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2021-2022学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正
确）
1．（3分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）2＝3
2．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
3．（3分）已知反比例函数 经过点A（3，2）、B（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣6 B． C． D．6
4．（3分）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m，
则旗杆高为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
5．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数
字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的
概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（
）
A．BC2＝AC•CD B． C．∠ABC＝∠BDC D．∠A＝∠CBD
7．（3分）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需
要正方体个数为a，最多需要正方体个数为b，则a+b的值为（ ）
第1页（共30页）A．14 B．15 C．16 D．17
8．（3分）已知 是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦
图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD与EFGH均为正方形，
若AG＝BH＝CE＝DF＝a，AF＝BG＝CH＝DE＝b，且正方形EFGH的面积为正方形
ABCD的面积的一半，则a：b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF与DE交于点M，则
下列结论：①AF⊥DE；②AE＝EG；③AM＝ MF；④ ．其中正确的结论有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知 ，那么 ＝ ．
第2页（共30页）12．（4分）矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝40°，则∠AOB＝ °．
13．（4分）一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实
验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：
实验次数 100 200 300 400
摸出红球 78 161 238 321
则袋中原有红色小球的个数约为 个．
14．（4分）如图，反比例函数y ＝ 和正比例函数y ＝k x的图象都经过点A（﹣1，2），若y
1 2 2 1
＞y ，则x的取值范围是 ．
2
15．（4分）已知2x2﹣3x﹣2＝0．则x2+ ＝ ．
16．（4分）如图，菱形ABCD边长为4，∠B＝60°，DE＝ AD，BF＝ BC，连接EF交菱形的
对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于 ．
17．（4分）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A
出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的 倍，要使整个运动
时间最少，则点D的坐标应为 ．
第3页（共30页）三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：（x+3）（x﹣ ）＝x﹣ ．
19．（6分）小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三盏
电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况．
（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为 ．
（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时
亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明．
20．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝ ，D、E为AB上两点，且∠DCE＝
45°．
（1）求证：△ACE∽△BDC；
（2）若AD＝1，求DE的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于C、D两点，与x、y
轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB＝4，CE＝3， ．
（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式．
（2）求△OCD的面积．
第4页（共30页）22．（8分）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为
500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天
可以多售出10件．
（1）售价为850元时，当天的销售量为多少件？
（2）如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？
23．（8分）如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太
阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自
习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示）．
（2）若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰
好2米，求路灯高．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
24．（10分）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y＝ 的图象过AB上一点E，BE＝2，
＝ ．
（1）求k的值．
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，探
究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
（3）点P是直线OF上一点，当PD+PC的值最小时，求点P的坐标．
第5页（共30页）25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，
AE⊥AP，且 ＝ ，连接BE．
（1）当DP＝2时，求BE的长．
（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形
AEBP的面积．
（3）如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距
离．
