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专题 07 一元一次不等式组应用的两种考法
题型一、方案问题
例．北京时间12月18日晚23点，2022年卡塔尔世界杯决赛，阿根廷对战法国.阿根廷最终战胜法国，时
隔36年再次夺得世界杯冠军，这也是阿根廷队历史第3次在世界杯夺冠，梅西赛后接受采访时说道，“我
们受到了很多挫折，但我们做到了”，世界杯结束后，学生对于足球的热情高涨.为满足学生课间运动的需
求，学校计划购买一批足球，已知购买3个A品牌足球和2个B品牌足球共需480元；购买5个A品牌足
球和2个B品牌足球共需640元
(1)求A，B两种品牌足球的单价；
(2)若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于B
品牌的足球个数，求该校购买这些足球共有几种方案？
【答案】(1)A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
(2)共有8种方案
【详解】（1）解：设A.，B两种品牌足球的单价分别为x元，y元，
根据题意.，得 ，
解得 ，
答：A品牌足球单价为80元，B品牌足球单价为120元；
（2）解：设购买A品牌足球a个，则购买B品牌足球 个，
根据题意.，得 ，解得 ，
∵a为整数，
∴ ，所以共有8种方案
【变式训练1】如图甲所示的A型（ ）正方形板材和B型（ ）长方形板材，可用于制作成图乙所示
的竖式和横式两种无盖箱子．已知板材每平方米20元．
(1)若用2860元的资金去购买A、B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，问可以制作竖式箱子多少只？
(2)若有A型板材67张、B型板材135张，用这批板材制作两种类型的箱子共40只．问有哪几种制作方案？
【答案】(1)11
(2)3种方案，①制作竖式箱子13只，横式箱子27只；②制作竖式箱子14只，横式箱子26只；③制作竖
式箱子15只，横式箱子25只
【详解】（1）解∶∵板材每平方米20元，
∴A型板材每张20元，B型板材每张 （元），
设购买A型板材x张，购买B型板材y张，则可制作竖式无盖箱子x只，
由题意得：
，
解得： ，
答：可以制作竖式箱子11只；
（2）解：设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，
则 ，
由题意得： ，
解得： ，
∵a为正整数，∴ 或 或 ，则 或 或 ，∴有3种制作方案：
①制作竖式箱子13只，横式箱子27只；
②制作竖式箱子14只，横式箱子26只；
③制作竖式箱子15只，横式箱子25只．
【变式训练2】某商店计划购进A、B两种商品，若购进9件A商品和10件B商品需用1810元，若购进12
件A商品和8件B商品需用1880元；已知销售一件A商品可获利18元，销售一件B商品可获利30元．
(1)A、B两种商品的单价分别是多少元？
(2)要使在这次销售中获利不少于699元，A商品不多于28件，已知该商店购进A商品件数比购进B商品件
数的2倍还多4件，那么该商店在这次进货中可有几种购进方案？哪几种？
【答案】(1)A商品单价是108元/件，B商品单价是130元/件
(2)有三种购货方案：方案一：购进B商品10件、A商品24件；方案二：购进B商品11件、A商品26件；
方案三：购进B商品12件、A商品28件．
【详解】（1）解：设A商品进价是x元/件，B商品进价是y元/件，
由题意可得： ，
解得： ，
∴A商品单价是108元/件，B商品单价是130元/件；
（2）设购进B商品m件，则购进A商品 件，
由题意可得： ，
解得： ，
∵m为正整数，
∴m=10、11、12，
∴有三种购货方案：
方案一：购进B商品10件、A商品24件；方案二：购进B商品11件、A商品26件；
方案三：购进B商品12件、A商品28件．
【变式训练3】临近期末某班需要购买一些奖品，经过市场考察得知，购买10个钢笔礼盒和1个水杯需要
242元，购买1个钢笔礼盒和10个水杯需要341元．
(1)你能求出每个钢笔礼盒、每个水杯各多少元？（用二元一次方程组解）
(2)根据班级情况，需购进钢笔礼盒和水杯共30个，现要求钢笔礼盒的个数不大于购进水杯的2倍，总费用
不超过800元，请你通过计算求出有几种购买方案？哪种方案费用最低？
【答案】(1)每个钢笔礼盒21元、每个水杯32元
(2)共有6种购买方案；购买钢笔礼盒20个，则购买水杯10个费用最低
【详解】（1）解：每个钢笔礼盒x元、每个水杯y元，根据题意得：
，
解得： ，
答：每个钢笔礼盒21元、每个水杯32元；
（2）解：设购进钢笔礼盒a个，则购买水杯 个，根据题意得：
，
解得： ，
∴ ，16，17，18，19，20，
