文档内容
2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC：AF＝2：
3，则四边形ABCD与四边形AEFG的面积之比等于（ ）
A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．1：2
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（3分）已知反比例函数y＝ ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2） B．图象在第一、二象限
C．图象在第一、三象限 D．若x＝2，则y＝1
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的
面积是（ ）
第1页（共24页）A．6 B．9 C．12 D．15
7．（3分）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的
门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走
出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交
FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为 ．
10．（3分）地面上有一支蜡烛，蜡烛前面有一面墙，王涛同学在蜡烛与墙之间运动，则他在墙
上的投影长度随着他离墙的距离变小而 （增大、变小）．
11．（3分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个
球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可
以推算出a大约是 ．
12．（3分）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，且
第2页（共24页）AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF
交AC于G．若AC＝40，则AG＝ ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：y（y﹣7）+2y﹣14＝0．
15．（5分）画出如图所示的正三棱柱的三视图．
16．（5分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正
方形的周长．
17．（5分）已知反比例函数y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．
18．（5分）在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．求证：▱四边形BFDE是矩形．
第3页（共24页）19．（5分）某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完
需t小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？
20．（5分）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE
交AE于点G，求证：GF＝FB．
21．（6分）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，
十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，
个位数字的平方等于他去世时的年龄．
22．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．
如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、
标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF
＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大
楼的高度CD．
23．（7分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三
第4页（共24页）个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛
奶，E：核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品
牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的
概率．
24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作
DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）求△DCE与△ACB的周长比．
25．（8分）如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作
BC⊥x轴交过点A的双曲线 于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．
（1）求双曲线的表达式；
（2）求 的值．
26．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交
BA的延长线于点F．
第5页（共24页）（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．
第6页（共24页）2021-2022学年陕西省咸阳市秦都区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a＝3，b＝0.6，c＝2，则线段d的长为（ ）
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．4
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义，即可得 ＝ ，又
由a＝3，b＝0.6，c＝2，即可求得d的值．
【解答】解：∵a、b、c、d四条线段是成比例的线段，
∴ ＝ ，
∵a＝3，b＝0.6，c＝2，
∴ ＝
解得：d＝0.4．
故选：A．
【点评】此题考查了比例线段，此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
2．（3分）如图所示的几何体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是两个同心圆，内圆要画成实线．
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3．（3分）如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，点A是位似中心，且AC：AF＝2：
第7页（共24页）3，则四边形ABCD与四边形AEFG的面积之比等于（ ）
A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．1：2
【分析】根据位似图形的概念得到EF∥BC，证明△BAC∽△EAF，根据相似三角形的性质
求出 ，根据相似多边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，
∴四边形ABCD∽四边形AEFG，EF∥BC，
∴△BAC∽△EAF，
∴ ＝ ＝ ，
∴四边形ABCD与四边形AEFG的面积之比为4：9，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平
方是解题的关键．
