第 04 讲 对数与对数函数
（含对数型糖水不等式的应用）
（8 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断指数函数的单调性
2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性
根据分段函数的单调性求参数
2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题
对数函数模型的应用
2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用
对数函数的单调性解不等式
2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 无
2020年新I卷，第12题,5分 对数的运算 随机变量分布列的性质
2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 对数函数单调性 复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-
6分
【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数
或常用对数
2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊
点
3.熟练掌握对数函数 且 与指数函数 且 的图象关
系
【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备
考复习知识讲解
1. 对数的运算
（1）对数的定义
ax N(a 0且a 1) x a N a
如果 ，那么把 叫做以 为底， 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底
N
数， 叫做真数
（2）对数的分类
一般对数：底数为a，a0,且a1，记为
常用对数：底数为10，记为lgN ，即：
自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为lnN ，即：
（3）对数的性质与运算法则
①两个基本对数：① ，②
②对数恒等式：① ，② 。
③换底公式： ；
推广1：对数的倒数式
推广2： 。
④积的对数： ；⑤商的对数： ；
⑥幂的对数：❶ ，❷ ，
❸ ，❹
2. 对数函数
（1）对数函数的定义及一般形式
形如： 的函数叫做对数函数
（2）对数函数的图象和性质
a 1 0a1
图
象
定义域：
值域：
性 当 时， 即过定点
质 0 x1 y(,0) x1 y(,0)
当 时， ； 当 时， ；
x1 y(0,) 0 x1 y(0,)
当 时， 当 时，
在 上为增函数 （5）在 上为减函数
3. 对数型糖水不等式
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有
考点一、 对数的运算
1．（2024·重庆·三模）已知 ，则 ．【答案】3
【分析】由指数式与对数式的互化关系求出 ，再利用对数运算性质计算即得.
【详解】由 ，得 ，所以 .
故答案为：3
2．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用.
【详解】由 ，
所以
故选：A
3．（2024·四川·模拟预测）若实数 ， ， 满足 且 ，则 （ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】根据指对数的互化可得 ， ，代入 ，即可计算得到 的值.
【详解】因为 且 ，易知 且 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，则 .
故选：D．
1．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ．
【答案】 /0.5
【分析】根据对数的运算性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，可得 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为： .
2．（2024·全国·高考真题）已知 且 ，则 ．
【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
3．（2024·辽宁丹东·一模）若 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解.
【详解】由 ， ， ，可得 ，
所以 ，则 .
故选：B.
考点二、 对数函数的定义域
1．（2024·河南·三模）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】使函数有意义，即得关于 的不等式组，解之即得函数定义域.【详解】函数 有意义，等价于 ，
解得， ，故函数的定义域为 .
故选：A.
1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据真数大于0得到不等式，求出定义域.
【详解】令 ，解得 ，
故 的定义域为 .
故选：B
2．（2024·青海海南·二模）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可.
【详解】∵函数 ，
∴ ，解得 ．
故选：D．
考点三、 对数函数的图象与性质
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图
象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【详解】
解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大
小不确定，故B，C错误．故选A.
2．（2024·广东深圳·二模）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过（ ）
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】D
【分析】由函数 过 点，分类可解.
【详解】当 时， ，
则当 时，函数图象过二、三、四象限；
则当 时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数 的图象一定经过三、四象限.
故选：D
3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线 （ ， ）过函数 （ ，且 ）的定点T，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】先根据对数型函数的特点求得定点 坐标，代入直线方程得 ，运用常值代换法即可求
得结论.
【详解】令 时，可得 ，
可知函数 ，且 的图象恒过定点 ，
因为定点 在直线 上，
可得 ，且 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ ，y＝log （x＋ ）（a＞0，且
a
a≠1）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】略
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆上，则 的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到 与 的等量关系，
再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ，
则 ，
所以 ，
当且仅当 ，
即 时等号成立.
故答案为：16.
考点 四 、 对数函数的单调性
1．（辽宁·高考真题）函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果.
