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专题22.2 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)图象与性质
（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
3．在下列函数中，y随着x增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数的图象与 的图象形状相同的是（ ）
A． B． C． D．
5．若二次函数 的图像经过点 ，则该图像必经过点（ ）
A． B．（ C． D．
6．已知函数 过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
1
7．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．它的开口方向向下 B．对称轴是直线x=1
C．当x<0时，y随x的增大而增大 D．当x=0时，y有最小值是1
8．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数 ，则y的图象为( )A． B． C． D．
9．在同一坐标系中，画函数 、 、 的图象，它们共同特点是（ ）
A．开口向上 B．都是关于 轴对称的抛物线，且 随 的增大而增大
C．开口大小相同 D．都关于 轴对称的抛物线
10．已知点 ， 均在抛物线 上，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、填空题
11．抛物线 的顶点坐标为 ．
12．抛物线y＝2x2﹣3与y轴交点的坐标是 ．
13．已知点 在抛物线 上，则当 时，y的值为 ．
14．已知二次函数 ，当 时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是 ．
15．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是 .
16．一台机器原价为 万元，如果每年的折旧率是 ，两年后这台机器的价格为 万元，则
与 之间的函数关系式为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线
于点B，C，则BC的长为 ．18．二次函数 的图象如图所示，点 为坐标原点，点 在 轴的正半轴上，点 、 在函数图
象上，四边形 为菱形，且 ，则点 的坐标为 ．
三、解答题
19．已知 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）直接写出顶点坐标和对称轴．
20．已知：二次函数y＝x2﹣1．
(1)写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(2)画出它的图象．21．在同一直角坐标系中画出二次函数 与二次函数 的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
22．如图，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求 ， 的值；
（2）求点 的坐标；
（3）求 ．
23．已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为 ．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
24．初三年级某班成立了数学学习兴趣小组，该数学兴趣小组对函数 的图象和性质进行探究，
过程如下，请你补充完整．
(1) 函数 的自变量x的取值范围是______；
(2) ①列表：下表是x，y的几组对应值，其中 ______， ______；
x … 0 1 2 …
y … 3 0 m 1 n 0 3 …
② 描点：根据表中的数值描点 ，请补充描出点 ， ；
③ 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
(3) 下列关于该函数的说法，错误的是（ ）A．函数图象是轴对称图形；
B．当 时，函数值y随自变量x的增大而增大；
C． 函数值y都是非负数；
D．若函数图象经过点 与 ，则
(4)点 与 在函数图象上，且 ，则a与b的大小关系是______．
参考答案
1．C
解：根据二次函数的定义，形如 （其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，
所给函数中是二次函数的是 ．
故选C．
2．B
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题．
解：∵
∴抛物线的开口向下．
故选：B．【点拨】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．D
【分析】直接根据二次函数、反比例函数，一次函数的增减性判断即可．
解：A、 中， ，故 随 增大而增大；
B、 中， ，在每个象限 随 增大而减小；
C、 中，当 时， 随 增大而增大；当 时， 随 增大而减小；
D、 中， ， 随 增大而减小．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数、反比例函数，一次函数的增减性．关键是明确各函数的增减性的限制
条件．
4．B
【分析】找到与 的二次项系数相同的选项即可确定正确的选项．
解：∵形状相同的两个二次函数的二次项系数的绝对值相等，
∴ 与 形状相同，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次项系数的绝对值相等的二次函数形状相
同，难度较小．
5．A
【分析】先确定出二次函数图像的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
解：∵二次函数 的对称轴为y轴，
∴若图像经过点 ，则该图像必经过点 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，主要利用了二次函数图像的对称性，确定出函数
图像的对称轴为y轴是解题的关键．
6．B【分析】求出抛物线的对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
解： ，
抛物线的对称轴为 ，
，
抛物线开口方向向上，当 时， 随 的增大而增大，
，
，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是
解题关键．
7．D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
解：∵二次函数 ，2>0,
∴该函数的图象开口向上，故选项A错误，
对称轴是 轴，故选项B错误，
当 时， 随 的增大而减小，故选项C错误，
当 时， 有最小值是1，故选项D正确，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8．C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题．
解：根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键．
9．D【分析】根据抛物线 的图象和性质，逐项判断即可求解．
解： 的图像开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧的抛物线，且 随 的增大而增大；
的图像开口向下，对称轴为y轴，故A选项错误，不符合题意；
在对称轴右侧的抛物线，且 随 的增大而减小，故B选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴三个抛物线开口大小不相同，故C选项错误，不符合题意；
的图像开口向上，对称轴为y轴，故D选项正确，符合题意；
故选：D
【点拨】本题主要考查了抛物线 的图象和性质，熟练掌握抛物线 的
图象和性质是解题的关键．
10．D
【分析】利用二次函数的性质逐一判断即可．
解：A.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
B.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
C.若 ，则 ，故本选项不符合题意；
D.若 ，则 ，正确，故本选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征及二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关
键．
11．（0，6）
【分析】根据抛物线的顶点式，即可求出顶点坐标．
解：抛物线 的顶点坐标为（0，6），
故答案为：（0，6）．【点拨】此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知 的性质．
12．（0，﹣3）
【分析】将x＝0代入抛物线解析式即可求出函数与y轴的交点坐标．
解：当x＝0时，y＝﹣3．
∴抛物线y＝2x2﹣3与y轴交点的坐标为（0，﹣3），
故答案为：（0，﹣3）．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，知道y轴上点的横坐标为0是解题的关键．
13．4
【分析】将 代入 求出a的值，再将 代入即可求出对应的y的值．
解： 点 在抛物线 ，
，
，
，
当 时， ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查求二次函数的解析式及函数值，解题的关键是掌握函数 图象上的点的坐标特
征．
14．
【分析】根据二次函数的性质可进行求解．
解：由当 时，y随x的增大而减小，可知： ，
∴ ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．4.
