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专题22.40 二次函数（全章直通中考）（提升练）
【要点回顾】
【要点一】二次函数的解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
【要点二】二次函数的图象与性质
开
口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方 a
向
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
顶 2a 4a
点
与
4ac−b2
最 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
值 4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).
b b
− −
x<0(h或 2a )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
b b
性 − −
x<0(h或 2a )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
对 1.图象是轴对称图形；
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置当 时， ，对称轴为y轴；
当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【要点四】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础
上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方
法如下：
（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【要点五】二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【要点六】二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【要点七】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范
围内.（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.
（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
一、单选题
1．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点A，B，
C，点B在 轴上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线 与直线 交于 ，
两点，若 ，则直线 一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
3．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线 的部分图象如图所示，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B． C． D． （ 为实
数）
4．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系 中，抛物线 ，满足，已知点 ， ， 在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·四川南充·统考中考真题）若点 在抛物线 （ ）上，则下列各点在抛物线
上的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·山东·统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：
等都是三倍点”，在 的范围内，若二次函数 的图象上至少
存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 是实数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的最小值为 B．当 时，函数 的最小值为
C．当 时，函数 的最小值为 D．当 时，函数 的最小值为
8．（2023·湖南·统考中考真题）已知 ，若关于x的方程 的解为
．关于x的方程 的解为 ．则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川广安·统考中考真题）已知 ， ， 为常数，点 在第四象限，则关于x的一元
二次方程 的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判定10．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线 与抛物线 交于 、
两点，设 ， 则下列结论正确的个数为（ ）
① ，
② ，
③当线段 长取最小值时，则 的面积为
④若点 ，则
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线 经过 两点，
若 分别位于抛物线对称轴的两侧，且 ，则 的取值范围是 ．
12．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左
侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
13．（2023·江苏泰州·统考中考真题）二次函数 的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，
则n的值可以是 （填一个值即可）
14．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点 在二次函数 的图象上，且点 到 轴
的距离小于2，则 的取值范围是 ．
15．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数 ，当 时，函数值y的最小值
为1，则a的值为 ．16．（2022·福建·统考中考真题）已知抛物线 与x轴交于A，B两点，抛物线
与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为 ．
17．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点 和点 的坐标分别为
和 ，抛物线 与线段 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
18．（2022·湖南湘西·统考中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函
数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直
线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
三、解答题
19．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数 图象经过点 和
．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
（2）当 时，请根据图象直接写出x的取值范围．20．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数 ，（ ， 是实数）．已知函数值
和自变量 的部分对应取值如下表所示：
… 0 1 2 3 …
… 1 1 …
（1）若 ，求二次函数的表达式；
（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求 的取值范围．
21．（2023·浙江·统考中考真题）已知点 和 在二次函数 是常数，
的图像上．
（1）当 时，求 和 的值；
（2）若二次函数的图像经过点 且点A不在坐标轴上，当 时，求 的取值范围；（3）求证： ．
22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点 ， ，矩形 的边 在线
段 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 ，当 时， ．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当t为何值时，矩形 的周长有最大值？最大值是多少？
（3）保持 时的矩形 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点
G，H，且直线 平分矩形 的面积时，求抛物线平移的距离．
23．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请
解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其
运动路线为抛物线 的一部分．
（1）写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求符合条
件的n的整数值．
24．（2023·四川南充·统考中考真题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销