购进钢笔礼盒15个，则购买水杯15个，所需要的费用为： （元）；
购进钢笔礼盒16个，则购买水杯14个，所需要的费用为： （元）；
购进钢笔礼盒17个，则购买水杯13个，所需要的费用为： （元）；
购进钢笔礼盒18个，则购买水杯12个，所需要的费用为： （元）；
购进钢笔礼盒19个，则购买水杯11个，所需要的费用为： （元）；
购进钢笔礼盒20个，则购买水杯10个，所需要的费用为： （元）；
∴共有6种购买方案；购买钢笔礼盒20个，则购买水杯10个费用最低．
【变式训练4】受“新冠肺炎”疫情影响，市场上医用口罩出现热销．某药店准备购进一批医用口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需18元；2个A型口罩和1个B型口罩共需12元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的进价各是多少元？
(2)药店准备购进这两种型号的口罩共100个，其中A型口罩数量不少于64个，且不多于B型口罩的2倍，
有几种购买方案？购进总费用最少的方案是什么？
【答案】(1)2，8
(2)共有3种购买方案，方案1：购进 型口罩64个， 型口罩36个；方案2：购进 型口罩65个， 型
口罩35个；方案3：购进 型口罩66个， 型口罩34个；购进 型口罩66个， 型口罩34个时购进费
用最少．
【详解】（1）解：设一个 型口罩的进价为 元，一个 型口罩的进价为 元，
依题意，得： ，
解得： ．
答：一个 型口罩的进价为2元，一个 型口罩的进价为8元．
（2）设 型口罩购进 个，则 型口罩购进 个，
依题意，得： ，
解得： ，
为整数，
可以取64，65，66，
共有3种购买方案，方案1：购进 型口罩64个， 型口罩36个；方案2：购进 型口罩65个， 型口
罩35个；方案3：购进 型口罩66个， 型口罩34个．
设购进总费用为 元，则 ，
，
随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
购进 型口罩66个， 型口罩34个时购进费用最少．
【变式训练5】期末考试结束后，学校计划购买笔和笔记本奖励成绩优秀和进步的同学，现派小婷去文具店购买．
(1)已知购买2支笔和3本笔记本需要25元，购买1支笔和2本笔记本需要16元，则笔和笔记本的单价分
别为多少元？
(2)若学校需购买笔和笔记本共80件，且要求笔记本的数量不能少于20本，总费用不得超过220元，经与
文具店协商，老板同意给小婷8折优惠，请问小婷有几种购买方案？哪种方案最优惠？
【答案】(1)笔的单价为2元，笔记本的单价为7元
(2)共有4种购买方案，其中购买60支笔，20本笔记本时，最优惠
【详解】（1）解：设笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，
根据题意，得 ，解得 ．
答：笔的单价为2元，笔记本的单价为7元．
（2）设小婷购买了a支笔，则购买了 本笔记本，
根据题意，得 ，
解得 ，
∵a是整数，∴a可取57，58，59，60．
∴小婷共有4种购买方案：
若购买的笔为57支，则购买的笔记本为 （本），
此时共花去 （元）；
若购买的笔为58支，则购买的笔记本为 （本），
此时共花去 （元）；
若购买的笔为59支，则购买的笔记本为 （本），
此时共花去 （元）；
若购买的笔为60支，则购买的笔记本为 （本），
此时共花去 （元）．
∵ ，
∴购买60支笔，20本笔记本时，最优惠．答：共有4种购买方案，其中购买60支笔，20本笔记本时，最优惠．
题型二、利润问题
例．某商店准备购进A、B两种商品，A商品每件的进价比B商品每件的进价多20元，已知进货30件A商
品和30件B商品一共用去用2400元，商店将A种商品每件售价定为80元，B种商品每件售价定为45元．
(1)A商品每件的进价和B商品每件的进价各是多少元？
(2)商店计划用不超过1520元的资金购进A、B两种商品共40件，其中A种商品的数量不低于B种商品数
量的一半，该商店有哪几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
(2)有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；第二种：进A商品15件，B商品25件；第三
种：进A商品16件，B商品24件；
(3)购买A商品16件，购买B商品24件利润最大，最大利润840元．
【详解】（1）解：设B商品每件的进价为x元，则A商品每件的进价为 元，
由题意，得 ，
解得 ，
∴A商品每件的进价为 (元) ，
答：A商品每件的进价为50元，B商品每件的进价为30元；
（2）解：设A种商品的数量a件，B种商品的数量 件，由题意，得
