第04讲对数与对数函数（含对数型糖水不等式的应用）（教师版）_2.2025数学总复习_2025年新高考资料_一轮复习_备战2025年高考数学一轮复习考点帮

第 04 讲 对数与对数函数 （含对数型糖水不等式的应用） （8 类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 判断指数函数的单调性 2024年新I卷，第6题,5分 判断对数函数的单调性 根据分段函数的单调性求参数 2024年新Ⅱ卷，第8题,5分 由对数函数的单调性解不等式 函数不等式恒成立问题 对数函数模型的应用 2023年新I卷，第10题,5分 对数的运算性质的应用 对数函数的单调性解不等式 2021年新Ⅱ卷，第7题,5分 比较对数式的大小 无 2020年新I卷，第12题,5分 对数的运算 随机变量分布列的性质 2020年新Ⅱ卷，第7题,5分 对数函数单调性 复合函数的单调性 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5- 6分 【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊 点 3.熟练掌握对数函数 且 与指数函数 且 的图象关 系 【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备 考复习知识讲解 1. 对数的运算 （1）对数的定义 ax  N(a 0且a 1) x a N a 如果 ，那么把 叫做以 为底， 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底 N 数， 叫做真数 （2）对数的分类 一般对数：底数为a，a0,且a1，记为 常用对数：底数为10，记为lgN ，即： 自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为lnN ，即： （3）对数的性质与运算法则 ①两个基本对数：① ，② ②对数恒等式：① ，② 。 ③换底公式： ； 推广1：对数的倒数式 推广2： 。 ④积的对数： ；⑤商的对数： ； ⑥幂的对数：❶ ，❷ ， ❸ ，❹ 2. 对数函数 （1）对数函数的定义及一般形式 形如： 的函数叫做对数函数 （2）对数函数的图象和性质 a 1 0a1 图 象 定义域： 值域： 性 当 时， 即过定点 质 0 x1 y(,0) x1 y(,0) 当 时， ； 当 时， ； x1 y(0,) 0 x1 y(0,) 当 时， 当 时， 在 上为增函数 （5）在 上为减函数 3. 对数型糖水不等式 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 考点一、 对数的运算 1．（2024·重庆·三模）已知 ，则 ．【答案】3 【分析】由指数式与对数式的互化关系求出 ，再利用对数运算性质计算即得. 【详解】由 ，得 ，所以 . 故答案为：3 2．（2024·青海·模拟预测）若 ， ，则 （ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【详解】由 ， 所以 故选：A 3．（2024·四川·模拟预测）若实数 ， ， 满足 且 ，则 （ ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】根据指对数的互化可得 ， ，代入 ，即可计算得到 的值. 【详解】因为 且 ，易知 且 ， 所以 ， ， 所以 ， ， 所以 ，则 . 故选：D． 1．（2024·河南郑州·三模）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 /0.5 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为 ，所以 ，可得 ， 即 ， 所以 ，即 ， 所以 . 故答案为： . 2．（2024·全国·高考真题）已知 且 ，则 ． 【答案】64 【分析】将 利用换底公式转化成 来表示即可求解. 【详解】由题 ，整理得 ， 或 ，又 ， 所以 ，故 故答案为：64. 3．（2024·辽宁丹东·一模）若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由 ， ， ，可得 ， 所以 ，则 . 故选：B. 考点二、 对数函数的定义域 1．（2024·河南·三模）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使函数有意义，即得关于 的不等式组，解之即得函数定义域.【详解】函数 有意义，等价于 ， 解得， ，故函数的定义域为 . 故选：A. 1．（2023·广东珠海·模拟预测）函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于0得到不等式，求出定义域. 【详解】令 ，解得 ， 故 的定义域为 . 故选：B 2．（2024·青海海南·二模）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数 ， ∴ ，解得 ． 故选：D． 考点三、 对数函数的图象与性质 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致图 象如图所示，则下列不等关系正确的是（ ）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c 【答案】A 【详解】 解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大 小不确定，故B，C错误．故选A. 2．（2024·广东深圳·二模）已知 ，且 ，则函数 的图象一定经过（ ） A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限 【答案】D 【分析】由函数 过 点，分类可解. 【详解】当 时， ， 则当 时，函数图象过二、三、四象限； 则当 时，函数图象过一、三、四象限； 所以函数 的图象一定经过三、四象限. 