文档内容
2021-2022学年江西省吉安市泰和县九年级（上）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（2，﹣7）
2．（3分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出
女生的可能性是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产
量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
4．（3分）关于反比例函数y＝ ，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
C．当x＞﹣1时，y＜﹣3
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
5．（3分）如图，△ABC中，BD、CE是两条中线，则S△ADE ：S△DEF ＝（ ）
A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值
是（ ）
第1页（共25页）A． B． C． D．
二、耐心填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若 ，则 的值为 ．
8．（3分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC
＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ
的长度为 ．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，
若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 度．
10．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x ，x ，则x 2﹣4x +2x x 的值为 ．
1 2 1 1 1 2
11．（3分）如图，A、B两点分别在反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上，且
AB∥x轴，C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为 ．
12．（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要
剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角
形AEP的底边长是 ．
第2页（共25页）三、细心做一做（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：2（x﹣1）＝x（x﹣1）；
（2）计算：| ﹣3|+4sin45°﹣ tan60°．
14．（6分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 、x ，且x 2+x 2﹣x x ＝7，求m的值．
1 2 1 2 1 2
16．（6分）如图，在所给的8×8方格纸中，每个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点叫格
点，点A，B均在格点上．请画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点
均在小正形的顶点上）．
（1）在图1中画出一个以AB为边的矩形．
（2）在图2中画出一个以AB为对角线的正方形．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝ ，求AB的长．
第3页（共25页）四、沉着冷静，周密考虑（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海
上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，
且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．
如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线
交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的长．
20．（8分）为助力泰和县“四城同创“（全国文明城市、全国卫生县城、国家森林城市、省级
生态园林城市）工作深入开展，某校组织志愿者进行宣传活动．班主任陈老师决定从4名
女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加．
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，
洗匀后放在桌面上，陈老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中
第4页（共25页）随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中“是 事件，“小悦被抽中“是 事件（填“不
可能“或“必然“或“随机“）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠和小艳被同
时抽中“的概率．
五、开动脑筋，再接再厉（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，
销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售
该品牌玩具获得利润w元；
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少
于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
22．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作
PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形
也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
六、充满信心，成功在望（本大题共12分）
23．（12分）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两
点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC ，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
第5页（共25页）第6页（共25页）2021-2022学年江西省吉安市泰和县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+7的顶点坐标是（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（2，﹣7）
【分析】根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+7为顶点式，
∴图象的顶点坐标是（2，7）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，掌握y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解决
问题的关键．
2．（3分）从甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生中随机选出一名学生参加问卷调查，则选出
女生的可能性是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出学生的总数，再求出可能出现的情况，求出其比值即可．
【解答】解：∵共有甲、乙、丙三名男生和A、B两名女生，
∴随机选出一名学生参加问卷调查，则选出女生的可能性＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
3．（3分）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产
量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2＝100 B．100（1﹣x）2＝80
C．80（1+2x）＝100 D．80（1+x2）＝100
【分析】利用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据