x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且 ，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日
共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y
元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为 元， 元，请分别写出 ， 与x的函数关系式，并
写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润 （售价 成本） 产
销数量 专利费】
参考答案1．B
【分析】连接 ，交y轴于点D，根据正方形的性质可知 ，然后可得点
，进而代入求解即可．
解：连接 ，交y轴于点D，如图所示：
当 时，则 ，即 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴点 ，
∴ ，
解得： ，
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正
方形的性质是解题的关键．
2．D
【分析】根据已知条件可得出 ，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．
解： 抛物线 与直线 交于 ， 两点，
，
．
，
∵ ，．
当 ， 时，直线 经过第一、三、四象限，
当 ， 时，直线 经过第一、二、四象限，
综上所述， 一定经过一、四象限．
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．
3．C
【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线 可得 ， ，由此
即可判断A；根据对称性可得当 时， ，当 时， ，由此即可判断B、C；根据抛物线开
口向上，对称轴为直线 ，可得抛物线的最小值为 ，由此即可判断D．
解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，故B中结论错误，不符合题意；
∵当 时， ，抛物线对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故C中结论正确，符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 ，且抛物线开口向上，
∴抛物线的最小值为 ，
∴ ，
∴ ，故D中结论错误，不符合题意；故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数
的相关知识是解题的关键．
4．C
【分析】利用解不等式组可得 且 ，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的
增减性判断即可解题．
解：解不等式组可得: ，且
所以对称轴 的取值范围在 ，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是 ，其次是 ，最远的是 ，
即根据增减性可得 ，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关
键．
5．D
【分析】观察抛物线 和抛物线 可以发现，它们通过平移得到，故点 通过相
同的平移落在抛物线 上，从而得到结论．
解：∵抛物线 是抛物线 （ ）向左平移1个单位长度得到
∴抛物线 上点 向左平移1个单位长度后，会在抛物线 上
∴点 在抛物线 上
故选：D
【点拨】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．
6．D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为 ，根据二次函数 的图象上至少存在一
个“三倍点”转化为 和 至少有一个交点，求 ，再根据 和 时两个函数值大小即可求出．
解：由题意可得：三倍点所在的直线为 ，
在 的范围内，二次函数 的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在 的范围内， 和 至少有一个交点，
令 ，整理得： ，
则 ，解得 ，
，
∴ ，
∴ 或
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，
综上，c的取值范围是 ，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．
7．A
【分析】令 ，则 ，解得： ， ，从而求得抛物线对称轴为直
线 ，再分别求出当 或 时函数y的最小值即可求解．
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴抛物线对称轴为直线
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ．
故A正确，B错误；
当 时， 抛物线对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∵
∴当 ， 时，y有最小值，最小值为 ，
故C、D错误，
故选：A．
【点拨】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关
键．
8．B
【分析】把 看做是直线 与抛物线 交点的横坐标，把 看做是直线 与
抛物线 交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
解：如图所示，设直线 与抛物线 交于A、B两点，直线 与抛物线
交于C、D两点，
∵ ，关于x的方程 的解为 ，关于x的方程 的
解为 ，
∴ 分别是A、B、C、D的横坐标，
∴ ，
故选B．【点拨】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物
线交点的横坐标是解题的关键．
9．B
【分析】根据点 在第四象限，得出 ，进而根据一元二次方程根的判别式 ，
即可求解．
解： 点 在第四象限，
，
，
方程 的判别式 ，
方程 有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点拨】本题考查了第四象限点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，得出 是解题
的关键．
10．C
【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．
解：直线 与抛物线 交于 、 两点，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ 正确；∵ ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ；
∴ 正确；
∵ ，
当 时，即 轴时， 有最小值，
∴ ，
∴ ；
∴ 正确；
当点 时，假设 ，则：
是直角三角形，
取 的中点为点 ，连接 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴点 ，
∴点 ，
∵点 ，
∴ ，
∴ 时， ，
即 与 不一定垂直；∴ 错误；
∴正确的为： ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，
两点间的距离公式．
11．
【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线 ，开口向上，根据已知条件得出点 在对称轴的右
侧，且 ，进而得出不等式，解不等式即可求解．
解：∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
∵ 分别位于抛物线对称轴的两侧，
假设点 在对称轴的右侧，则 ，解得 ，
∴
∴ 点在 点的右侧，与假设矛盾，则点 在对称轴的右侧，
∴
解得：
又∵ ，
∴
∴解得：
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12． （答案不唯一）
【分析】根据二次函数 的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确
定 ，对称轴 ， ，从而确定答案．
解：∵二次函数 的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即 ，
∵二次函数 的顶点在y轴正半轴上，
∴ ，即 ， ，
∴二次函数的解析式可以是 （答案不唯一）
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解
题的关键．
13． （答案不唯一）
【分析】根据根与系数的关系即可求解．
解：设二次函数 的图象与 轴交点的横坐标为 、 ，
即二元一次方程 的根为 、 ，
由根与系数的关系得： ， ，
一次函数 的图象与 轴有一个交点在 轴右侧，
， 为异号，，
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查抛物线与 轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．
14．
【分析】先判断 ，再根据二次函数的性质可得： ，再利用二次
函数的性质求解n的范围即可．
解： 点 到 轴的距离小于2，
，
点 在二次函数 的图象上，
，
当 时， 有最小值为1．
当 时， ，
的取值范围为 .