故选：D 3．（2024·陕西渭南·二模）已知直线 （ ， ）过函数 （ ，且 ）的定点T，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】先根据对数型函数的特点求得定点 坐标，代入直线方程得 ，运用常值代换法即可求 得结论. 【详解】令 时，可得 ， 可知函数 ，且 的图象恒过定点 ， 因为定点 在直线 上， 可得 ，且 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 1．（2024高三·全国·专题练习）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ ，y＝log （x＋ ）（a＞0，且 a a≠1）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】略 2．（2024·全国·模拟预测）若函数 ，且 的图象所过定点恰好在椭圆上，则 的最小值为 . 【答案】16 【分析】根据对数函数性质求出定点，根据定点在椭圆上，将定点代入椭圆方程，得到 与 的等量关系， 再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得，函数 ，且 的图象所过定点为 ， 则 ， 所以 ， 当且仅当 ， 即 时等号成立. 故答案为：16. 考点 四 、 对数函数的单调性 1．（辽宁·高考真题）函数 的单调减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果. 【详解】由题意， ，解得： 或 ， 即函数 的定义域为： ， 因为函数 由 与 复合而成， 外函数 显然单调递减， 要求 的单调减区间，只需 单调递增， 又 是开口向上，对称轴为 的二次函数， 所以 在 上单调递增，即函数 的单调减区间为 . 故选：B. 【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二 次不等式解法，属于基础题型. 2．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足 即可，从而可求出实 数 的取值范围. 【详解】令 ，则 ， 因为函数 在区间 上单调递减， 且 在定义域内递增， 所以 ，解得 ， 故选：B 3．（2024·全国·高考真题）已知函数 在R上单调递增，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为 在 上单调递增，且 时， 单调递增， 则需满足 ，解得 ， 即a的范围是 . 故选：B. 4．（2024·北京·高考真题）已知 ， 是函数 的图象上两个不同的点，则（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设 ，因为函数 是增函数，所以 ，即 ， 对于选项AB：可得 ，即 ， 根据函数 是增函数，所以 ，故B正确，A错误； 对于选项D：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故D错误； 对于选项C：例如 ，则 ， 可得 ，即 ，故C错误， 故选：B. 1．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）已知函数 在区间 上单调递减，则a的 取值范围为 ． 【答案】 【分析】将 可看作由 复合而成，根据复合函数的单调性，列出不 等式，即可求得答案. 【详解】设 ，则 可看作由 复合而成， 由于 在 上单调递增， 故要使得函数 在区间 上单调递减， 需满足 在区间 上恒成立，且 在区间 上单调递减， 故 ，解得 ， 故a的取值范围为 ，故答案为： 2．（2022高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，确定 由 复合而成，判断 这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案. 【详解】由题意知函数 ， 令 ，则 ， 则 即由 复合而成， 由于 在 上单调递减， 故要求函数 的单调递减区间， 即求 的单调递增区间， 而 的对称轴为 ， 则 的单调递增区间为 ， 则函数 的单调递减区间为 ， 故答案为： 3．（23-24高三上·甘肃白银·阶段练习）已知 是R上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据分段函数、一次函数与对数函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得 ，解得 .故答案为： . 考点 五 、 对数函数的值域与最值 1．（山东·高考真题）函数 的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质求得 ，再由对数函数的性质可得结果. 【详解】 ， ， ， ∴函数 的值域为 . 故选：A 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题. 2．（22-23高三上·河北·阶段练习）已知函数 的值域为 ，那么 的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数 是否为0进行分类讨论，即可求出 的取值 范围 【详解】解：由题意 在 中，值域为 当 时， ， ∴ 解得： 当 时， 则 解得 综上，故答案为： . 3．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）函数 的最大值为 . 【答案】 【分析】判断函数的单调性，根据函数单调性即可求得答案. 【详解】由题意，知 在 上单调递减， 在 上单调递减， 故 在 上单调递减， 则当 时该函数取到最大值 ， 故答案为： 1．（2024高三·全国·专题练习）函数 的值域为 ． 【答案】 【分析】 利用函数的单调性可求函数的值域. 