文档内容
专题04：实数（二）
考点1：实数的概念与计算
题型一：实数的概念
例1、（1）把下列各数填在相应的大括号里： ，3.24， ．
整数： ；
负分数： ；
无理数： ．
【答案】见详解
【分析】根据整数，负分数，无理数的定义，可得答案．
【详解】解：整数： 负分数： ， 无理数：
故答案为： ； ， ； ．
【点睛】本题考查了实数，实数的分类：实数： 或实数： ．
（2） 的绝对值是 ； 的倒数是 ； 的算术平方根是 ．
【答案】 ， ，
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案；根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案；
根据开方运算，可的算术平方根．
【详解】解： 的绝对值是 ； 的倒数是 ； 的算术平方根是 ，故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查了实数的性质，注意负数的绝对值是它的相反数，分子分母交换位置是求一个数倒数的
关键．
【练习1】下列说法正确的是
A．无理数包括正无理数、零和负无理数 B．无理数是带根号的数
C．实数都是无理数 D．无理数是无限不循环小数
【答案】
【分析】无理数是无限不循环小数；包括正无理数和负无理数，不包括 0；带根号且开方开不尽的数才是
无理数，但无理数并不一定带根号；所以此题应选 ．
【详解】解： 无理数包括正无理数和负无理数，不包括0， 选项 不对；
带根号且开方开不尽的数才是无理数，但无理数并不一定带根号， 选项 不对；
实数包括有理数和无理数， 选项 不对；
无理数是无限不循环小数， 选项 对．故选： ．
【点睛】此题考查了无理数的概念，关键是对无理数概念理解准确．
【练习2】在实数 ， ，0， ， 中，属于有理数的有 个．
【答案】3
【分析】根据有理数的定义，可得答案．
【详解】解：在实数 ， ，0， ， 中，属于有理数的有0， ， ，一共3个．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了实数，实数的分类.
题型二：比较大小
例2、比较大小： ．
【答案】
【分析】应用平方法，可得 ， ，比较 与 的大小
即可得出答案．【详解】解： ，
，
， ．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，熟练应用实数大小的比较方法进行求解是解决本题的关键．
【练习3】比较大小：3 _____4 ．
【答案】＜
【分析】首先分别求出3 、4 的平方的值各是多少；然后根据实数大小比较的方法，判断出3 、
4 的平方的大小关系，即可判断出3 、4 的大小关系．
【详解】解：（1） ＝45，（4 ）2＝48，∵45＜48，∴3 ＜4 ．故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了实数比大小，准确分析是解题的关键．
【练习4】比较大小： ．（填“ ”或“ ”号）
【答案】
【分析】先求出 ，再根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【详解】解： ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键．
题型三：计算
例3、求下列各式的值：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）先求出算出平方根，立方根，绝对值以及零次幂，再进行加减法运算，即可求解；
（2）先算立方根，平方运算以及绝对值，在算加减法，即可求解．【详解】 原式 ．
原式 ．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，熟练掌握算术平方根与立方根是解题的关键．
【练习5】计算 - =__________.
【答案】-2
【分析】先化简再进行计算
【详解】解： - =-2
【点睛】本题考查二次根式和三次根式的计算，关键在于基础知识的掌握．
考点2：二次根式
题型一：二次根式的相关概念
例4、（1）在 、 、 、 、 中，是最简二次根式的是______.
【答案】
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可.
【详解】解：49=72，25x5=52·(x2)2·x，所以 与 不是最简二次根式；
与 ，被开方数中含有分母，所以 与 不是最简二次根式；
是最简二次根式，故答案为 .
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的概念必须满足的两个条件：“一是被开方
数中不含分母，二是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式”是正确判断的关键.