故答案为：
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
15． /
【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增
大而减小，然后分两种情况讨论：若 ；若 ，即可求解．
解： ，
∴当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小，
若 ，当 时，y随x的增大而减小，
此时当 时，函数值y最小，最小值为 ，不合题意，
若 ，当 时，函数值y最小，最小值为1，
∴ ，
解得： 或 （舍去）；综上所述，a的值为 ．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
16．8
【分析】先求出抛物线 与x轴的交点，抛物线 与x轴的交点，然后根据
，得出 ，列出关于n的方程，解方程即可。
解： 把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
把y=0代入 得： ，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
令 ，则 ，
解得： ， ，
当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 不符合题意舍去；当 时， ，解得： ，
∵ ，
∴ 符合题意；
综上分析可知，n的值为8．
【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出 ，列出关于n的
方程是解题的关键．
17． 或
【分析】根据抛物线求出对称轴 ， 轴的交点坐标为 ，顶点坐标为 ，直线CD的表达
式 ，分两种情况讨论：当 时，当 时，利用抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开
口越小，即可求解．
解：抛物线的对称轴为： ，当 时， ，故抛物线与 轴的交点坐标为 ，顶点
坐标为 ，直线CD的表达式 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 （舍去），
当 ，抛物线 与线段 只有一个公共点时，
即顶点在直线CD上，则 ，解得 ，
当 时，且抛物线过点 时，
，解得 ，
当抛物线过点 时，
解得，m=-1
由抛物线的性质可知，当 越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段 只有一个公共点，，
综上所述， 的取值范围为 或 ，
故答案为 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类
讨论思想解决问题是解题的关键．
18．
【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式
为 ，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与
新图象有4个交点时，b的取值范围．
解：如图所示：
当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1，x＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），
1 2
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为 ，
即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），
当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；
当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程 ，即
有相等的实数解，即
解得 ，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为 ＜b＜﹣1，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴
的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．
19．（1） ，顶点坐标为 ；（2）
【分析】（1）把 和 代入 ，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化
为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把 代入函数解析式求解 的值，再利用函数图象可得 时 的取值范围．
（1）解：∵二次函数 图象经过点 和 ．
∴ ，解得： ，
∴抛物线为 ，
∴顶点坐标为： ；
（2）当 时， ，
∴
解得： ， ，如图，当 时，
∴ ．
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解
不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
20．（1） ；（2）当 时，则 时， 随 的增大而减小；当 时，则 时，
随 的增大而减小；（3）
【分析】（1）用待定系数法求解即可．
（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 ；再根据抛物线的增减性求解即可．
（3）先把 代入 ，得 ，从而得 ，再求出 ，
， ，从而得 ，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得 ，求
解即可．
（1）解：把 ， 代入 ，得
，解得： ，
∴ ．
（2）解：∵ ， 在 图象上，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 时，则 时， 随 的增大而减小，
当 时，则 时， 随 的增大而减小．
（3）解：把 代入 ，得
，
∴∴
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
把 代入 得， ，
∴ ，
∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
∴ ，解得： ．
【点拨】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定
系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．
21．（1） ；（2） ；（3）见分析
【分析】（1）由 可得图像过点 和 ，然后代入解析式解方程组即可解答；
（2）先确定函数图像的对称轴为直线 ，则抛物线过点 ，即 ，然后再结合
即可解答；
（3）根据图像的对称性得 ，即 ，顶点坐标为 ；将点 和
分别代入表达式并进行运算可得 ；则 ，进而得
到 ，然后化简变形即可证明结论．
（1）解：当 时，图像过点 和 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ．
（2）解：∵函数图像过点 和 ，
∴函数图像的对称轴为直线 ．
∵图像过点 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∵ ，
∴ ．
（3）解：∵图像过点 和 ，
∴根据图像的对称性得 ．
∴ ，顶点坐标为 ．
将点 和 分别代人表达式可得
① ②得 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，
掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
22．（1） ；（2）当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ；（3）4
【分析】（1）设抛物线的函数表达式为 ，求出点C的坐标，将点C的坐标代入
即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得 ，则 ，再得出 ，根据矩形的周长公
式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；
（3）连接A ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ，根据矩形的性质和平移的性
质推出四边形 是平行四边形，则 ， ．求出 时，点A的坐标为 ，则
，即可得出结论．
（1）解：设抛物线的函数表达式为 ．
∵当 时， ，
∴点C的坐标为 ．
将点C坐标代入表达式，得 ，
解得 ．
∴抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：由抛物线的对称性得： ，
∴ ．
当 时， ．
∴矩形 的周长为
．
∵ ，
∴当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为 ．（3）解：连接 ， 相交于点P，连接 ，取 的中点Q，连接 ．
∵直线 平分矩形 的面积，
∴直线 过点P．．
由平移的性质可知，四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵四边形 是矩形，
∴P是 的中点．
∴ ．
当 时，点A的坐标为 ，
∴ ．
∴抛物线平移的距离是4．
【点拨】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，平移的性质，
解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤，二次函数图象上点的坐标特征，矩形
的性质，以及平移的性质．
23．（1） 的最高点坐标为 ， ， ；（2）符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的
值；令 ，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为 ，求得n的取值范围，即可求解．
（1）解：∵抛物线 ，∴ 的最高点坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ；
（2）解：∵到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为 ，
当经过 时， ，
解得 ；
当经过 时， ，
解得 ；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征
是解题的关键．
24．（1） ， ；（2）
元；
（3）当 时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当 时，该工厂应该选
择产销任一产品都能获得最大日利润；当 时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润，
理由见分析
【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可；
（3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润即可得到答案．（1）解：由题意得， ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 随x增大而增大，
∴当 时， 最大，最大为 元；
，
∵ ，
∴当 时， 随x增大而增大，
∴当 时， 最大，最大为 元；
（3）解：当 ，即 时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；
当 ，即 时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；
当 ，即 时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润；
综上所述，当 时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当 时，该工厂应
该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当 时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利
润．
【点拨】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
