文档内容
2021-2022学年江西省吉安市八校联盟八年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（共6小题，共18分）
1．（3分）下列实数﹣ ， ，|﹣3|， ， ， ，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）
中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．（3分）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负
数没有立方根；④ 的平方根是±8．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（3分）本期，我们学习了用赵爽弦图证明勾股定理．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取
点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的
面积之差为（ ）
A．3 B．2 C． D．不确定
5．（3分）已知一次函数y ＝ax+b和y ＝bx+a（a≠b），函数y 和y 的图象可能是（ ）
1 2 1 2
第1页（共26页）A． B．
C． D．
6．（3分）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段
后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘
公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间（t 分钟）的关系
图．则下列说法中错误的是（ ）
A．小明吃早餐用时5分钟
B．小华到学校的平均速度是240米/分
C．小华到学校的时间是7：55
D．小明跑步的平均速度是100米/分
二、填空题（共6小题，共18分）
7．（3分）计算： 的结果为 ．
8．（3分）已知直线AB∥x轴，A点的坐标为（2，1），并且线段AB＝2，则点B的坐标为
．
第2页（共26页）9．（3分）如果a，b是2021的两个平方根，那么a+b﹣2ab＝ ．
10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝ °（点A、B、C、D、E是
网格线交点）．
11．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意
思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推
开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则
AB的长是 寸．
12．（3分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ ．根据这个规则，
则方程2*x＝12的解为 ．
三.解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1） ；
（2） ．
14．（6分）已知1+2a有一平方根是﹣3，2a﹣b﹣5的立方根是﹣2，求a+b的平方根．
15．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按
要求完成下列各题：
（1）作线段AD，使其长度为 ；
第3页（共26页）（2）通过计算说明△ABC是直角三角形．
16．（6分）已知y﹣2与3x﹣5成正比例，且当x＝3时，y＝﹣6．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若点（﹣1，y ）与（2，y ）在该函数图象上，比较y 与y 的大小关系．
1 2 1 2
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC
于点D、E．求AE的长．
四.解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，求：
1 1 1
（1）△A B C 三个顶点的坐标；
1 1 1
（2）△A B C 的面积．
1 1 1
（3）在x轴上画出点P，PC+PB值最小（不写作法，保留作图痕迹）．
第4页（共26页）19．（8分）如图，已知圆柱底面的直径BC＝8，圆柱的高AB＝10，在圆柱的侧面上，过点A，C
嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．
（2）求该长度最短的金属丝的长．
20．（8分）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月
用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按
0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．
（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数解析式；
（2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？
五．解答题（共2小题。每小题9分共：18分）
21．（9分）如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标．
22．（9分）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数
第5页（共26页）的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若x+y ＝0，其中x，y为有理数，
是无理数，则x＝0，y＝0．
证：∵x+y ＝0，x为有理数，
∴y 是有理数；
∵y为有理数， 是无理数，
∴y＝0，
∴x+0 ＝0，
∴x＝0．
（1）若x+ y＝ （1﹣ ），其中x，y为有理数，则x＝ ，y＝ ．
（2）已知 的整数部为a，小数部分为b，x，y为有理数，a、b、x、y满足17y+
，求x，y的值．
五.解答题（共1小题，共12分）
23．（12分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），
点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+ ＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位