（2）在函数y＝ 中，自变量x的取值范围是（ ）A．x≥-1 B．x＞-1 C．x＜-1 D．x≤-1
【答案】B
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x+1≥0且1+x≠0，解得x≥-1且x≠-1
自变量x的取值范围是x＞-1．故选B．
【点睛】本题考查的知识点为:分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
【练习6】化简： =_______．
【答案】-2b
【分析】先根据二次根式的性质化简原式，再根据数轴得到a、b、c的大小关系，去化简绝对值求解．
【详解】解：原式 ，根据数轴得 ，
∴原式 ．故答案是： ．
【点睛】本题考查二次根式和立方根的化简，解题的关键是掌握二次根式和立方根的性质．
题型二：加减运算、混合运算
3b−√ 1 a+2 √4b−a
例5、（1）若最简二次根式 与 是同类二次根式，则a+b＝___．
【答案】2
【分析】根据同类二次根式的定义：被开方数相同的二次根式，列方程，即可解答．
3b−√ 1 a+2 √4b−a
【详解】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴ ，解得： ，则a+b＝2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次
根式叫同类二次根式．
（2）若最简二次根式 与 能够合并，则 ．
【答案】5
【分析】根据同类二次根式的概念列方程，解方程得到答案．
【详解】解：由题意得： ，解得： ，故答案为：5．【点睛】本题考查的是同类二次根式、最简二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果
它们的被开方数相同，把这几个二次根式叫做同类二次根式．
【练习7】下列所给出的 的值中，使二次根式 与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把所给数值分别代入化简即可判断．
【详解】解： ，当 时， ，与 不是同类二次根式，故本选项错误；
，当 时， ，与 不是同类二次根式，故本选项错误；
，当 时， ，与 不是同类二次根式，故本选项错误；
，当 时， ，与 是同类二次根式，故本选项正确．故选 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的
关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【练习8】下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同类二次根式的概念进行判断即可．
【详解】解：A、 与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、 与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
C、 与 不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
D、 与 是同类二次根式，可以合并，符合题意，故选：D．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念、二次根式的化简，理解同类二次根式的概念是解答的关键．例6、计算：（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序
相同；
（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同．
【详解】解：(1) ＝
(2) ＝
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，
再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
【练习9】计算： ．
【答案】4
【分析】先运用二次根式的性质将各根式化成最简二次根式，然后再计算即可．
【详解】解： = = =4．
【点睛】本题主要考查了二次根式的四则混合运算，将各根式化成最简二次根式成为解答本题的关键．
考点3：分母有理化
例7、若x＝ ，y＝ ，求（1） 和 的值；（2）求 的值．
【答案】(1)4，1；（2）11
【分析】先把条件分母有理化，代入（1）中计算即可，（2）把式子进行配方变成（x+y）两根和化与xy
两根积化，再利用（1）整体代入即可．
【详解】(1)x＝ ，y＝ ，x+y= =4，xy= =1，
(2) =(x+y)2-5xy=42-5×1=16-5=11．
【点睛】本题考查两个无理数的和与积问题，关键是会把已知条件分母有理化，利用公式达到简化计算目
的，使问题得以解决．
例8、已知 ， ，则a与b的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】将 ， 进行分母有理化，再比较即可．
【详解】解： ， ，
∵ ， ∴ ，∴ ．故选B．
【点睛】本题考查了分母有理化，不等式的性质，实数比较大小等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
【练习10】（1）计算 的结果为 （ ）
A．0 B．1 C． D．1-
【答案】A
【分析】利用分母有理化和合并同类二次根式法则计算即可．
【详解】解：
=
= = =0故选A．【点睛】此题考查的是二次根式的运算，掌握分母有理化和合并同类二次根式法则是解题关键．
（2）计算 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分母有理化，分子分母同时乘以 ，再进行化简即可．
【详解】 故答案选：A．
【点睛】本题考查分母有理化，掌握分母有理化进行化简是解题关键．
1．下列说法：①有理数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的绝对值是它
本身，则这个数是非负数；④16的平方根是4，用式子表示 ．⑤若 ，则 ，其中错
误的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】利用实数的分类，无理数的定义，绝对值的性质，平方根的定义及二次根式的性质分别分析即可．
【详解】解：①有理数和数轴上的点是一一对应的，错误，数轴上的点不都表示有理数；
②无理数是开方开不尽的数，错误，例如 ； ③某数的绝对值是它本身，则这个数是非负数，正确；
④16的平方根是4，用式子表示 ，错误，应该是 ；⑤若 ，则 ，正确；
综上，①②④错误，故选： ．
【点睛】本题主要考查了有理数，无理数，绝对值，平方根及二次根式的知识，熟练掌握有理数，无理数，绝对值，平方根及二次根式的定义是解题的关键．
2．下列说法正确的是（ ）
A．绝对值等于它本身的数一定是正数 B．一个数的相反数一定比它本身小
C．负数没有立方根 D．实数与数轴上的点一一对应
【答案】D
【分析】根据实数的性质即可依次判断．
【详解】A. 绝对值等于它本身的数是非负数，故错误； B. 正数的相反数一定比它本身小，故错误；
