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专题22.22 二次函数图象的对称性（直通中考）
【要点回顾】
（1） 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x x 其对应的纵坐标相等那么对称轴:
1, 2
x x
x 1 2
2
（2）与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c(a≠0)
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c(a≠0)
（3）当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；
一、单选题
1．（2023·湖南·统考中考真题）已知 是抛物线（a是常数， 上的点，现有以下四
个结论：①该抛物线的对称轴是直线 ；②点 在抛物线上；③若 ，则 ；④若
，则 其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线 与x轴交于点 和点 ，
与y轴交于点C．下列说法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时，
；④当 时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点 在直线 上，点 在抛物线
上，若 且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·四川自贡·统考中考真题）已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB
上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= ．
其中正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交
于 ， 两点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③
，④ ．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数 的图象开口向下，对称轴为直线 ，且经过点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A
（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（ ，
y）、C（ ，y）、D（ ，y）是抛物线上的三点，则y 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点拨】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌
握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
6．D
【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线 ，得b=2a，则b<0，图象经过 ，根据
对称性可知，图象经过点 ，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为直线 ，
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过 ，
∴图象经过点 ，
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
∴c=-a-b，
∴c>0，故B不符合题意；
将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的
图象特征是解决问题的关键．7．B
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则 ， ，
对称轴为直线 ，则 ，
∴ ，故①正确；
当 时， ，
∵ ，
∴ ，即
∴ ，故②错误；
∵对称轴为直线 ，
∴抛物线与x轴负半轴的交点为（ ，0），
∴ ，
∵ ，
两式相加，则 ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ， ，
∴ ，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有 ，故④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B
【点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息
是解题的关键．
8．D
【分析】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即 ，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为 ，当 ， 随 的增大而减小；当 ， 随 的增大而增大，
故当 时， 随 的增大而增大；当 ， 随 的增大而减小，故该选项不符合题意；C、根据二次函数 的图像与 轴相交于 ， 两点，对称轴是直线 ，可得对称轴
，解得 ，即 ，故该选项不符合题意；
D、根据 可知，当 时， ，故该选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与 轴
交点 得到 是解决问题的关键．
9．D
【分析】由与x轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A；结合函数图象判断选项B；令x=-1,判断选项
C；令x=1,判断选项D,即可解答．
【详解】解：A、对称轴为：直线 ，故选项A正确，不符合题意；
B、由函数图象知，当-1