【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.
解：∵在 中： ，∴其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），
∴其最大值为4.
故答案为：4.
【点拨】熟记“二次函数 的图象的顶点坐标为 ”是解答本题的关键.
16．
【分析】根据题意列出函数解析式即可．
解：∵一台机器原价为 万元，每年的折旧率是 ，两年后这台机器的价格为 万元，
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格 原价
．
17．6
【分析】先由y轴上点的横坐标为0求出A点坐标为（0，2），再将y=3代入 ，求出x的值，
得出B、C两点的坐标，进而求出BC的长度．
解：∵抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，3）．
当y=3时， ，解得x=±3．
∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3）．
∴BC=3﹣（﹣3）=6．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求
法，平行于x轴上的两点之间的距离，比较简单．
18．
【分析】连结 交 于 ，如图，根据菱形的性质得 ， ，利用含 度的直角三角形三边的关系得 ，设 ，则 ， ， ，利用二次函数图象上点的坐标
特征得 ，得出 ， ，然后根据菱形的性质得出 点坐标．
解：连结 交 于 ，如图，
四边形 为菱形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
， ，
把 ， 代入
得 ，
解得 舍去 ， ，
， ，
故 点坐标为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质
得出 的长是解题关键．
19．（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【分析】（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；
（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．解：（1）由 是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得
，
解得k=-3；
（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，
y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．
【点拨】本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．
20．(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，﹣1）．(2)图像见分析．
【分析】（1）根据二次函数y=a(x-h)2+k，当a>0时开口向上；顶点式可直接求得其顶点坐标为(h，k)
及对称轴x=h；
（2）可分别求得抛物线顶点坐标以及抛物线与x轴、y轴的交点坐标，利用描点法可画出函数图象．
（1）解：（1）∵二次函数y＝x2﹣1，
∴抛物线的开口方向向上，顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴；
（2）解：在y＝x2﹣1中，令y＝0可得x2﹣1=0．
解得x＝﹣1或1，所以抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)和(1，0)；
令x＝0可得y＝﹣1，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0，-1)；
又∵顶点坐标为（0，﹣1），对称轴为y轴，
再求出关于对称轴对称的两个点，
将上述点列表如下：
x -2 -1 0 1 2
y＝x2﹣1 3 0 -1 0 3
描点可画出其图象如图所示：【点拨】本题考查了二次函数的开口方向、对称轴以及顶点坐标．以及二次函数抛物线的画法．解题
的关键是把二次函数的一般式化为顶点式．描点画图的时候找到关键的几个点，如：与x轴的交点与y轴
的交点以及顶点的坐标．
21．（1）见分析；（2）见分析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
（1）解：如图：
，
与 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与 图象的不同点是： 开口向上，顶点坐标是（0，1），
开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点： ，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的
关键.
22．（1） ， ；（2） ；（3）3
【分析】（1）将点 代入二次函数 与一次函数 即可求得 的值；
（2）联立二次函数与一次函数的解析式即可求得点 的坐标；
（3）设直线 与 轴的交点为 ,根据一次函数解析式求得点 的坐标，进而根据
即可求得 ．
解：（1） 二次函数 与一次函数 的图象相交于 ，
则 ，解得
，解得
二次函数解析式为：
一次函数解析式为：
（2）由题意可知，已知二次函数 与一次函数 的图象相交于 ， 两点
联立
解得
（3）设直线 与 轴的交点为 ,如图，由 ，令 ，解得
，
【点拨】本题考查了二次函数 的图象与性质，求一次函数解析式，求二次函数解析式，求一次
函数与二次函数的交点，掌握二次函数 的图象与性质是解题的关键．
23．（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线 的解析式；
（2）先根据面积求得点 的纵坐标，再代入直线 的解析式可得其横坐标，然后将点 的坐标代入
二次函数即可得．
解：（1）设直线 的解析式为 ，
将点 代入 得 ，解得 ，
故直线 的表达式为 ；
（2）如图，过点 作 轴于点 ，设点 的坐标为 ，则 ，
，
，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
解得 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
则 ，
将点 代入 得： ，
解得 ，
故 的值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
24．(1)取任意实数；(2) ； ；图象见分析；(3)B；(4)
【分析】（1）根据解析式直接可得答案；
（2）①把 代入解析式可得m的值，同理可得n的值；
②根据m、n的值描点即可；
③用平滑的曲线顺次连接各点即得图象；（3）观察函数图象，逐项判断即可得答案；
（4）由 可得 ，即知 ．
（1）解：函数 的自变量x的取值范围是x取任意实数；
故答案为：x取任意实数；
（2）当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ， ；
②补充点如图：
③用平滑的曲线顺次连接各点，把图象补充完整如上图；
（3）根据函数图象可知：函数图象是轴对称图形，故A正确，不符合题意；
当 时，y随x的增大而减小，故B不正确，符合题意，
函数值y都是非负数；故C正确，不符合题意；
若函数图象经过点 与 ，则 ；故D正确，不符合题意，
故答案为：B；
（4）∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
而 ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图象；掌握描点法画函数图象的方法，数形结合解题是关键．
