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2021-2022学年江西省吉安市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）在7个实数﹣ ， ，0， ，﹣ ， ，1.101001000100001中，无理数的个数是
π
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． ，2， B．2，3，4 C．1， ， D． ， ，
4．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为
（ ）
A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，则 的值为
（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
6．（3分）对于函数y＝﹣2x+2，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，0）
B．它的图象经过第二、三、四象限
C．y的值随x值的增大而增大
D．当x＞1时，y＜0
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分） 的平方根是 ．
8．（3分）点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），则ba＝ ．
9．（3分）若实数x，y满足（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，则xy的立方根为 ．
10．（3分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝ ．
11．（3分）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短
第1页（共22页）路程是 ．
12．（3分）Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为边，在△ABC的外部作等腰直角
△ACD，则线段BD的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算： ﹣|﹣ |+（﹣2 ）2﹣（ ﹣3.14）0×（ ）﹣2；
π
（2）解方程：﹣8（x+1）3＝27．
14．（6分）已知x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根．
15．（6分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣ + ﹣
．
16．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以
格点为顶点别按下列要求画出图形．
（1）在图①中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5， ，2 ．
（2）在图②中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10．
17．（6分）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），
DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB
第2页（共22页）上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E
到A站的距离．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝1时，求x的值．
19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，4）、B（﹣2，2）、C（﹣4，1）．
（1）若△A B C 与△ABC关于y轴成轴对称，请在答题卷上作出△A B C ，并写出
1 1 1 1 1 1
△A B C 的三个顶点坐标；
1 1 1
（2）求△A B C 的面积；
1 1 1
（3）若点P为y轴上一点，要使CP+BP的值最小，请在答题卷上作出点P的位置．（保留
作图痕迹）
20．（8分）阅读材料：像（ +2）（ ﹣2）＝1， × ＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的
代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运
算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
第3页（共22页）例如： ＝ ＝ ； ＝ ＝3+2 ．
解答下列问题：
（1） 的有理化因式是 ， +2的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ＝ ．
， ， …
（3）利用上面的方法，请化简： …+ ．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，P为等边△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，PA＝6，PB＝8，PC＝10，以
PA为边作等边△APD，连接BD．
（1）求证：BD＝PC．
（2）求∠APB的度数．
22．（9分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．
已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式 的最小值．
六.（本大题1小题，共12分)
23．（12分）如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．
第4页（共22页）（1）求k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写
出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出
满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第5页（共22页）2021-2022学年江西省吉安市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本小题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确答案）
1．（3分）在7个实数﹣ ， ，0， ，﹣ ， ，1.101001000100001中，无理数的个数是
π
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，
有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是
无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解： 是分数，属于有理数；
0， ， ，是整数，属于有理数；
1.101001000100001是有限小数，属于有理数；
无理数有 ，﹣ ，共2个．
故选：B． π
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等；开方
开不尽得到的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． π π