第6页（共30页）2021-2022学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正
确）
1．（3分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x2﹣4x+4＝0 C．x（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）2＝3
【分析】分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根
的情况即可．
【解答】解：A．Δ＝（﹣2）2﹣4×2＝﹣4＜0，则方程没有实数解，所以A选项符合题意；
B．Δ＝（﹣4）2﹣4×4＝0，则方程有两个相等的实数解，所以B选项不符合题意；
C．方程化为x2﹣2x＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数解，所以C
选项不符合题意；
D．方程化为x2﹣2x﹣2＝0，Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣2）＝12＞0，则方程有两个不相等的实数解，
所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
2．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【分析】由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
3．（3分）已知反比例函数 经过点A（3，2）、B（﹣1，m），则m的值为（ ）
A．﹣6 B． C． D．6
第7页（共30页）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数 经过点A（3，2），
∴k＝3×2＝6，
∴y＝ ，
将点B（﹣1，m）代入反比例函数解析式得：
m＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，明确同一反比例函数图象上
的点的坐标符合k＝xy是解题的关键．
4．（3分）身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是15m，
则旗杆高为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算．
【解答】解：根据题意可得：设旗杆高为xm．
根据在同一时刻身高与影长成比例可得： ＝ ，
故x＝20．
答：旗杆高为20米，
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相
似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出旗杆的高度，体现了方程的思想．
5．（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数
字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
第8页（共30页）共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种，
∴两次摸出的数字之和为奇数的概率为 ＝ ，
故选：C．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．（3分）如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（
）
A．BC2＝AC•CD B． C．∠ABC＝∠BDC D．∠A＝∠CBD
【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解．
【解答】解：∵BC2＝AC•CD，
∴ ，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，
∵∠ABC＝∠BDC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，
∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选D不合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关键．
7．（3分）用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需
第9页（共30页）要正方体个数为a，最多需要正方体个数为b，则a+b的值为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小
正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，
由主视图可得第一列和第三列最少有2个正方体，最多有4个正方体，
那么最少需要5+2＝7个正方体，即a＝7．
最多需要5+4＝9个正方体，即b＝9．
则a+b＝7+9＝16．
故选：C．
【点评】此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力
方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得
到答案．
8．（3分）已知 是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，则方程的另外一根为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，把已知解代入求出另一根即可．
【解答】解：∵ 是一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根，另一根设为a，
∴a+ ＝1，
解得：a＝1﹣ ，即a＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根
与系数的关系是解本题的关键．
9．（3分）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦
图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD与EFGH均为正方形，
第10页（共30页）若AG＝BH＝CE＝DF＝a，AF＝BG＝CH＝DE＝b，且正方形EFGH的面积为正方形
ABCD的面积的一半，则a：b的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】根据题意可得正方形EFGH的面积为（a﹣b）2，正方形ABCD的面积为（a2+b2），
然后列出方程求解即可．
【解答】解：∵AG＝BH＝CE＝DF＝a，AF＝BG＝CH＝DE＝b，
∴正方形EFGH的面积为（a﹣b）2，正方形ABCD的面积为（a2+b2），
∵正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，
∴（a﹣b）2＝ （a2+b2），
∴a2﹣4ab+b2＝0，
∴ ﹣4+ ＝0，
设 ＝x，
∴x﹣4+ ＝0，
∴x2﹣4x+1＝0，
解得x ＝2+ ，x ＝2﹣ ，
1 2
∵a＞b＞0，
∴ ＞1，
∴a：b的值为2+ ．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程，解决本题的关键是掌
握勾股定理．
10．（3分）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF与DE交于点M，则
第11页（共30页）下列结论：①AF⊥DE；②AE＝EG；③AM＝ MF；④ ．其中正确的结论有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE＝BE＝BF、∠DAE＝