【详解】由题意， ，解得： 或 ，
即函数 的定义域为： ，
因为函数 由 与 复合而成，
外函数 显然单调递减，
要求 的单调减区间，只需 单调递增，
又 是开口向上，对称轴为 的二次函数，
所以 在 上单调递增，即函数 的单调减区间为 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二
次不等式解法，属于基础题型.
2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足 即可，从而可求出实
数 的取值范围.
【详解】令 ，则 ，
因为函数 在区间 上单调递减，
且 在定义域内递增，
所以 ，解得 ，
故选：B
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增，
则需满足 ，解得 ，
即a的范围是 .
故选：B.
4．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ，
对于选项AB：可得 ，即 ，
根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误；
对于选项D：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故D错误；
对于选项C：例如 ，则 ，
可得 ，即 ，故C错误，
故选：B.
1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】将 可看作由 复合而成，根据复合函数的单调性，列出不
等式，即可求得答案.
【详解】设 ，则 可看作由 复合而成，
由于 在 上单调递增，
故要使得函数 在区间 上单调递减，
需满足 在区间 上恒成立，且 在区间 上单调递减，
故 ，解得 ，
故a的取值范围为 ，故答案为：
2．（2022高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间为 ．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，确定 由 复合而成，判断
这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 ，
令 ，则 ，
则 即由 复合而成，
由于 在 上单调递减，
故要求函数 的单调递减区间，
即求 的单调递增区间，
而 的对称轴为 ，
则 的单调递增区间为 ，
则函数 的单调递减区间为 ，
故答案为：
3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知 是R上的单调递减函数，则实数a
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得 ，解得 .故答案为： .
考点 五 、 对数函数的值域与最值
1．（山东·高考真题）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的性质求得 ，再由对数函数的性质可得结果.
【详解】 ，
，
，
∴函数 的值域为 .
故选：A
【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.
2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数 的值域为 ，那么 的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数 是否为0进行分类讨论，即可求出 的取值
范围
【详解】解：由题意
在 中，值域为
当 时， ，
∴ 解得：
当 时，
则 解得
综上，故答案为： .
3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数 的最大值为 .
【答案】
【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案.
【详解】由题意，知 在 上单调递减， 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，
则当 时该函数取到最大值 ，
故答案为：
1．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ．
【答案】
【分析】
利用函数的单调性可求函数的值域.
【详解】函数 为增函数，故其值域为 .
故答案为：
2．（2023高一·全国·课后作业）函数 的值域是 ．
【答案】
【分析】利用换元法，令 ，则 ，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域
即可
【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以 的值域为 ，
因为 在 是减函数，
所以 ，
所以 的值域为 ，故答案为：
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的值
域为 ．
【答案】
【分析】求出函数 的定义域，进而求出 的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域.
【详解】因为已知函数 的定义域为
且 ，定义域需满足 ，
可得 ，
令 ，则 ，
则 ，
又因为 的图象开口向上，对称轴为 ，
可知 在 内单调递增，
当 时， ；当 时， ；
可知函数 的值域为 .
故答案为： .
考点 六 、 对数函数中奇偶性的应用
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是奇函数，则 .
【答案】1
【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得 可求出 .
【详解】由 ，得 ，
所以函数 的定义域为 ，
因为 为奇函数，
所以 ，解得 ，
故答案为：1
2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数 （m，n为常数）在上有最大值7，则函数 在 上（ ）
A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值
【答案】A
【分析】先分析函数 的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出
在 上的最小值，由此可知结果.
【详解】设 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 的定义域为 且关于原点对称，
又
，
所以 是奇函数，
因为 在 上有最大值 ，所以 在 上有最大值为 ，
所以 在 上有最小值 ，所以 在 上有最小值 ．
故选：A．
3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，若函数 的图象关于点 对称，
则 （ ）
A．-3 B．-2 C． D．
【答案】C
【分析】方法一：由题意，推出 是奇函数，根据定义域的对称性依次求得 的值，即可求得
；方法二：直接利用 ，将其化成 ，再由等式恒
成立得到 ，继而求得 .