长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，
∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为 t个单位长度的情况．若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6页（共26页）2021-2022学年江西省吉安市八校联盟八年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，共18分）
1．（3分）下列实数﹣ ， ，|﹣3|， ， ， ，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）
中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： 是分数，属于有理数；
|﹣3|＝3， ＝2， ＝﹣2，是整数，属于有理数；
0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）是循环小数，属于有理数；
故在实数﹣ ， ，|﹣3|， ， ， ，0.4040404…（每相邻两个4之间一个0）中，无
理数有﹣ ， ，共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．b2＝（a+c）（a﹣c）
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A和选项B；根据三角形内角和定理求出最
大的内角，即可判断选项C和选项D．
【解答】解：A．∵a：b：c＝5：12：13，
第7页（共26页）∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵b2＝（a+c）（a﹣c），
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°
∴最大角∠C＝ ×180°＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和
三角形内角和定理是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两边a、b的平方和等于
第三边x的平方，那么这个三角形是直角三角形，②三角形内角和等于180°．
3．（3分）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数都是带根号的数；③负
数没有立方根；④ 的平方根是±8．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】直接利用实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义分别分析
得出答案．
【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，符合题意；
②无理数是无限不循环小数，原说法不合题意；
③负数也有立方根，原说法不合题意；
④ ＝8的平方根是±2 ，原说法不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数与数轴的关系以及无理数的定义、立方根、平方根的定义，正
确掌握相关定义是解题关键．
4．（3分）本期，我们学习了用赵爽弦图证明勾股定理．在如图所示的赵爽弦图中，在DH上取
第8页（共26页）点M使得DM＝GH，连接AM、CM．若正方形EFGH的面积为6，则△ADM与△CDM的
面积之差为（ ）
A．3 B．2 C． D．不确定
【分析】由赵爽弦图可知，正方形EFGH的边长为 ，即AH﹣AE＝ ，AE＝CG，可得
AH﹣CG＝ ，再表示出S△ADM ﹣S△CDM ，代入计算即可．
【解答】解：由赵爽弦图可知：
正方形EFGH的边长为 ，AH＝DG＝CF＝BE，AE＝DH＝CG＝BF，
∵DM＝GH，
∴EH＝AH﹣AE＝AH﹣CG＝ ，
∴S△ADM ﹣S△CDM
＝ DM•AH﹣ DM•CG
＝ DM•（AH﹣CG）
＝ × ×
＝3，
故选：A．
【点评】本题考查了赵爽弦图的应用，三角形的面积，熟练掌握赵爽弦图中包含的等量关
系是解题的关键．
5．（3分）已知一次函数y ＝ax+b和y ＝bx+a（a≠b），函数y 和y 的图象可能是（ ）
1 2 1 2
第9页（共26页）A． B．
C． D．
【分析】根据直线判断出a、b的符号，然后根据a、b的符号判断出直线经过的象限即可，
做出判断．
【解答】解：A、由图可知：直线y ＝ax+b，a＞0，b＞0．
1
∴直线y ＝bx+a经过一、二、三象限，故A正确；
2
B、由图可知：直线y ＝ax+b，a＜0，b＞0．
1
∴直线y ＝bx+a经过一、四、三象限，故B错误；
2
C、由图可知：直线y ＝ax+b，a＜0，b＞0．
1
∴直线y ＝bx+a经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；
2
第10页（共26页）D、由图可知：直线y ＝ax+b，a＜0，b＜0，
1
∴直线y ＝bx+a经过二、三、四象限，故D错误．
2
故选：A．
【点评】本题主要考查的是一次函数的图象和性质，掌握一次函数的图象和性质是解题的
关键．
6．（3分）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段
后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘
公交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间（t 分钟）的关系
图．则下列说法中错误的是（ ）
A．小明吃早餐用时5分钟
B．小华到学校的平均速度是240米/分
C．小华到学校的时间是7：55
D．小明跑步的平均速度是100米/分
【分析】根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得．
【解答】解：A．由图象可知，小明吃早餐用时13﹣8＝5（分钟），此选项不合题意；
B．小华到学校的平均速度是1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项不合题意；
C．小华到学校的时间是7：53，此选项符合题意；
D．小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项不合题意；
故选：C．
第11页（共26页）【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关
键．
二、填空题（共6小题，共18分）
