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专题22.13 二次函数y=ax ²+bx+c(a≠0)的图象与性质
（直通中考）（基础练）
【要点回顾】二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与性质
；
一、单选题
1．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线 ，则当 时，函数的最大值为（
）
A． B． C．0 D．2
2．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数 的图像的对称轴，则下
列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
3．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的图像经过点 ，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
4．（2023·贵州·统考中考真题）已知，二次数 的图象如图所示，则点 所在的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线 与x轴交于点 和点 ，
与y轴交于点C．下列说法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时，
；④当 时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）下列关于二次函数 的图像和性质的叙述中，正确的
是（ ）
A．点 在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线 有两个交点
7．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广西贺州·统考中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2022·陕西·统考中考真题）已知二次函数y=x2−2x−3的自变量x，x，x 对应的函数值分别为y，y，
1 2 3 1 2
y．当−13时，y，y，y 三者之间的大小关系是（ ）
3 1 2 3 1 2 3
A． B． C． D．
10．（2022·广东广州·统考中考真题）如图，抛物线 的对称轴为 ，下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C．当 时， 随 的增大而减小 D．当 时， 随 的增大而减小
二、填空题
11．（2023·山东泰安·统考中考真题）二次函数 的最大值是 ．
12．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数 ，若点 在该函数的图象上，
且 ，则 的值为 ．
13．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移3个
单位长度，得到抛物线的顶点坐标是 ．
14．（2022·江苏徐州·统考中考真题）若二次函数 的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于
m，则m的值为 ．15．（2013·贵州贵阳·中考真题）已知二次函数y=x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实
数m的取值范围是 ．
16．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 和点 ，
以下结论：
① ；② ；③ ；④当 时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有
．（填写代表正确结论的序号）
17．（2020·四川广安·中考真题）已知二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），当自变量x分别取
，0，4时，所对应的函数值分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 （用“＜”连
接）．
18．（2020·广西贵港·中考真题）如图，对于抛物线 ， ， ，
给出下列结论：①这三条抛物线都经过点 ；②抛物线 的对称轴可由抛物线 的对称轴向右平移1
个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线 的交点中，相邻两点
之间的距离相等．其中正确结论的序号是 ．
三、解答题19．（2021·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线 经过点 和 ．
（1）求 、 的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物
线相应的函数表达式．
20．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）已知抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是______．注：抛物线
的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．21．（2023·广东深圳·统考三模）如图，抛物线 经过点 ，点 ，且 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点 是抛物线的顶点，求 的面积．
22．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点， 是抛物线的
顶点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）作 轴于点 ， 为抛物线上位于点 ， 之间的一点，连接 ，若 恰好平分 的面
积，求点 的坐标．23．（2023·河北承德·统考一模）如图，是某位同学设计的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪
现不同的抛物线．抛物线的统一形式为 ，且顶点始终在直线 上．
（1）若 ，且抛物线顶点纵坐标为3，求 、 的值；
（2）试推断： 与 的数量关系；
（3）横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜色．那么，
当 时，这组抛物线中有几条会改变颜色．
24．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，已知抛物线 经过点 和点 ，其对称轴交
轴于点 ，点 是抛物线在直线 上方的一个动点（不含 ， 两点）．
（1）求 、 的值．
（2）连接 、 ，若 的面积是 的面积的 倍，求点 的坐标．
（3）若直线 、 分别交该抛物线的对称轴于点 、 ，试问 是否为定值，若是，请求出
该定值；若不是，请说明理由．参考答案
1．D
【分析】把抛物线 化为顶点式，得到对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ，再分
别求出 和 时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ，当 时， ，当 时， ，
∴当 时，函数的最大值为2，
故选：D
【点拨】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．C
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分 ， 两种情况讨论即可．
【详解】解：∵直线l为二次函数 的图像的对称轴，
∴对称轴为直线 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴a，b异号，
故选C．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
3．D
【分析】将 代入二次函数解析式，进而得出 的值，再利用对称轴在 轴左侧，得出 ，再利用
二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
【详解】解：将 代入二次函数解析式 得： ，解得： ， ，
∵二次函数 ，对称轴在 轴左侧，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
故选： ．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出 的值是解题关键．
4．D【分析】首先根据二次函数的图象及性质判断a和b的符号，从而得出点 所在象限．
【详解】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
， ，
，
在第四象限，
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与系数的关系，以及判断点所在象限，解题的关键是根据二次函数的图
象判断出a和b的符号．
5．C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得 ，根据 和点 可得抛物
线的对称轴为直线 ，即可判断②；推出 ，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据
当 时，抛物线有最大值 ，即可得到 ，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵抛物线与x轴交于点 和点 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，故②正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由函数图象可知，当 时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当 时， ，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减小，即当 时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，抛物线有最大值 ，
∴ ，∴ ，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点拨】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是
解题的关键．
6．D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：
y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次
方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正
比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