【详解】方法一：依题意将函数 的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即
是奇函数，
因奇函数的定义域关于原点对称，而 时函数 无意义，故 时 也无意义，
即 ，解得此时 为奇函数，则
解得 故 .
故选：C．
方法二：依题意 恒成立，代入得
化简得， ,
整理得： ，
即 (*)，
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使 ，则得 ，
回代(*)可得， ，即 ，故 .
故选：C.
1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数 ， 的最大值
为 ，最小值为 ，则 .
【答案】
【分析】
构造 ，定义判断奇偶性，利用对称性有 ，即可求结果.
【详解】令 ，且 ，
，
所以 为奇函数，且在 上连续，
根据奇函数的对称性： 在 上的最大、最小值关于原点对称，
则 ，故 .故答案为：
2．（2024·宁夏银川·二模）若 是奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到 ，即可求出 的值，求出函数的定义域，再
由奇函数的性质 ，求出 的值，即可得到结果.
【详解】因为 是奇函数，
定义域关于原点对称，
由 ,可得 ，
所以 且 ，
所以 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，
则 ，即 ，解得 ，
此时 ，
符合题意，
所以 .
故答案为： .
考点 七 、 对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小）
1．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为 在 上递增，且 ，
所以 ，所以 ，即 ，
因为 在 上递增，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：B
2．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为 ，故 .
故答案为：C.
3．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
4．（2021·全国·高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，
所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b<c；
综上， ，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数 在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数 在（1，3)上单调递增
综上， ，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
1．（2021·天津·高考真题）设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
2．（2021·全国·高考真题）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较 、 与 的大小关系，由此可得出结论.
【详解】 ，即 .
故选：C.
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用指对数运算法则得到 ， ， ，从而利用对数函数的性质分析判断
得 ， ，从而得解.
【详解】 ，
， ，
因为 ，则 ，
所以 ，即 ；
而 ， ，所以 ，所以 ，即 ；
综上： .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用 与 比较大小，利用 与 比较
大小，从而得解.
4．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）设 ， ， ，则a，b，c的大小关系为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数、指数、幂的大小比较，结合构造函数法以及导数判断出 的大小关系.
【详解】 ，所以 ；
因为 ， ，
即 ，所以 ；
设 ，则 ，
所以当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
同理 ，即 ，所以 当且仅当 时等号成立，
故 ，所以 ，从而 ，
综上． ．
故选：B.
【点睛】方法点睛：要比较指数、幂、对数的大小，可以考虑利用“分段法”来进行求解，即要比较
的大小关系，可以根据 的结构，找到两个数 ，使得（不妨设） ，从而判
断出 的大小关系.5．（2024·山西·二模）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 、 ，构造函数
、 ，利用导数讨论两个函数的单调
性可得 、 ，即可求解.
【详解】 ，
，
设函数 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，即 ，所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
即 ，
得 ，所以 ，即 ，解得 .
综上， .
故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
考点 八 、 对数型糖水不等式的应用1．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【法一】对数型糖水不等式
因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 ,
且 .
所以 , 即 , 选 A.
【法二】普通型糖水不等式
由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到
, 即 .
所以 , 即 .
, 即 , 所以 , 即 .
综上, , 选 A.
1. 比较大小: 与 ？
【答案】
【法一】 。
【法二】 。
【法三】对数型糖水不等式直接可得2．（2024·重庆·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用对数函数的性质得到 最大，再利用作差法，结合基本不等式得到 ，从而得解.
【详解】由对数函数的性质知 ，
，
，
所以 ， ， ；
当 时， ，
所以
，
取 ，则 ，
所以
，即 ，
综上， .
故选：C.
【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论： .
一、单选题
1．（2024·河北衡水·三模）已知集合 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得 ，可求 .
【详解】 ，
又 ，故 ，
故选：B．
2．（2024·贵州贵阳·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用指数函数单调性得到 ，利用指对运算和指数函数单调性得到 ，利用对数函数单
调性得到 ，则比较出大小.