2．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A、是三次根式，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、原式＝2 ，故此选项不符合题意；
D、原式＝ ，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式．本题考查了最简二次根式，解题的关键是掌握最简二
次根式的概念．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；
第6页（共22页）（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
3．（3分）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A． ，2， B．2，3，4 C．1， ， D． ， ，
【分析】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是．
【解答】解：A、22+（ ）2≠（ ）2，故不是直角三角形，不合题意；
B、12+32≠42，故不是直角三角形，不合题意；
C、12+（ ）2＝（ ）2，故是直角三角形，符合题意；
D、∵（ ）2+（ ）2≠（ ）2，故不是直角三角形，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
4．（3分）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为
（ ）
A．y＝﹣2x﹣5 B．y＝﹣2x﹣3 C．y＝﹣2x+1 D．y＝﹣2x+3
【分析】根据函数图象向上平移加，向下平移减，可得答案．
【解答】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，图象平移的规律是：上加下减，左加右减．
5．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，则 的值为
（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】点A（2，m）和点B（n，3）关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标相反．
【解答】解：∵A、B两点关于x轴对称，
∴n＝2，m＝﹣3．
∴ ＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查两点关于x轴对称，二次根式的化简，掌握关于x轴对称点的横纵坐
标的关系，求出m、n的值是解题的关键．
第7页（共22页）6．（3分）对于函数y＝﹣2x+2，下列结论正确的是（ ）
A．它的图象必经过点（﹣1，0）
B．它的图象经过第二、三、四象限
C．y的值随x值的增大而增大
D．当x＞1时，y＜0
【分析】代入x＝﹣1求出y值，进而可得出点（﹣1，0）不在一次函数y＝﹣2x+2的图象上，
结论A不正确；由k＝﹣2＜0，b＝2＞0，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数
y＝﹣2x+2的图象经过第一、二、四象限，结论B不正确；由k＝﹣2＜0，利用一次函数的性
质可得出y的值随x的增大而减小，即结论C不正确；代入x＝1求出y值，结合y的值随x
的增大而减小，可得出当x＞1时，y＜0，即结论D正确．
【解答】解：A、当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，
∴函数y＝﹣2x+2的图象经过点（﹣1，4），选项A不符合题意；
B、∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，
∴函数y＝﹣2x+2的图象经过第一、二、四象限，选项B不符合题意；
C、∵k＝﹣2＜0，
∴y的值随x值的增大而减小，选项C不符合题意；
D、当y＜0时，﹣2x+2＜0，解得：x＞1，
∴当x＞1时，y＜0，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与
系数的关系，逐一分析各选项的正误是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分） 的平方根是 ± ．
【分析】首先根据算术平方根的性质化简 ，再根据平方根的定义即可求出结果．
【解答】解：∵ ＝ ＝5，
∴ 的平方根是± ．
故答案为：± ．
第8页（共22页）【点评】此题主要考查了平方根的定义和性质，解决本题的关键是先求得 的值．
8．（3分）点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），则ba＝ 1 ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此可得a、b的
值，再代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵点（3+a，5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，4﹣b），
∴3+a＝5，4﹣b＝5，
解得a＝2，b＝﹣1，
故ba＝（﹣1）2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
9．（3分）若实数x，y满足（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，则xy的立方根为 ．
【分析】直接利用偶次方以及绝对值的性质得出x，y的值，进而利用立方根的定义计算得
出答案．
【解答】解：∵（2x﹣3）2+|9+4y|＝0，
∴2x﹣3＝0，9+4y＝0，
解得：x＝ ，y＝﹣ ，
故xy＝﹣ ，
∴xy的立方根为：﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题主要考查了立方根以及绝对值和偶次方的性质，正确得出x，y的值是解题关
键．
10．（3分）已知一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据一次函数的定义及函数图象经过原点的特点列出关于m的不等式组，求出m
的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1＝0且m﹣1≠0，
解得m＝﹣1；
第9页（共22页）故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当b
＝0时函数图象经过原点．
11．（3分）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短
路程是 13 0 cm ．
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：如图所示，
∵它的每一级的长宽高为20cm，宽40cm，长50cm，
∴AB＝ ＝130（cm）．
答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点B的最短路程是130cm．
故答案为：130cm．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，根据题意画出台阶的平面展开图是解答
此题的关键．
12．（3分）Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，以AC为边，在△ABC的外部作等腰直角
△ACD，则线段BD的长为 2 或 4 或 ．
【分析】分三种情况讨论：①当AD为斜边时，如图1，BD＝2BE，求BE的长即可；②当
CD为斜边时，如图2，BD就是两个AB的长；③当AC为斜边时，如图3，BD就是△BCD
第10页（共22页）的斜边长．