，解得 ，
∵a为正整数，∴a为14，15，16，∴B种商品的数量为26，25，24，
所以有三种进货方案：第一种：进A商品14件，B商品26件；
第二种：进A商品15件，B商品25件；
第三种：进A商品16件，B商品24件；
（3）解：令所获利润为W元，则
，∴ ，
∵ ，W随a的增大而增大，∴ 时，即A购买16件，B购买24件利润最大，
W 元，
最大答：A购买16件，B购买24件利润最大，最大利润840元．
【变式训练1】某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师
从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量
大于乙种羽毛球数量的 ，已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．所购进
羽毛球均可全部售出，请求出网店所获利润 （元）与甲种羽毛球进货量 （筒）之间的函数关系式，并
说明当 为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元
(2)当 为78时，所获利润最大，最大利润为1390元
【详解】（1）解：设甲种羽毛球每筒的售价为 元，乙种羽毛球每筒的售价为 元，
根据题意可得 ，
解得 ，
答：甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元．
（2）解：若购进甲种羽毛球 筒，则乙种羽毛球为 筒，
根据题意可得： ，
解得 ，
由（1）知利润 ，
，
随 的增大而增大，且 ，
又 为整数，
当 时， 最大， ，
答：当 为78时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【变式训练2】“冰墩墩”2022年北京冬奥会的吉祥物，深受人们的喜爱．某纪念品商店为了抓住商机，决定购进冬奥会吉祥物“冰墩墩”，若购进A种型号“冰墩墩”4件，B种型号“冰墩墩”2件，共需要
400元；若购进A种型号“冰墩墩”8件，B种型号“冰墩墩”6件，共需要1100元．
(1)求购进A，B两种型号的“冰墩墩”每件各需要多少元？
(2)若该商店决定拿出10000元全部用来购进这两种型号的“冰墩墩”，考虑到市场需求，要求购进A种型
号的“冰墩墩”的数量不少于B种型号的“冰墩墩”数量的6倍，且少于B种型号的“冰墩墩”数量的8
倍，设购进B种型号的“冰墩墩”数量为a件，则该商店有几种进货方案？
(3)在（2）的条件下，若每件A种型号的“冰墩墩”的售价为55元，每件B种型号的“冰墩墩”的售价为
190元，该商店选用哪种进货方案获得利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)A种型号“冰墩墩”的单价为25元/件，B种型号“冰墩墩”的单价为150元/件
(2)该商店共有5种进货方案
(3)当购进A种型号“冰墩墩”226件，B种型号“冰墩墩”29件时获得利润最大，最大利润是7940元
【详解】（1）设A种型号“冰墩墩”的单价为x元/件，B种型号“冰墩墩”的单价为y元/件，
依题意得： ，
解得： ．
答：A种型号“冰墩墩”的单价为25元/件，B种型号“冰墩墩”的单价为150元/件．
（2）设购进B种型号的“冰墩墩”数量为a件，则购进A种型号的“冰墩墩”数量为
件，
依题意得： ，解得： ．
又∵a为整数，∴a可以为29，30，31，32，33,
∴该商店共有5种进货方案，
方案1：购进A种型号“冰墩墩”226件，B种型号“冰墩墩”29件；
方案2：购进A种型号“冰墩墩”220件，B种型号“冰墩墩”30件；
方案3：购进A种型号“冰墩墩”214件，B种型号“冰墩墩”31件；
方案4：购进A种型号“冰墩墩”208件，B种型号“冰墩墩”32件;
方案5：购进A种型号“冰墩墩”207件，B种型号“冰墩墩”33件．（3）设全部销售完获得的利润为w元，则 ．
∵ ，
∴w随a的增大而减小，
∴当 时，w取得最大值，最大值 ．
答：当购进A种型号“冰墩墩”226件，B种型号“冰墩墩”29件时获得利润最大，最大利润是7940元．
【变式训练3】抗击新型冠状肺炎疫情期间，84消毒液和酒精都是重要的防护物资，某药房根据实际需要
采购了一批84消毒液和酒精，84消毒液和酒精的进价和售价如下：
84消毒液 酒精
进价（元/瓶） m n
售价（元/瓶） 16 18
(1)该药房购进84消毒液10瓶和酒精5瓶需要170元；购进84消毒液6瓶和酒精10瓶需要200元，直接写
出m，n的值．
(2)该药房决定购进84消毒液和酒精共100瓶，要求84消毒液不多于60瓶且投入资金又不多于1168元，
设购买84消毒液x瓶，求有几种购买方案．