【详解】因为 ，且 ，则 ，
，
所以 ，
故选：A.
3．（2024·天津滨海新·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断a，b，c与0和1的大小关系即可得到答案．
【详解】 ，
，
，则 ,
故 .
故选：C.
4．（2024·江苏宿迁·三模）已知函数 为 上的奇函数，且当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】先计算出 ，根据 为 上的奇函数，得到 .
【详解】 ，
因为 为 上的奇函数，所以 .
故选：A
5．（2024·河北沧州·模拟预测）直线 与函数 分别交于 两点，且
，则函数 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对数函数的单调性及 得 ，代入化解即可.
【详解】由题意可知，定义域为 ，
函数 在定义域内单调递增，函数 在定义域内单调递减，
则 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
故选：B.
6．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数 与 的图象的交点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数.
【详解】函数 与 都是偶函数，其中 ， ，
在同一坐标系中，作出函数 与 的图象，如下图，
由图可知，两函数的交点个数为6.
故选：D7．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先得到 的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.
【详解】根据题意，函数 满足 ，则 ，即 是周期为 的周期函数，
所以 ， ，又由函数 为定义在 上的奇函数，则 ， ，
当 时， ，则 ，则 ，
所以 ，
故选：B．
二、填空题
8．（2024·湖北·模拟预测）若函数 为偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义得 ，代入化简即得 值.
【详解】因为 为偶函数，所以 ，即 ，
即 ，即 ，所以 ，
故答案为：
9．（2024·吉林·模拟预测）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据题意，设 ，则 ，利用复合函数的单调性，可得 在 上为减函数，且
恒成立，结合一次函数的性质分析可得答案．
【详解】解：根据题意，设 ，则 ，若函数 在 上单调递减，
利用复合函数的单调性，可得 在 上为减函数且 恒成立，
即 ，解得 ，即a的取值范围为 ．
故答案为： ．
10．（2024·四川成都·三模）函数 的图象过原点，且 ，若
，则 .【答案】
【分析】由对数运算性质以及奇函数的性质运算即可得解.
【详解】由题意 ，所以 ，所以 的定义域为 ，
且 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 .
故答案为： .
一、单选题
1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由复合函数的单调性分析得 在 上单调递减，根据 单调性即可得到答案.
【详解】设 ，易知函数 是增函数，
因为 在区间 上单调递减，
所以由复合函数单调性可知， 在 上单调递减.
因为函数 在 上单调递减，
所以 ，即 .
故选：D.
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 是定义在区间 上的奇函数，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据 是奇函数求出 的值，再求出 的定义域即可求出 的取值范围.
【详解】 ，
，即 ，即 ，， ，
是定义在区间 上的奇函数，
，即 ，
，解得 （舍）或 ，
的定义域为 ， .
故选：D.
3．（2024·河北·三模）已知 ， ， ， ，则下列大小关系正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】等价变形已知条件， ，构造两个函数
，利用求导判断单调性即可求解.
【详解】设 ，
因为 ， ， ，
所以
即 ，
，
显然 在 上单调递减，
，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
又 ，当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ,
故选：B.
4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数 ，若 成立，则实数a的
取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可.
【详解】 ，所以 ，即 为偶函数，
对函数 ， ，则 ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，故 在 上恒成立.
所以函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增.
所以 ，
所以 ，解得 或 ．
故选：B
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用切线放缩公式： 比较 ，再由三角函数 单调性，比较 .
【详解】由 知 ，∵ ，∴ .知 .
故选：B.
6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于 的不等式，即
可求解.
【详解】根据题意，当 时， ，可得 在 上递增，
要使得函数 是 上的单调函数，则满足 ，且 ，解可得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：B.
7．（2024·河北衡水·模拟预测）设 ，若函数 是偶函数，则
（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.
【详解】 的定义域为 ，关于原点对称，
故
所以 ，
故 或 （舍去），
故选：D
8．（2024·湖北黄冈·二模）已知 分别满足下列关系： ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得 ，利用指对数函数的单调性，通过
构造函数判断单调性可推得 ，最后利用正切函数的单调性可得 .