∠ABF＝90°、AD＝AB，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到
∠BAM+∠AEM＝90°判定①；过点E作EH∥AF，由点E是AB的中点得到点H是BG的
中点，然后由∠BGA≠90°得证BE≠EG判定②；由BF＝AE＝BE得到AF＝ BF＝
AE，然后证明△AEM∽△AFB，进而利用相似三角形的性质得到AM＝ MF判定③；先
证明△AEM∽△DAM，然后利用AD＝2AE得到 判定④．
【解答】解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，
∴AE＝BE＝BF，∠DAE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠BAF＝∠ADE，
∵∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠BAM+∠AEM＝90°，
∴∠AME＝90°，故①正确，符合题意；
如图，过点E作EH∥AF，则∠EHB＝∠AGB＝∠GMD+∠MDG＞90°，
∵点E是AB的中点，
∴点H是BG的中点，
∴△EHB与△EHG不全等，
∴BE≠EG，故②错误，不符合题意；
∵BF＝AE＝BE，AB＝2AE，
第12页（共30页）∴AF＝ BF＝ AE，
∵∠EAM+∠AEM＝90°，∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠AEM＝∠AFB，
∵∠AME＝∠ABF＝90°，
∴△AEM∽△AFB，
∴ ，即 ，
∴AM＝ AE，
∴MF＝AF﹣AM＝ AE﹣ AE＝ AE，
∴AM＝ MF，故③正确，符合题意；
∵∠AEM+∠EAM＝90°，∠EAM+∠DAM＝90°，
∴∠AEM＝∠DAM，
∵∠EMA＝∠AMD＝90°，
∴△AEM∽△DAM，
∴ ＝（ ）2＝ ，故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
勾股定理，解题的关键是过点E作EH∥AF交BD于点H判定AE≠EG．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）已知 ，那么 ＝ 5 ．
【分析】根据比例设a＝3k，b＝2k，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵ ＝ ，
第13页（共30页）∴设a＝3k，b＝2k，
则 ＝ ＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
12．（4分）矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB＝40°，则∠AOB＝ 8 0 °．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OB＝OC，再根据等边对等角可得∠OBC
＝∠ACB，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得
解．
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝40°+40°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
13．（4分）一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实
验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：
实验次数 100 200 300 400
摸出红球 78 161 238 321
则袋中原有红色小球的个数约为 4 0 个．
【分析】根据图表求出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为x，根据概率公式列出算式，
然后求解即可
【解答】解：由图表可得摸到红球概率为 ，
设袋中原有红色小球的个数为x，则 ＝ ，
解得：x＝40，
第14页（共30页）经检验x＝40是原方程的解，
答：袋中原有红色小球的个数约为40个．
故答案为：40．
【点评】本题比较容易，考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到
的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）如图，反比例函数y ＝ 和正比例函数y ＝k x的图象都经过点A（﹣1，2），若y
1 2 2 1
＞y ，则x的取值范围是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 0 或 x ＞ 1 ．
2
【分析】易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，
进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可．
【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另
一交点坐标为（1，﹣2），
由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值
都大于正比例函数的值；
则﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【点评】考查一次函数和反比例函数的交点问题；正比例函数和反比例函数的交点关于原
点对称是本题的关键．
15．（4分）已知2x2﹣3x﹣2＝0．则x2+ ＝ ．
【分析】等式两边都除以2x，得x﹣ ＝ ，等式两边平方，再去括号，移项合并同类项就可
得出结果．
【解答】解：∵2x2﹣3x﹣2＝0，
∴x﹣ ＝ ，
第15页（共30页）∴ ＝ ，
x2﹣2+ ＝ ，
x2+ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了分式的加减法，掌握等式的性质，把2x2﹣3x﹣2＝0化为x﹣ ＝ 形
式是解题的关键．
16．（4分）如图，菱形ABCD边长为4，∠B＝60°，DE＝ AD，BF＝ BC，连接EF交菱形的
对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于 ．
【分析】由菱形的性质可得AD＝CD，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，由“AAS”可证
△AEO≌△CFO，可得AO＝CO，由面积的和差关系可求解．
【解答】解：连接CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，
∴△ADC是等边三角形，∠DAC＝∠ACB，
∴S△ADC ＝ ×AD2＝4 ，
第16页（共30页）∵DE＝ AD，BF＝ BC，
∴AE＝CF，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AO＝CO，
∵DE＝ AD，
∴S△CDE ＝ S△ADC ＝ ，S△ACE ＝3 ，
∵AO＝CO，
∴S△AOE ＝S△COE ＝ ，
∴阴影部分面积＝4 ﹣ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题
的关键．
17．（4分）如图，△ABC中AB＝AC，A（0，8），C（6，0），D为射线AO上一点，一动点P从A
出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的 倍，要使整个运动
时间最少，则点D的坐标应为 ．
【分析】过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，设P点的运动时间为t，在