7．（3分）计算： 的结果为 1 ．
【分析】先把除法变成乘法，再根据乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3× × ，
＝ ，
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了对二次根式的乘除法则的应用，主要考查学生运用法则进行计算的能
力．
8．（3分）已知直线AB∥x轴，A点的坐标为（2，1），并且线段AB＝2，则点B的坐标为 （ 4 ，
1 ）或（ 0 ， 1 ） ．
【分析】AB∥x轴，说明A，B的纵坐标相等为1，再根据两点之间的距离公式求解即可．
【解答】解：∵AB∥x轴，点A坐标为（2，1），
∴A，B的纵坐标相等为1，
设点B的横坐标为x，则有AB＝|x﹣2|＝2，
解得：x＝4或0，
∴点B的坐标为（4，1）或（0，1）．
故答案为：（4，1）或（0，1）．
【点评】本题主要考查了平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等．注意所求的点的位置
有两种情况，不要漏解．
9．（3分）如果a，b是2021的两个平方根，那么a+b﹣2ab＝ 404 2 ．
【分析】利用平方根的意义得出a+b和ab的值，再利用整体代入的方法代入计算即可．
【解答】解：∵a，b是2021的两个平方根，
∴a2＝b2＝2021．
∴a+b＝0，ab＝﹣a2＝﹣2021．
∴a+b﹣2ab
＝0﹣2×（﹣2021）
第12页（共26页）＝4042．
故答案为：4042．
【点评】本题主要考查了实数的运算，平方根的意义，利用平方根的的意义得出a+b和ab
的值，再利用整体代入的方法代入计算是解题的关键．
10．（3分）如图所示的网格是正方形网格，则∠ACB﹣∠DCE＝ 4 5 °（点A、B、C、D、E是
网格线交点）．
【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CGA＝90°，从而知△CGA是等
腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠ACB﹣∠DCE＝∠CAG，即可得
解．
【解答】解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，
∴AG2+CG2＝AC2，
∴∠CGA＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠CAG＝45°，
∵AF∥BC，
∴∠CAF＝∠BCA，
在△AFG和△CDE中，
，
∴△AFG≌△CDE（SAS），
∴∠FAG＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠FAG＝∠CAG＝45°．
故答案为：45．
第13页（共26页）【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的全等的性质，等腰直角三角形
的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．（3分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意
思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推
开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则
AB的长是 10 1 寸．
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
【解答】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝ CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101．
第14页（共26页）【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
12．（3分）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝ ．根据这个规则，
则方程2*x＝12的解为 x ＝﹣ 或 x ＝ ．
【分析】分x≤2和x＞2列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的x的值即可得．
【解答】解：①若x≤2，则x2＝12，
解得x＝﹣ 或x＝ （舍去）；
②若x＞2，则x2+2＝12，
解得x＝ 或x＝﹣ （舍去）；
综上，x＝﹣ 或x＝ ．
故答案为：x＝﹣ 或x＝ ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
题的关键．
三.解答题（共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）计算：
（1） ；
（2） ．
【分析】（1）原式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可
得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2 +1﹣ ﹣3
＝2﹣2 +1﹣3 ﹣3
＝﹣5 ；
（2）原式＝2 ﹣（2 ﹣1）+8+1
第15页（共26页）＝2 ﹣2 +1+8+1
＝10．
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则及
二次根式性质是解本题的关键．
14．（6分）已知1+2a有一平方根是﹣3，2a﹣b﹣5的立方根是﹣2，求a+b的平方根．
【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再求出a+b的值，
然后根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵1+2a有一平方根是﹣3，2﹣ab﹣5的立方根是﹣2，
∴ ，
解得 ，
∴a+b＝15，
∴a+b的平方根为± ，
故答案为：± ．
【点评】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
15．（6分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按
要求完成下列各题：
（1）作线段AD，使其长度为 ；
（2）通过计算说明△ABC是直角三角形．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以画出一个符合要求的线段AD，注意线段AD