【解答】解：①当AD为斜边时，如图1，
∴AC＝CD＝2，∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC＝90°，
∵AB＝2，
∴AB＝CD，
∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE＝DE，AE＝EC，
∴AE＝EC＝1，
由勾股定理得：BE＝ ，
∴BD＝2 ，
②当CD为斜边时，如图2，则AD＝AC＝2，∠DAC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAC＝90°+90°＝180°，
∴B、A、D共线，
∴BD＝AB+AD＝2+2＝4，
③当AC为斜边时，如图3，
∴∠ADC＝90°，
∴AD＝CD＝ ，
∵∠BCA＝45°，∠ACD＝45°，
∴∠BCD＝90°，
∵AB＝AC＝2，
由勾股定理得：BC＝ ，
BD＝ ，
综上所述：BD＝2 或4或 ．
故答案为：2 或4或 ．
第11页（共22页）【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，也考查了复杂的几何作图；复杂的几
何作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；本题利用等腰直角三角形边和角
的特殊性与勾股定理、全等三角形相结合，求出边的长．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）计算： ﹣|﹣ |+（﹣2 ）2﹣（ ﹣3.14）0×（ ）﹣2；
π
（2）解方程：﹣8（x+1）3＝27．
第12页（共22页）【分析】（1）化简二次根式，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后计算乘方与乘法，最后
再算加减；
（2）利用立方根的概念解方程．
【解答】解：（1）原式＝2 ﹣ +12﹣1×4
＝ +12﹣4
＝ +8；
（2）﹣8（x+1）3＝27，
（x+1）3＝﹣ ，
x+1＝﹣ ，
x＝﹣ ．
【点评】本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，理解 a0＝1（a≠0），a﹣p＝
（a≠0），掌握立方根的概念是解题关键．
14．（6分）已知x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，求3x+5y的算术平方根．
【分析】根据立方根的立方得被开方数和平方根的平方等于被开方数，可得二元一次方程
组，根据解方程组，可得x、y的值，再计算3x+5y的值，根据算术平方根的定义，可得答案．
【解答】解：由x+3的立方根为2，3x+y﹣1的平方根为±4，得： ，
解得： ，
∴3x+5y＝15+10＝25，
∵25的算术平方根为5，
∴3x+5y的算术平方根为5
【点评】本题考查了立方根，平方根和算术平方根，利用立方根的立方和平方根的平方等
于被开方数得出二元一次方程组是解题关键．
15．（6分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣ + ﹣
．
第13页（共22页）【分析】直接利用数轴判断得出：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，进而化简即可．
【解答】解：如图所示：a＜0，a+c＜0，c﹣a＜0，b＞0，
则原式＝﹣a+a+c﹣（c﹣a）﹣b
＝a﹣b．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各部分的正负是解题关键．
16．（6分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点就做格点，以
格点为顶点别按下列要求画出图形．
（1）在图①中画一个三角形，使得该三角形的三边长分别为5， ，2 ．
（2）在图②中画出一个正方形，使得该正方形的面积为10．
【分析】（1）根据勾股定理，结合网格特点求解即可；
（2）作出边长为 ，根据勾股定理，并结合网格作图即可．
【解答】解：（1）如图1，△ABC即为所求；
（2）如图2，正方形PQMN即为所求．
【点评】此题主要考查了勾股定理，应用与作图设计，关键要理解题意，弄清问题中对所作
图形的要求，然后作图．
17．（6分）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，C，D为两村庄（视为两个点），
DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝10km，CB＝15km，现在要在铁路AB
上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请求出收购站E
到A站的距离．
第14页（共22页）【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直
角三角形CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，得出AD2+AE2＝BE2+BC2，设AE为
xkm，则BE＝（25﹣x） km，将BC＝10代入关系式即可求得．
【解答】解：∵C、D两村到E站距离相等，
∴CE＝DE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，DE2＝AD2+AE2，CE2＝BE2+BC2，
∴AD2+AE2＝BE2+BC2．
设AE为xkm，则BE＝（25﹣x） km，
将BC＝10，DA＝15代入关系式为x2+102＝（25﹣x）2+152，
解得x＝15，
∴E站应建在距A站15km处．
【点评】此题考查勾股定理的应用，基础知识要熟练掌握．
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）已知y+2与x﹣1成正比例，且当x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）当y＝1时，求x的值．
【分析】（1）已知y+2与x﹣1成正比例，即可以设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入即可
求得k的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y＝1即可求得x的值．
【解答】解：（1）设y+2＝k（x﹣1），把x＝3，y＝4代入得：4+2＝k（3﹣1）
解得：k＝3，
则函数的解析式是：y+2＝3（x﹣1）
即y＝3x﹣5；
（2）当y＝1时，3x﹣5＝1．解得x＝2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是将点的坐标代入解析式，
利用方程解决问题．
19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣5，4）、B（﹣2，2）、C（﹣4，1）．
第15页（共22页）（1）若△A B C 与△ABC关于y轴成轴对称，请在答题卷上作出△A B C ，并写出
1 1 1 1 1 1
△A B C 的三个顶点坐标；
1 1 1
（2）求△A B C 的面积；
1 1 1
（3）若点P为y轴上一点，要使CP+BP的值最小，请在答题卷上作出点P的位置．（保留
作图痕迹）
【分析】（1）依据轴对称的性质进行作图，即可得到△A B C ；
1 1 1
（2）依据割补法进行计算，即可得到△A B C 的面积；
1 1 1
（3）连接CB ，交y轴于点P，则BP+CP＝B P+CP＝B C可得最小值．
1 1 1
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．A （5，4）、B （2，2）、C （4，1）；
