A
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握待定系数法及二次函数的相
关性质是解题的关键．
【变式2】某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，
且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为
水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y （x﹣5）2＋6
（1）雕塑高OA的值是 m；
（2）落水点C，D之间的距离是 m．
【答案】 /1 22
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，进而可得出雕塑高OA的值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷出的水柱
为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
解：（1）当x＝0时，y （0﹣5）2+6 ，
∴点A的坐标为（0， ），
∴雕塑高 m．故答案为： ．
（2）当y＝0时， （x﹣5）2+6＝0，
解得：x＝﹣1（舍去），x＝11，
1 2
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
故答案为：22．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求
出点A的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点D的坐标；
【考点六】实际问题与二次函数➼➼➻增长率问题
【例6】为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新
型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年
旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，
且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得： ，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，由题意得： ，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的
性质进行求解．
【举一反三】
【变式1】据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023
年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值× 列函数表达式即可．
解：根据题意，y关于x的函数表达式是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
【变式2】某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的
产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关
系式应表示为 ．
【答案】 或
【分析】根据平均增长问题，可得答案．
解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2．
故答案为：y＝2（x+1）2．
【点拨】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的
（x+1）倍．
【考点七】实际问题与二次函数➼➼➻图形运动问题【例7】如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点
C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式．
（2）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点
M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运
动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
（3）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在
请说明理由．
【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）当M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大
面积是1；（3）存在，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（0，﹣3）或（0，0）
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，S MNB （2﹣t）×2t，求
△
最值即可；
（3）先求出 点坐标， 的长，根据等腰三角形的性质分①CP＝CB，②BP＝BC，③PB＝PC，三
种情况求解即可．
（1）解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得 ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t，∴S MNB （2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1，
△
∴ 时S MNB值最大
△
∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是
1；
（3）解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
∴B（3，0），
∴BC＝3 ，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2，
①当CP＝CB时，PC＝3 ，
∴OP＝OC+PC＝3+3 或OP＝PC﹣OC＝3 3∴P（0，3+3 ），P（0，3﹣3 ）；
1 2
②当BP＝BC时，OP＝OB＝3，
∴P（0，﹣3）；
3
③当PB＝PC时，
∵OC＝OB＝3，
∴此时P与O重合，
∴P（0，0）；
4
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（0，﹣3）或（0，0）．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数与等腰三角形综合．
解题的关键在于对知识的灵活运用．
【举一反三】
【变式1】定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，
在正方形 中，点 ，点 ，则互异二次函数 与正方形 有交点时 的
最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1B． ，-1 C．4，0 D． ，-1
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之
间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数 与正方形 有交点,则共有以下四种情况:
当 时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；当 时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 ，
解得： ；
当 时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有
，
解得： ；
综上可得： 的最大值和最小值分别是 ， ．
故选：D．
【点拨】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关
键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，
因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
【变式2】如图，点A、B的坐标分别为 和 ，抛物线 的顶点在线段
上，与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），点 的横坐标最小值为 ，则点D的横坐标的最大值为
．
【答案】8
【分析】当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴和对称性，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD
的长，可判断出D点横坐标最大值．
解：当点C横坐标为−3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，
此时D点横坐标为5，则CD=8，
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，
故C（0，0），D（8，0），
此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8．
故答案为：8．
【点拨】本题主要考查二次函数的平移及性质，熟练掌握二次函数的性质并明确CD的长度固定是解
此题的关键．