【详解】由 可得因 ，
又 ，故 ,即 ；
因 ，则 由 ，
由函数 ， ，因 时， ，
即函数 在 上单调递减，则有 ，故得 ；
由 ，而 ，即 ，
综上，则有 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
二、多选题
9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 若 ，且 ，则下列关系式一定
成立的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，当 时讨论推理即可．对于B，举反例即可．对于C，D，分两种情况讨论：
和 时，利用对数的运算性质，推理判断出每个的真假．
【详解】对于A，若 ，且 ，只能 ，有 ，
则 ， ，所以 ，故A正确；
对于B，举反例：当 时，则 ， ，
此时 ，故B不正确；
对于C，易知 ，且 ．若 ，且 ，则有：
（ⅰ）当 时，有 ，
则 ， ，
且 ，所以 ；
（ⅱ）当 时， ，
且 ，则 ．
综上所述： ，故C正确；
对于D，若 ，则 ．若 ，且 ，分类讨论．
（ⅰ）当 时，有 ，
从而 ， ，
则 ；
（ⅱ）当 时，则 ， ，
因为 ，
则 ，从而 ．
综合所述： ，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意 ，且 ，根据相应的选项特征分类讨论，
进而分析判断即可.
三、填空题
10．（2024·陕西西安·模拟预测）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，若
且 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】先求出函数过定点的坐标，再利用基本不等式求最值.
【详解】因为 ， （ 且 ），所以函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，
所以 ，
所以 ，
， ，当且仅当 ，即 等号成立，
即 的最小值为 .
故答案为： .
1．（2024·全国·高考真题）已知 且 ，则 ．
【答案】64
【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解.
【详解】由题 ，整理得 ，
或 ，又 ，
所以 ，故
故答案为：64.
2．（2024·全国·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，分类讨论 与 的大小关系，结合符号
分析判断，即可得 ，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析 的符号，进而可得
的符号，即可得 ，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ，不合题意；
若 ，当 时，可知 ，此时 ；
当 时，可知 ，此时 ；
可知若 ，符合题意；
若 ，当 时，可知 ，
此时 ，不合题意；
综上所述： ，即 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ；
解法二：由题意可知： 的定义域为 ，
令 解得 ；令 解得 ；
则当 时， ，故 ，所以 ；
时， ，故 ，所以 ；
故 ， 则 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求 、 的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
3．（2023·北京·高考真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把 代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数 ，所以 .
故答案为：1
4．（2023·全国·高考真题）（多选）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声
压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源 与声源的距离 声压级
燃油汽车 10
混合动力汽
10
车
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 ，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知： ，
对于选项A：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，故A正确；
对于选项B：可得 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 且 ，可得 ，
当且仅当 时，等号成立，故B错误；
对于选项C：因为 ，即 ，
可得 ，即 ，故C正确；
对于选项D：由选项A可知： ，
且 ，则 ，即 ，可得 ，且 ，所以 ，故D正确；
故选：ACD.
5．（2022·天津·高考真题）化简 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式
，
故选：B
6．（2022·浙江·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为 ， ，即 ，所以 ．
故选：C.
7．（2022·全国·高考真题）若 是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称
若奇函数的 有意义，则 且
且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，由 得， ，
，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数 为奇函数
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
8．（2021·天津·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由已知表示出 ，再由换底公式可求.
【详解】 ， ，.
故选：C.
9．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分
记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足 ．已知某
同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（ ）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
【答案】C
【分析】根据 关系，当 时，求出 ，再用指数表示 ，即可求解.
【详解】由 ，当 时， ，
则 .
故选：C.
10．（2020·全国·高考真题）已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则（ ）
5 8 13
A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得 、 、 ，利用作商法以及基本不等式可得出 、 的大小关系，由 ，
得 ，结合 可得出 ，由 ，得 ，结合 ，可得出 ，综合可得出 、
、 的大小关系.
【详解】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 .
综上所述， .
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