第17页（共30页）CD上的运动速度为v，t＝ （ +CD），只需 +CD最小即可，再证明△ADH∽△ACO，
可得DH＝ ，则当B、D、H点三点共线时，此时t有最小值，再由△BDO∽△ADH，求出
OD即可求坐标．
【解答】解：过B点作BH⊥AC交于H点，交AO于D点，连接CD，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
设P点的运动时间为t，在CD上的运动速度为v，
∵点P在AD上的运动速度是在CD上的 倍，
∴t＝ + ＝ （ +CD），
∵∠AHD＝∠AOC＝90°，
∴△ADH∽△ACO，
∴ ＝ ，
∵A（0，8），C（6，0），
∴OC＝6，OA＝8，
∴AC＝10，
∴ ＝ ，
∴DH＝ ，
∴t＝ （DH+CD），
当B、D、H点三点共线时，t＝ ×BH，此时t有最小值，
∵∠BDO＝∠ADH，
∴∠DBO＝∠OAC，
第18页（共30页）∴△BDO∽△ADH，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DO＝ ，
∴D（0， ），
故答案为：（0， ）．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的
方法，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）解方程：（x+3）（x﹣ ）＝x﹣ ．
【分析】先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解．
【解答】解： ，
．
即 ．
∴ 或x+2＝0．
∴ ，x ＝﹣2．
2
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关
键．
19．（6分）小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三盏
电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况．
（1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为 ．
（2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时
第19页（共30页）亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种，
再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种：BC、CB，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率＝ ．
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（6分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝ ，D、E为AB上两点，且∠DCE＝
45°．
（1）求证：△ACE∽△BDC；
（2）若AD＝1，求DE的长．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B，可证明△ACE∽△BDC；
第20页（共30页）（2）由勾股定理求出AB＝4，由相似三角形的性质得出 ，可求出DE的长，则可得
出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴∠A＝∠B＝ ，
又∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝45°+∠ACD＝∠ACE，
∴△ACE∽△BDC；
（2）解：由勾股定理得AB＝ ＝4，
设DE长为x，
∵AD＝1，
∴BD＝3，AE＝1+x，
∵△ACE∽△BDC，
∴ ，
即 ，
解得x＝ ，
即DE＝ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明
△ACE∽△BDC是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝ 的图象交于C、D两点，与x、y
轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB＝4，CE＝3， ．
（1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式．
（2）求△OCD的面积．
第21页（共30页）【分析】（1）根据已知条件求出B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例函数的
解析式；
（2）由一次函数解析式求得A的坐标，然后联立一次函数的解析式和反比例的函数解析
式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解
【解答】解：（1）∵ ，CE＝3，
∴BE＝2CE＝6，
∵OB＝4
∴OE＝BE﹣OB＝2，
∴C（﹣2，3），B（4，0）
将C（﹣2，3）代入 得：k＝﹣2×3＝﹣6；
将C（﹣2，3），B（4，0）代入y＝ax+b得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）∵
∴A（0，2）
由 ，解得 ， ，
∵C（﹣2，3）
∴D（6，﹣1），
第22页（共30页）∴ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点
坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，
则两者无交点．
22．（8分）为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为
500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天
可以多售出10件．
（1）售价为850元时，当天的销售量为多少件？
（2）如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？
【分析】（1）降低50元增加10件，可知若想每天出售850件，降低（1000﹣850）÷50元，进
而即可列出算式求解．
（2）利润＝售价﹣进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）40+（1000﹣850）÷50×10＝70（件）．
答：售价为850元时，当天的销售量为70件；
（2）方法一：设每件服装售价x元，
（x﹣500）×[（40+ （1000﹣x）]＝40×（1000﹣500）+4000，
化简得x2﹣1700x+7200＝0，
解得：x ＝800，x ＝900，
1 2
∵使顾客得到尽可能大的实惠，
∴x＝800．
方法二：设每件服装降价x元．
（1000﹣500﹣x）×（40+ x）＝40×（1000﹣500）+4000，
解得：x ＝100，x ＝200，
1 2
∵使顾客得到尽可能大的实惠，
∴x＝200，
1000﹣200＝800（元）．
答：每件应定价800元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，掌握利润＝售价﹣进价，根据一件商品的利润乘以
销售量＝总利润列出方程是解决问题的关键．
第23页（共30页）23．（8分）如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太
阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自
习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．