【详解】函数 为增函数，故其值域为 . 故答案为： 2．（2023高一·全国·课后作业）函数 的值域是 ． 【答案】 【分析】利用换元法，令 ，则 ，然后先求出内层函数的值域，再求外层函数的值域 即可 【详解】令 ，则 ， 因为 ， 所以 的值域为 ， 因为 在 是减函数， 所以 ， 所以 的值域为 ，故答案为： 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，则函数 的值 域为 ． 【答案】 【分析】求出函数 的定义域，进而求出 的范围，利用换元法结合二次函数求函数的值域. 【详解】因为已知函数 的定义域为 且 ，定义域需满足 ， 可得 ， 令 ，则 ， 则 ， 又因为 的图象开口向上，对称轴为 ， 可知 在 内单调递增， 当 时， ；当 时， ； 可知函数 的值域为 . 故答案为： . 考点 六 、 对数函数中奇偶性的应用 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，然后由奇函数的性质得 可求出 . 【详解】由 ，得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为 为奇函数， 所以 ，解得 ， 故答案为：1 2．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）若函数 （m，n为常数）在上有最大值7，则函数 在 上（ ） A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值 【答案】A 【分析】先分析函数 的奇偶性，然后结合奇偶性和已知条件判断出 在 上的最小值，由此可知结果. 【详解】设 ， 因为 ，所以 恒成立，所以 的定义域为 且关于原点对称， 又 ， 所以 是奇函数， 因为 在 上有最大值 ，所以 在 上有最大值为 ， 所以 在 上有最小值 ，所以 在 上有最小值 ． 故选：A． 3．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数 ，若函数 的图象关于点 对称， 则 （ ） A．-3 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】方法一：由题意，推出 是奇函数，根据定义域的对称性依次求得 的值，即可求得 ；方法二：直接利用 ，将其化成 ，再由等式恒 成立得到 ，继而求得 . 【详解】方法一：依题意将函数 的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即 是奇函数， 因奇函数的定义域关于原点对称，而 时函数 无意义，故 时 也无意义， 即 ，解得此时 为奇函数，则 解得 故 . 故选：C． 方法二：依题意 恒成立，代入得 化简得， , 整理得： ， 即 (*)， 依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使 ，则得 ， 回代(*)可得， ，即 ，故 . 故选：C. 1．（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知函数 ， 的最大值 为 ，最小值为 ，则 . 【答案】 【分析】 构造 ，定义判断奇偶性，利用对称性有 ，即可求结果. 【详解】令 ，且 ， ， 所以 为奇函数，且在 上连续， 根据奇函数的对称性： 在 上的最大、最小值关于原点对称， 则 ，故 .故答案为： 2．（2024·宁夏银川·二模）若 是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到 ，即可求出 的值，求出函数的定义域，再 由奇函数的性质 ，求出 的值，即可得到结果. 【详解】因为 是奇函数， 定义域关于原点对称， 由 ,可得 ， 所以 且 ， 所以 ，解得 ， 所以函数的定义域为 ， 则 ，即 ，解得 ， 此时 ， 符合题意， 所以 . 故答案为： . 考点 七 、 对数函数值的大小比较（含构造函数比较大小） 1．（2024·天津·高考真题）若 ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为 在 上递增，且 ， 所以 ，所以 ，即 ， 因为 在 上递增，且 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 故选：B 2．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出 、 、 的大小关系. 【详解】因为 ，故 . 故答案为：C. 3．（2022·全国·高考真题）设 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小. 【详解】方法一：构造法 设 ，因为 ， 当 时， ，当 时 ， 所以函数 在 单调递减，在 上单调递增， 所以 ，所以 ，故 ，即 ， 所以 ，所以 ，故 ，所以 ， 故 ， 设 ，则 , 令 ， ， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增， 又 ，所以当 时， ， 所以当 时， ，函数 单调递增， 所以 ，即 ，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 4．（2021·全国·高考真题）设 ， ， ．则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系， 将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在 0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系. 【详解】[方法一]： ， 所以 ； 下面比较 与 的大小关系. 记 ，则 ， ，由于 所以当00时， ， 所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即 b