不唯一，只要使其长度是 即可；
（2）根据题意和图形，可以分别计算出AB2、AC2、BC2，然后看AB2+AC2和BC2是否相等即
可．
【解答】解：（1）如右图所示（点D的位置不唯一）；
（2）∵AB2＝12+22＝1+4＝5，AC2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝32+42＝9+16＝25，
第16页（共26页）∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理的逆定理的内容，
如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三
角形．
16．（6分）已知y﹣2与3x﹣5成正比例，且当x＝3时，y＝﹣6．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若点（﹣1，y ）与（2，y ）在该函数图象上，比较y 与y 的大小关系．
1 2 1 2
【分析】（1）根据y﹣2与3x﹣5成正比例关系设出函数的解析式，再把当x＝3时，y＝﹣6
代入函数解析式即可求出k的值，进而求出y与x之间的函数解析式．
（2）根据（1）中一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）依题意得：设y﹣2＝k（3x﹣5）．
将x＝3时，y＝﹣6代入：得﹣6﹣2＝k（3×3﹣5）．
解得k＝﹣2．
所以，y＝﹣6x+12．
（2）由（1）知，一次函数解析式为y＝﹣6x+12．
因为﹣6＜0，
所以y随x的增大而减小，
因为﹣1＜2，
所以y ＞y ．
1 2
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、函数值．利用待定系数法求一次函
数的解析式，通常先设出一次函数的关系式y＝kx+b（k≠0），将已知两点的坐标代入求出
k、b的值，再根据一次函数的性质求解．
17．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC
第17页（共26页）于点D、E．求AE的长．
【分析】由勾股定理先求出BC＝6，连接BE，根据中垂线的性质设AE＝BE＝x，知CE＝8
﹣x，在Rt△BCE中由BC2+CE2＝BE2列出关于x的方程，解之可得答案．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝ ＝ ＝6，
连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2，
∴62+（8﹣x）2＝x2，
解得x＝ ，
∴AE＝ ．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理及线段中垂线的性质．
四.解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，求：
1 1 1
（1）△A B C 三个顶点的坐标；
1 1 1
第18页（共26页）（2）△A B C 的面积．
1 1 1
（3）在x轴上画出点P，PC+PB值最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】（1）写出点A、B、C关于y轴对称的对应点A 、B 、C 的坐标，然后描点即可；
1 1 1
（2）根据网格即可求出△A B C 的面积；
1 1 1
（3）作B点关于x轴的对应点B'，连接B'C交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断此
时PB+PC最小．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）△A B C 的面积＝ ；
1 1 1
（3）如图所示，点P即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一
些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得
到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
第19页（共26页）19．（8分）如图，已知圆柱底面的直径BC＝8，圆柱的高AB＝10，在圆柱的侧面上，过点A，C
嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是 A ．
（2）求该长度最短的金属丝的长．
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在
求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，AC展开应该是两线段，且有公共点C．
故选：A；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．
∵圆柱底面的直径BC＝8，圆柱的高AB＝10，
∴该长度最短的金属丝的长为2AC＝2 ＝4 ．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的
长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为
平面”，用勾股定理解决．
20．（8分）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月
用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按
0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．
（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数解析式；
（2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？
第20页（共26页）【分析】（1）0≤x≤200时，电费y就是0.55乘以相应度数；
x＞200时，电费y＝0.55×200+超过200的度数×0.7；
（2）把117代入x＞200得到的函数求解即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y与x的函数解析式是y＝0.55x；
当x＞200时，y与x的函数解析式是
y＝0.55×200+0.7（x﹣200），
即y＝0.7x﹣30；
（2）因为小明家5月份的电费超过110元，
所以把y＝117代入y＝0.7x﹣30中，得x＝210．
答：小明家5月份用电210度．