C. 负数有立方根，故错误； D. 实数与数轴上的点一一对应，正确； 故选D．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知绝对值、相反数、立方根及实数与数轴的性质．
3．下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的乘法法则对A、D进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根
式的除法法则对C进行判断．
【详解】A． ，所以A选项正确；
B． - =（4-1） =3 ，所以B选项正确；
C． ，所以C选项正确；
D． ，所以D选项不正确; 故选择：D．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，
再合并即可；在二次根式的混合运算中，应能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．
4．要使式子 有意义，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
【答案】C
【分析】根据题意，根号下的数大于等于0，分式的分母不为0，列式求解即可．【详解】解： ， ，解得 且 ，故选：C．
【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，属于基础题，掌握二次根式和分式有意义的条件即可．
5．已知 ， ，则 与 的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分母有理化的知识，即可得解．
【详解】解: ， ， ，故选A．
【点睛】本题考查了分母有理化的法则，正确找出有理化因式是解题的关键．
6． 的相反数是 ， 的倒数是 ， 的立方根是 ．
【答案】 ， ，
【分析】根据相反数，倒数和立方根的定义可直接得出答案．
【详解】解：根据相反数、倒数、立方根的概念，得 的相反数是 ， 的倒数是 ， 的立方
根是 ． 故答案为 ， ， ．
【点睛】本题主要考查相反数、倒数、立方根的定义．求一个数的相反数，即在这个数的前面加“ ”号；
求一个数的倒数，即1除以这个数；一个数的立方是 ，则这个数是 的立方根．本题比较基础，正确把
握定义是解题的关键．
7．比较大小： ．（填“ ”、“ ”或“ ”
【答案】
【分析】先把根号外的因式移入根号内，再比较即可．
【详解】解： ， ， ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了算术平方根和实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．8．（1）把二次根式 化成最简二次根式得到的结果是______．
【答案】3
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解： = =3 ．故答案为：3 ．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开
方数不含能开得尽方的因数或因式．
（2）化为最简二次根式 __________．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．
9．如果最简二次根式 和 是同类二次根式，则 ____________．
【答案】0
【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义得 ，求出a、b的值代入计算即可．
【详解】由题意得 ，解得 ，∴ab=0，故答案为：0．
【点睛】此题考查最简二次根式及同类二次根式的定义，解二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．
10．已知实数 、 在数轴上的位置如图所示，化简 =_____________
【答案】【分析】先根据数轴的定义可得 ，从而可得 ，再化简绝对值和二次根式，然
后计算整式的加减即可得．
【详解】由数轴的定义得： ，则 ，
因此 ， ， ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式、整式的加减，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
11．计算：（1） （2）
【答案】(1)14；(2)
【分析】
(1)根据平方根、立方根、绝对值及公式 逐个求解即可；
(2)根据完全平方式及平方差公式展开，然后再求解即可．
【详解】
解：(1)原式 ，故答案为：14；
(2)原式 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了实数的计算、平方差公式及完全平方公式等，熟练掌握公式，计算过程中细心即可．
12．计算．（1） ．（2） ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）先算二次根式的乘法和除法，再算加减即可；
（2）先根据完全平方公式及平方差公式计算，再算加减即可．
【详解】
（1） ．
（2） ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则及运算顺序是解题关键．
13．计算
（1）
（2）
（3） ．
【答案】（1）11；（2） ；（3）-6；（4）
【分析】
（1）根据先开方或乘方，再乘除，最后加减的运算顺序计算；
（2）注意零指数幂和负整数指数幂以及分母有理化的计算；
（3）利用平方差公式计算，并根据二次根式的性质进行化简；
（4）先算乘除，再算加法，计算除法时除数的分子分母必须颠倒位置．
【详解】
解：（1）原式= ；
（2）原式= ；
（3）原式= ；
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握混合运算的运算方法和运算顺序以及二次根式的性质和
化简方法是解题关键．
14．若最简二次根式 和 是同类二次根式，求x、y的值．
【答案】4，3．
【分析】根据题意，这两个式子既为最简二次根式也是同类二次根式，所以被开方数相同且均为二次根式，列方程组求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 和 是同类二次根式，
∴3x﹣10＝2，2x+y﹣5＝x﹣3y+11， 即 ，解得： ．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，还涉及二元一次方程组的求解，属于基础题，熟练掌握同
类二次根式的定义是解题的关键．
15．（1）已知 ， ．①求 的值；②求 的值．
（2）若 、 都是实数，且 ，求 的平方根．
【答案】（1）① ② ；（2） .
【分析】
（1）①根据要求相加通分，分母有理化，化简即可. ②可将原式转化为 ，运用第①问的结
果代数求值.
（2）根据平方根的非负性，得到 ，进而求得 的值，最后求 的平方根.
【详解】
解：①当 ， 时，
原式
②当 ， 时，
原式（2）由题意得 ，故 ， ，
. 的平方根为 .
【点睛】本题考查的是实数范围里尤其是无理数的代数求值，熟练掌握无理数的化简与计算，并对要求的
代数式进行适当变形化简是解答关键.