4．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+n＝0没有实数根，则实数n的值可以为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据方程没有实数根得出（﹣3）2﹣4×1×n＜0，解之求出n的范围，结合各选项可
得答案．
【解答】解：根据题意，得：（﹣3）2﹣4×1×n＜0，
解得：n＞ ，
∴n的值可以是3，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有
如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数
根；当Δ＜0时，方程无实数根．
第8页（共24页）5．（3分）已知反比例函数y＝ ，在下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点（1，2） B．图象在第一、二象限
C．图象在第一、三象限 D．若x＝2，则y＝1
【分析】由k＝2＞0即可判断B，C；把x＝2，代入y＝ 可判断A，D．
【解答】解：A．把（2，1）代入y＝ 得：左边＝右边，故本选项不符合题意；
B．k＝2＞0，图象在第一、三象限内，故本选项符合题意；
C．k＝2＞0，图象在第一、三象限内，故本选项不符合题意；
D．把x＝2，代入y＝ 得y＝1，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，能熟练地根据反比例函数的性质进行判断是
解此题的关键．
6．（3分）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的
面积是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【分析】由矩形的性质可得AO＝CO＝BO＝DO，可得S△AOB ＝S△BOC ＝S△AOD ＝S△OCD ＝3，
即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∴S△AOB ＝S△BOC ＝S△AOD ＝S△OCD ＝3，
∴矩形ABCD的面积＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
7．（3分）笼子里关着一只小松鼠（如图）．笼子主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的
门都打开，松鼠要先过第一道门（A或B），再过第二道门（C，D或E）才能出去，则松鼠走
第9页（共24页）出笼子的路线是“先经过A门、再经过D门”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，即可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，先经过A门、再经过D门只有1种结果，
所以先经过A门、再经过D门的概率为 ，
故选：D．
【点评】此题考查的是用树状图法．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，
适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；正确画出树状图是解
题的关键．
8．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB，AC为边作正方形ABPQ，ACFH，BP交
FH于点O．若BC＝BF＝2，则OP的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】根据正方形的性质得到△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF，利用勾
股定理分别求出OB，PB进而可求．
【解答】解：∵四边形ABPQ，ACFH为正方形，
∴PB＝AB，AC＝CF＝CB+BF＝4，∠F＝∠C＝90°，∠PBA＝90°，
第10页（共24页）∴∠FOB+∠FBO＝90°，∠ABC+∠FBO＝90°
∴∠FOB＝∠ABC，
∴△FOB∽△CBA，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
∴OF＝1，
在Rt△FBO中，由勾股定理得，
OB＝ ＝ ＝ ，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝ ＝ ＝2 ，
∴OP＝PB﹣OB＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质和相似三角形的性质与判定，利用正方形的性质得到
△FOB∽△CBA，根据相似三角形的性质得到OF是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为 5 ．
【分析】把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得9﹣3m+6＝0，
解得m＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是
一元二次方程的解．
10．（3分）地面上有一支蜡烛，蜡烛前面有一面墙，王涛同学在蜡烛与墙之间运动，则他在墙
上的投影长度随着他离墙的距离变小而 变小 （增大、变小）．
【分析】可连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越
近，影长越短，距离墙越远影长越长．
【解答】解：连接光源和人的头顶可知，墙上的影长和人到墙的距离变化规律是：距离墙越
近，影长越短，距离墙越远影长越长．则他在墙上投影长度随着他离墙的距离变小而变小．
第11页（共24页）故答案为变小．
【点评】本题综合考查了中心投影的特点和规律．中心投影的特点是：①等高的物体垂直
地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．
②等长的物体平行于地面放置时，在灯光下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影
子越短，但不会比物体本身的长度还短．
11．（3分）在一个布袋中装有只有颜色不同的a个小球，其中红球的个数为2，随机摸出一个
球记下颜色后再放回袋中，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可
以推算出a大约是 1 0 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以
从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得， ＝0.2，
解得，a＝10．
故可以推算出a大约是10个．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计
事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
12．（3分）如图，点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，且
AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 2 ．
【分析】首先延长BA交y轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A
在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，即可得S矩形ADOE ＝1，S矩
形BCOE
＝3，继而求得答案．
【解答】解：延长BA交y轴于点E，
∵四边形ABCD为矩形，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，
第12页（共24页）∴AE⊥y轴，
∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，