1 1 1 1 1 1
（2）△A B C 的面积为 ；
1 1 1
第16页（共22页）（3）连接CB （或BC ）与y轴交于点P，点P即为所求．
1 1
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，解决本题的关键是掌握
轴对称的性质．
20．（8分）阅读材料：像（ +2）（ ﹣2）＝1， × ＝a（a≥0）…这种两个含二次根式的
代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运
算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．
例如： ＝ ＝ ； ＝ ＝3+2 ．
解答下列问题：
（1） 的有理化因式是 ， +2的有理化因式是 ．
（2）观察下面的变形规律，请你猜想： ＝ ．
， ， …
（3）利用上面的方法，请化简： …+ ．
【分析】（1）利用二次根式的性质和平方差公式确定有理化因式；
（2）通过观察等式发现数字的变化规律，从而求解；
（3）利用（2）中所得规律进行分母有理化，然后合并同类二次根式进行化简．
【解答】解：（1）∵ ＝7，（ ）（ ）＝5﹣4＝1，
故答案为： ， ﹣2；
（2）通过观察，可得 ，
故答案为： ；
第17页（共22页）（3）利用（2）中的规律，可得：
原式＝ ﹣1+ ﹣ + ﹣ +...+ ﹣
＝ ﹣1．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化计算，理解二次根式的性
质（ ）2＝a（a≥0），掌握平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的结构是解题关键．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）如图，P为等边△ABC内一点，分别连接PA，PB，PC，PA＝6，PB＝8，PC＝10，以
PA为边作等边△APD，连接BD．
（1）求证：BD＝PC．
（2）求∠APB的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△ADB≌△APC，可得BD＝PC；
（2）由勾股定理的逆定理可求∠DPB＝90°，即可求解．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△APD是等边三角形，
∴AD＝AP，AB＝AC，∠DAP＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝∠CAP，
在△ADB和△APC中，
，
∴△ADB≌△APC（SAS），
∴BD＝PC；
（2）解：∵△APD是等边三角形，
∴∠APD＝60°，AP＝PD＝6，
∵BD＝PC＝10，
∴BD2＝100，
∵DP2+BP2＝100，
∴DP2+BP2＝BD2，
第18页（共22页）∴∠DPB＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝150°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
的逆定理等知识，证明三角形全等是解题的关键．
22．（9分）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．
已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长．
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小，并求出此时AC+CE的最小值．
（3）根据（2）中的规律和结论，重新构图求出代数式 的最小值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，AC＝ ，在Rt△DEC中，CE＝ ，则可求
AC+CE＝ + ；
（2）当C是AE和BD交点时，过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，则AC+CE＝AE＝
13，即可求AC+CE的最小值；
（3）使 AB＝5，ED＝1，DB＝8，连接 AE 交 BD 于点 C，AE 的长即为代数式
最小值，在Rt△AEF中，由勾股定理可得AE＝10．
【解答】解：（1）∵AB⊥BD，AB＝3，CD＝x，
∴BC＝12﹣x，
在Rt△ABC中，AC＝ ＝ ，
∵ED⊥BD，DE＝2，
在Rt△DEC中，CE＝ ＝ ，
∴AC+CE＝ + ；
第19页（共22页）（2）如图1，当C是AE和BD交点时，
过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，
∴AC+CE＝AE＝ ＝ ＝13，
∴AC+CE的最小值为13；
（3）如图2，由（2），使AB＝5，ED＝1，DB＝8，连接AE交BD于点C，
∴ ，
∴AE的长即为代数式 最小值，
∵四边形ABDF为矩形，
∴AB＝DF＝5，AF＝BD＝8，
在Rt△AEF中，由勾股定理得， ．
【点评】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，能够根据勾股定理的形式构造三
角形是解题的关键．
六.（本大题1小题，共12分)
23．（12分）如图，直线y＝kx﹣2与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1．
（1）求k的值；
（2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣2上的一个动点，当点A运动过程中，试写
第20页（共22页）出△AOB的面积S与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，探索：
①当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是1；
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？若存在，请写出
满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k；
（2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
（3）①利用三角形的面积求出求出点A坐标；
②设出点P（m，0），表示出AP，OP，计算出OA，分三种情况讨论计算即可得出点P坐标．
【解答】解：（1）∵OB＝1，
∴B（1，0），
∵点B在直线y＝kx﹣2上，
∴k﹣2＝0，
∴k＝2
（2）由（1）知，k＝2，
∴直线BC解析式为y＝2x﹣2，
∵点A（x，y）是第一象限内的直线y＝2x﹣2上的一个动点，
∴y＝2x﹣2（x＞1），
∴S＝S△AOB ＝ ×OB×|y
A
|＝ ×1×|2x﹣2|＝x﹣1，
（3）①如图，
第21页（共22页）由（2）知，S＝x﹣1，
∵△AOB的面积是1；
∴x＝2，
∴A（2，2），
∴OA＝2 ，
②设点P（m，0），
∵A（2，2），
∴OP＝|m|，AP＝ ，
①当OA＝OP时，∴2 ＝|m|，∴m＝±2 ，∴P （﹣2 ，0），P （2 ，0），
1 2
②当OA＝AP时，∴2 ＝ ，∴m＝0或m＝4，∴P （4，0），
3
③当OP＝AP时，∴|m|＝ ，∴m＝2，∴P （2，0），
4
即：满足条件的所有P点的坐标为P（﹣2 ，0），P（2 ，0），P（4，0），P（2，0）．
1 2 3 4
【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形
的性质，解本题的关键是求出点A的坐标．
第22页（共22页）