【点评】考查一次函数的应用；得到超过200度的电费的计算方式是解决本题的易错点．
五．解答题（共2小题。每小题9分共：18分）
21．（9分）如图，直线y＝2x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BP与x轴相交于P，△ABP的面积是 ，求点P的坐标．
【分析】（1）把x＝0，y＝0分别代入函数解析式，即可求得相应的y、x的值，则易得点OA、
OB的值，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）由B、A的坐标易求：OB＝3，OA＝ ．然后由三角形面积公式得到S△ABP ＝ AP•OB＝
，则AP＝3，由此可以求得m的值，从而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）由x＝0得：y＝3，即：B（0，3）．
由y＝0得：2x+3＝0，解得：x＝﹣ ，即：A（﹣ ，0），
第21页（共26页）∴OA＝ ，OB＝3，
∴△AOB的面积： ×3× ＝ ；
（2）由B（0，3）、A（﹣ ，0）得：OB＝3，OA＝ ，
∵S△ABP ＝ AP•OB＝ ，
∴ AP＝ ，
解得：AP＝3．
∴P点坐标为（1.5，0）或（﹣4.5，0）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常
数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直
线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
22．（9分）根据所学知识，我们通过证明可以得到一个定理：一个非零有理数与一个无理数
的积仍为一个无理数，根据这个定理得到一个结论：若x+y ＝0，其中x，y为有理数，
是无理数，则x＝0，y＝0．
证：∵x+y ＝0，x为有理数，
∴y 是有理数；
∵y为有理数， 是无理数，
∴y＝0，
∴x+0 ＝0，
∴x＝0．
（1）若x+ y＝ （1﹣ ），其中x，y为有理数，则x＝ ﹣ 2 ，y＝ 1 ．
（2）已知 的整数部为a，小数部分为b，x，y为有理数，a、b、x、y满足17y+
，求x，y的值．
【分析】（1）将已知式子化成x+y ＝0，其中x，y为有理数， 是无理数，即可确定x
和y的值；
（2）先根据无理数的估算，确定a和b的值，再将已知等式化简，根据阅读材料中的知识得
方程组，解出即可．
第22页（共26页）【解答】解（1）∵x+ y＝ （1﹣ ），其中x，y为有理数，
∴x+ y＝﹣2+ ，
∴x＝﹣2，y＝1，
故答案为：﹣2，1；
（2）∵4＜ ＜5， 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝4，b＝ ﹣4，
∵17y+ y+ （y﹣2 x）＝2a +b ，
∴17y﹣34x+2 y＝17+4 ，
∵x，y为有理数，12
∴ ，
解得： ，
∴x的值为 ，y的值为2．
【点评】本题考查了实数的运算，读懂阅读材料的内容，把给出的形式化成例题的形式是
解题的关键．
五.解答题（共1小题，共12分）
23．（12分）如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），
点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+ ＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位
长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，
∠AOP之间满足的数量关系；
（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为 t个单位长度的情况．若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第23页（共26页）【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；
（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB 上且
AP＝3，写出P的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；
（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即
可．
【解答】解：（1）∵|a﹣3|+ ＝0且|a﹣3|≥0， ≥0，
∴|a﹣3|＝0， ＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；
（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，
∵AO＝3，
∴点P运动3秒时，点P在线段AB 上，且AP＝3，
∴点P的坐标是（3，3）；
如图，作PE∥AO．
∵CB∥AO，PE∥AO，
∴CB∥PE，
∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，
∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；
（3）存在．
∵t≠0，
∴点P可能运动到AB或BC或OC上．
①当点P运动到AB上时，2t≤7，
第24页（共26页）∵0＜t≤ ，PA＝2t﹣OA＝2t﹣3，
∴2t﹣3＝ t，解得：t＝2，
∴PA＝2×2﹣3＝1，
∴点P的坐标为（3，1）；
②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即 ≤t≤5，
∵点P到x轴的距离为4，
∴ t＝4，解得t＝8，
∵ ≤t≤5，
∴此种情况不符合题意；
③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，
∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，
∴14﹣2t＝ t，解得：t＝ ，
∴PO＝﹣2× +14＝ ，
∴点P的坐标为（0， ）．
综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为 t个单位长度的情况，点P的坐标
为（3，1）或（0， ）．
【点评】本题是平面直角坐标系中的动点问题，主要考查了绝对值和二次根式的非负性、
平行线的性质、动点路程问题，解决此题的关键是作PE∥AO以及分类讨论点P可能运动
第25页（共26页）到AB或BC或OC上．
第26页（共26页）