7．B
【分析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵
∵开口向上，对称轴为x=1，
∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．
故选：B．
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
8．D
【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，
∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，
∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，
解得：a=4或a=-2（舍去），
故a的值为4．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函
数的性质解答．
9．B
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的交点坐标，画出草图，利用数形结合，即可
求解．
【详解】解：y=x2−2x−3=(x-1)2-4，
∴对称轴为直线x=1，
令y=0，则(x-1)2-4=0，
解得x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)，
二次函数y=x2−2x−3的图象如图：由图象知 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用数形结
合解题是关键．
10．C
【分析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图
像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
11．
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
二次函数开口向下，
顶点处取最大值，
即当 时，最大值为 ．
故答案为： ．【点拨】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决问题
的关键，也是易错点．
12．2
【分析】将点 代入函数解析式求解即可．
【详解】解：点 在 上，
，
∴
，
解得： (舍去)
故答案为：2．
【点拨】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
13．（3，5）
【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的
顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．
故答案为：（3，5）．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规
律求函数解析式．
14．4
【分析】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x
轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，
∴m=4，故答案为：4．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
15．m≥﹣2
【详解】抛物线的对称轴为直线 ，
∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，
∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．
故答案为m≥﹣2．
16．①②③
【分析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性
质判定④．
【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；
②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；
③与x轴交于点 和点 ，则对称轴 ，故 ，故③正确；
④当 时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③．
故答案为：①②③．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，
及这些点代表的意义及函数特征．
17． ＜ ＜
【分析】根据题意可得该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3，从而得出当x＜3时，y随x的增
大而增大，点（4， ）关于对称轴直线x=3的对称点为（2， ），然后比较横坐标的大小即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数y=a（x-3）2+c（a，c为常数，a＜0），
∴该二次函数图象的开口向下，对称轴为直线x=3
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，点（4， ）关于对称轴直线x=3的对称点为（2， ）
∵0＜2＜ ＜3∴ ＜ ＜
故答案为： ＜ ＜ ．
【点拨】此题考查的是二次函数图象的性质，掌握抛物线对称轴两侧的增减性的判断方法是解题关键．
18．①②④
【分析】根据抛物线图象性质及配方法解题．
【详解】将 分别代入抛物线 ， ， 中，可知，这三条抛
物线都经过点C，故①正确；
抛物线 的对称轴为 ，
抛物线 的对称轴为 ， 可由 向右平移1个单位而得到，故②正确；
抛物线 的顶点为A
抛物线 的顶点为B
抛物线 的顶点为C
，
三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误；
将 分别代入三条抛物线，得 0或1， 0或2， 0或3，
可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确，
综上所述，正确的是①②④，
故选：①②④．
【点拨】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握
相关知识是解题关键．19．（1） ， ；（2）
【分析】（1）将点 和 ，代入解析式求解即可；
（2）将 ，按题目要求平移即可．
【详解】（1）将点 和 代入抛物线 得：
解得：
∴ ，
（2） 原函数的表达式为: ，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点拨】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，正确
的计算和牢记口诀是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式求出点 的坐标，再利用中点坐标公式可得点 的坐标，然后利用两点之
间的距离公式即可得．
【详解】（1）解：将点 代入 得： ，解得 ，
则该抛物线的解析式为 ．
（2）解：抛物线 的顶点坐标为 ，
当 时， ，即 ，
为 的中点，且 ，
，即 ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了求二次函数的解析式、两点之间的距离公式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点 ，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得 ，待定系数法求得直线 的解析式，过点 作 轴于点 ，
交 于点 ，则 ，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ，点 ，且 ．
∴ ，
即 ，
设抛物线解析式为 ，将 代入得，
解得： ，∴抛物线解析式为
（2）解：∵ ，
∴ ,
如图所示，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，将 代入得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)点 的坐标为
【分析】（1）根据顶点坐标得出抛物线对称轴为直线 ，继而得出点 的坐标为 ，待定系数法求
解析式即可求解；（2）根据题意 经过 的中点 ，待定系数法求得直线解析式，进而联立抛物线解析式，即可求
解．
【详解】（1）解：∵ 是抛物线的顶点，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∵点 ， 在抛物线 图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）∵ 恰好平分 的面积，
∴ 经过 的中点 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线 的表达式为 ，
∵直线 ： 与抛物线 交于点 ， ，
∴ ，
解得： ， ，∴点 的坐标为 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，面积问题，直线与抛物线的交点问题，中
点坐标公式，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意抛物线的顶点坐标为 ，根据顶点坐标公式即可求解；
（2）根据顶点始终在直线 上，列出等式，即可求解；
（3）根据对称轴为直线 且为整数，得出 的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）解：依题意，顶点始终在直线 上
∴ ，又 ，
解得： ，
（3）解：∵ ，
∴ ，顶点在 上，
∵对称轴为直线 是整数
∴当
∴当 时，这组抛物线中有8条会改变颜色【点拨】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点坐标公式是解题的关键．
24．(1) ，
(2) 或
(3)是，
【分析】（1）将点 代入 ，可求出二次函数解析式，再令 ，可求出 的值；
（2）根据题意得 ，直线 的表达式： ，如图所示（见详解），过点 作 轴交
于 ，交 轴于 ，可设点 的坐标为 ，且 ，则点 ， 的面积是
的面积的 倍，由此即可求解；
（3）由（2）可知，直线 的表达式为： ，用含 的式子分别表示出 ， ，即可求解．
【详解】（1）解：将点 代入 ，解得 ，即 ，
令 ，代入 ，解得 ．
∴ ， ．
（2）解：根据题意得， ，直线 的表达式： ，
如图所示，过点 作 轴交 于 ，交 轴于 ，
∵点 在二次函数图像 上，∴设点 的坐标为 ，且 ，则点 ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得 ， ，
∴点 的坐标为 或 ．
（3）解： 为定值，
由（2）可知，直线 的表达式为： ，
令 ，则点 的坐标为
∴ ，
同理可得：点 的坐标为
∴ ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像
与二次函数图像的交点坐标的计算方法，图形的变换时解题的关键．