“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【解答】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
第7页（共25页）即：80（1+x）（1+x）＝100或80（1+x）2＝100．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，
找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
4．（3分）关于反比例函数y＝ ，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．当x＞0时，y的值随x的增大而减小
C．当x＞﹣1时，y＜﹣3
D．若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上
【分析】直接利用反比例函数的性质：图象、增减性、图象上坐标特点，分别判断得出答案．
【解答】解：A．关于反比例函数y＝ ，它的图象分布在一、三象限，正确，不合题意；
B．关于反比例函数y＝ ，当x＞0时，y的值随x的增大而减小，正确，不合题意；
C．关于反比例函数y＝ ，当0＞x＞﹣1时，y＜﹣3，原说法错误，符合题意；
D．关于反比例函数y＝ ，若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上，正确，不合题
意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的性质是解题关键．
5．（3分）如图，△ABC中，BD、CE是两条中线，则S△ADE ：S△DEF ＝（ ）
A．2：1 B．4：1 C．3：1 D．5：2
【分析】由题意可得DE为三角形的中位线，利用中位线定理得到DE∥BC，DE＝ BC，可
得出△DEF∽△BCF，进而得到面积之比，且得到S△CDE ＝S△ADE ，进而求出所求．
第8页（共25页）【解答】解：∵在△ABC中，两条中线BD、CE相交于点F，
∴DE为中位线，S△CDE ＝S△ADE ，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵CF＝2EF，
∴S△DEF ＝ S△DCF ，
∴S△DEF ＝ S△CDE ，
∴S△DEF ＝ S△ADE ，
∴S△ADE ：S△DEF ＝3：1．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，以及三角形面积，熟练掌握相似三角形的
判定和性质定理是解本题的关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF＝ AF，EF＝ AE，由矩形的对称性得：AE＝DE，
得出EF＝ DE，设EF＝x，则DE＝3x，由勾股定理求出DF＝ ＝2 x，再由
三角函数的定义即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
第9页（共25页）∵点E是边BC的中点，
∴BE＝ BC＝ AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴ ＝ ，
∴EF＝ AF，
∴EF＝ AE，
∵点E是边BC的中点，
由矩形的对称性得：AE＝DE，
∴EF＝ DE，设EF＝x，则DE＝3x，
∴DF＝ ＝2 x，
∴tan∠BDE＝ ＝ ＝ ；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩
形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
二、耐心填一填（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）若 ，则 的值为 2. 5 ．
【分析】 ＝ + ＝ +1；因为 ＝ ，直接代入计算．
【解答】解：∵ ＝
∴ ＝ +1＝ +1＝2.5．
故答案为2.5．
【点评】解答本题不仅要会通分，还要将 当做一个整体看待．
8．（3分）在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB＝2m，它的影子BC
＝1.5m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上，它的影子QN＝1.8m，MN＝0.8m，木竿PQ
第10页（共25页）的长度为 1. 6 m ．
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比列式求解即可．
【解答】解：设木竿PQ长为xm，
依题意得 ＝ ，
解得x＝1.6，
答：木竿PQ长度为1.6m，
故答案为：1.6m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，在运用相似三角形的知识解决实际问题时，要能
够从实际问题中抽象出简单的数学模型，然后列出相关数据的比例关系式，从而求出结论．
9．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，
若∠AED＝50°，则∠BCF＝ 5 0 度．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF＝∠DCF，由三角形内角和定理和平
行线的性质可求解．
【解答】解：方法1：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠CDF，
在△ADF和△CDF中， ，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵∠AED＝50°，
∴∠DAE+∠ADE＝180°﹣50°＝130°，
第11页（共25页）∴∠ADE+∠DCF＝130°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCD＝180°，
∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，
∴∠BCF＝180°﹣130°＝50°，
故答案为：50．
方法2：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝AB，∠CBF＝∠ABF，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED＝50°，
在△CBF和△ABF中，
，
∴△CBF≌△ABF（SAS），
∴∠BCF＝∠BAF＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识；熟
练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
10．（3分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x ，x ，则x 2﹣4x +2x x 的值为 2 ．
1 2 1 1 1 2
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x 2﹣4x ＝﹣2、x x ＝2，将其代
1 1 1 2
入x 2﹣4x +2x x 中即可求出结论．
1 1 1 2
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x 、x ，
1 2
∴x 2﹣4x ＝﹣2，x x ＝2，
1 1 1 2
∴x 2﹣4x +2x x ＝﹣2+2×2＝2．
1 1 1 2
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣ 、两
根之积等于 是解题的关键．
11．（3分）如图，A、B两点分别在反比例函数y＝ （x＞0）和y＝ （x＞0）的图象上，且
AB∥x轴，C为x轴上任意一点，则△ABC的面积为 1 ．
第12页（共25页）【分析】根据反比例函数k的几何意义，得出S△ABC ＝S△ABO ＝S△BOM ﹣S△AOM ＝2，进而得出
1
2
|k|﹣
1
2
＝2，求解即可．
【解答】解：如图，延长BA交y轴于点M，连接OA，OB，
∵直线AB与x轴平行，
∵S△AOM ＝1，S△BOM ＝2，
∴S△ABC ＝S△ABO ＝S△BOM ﹣S△AOM ＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k的几何意义，理解反比例函数k的几
何意义是解决问题的关键．
12．（3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要
剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角
形AEP的底边长是 5 或 4 或 5 ．
第13页（共25页）【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE＝
AE＝5 即可；
②当 PE＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P B，再由勾股定理求出等边AP 即可；
1 1 1
③当P A＝P E时，底边AE＝5；即可得出结论．
2 2
【解答】解：如图所示：
①当AP＝AE＝5时，
∵∠BAD＝90°，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴底边PE＝ AE＝5 ；
②当P E＝AE＝5时，
1
∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，
∴P B＝ ＝4，
1
∴底边AP ＝ ＝4 ；
1
③当P A＝P E时，底边AE＝5；
2 2
综上所述：等腰三角形AEP的底边长为5 或4 或5；
故答案为：5 或4 或5．
【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握矩形的性质和等
腰三角形的判定，进行分类讨论是解决问题的关键．
三、细心做一做（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）解方程：2（x﹣1）＝x（x﹣1）；
第14页（共25页）（2）计算：| ﹣3|+4sin45°﹣ tan60°．
【分析】（1）先移项得到2（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）根据绝对值的意义和特殊角的三角函数值得到原式＝3﹣2 +4× ﹣ × ，然
后进行二次根式的混合运算．
【解答】解：（1）2（x﹣1）﹣x（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（2﹣x）＝0，
x﹣1＝0或2﹣x＝0，
所以x ＝1，x ＝2；
1 2
（2）原式＝3﹣2 +4× ﹣ ×
＝3﹣2 +2 ﹣3
＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方
程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运
算．
14．（6分）如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．
求证：四边形AMCN是矩形．
【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN
是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵MO＝NO，
第15页（共25页）∴MN＝2MO，
∵AC＝2MO，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定方法是解题的关键．
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x 、x ，且x 2+x 2﹣x x ＝7，求m的值．
1 2 1 2 1 2
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值
大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，
∴Δ＝[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2﹣2m+9＝（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0，方程的两实根为x 、x ，且x 2+x 2﹣x x ＝7，
1 2 1 2 1 2
∴ ，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）＝7，
解得，m ＝1，m ＝2，
1 2
即m的值是1或2．
【点评】本题考查根与系数的关系、根的判别式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问
题需要的条件，利用方程的思想解答．
16．（6分）如图，在所给的8×8方格纸中，每个小正方形的边长均相等，小正方形的顶点叫格
点，点A，B均在格点上．请画出符合要求的格点四边形（格点四边形是指四边形的各顶点
均在小正形的顶点上）．
（1）在图1中画出一个以AB为边的矩形．
（2）在图2中画出一个以AB为对角线的正方形．
第16页（共25页）【分析】（1）根据矩形的定义画出图形即可；
（2）根据正方形的定义画出图形即可．
【解答】解：（1）如图1中，矩形ABCD即为所求；
（2）如图2中，正方形AEBF即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知
识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝ ，求AB的长．
【分析】过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD＝∠B，推出BD＝CD，根据含30度角的直角三
角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
【解答】解：
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∵∠B＝45°，
第17页（共25页）∴∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD，
∵∠A＝30°，AC＝2 ，
∴CD＝ ，
∴BD＝CD＝ ，
由勾股定理得：AD＝ ＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+ ，
答：AB的长是3+ ．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等
知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
四、沉着冷静，周密考虑（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海
上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，
且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．
如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75）
【分析】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由
三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，
在直角三角形ACD中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2海里，
在直角三角形BCD中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4海里．
答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度
是解决问题的关键．
19．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线
第18页（共25页）交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O．
（1）求证：△AOM≌△CON；
（2）若AB＝4，AD＝8，求AE的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出AB∥CD，求出∠M＝∠N，AO＝CO，再根据全等三角形
的判定定理AAS推出即可；
（2）根据矩形的性质得出AB＝CD＝4，根据线段垂直平分线的性质得出AE＝CE，再根据
勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠M＝∠N，
∵AC的垂直平分线是MN，
∴AO＝CO，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS）；
（2）解：连接CE，设AE＝x，则DE＝8﹣x，
第19页（共25页）∵AC的垂直平分线是MN，