(3)在（2）的条件下，药房在获得的利润取得最大值时，决定售出的84消毒液每瓶捐出2a元，酒精每瓶捐
出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【答案】(1) ；(2)有3种购买方案；(3)a的最大值为1.8
【详解】（1）解：根据题意得：
，解得： ；
（2）解：设购买84消毒液x瓶，则购进酒精 瓶，根据题意得：
，解得： ，
∵x取正整数，∴ ， ， ，∴有3种购买方案；
（3）解：设药房获得的利润为w元，根据题意得：
，∵ 中 ，∴ 随x的增大而增大，∴当 时获利最大，
（瓶），
根据题意得： ，解得： ，
∴a的最大值为1.8．
【变式训练4】某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从批发店购进甲、乙两类益智拼图，已知甲
类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元．
(1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？
(2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元．该班计划购进这两类拼图总费用不低于2100元且不超过
2200元．若购进的甲、乙两类拼图共200盒，且全部售出，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？
最大利润为多少元？
(3)在（2）的条件下，若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠 元，其他条
件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示）
【答案】(1)甲种盲盒的每件进价是15元，乙种盲盒的每件进价是10元
(2)当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为2400元
(3)当 ， 时，最大利润是 元；当 ， 时，最大利润是 元；当
， 时，最大利润是 元．
【详解】（1）解：设乙盲盒的每件进价是x元，则甲盲盒的每件进价是 元，根据题意得
，
解得： ，
，
答：甲种盲盒的每件进价是15元，乙种盲盒的每件进价是10元；
（2）解：设购进甲种盲盒m件 ，则购进乙种盲盒 件，根据总费用不低于2100元且不
超过2200元可得
解得 ，设全部售出所获得总利润为W，则
，
，
∴w随m增大而增大，
∴当 时，w取得最大值，最大值 ，
∴当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为2400元；
（3）解：设购进甲种盲盒n件 ，则购进乙种盲盒 件，
由（2）得 ，
设全部售出所获得总利润为y，则
，
当 ，即 时，y随n增大而增大，
∴当 时，y取得最大值，最大值 ；
当 ，即 时，y随n增大而减小，
∴当 时，y取得最大值，最大值 ；
当 ，即 时， ， ；
综上，当 ， 时，最大利润是 元；当 时， ，最大利润是 元；
当 ， 时，最大利润是 元．
【变式训练5】商店销售1台A型和2台B型电脑的利润为400元，销售2台A型和1台B型电脑的利润为
350元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，
设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润y元．
(1)1台A型电脑，B型电脑的利润分别是多少；
(2)求y关于x的函数关系式，并写出自变量范围；
(3)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)1台A型电脑利润是100元，B型电脑的利润是150元
(2) （ 且x为整数）(3)A型34台 B型66台，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元
【详解】（1）解：设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；根据题意得
，
解得 ，
所以1台A型电脑利润是100元，B型电脑的利润是150元；
（2）设购进A型电脑x台，则B形电脑 台，由题意得
，即 ．
∵ ，∴ ，
∴ （ 且x为整数）；
（3）∵ ， ，∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当 时，y取最大值， ，
此时 ，
即A型34台 B型66台，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元．