（1）在图中画出小明的位置（用线段FG表示）．
（2）若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰
好2米，求路灯高．
【分析】（1）作出太阳光线BE，过点C作BE的平行线，与DE的交点即为小明的位置；
（2）易得小明的影长，利用△EFG∽△EDC可得路灯CD的长度．
【解答】解：（1）如图，FG就是所求作的线段．
（BE、DE、CF、FG每条线1分）
（2）∵上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，
∴CG＝2FG＝3，
∵FG∥CD，
∴∠EFG＝∠D，∠EGF＝∠ECD，
∴△EFG∽△EDC，
∴ ，
∴ ，
解得CD＝3.75，
∴路灯高3.75米．
【点评】综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的
知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边
成比例．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
第24页（共30页）24．（10分）如图，四边形OABC为正方形，反比例函数y＝ 的图象过AB上一点E，BE＝2，
＝ ．
（1）求k的值．
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，探
究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．
（3）点P是直线OF上一点，当PD+PC的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）设AE＝3x，则OE＝5x，由勾股定理得AO＝4x，则3x+2＝4x，求出x即可求点
E坐标为（6，8），再由E点坐标即可求k 值；
（2）求出D（8，6），证明△AOF∽△BFD，则∠AOF＝∠BFD，可得∠OFD＝180°﹣
（∠AFO+∠BFD）＝90°，即可得到OF⊥DF；
（3）延长 DF 交 y 轴于点 G，连接 CG 交 OF 于点 P，则点 P 为所求作点，证明
△AFG≌△BFD（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），求出直线
CG解析式为y＝﹣ x+10，直线OF为y＝2x，联立 ，即可求点P的坐标为
．
【解答】（1）证明：∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝AB，∠OAB＝90°，
∵ ，
设AE＝3x，则OE＝5x，由勾股定理得AO＝4x，
∴3x+2＝4x，
第25页（共30页）∴x＝2，
∴AE＝3x＝6，AO＝4x＝8，
∴点E坐标为（6，8），
∴k＝6×8＝48；
（2）OF⊥DF，理由如下：
将x＝8代入 得y＝6，
∴D（8，6）
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2
∵点F是线段AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∵ ，∠OAF＝∠FBD＝90°
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF＝∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD＝∠AFO+∠AOF＝90°，
∴∠OFD＝180°﹣（∠AFO+∠BFD）＝90°，
∴OF⊥DF；
（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，
∵四边形OABC为正方形，∠AFG＝∠BFD，AF＝BF，
∴△AFG≌△BFD（AAS），
∴FG＝FD＝2，
由（2）得OF⊥DF，
∴OF为线段DG的垂直平分线，
∴OC＝OG＝8，
∴C（8，0），G（0，10），
设直线CG解析式为y＝mx+n，代入C（8，0），G（0，10），
得 ，
解得 ，
设直线OF为y＝ax，代入F（4，8），
第26页（共30页）∴a＝2，
∴y＝2x，
联立直线OF、CG得 ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ．
【点评】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的
判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．
25．（10分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，
AE⊥AP，且 ＝ ，连接BE．
（1）当DP＝2时，求BE的长．
（2）四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形
AEBP的面积．
（3）如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距
离．
第27页（共30页）【分析】（1）根据矩形性质和已知条件可得 ＝ ＝ ，证明△ADP∽△ABE，进而可得
结论；
（2）结合（1）△ADP∽△ABE，证明四边形AEBP为矩形，再根据勾股定理即可解决问题；
（3）根据题意画出图形证明点Q在直线Q Q 上运动，由（2）知：图3中四边形AQ BQ 是
1 2 1 2
矩形，根据矩形对角线相等即可得点Q运动的距离．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴∠DAB＝90°， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵AP⊥AE，
∴∠PAE＝90°，
∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，
∴∠DAP＝∠BAE，
∴△ADP∽△ABE，
∴ ，
∴BE＝2DP＝4；
（2）四边形AEBP可能为矩形，理由如下：
第28页（共30页）由（1）得△ADP∽△ABE，
∴∠ABE＝∠ADB，
∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE＝∠PBA+∠ADB＝90°，
当∠APB＝90°时，
∵∠APB＝∠PAB＝∠PBE＝90°，
∴四边形AEBP为矩形，
由勾股定理得 ，
∵S△ABD ＝ AB×AD＝ BD×AP，
∴ ，
∴ ，
∴S四边形AEBP ＝AE•AP＝ ；
（3）点Q运动的距离为8，理由如下：
如图2，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴∠DAB＝90°， ，
∴ ，
∵AP⊥AE，
第29页（共30页）∴∠PAE＝∠DAB＝90°，
∴△ADB∽△APE，
∴∠ADB＝∠APE，
∵∠AQ D＝∠AQ P＝90°，
1 2
∴△ADQ ∽△APQ ，
1 2
∴ ，
∵∠DAP＝∠DAQ +∠PAQ ＝∠PAQ +∠PAQ ＝∠Q AQ ，
1 1 1 2 1 2
∴△ADP∽△AQ Q ，
1 2
∴∠AQ Q ＝∠ADP，
1 2
如图3，
∴∠BQ Q ＝90°﹣∠AQ Q ＝90°﹣∠ADP＝∠ABD，
1 2 1 2
因此点Q在直线Q Q 上运动，
1 2
由（2）知：图3中四边形AQ BQ 是矩形，
1 2
∴Q Q ＝AB＝8．
1 2
【点评】本题属于几何综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，动点
问题，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
第30页（共30页）