∴AE＝CE＝x，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°，
由勾股定理得：DE2+DC2＝CE2，
∴（8﹣x）2+42＝x2，
解得：x＝5，
即AE＝5．
【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，能
熟记矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
20．（8分）为助力泰和县“四城同创“（全国文明城市、全国卫生县城、国家森林城市、省级
生态园林城市）工作深入开展，某校组织志愿者进行宣传活动．班主任陈老师决定从4名
女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加．
抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，
洗匀后放在桌面上，陈老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中
随机抽取第二张，记下姓名．
（1）该班男生“小刚被抽中“是 不可能 事件，“小悦被抽中“是 随机 事件（填
“不可能“或“必然“或“随机“）；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ；
（2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠和小艳被同
时抽中“的概率．
【分析】（1）根据随机事件和不可能事件的概念及概率公式即可得出答案；
（2）列举出所有情况数，看所求的情况占总情况的多少即可．
【解答】解：（1）该班男生“小刚被抽中“是不可能事件，“小悦被抽中“是随机事件；
第20页（共25页）第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ，
故答案为：不可能，随机， ；
（2）记小悦、小惠、小艳和小倩这四位女同学分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A ﹣﹣﹣ （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） ﹣﹣﹣ （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） ﹣﹣﹣ （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） ﹣﹣﹣
由表可知，共有12种等可能结果，其中“小惠和小艳被同时抽中“的有2种结果，
所以“小惠和小艳被同时抽中“的概率为 ＝ ．
【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
五、开动脑筋，再接再厉（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）某商场经营某种品牌的玩具，购进的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，
销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具，
（1）设该种品牌玩具的销售单价为x元，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售
该品牌玩具获得利润w元；
（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于45元，且商场要完成不少
于480件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
【分析】（1）根据销售量与销售单价之间的变化关系就可以直接求出y与x之间的关系式；
根据销售问题的利润＝售价﹣进价就可以表示出w与x之间的关系；
（2）根据题意得方程求得x ＝50，x ＝80，于是得到结论；
1 2
（3）根据销售单价不低于45元且商场要完成不少于480件的销售任务求得45≤x≤52，根
据二次函数的性质得到当45≤x≤52时，y随x增大而增大，于是得到结论．
【解答】解：（1）y＝600﹣10（x﹣40）＝﹣10x+1000，
w＝（﹣10x+1000）（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；
第21页（共25页）（2）根据题意，得：﹣10x2+1300x﹣30000＝10000，
解得：x ＝50，x ＝80，
1 2
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
（3）根据题意得 ，
解得：45≤x≤52，
w＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝65，
∴当45≤x≤52时，y随x增大而增大．
∴当x＝52时，W最大值 ＝10560（元），
答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10560元．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法的运用，二次函数的解析式的运用，二次函数的
顶点式的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
22．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作
PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形
也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF＝∠AEB及∠PFA＝∠ABE＝90°；故可得
△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列
出关系式．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠AEB．
∵∠PFA＝∠ABE＝90°，
第22页（共25页）∴△PFA∽△ABE．
（2）解：若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA＝EB＝2，即x＝2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE＝ ＝2 ，
∴EF＝ AE＝ ．
∵ ，即 ，
∴PE＝5，即x＝5．
∴满足条件的x的值为2或5．
【点评】解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，
第23页（共25页）搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率．
六、充满信心，成功在望（本大题共12分）
23．（12分）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两
点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△POC ＝4S△BOC ，求点P的坐标；
（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
【分析】（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据S△POC ＝4S△BOC ，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D（m，m2+2m﹣3），根
据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
根据题意得： ，
解之： ．
∴抛物线解析式y＝x2+2x﹣3．
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
第24页（共25页）∴B（1，0），即OB＝1，
∴S△BOC ＝ OB×OC＝ ，
设P（x，x2+2x﹣3），
∴S△POC ＝ ×3×|x|，
∵S△POC ＝4S△BOC ，
∴ |x|＝4× ，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点D（m，m2+2m﹣3），
∴QD＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣（m+ ）2+ ，
∴当m＝﹣ 时，QD的最大值为 ．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用
数形结合思想解决问题是本题的关键．
第25页（共25页）