∵点A在反比例函数 的图象上，点B在反比例函数 的图象上，
∴S矩形ADOE ＝1，S矩形BCOE ＝3，
∴S矩形ABCD ＝S矩形BCOE ﹣S矩形ADOE ＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了反比例函数的系数k的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作
法，注意掌握数形结合思想的应用．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F在AD上，且AF：AD＝1：3，EF
交AC于G．若AC＝40，则AG＝ 8 ．
【分析】设AC的中点为O，连接EO，根据题意可得OE是△ABC的中位线，从而可得OE
＝ BC，OE∥BC，进而可证8字模型相似三角形△AFG∽△OEG，然后利用相似三角形
的性质进行计算即可解答．
【解答】解：设AC的中点为O，连接EO，
∴AO＝ AC＝20，
第13页（共24页）∵E是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ BC，OE∥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD∥OE，
∴∠FAG＝∠AOE，∠AFG＝∠OEG，
∴△AFG∽△OEG，
∴ ＝ ，
∵AF：AD＝1：3，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AG＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解方程：y（y﹣7）+2y﹣14＝0．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：y（y﹣7）+2y﹣14＝0，
y（y﹣7）+2（y﹣7）＝0，
分解因式得：（y﹣7）（y+2）＝0，
则y﹣7＝0或y+2＝0，
解得：y ＝7，y ＝﹣2．
1 2
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，
配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
15．（5分）画出如图所示的正三棱柱的三视图．
第14页（共24页）【分析】根据题意可得正三棱柱的主视图为中间有一条竖的实心线的矩形，左视图为矩形，
俯视图为正三角形，从而可画出三视图．
【解答】解：如图所示：
【点评】此题考查了作图﹣三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握三视图的观察方
法，要求一定的空间想象能力．
16．（5分）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，以AC为边长作正方形ACEF，求这个正
方形的周长．
【分析】根据已知可求得△ABC是等边三角形，从而得到AC＝AB，再根据正方形的周长公
式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴正方形ACEF的周长是16．
【点评】本题考查菱形与正方形的性质，关键是根据已知可求得△ABC是等边三角形．
第15页（共24页）17．（5分）已知反比例函数y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，求正整数m的值．
【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ ，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴3﹣2m＞0，
解得m＜ ，
∴正整数m的值是1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；当
k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．
18．（5分）在 ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，
BF．求证：▱四边形BFDE是矩形．
【分析】根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得
BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题关
键．
19．（5分）某游泳池有1200立方米水，设放水的平均速度为v立方米/小时，将池内的水放完
需t小时．
（1）求v关于t的函数表达式；
第16页（共24页）（2）若要求在3小时之内把游泳池的水放完，则每小时应至少放水多少立方米？
【分析】（1）由题意得vt＝900，即v＝ ，自变量的取值范围为t＞0，
（2）把t＝3代入求出相应的v的值，即可求出放水速度．
【解答】解：（1）由题意得：vt＝1200，
即：v＝ ，
答：v关于t的函数表达式为v＝ ，自变量的取值范围为t＞0．
（2）当t＝3时，v＝ ＝400，
所以每小时应至少放水400立方米．
【点评】考查求反比例函数的应用，根据常用的数量关系得出函数关系式是解题的关键．
20．（5分）如图，延长正方形ABCD的一边CB至E，ED与AB相交于点F，过F作FG∥BE
交AE于点G，求证：GF＝FB．
【分析】结合条件可得到GF∥AD，则有 ＝ ，由BF∥CD可得到 ＝ ，又因为
AD＝CD，可得到GF＝FB．
【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BF∥CD，
∴ ＝ ，
∵FG∥BE，
∴GF∥AD，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，且AD＝CD，
∴GF＝BF．
第17页（共24页）【点评】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段
对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．
21．（6分）解读诗词（通过列方程算出周瑜去世时的年龄）：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英年两位数，
十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
诗词大意：周瑜三十岁当东吴都督，去世时的年龄是两位数，十位数字比个位数字小三，
个位数字的平方等于他去世时的年龄．
【分析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3．根据题意建立方程求出
其值就可以求出其结论．
【解答】解：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x﹣3，依题意得：
10（x﹣3）+x＝x2，
解得x ＝5，x ＝6，
1 2
当x＝5时，25＜30，（不合题意，舍去），
当x＝6时，36＞30（符合题意），
答：周瑜去世时的年龄为36岁．
【点评】本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解
答中理解而立之年是一个人30岁的年龄是关键．
22．（7分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．
如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶E、
标杆顶端A、大楼顶端C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高EF
＝1.5米，“标杆“AB＝2.5米，BD＝23米，FB＝2米，EF、AB、CD均垂直于地面BD．求大
楼的高度CD．
【分析】如图1中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形EFDH
都是矩形．利用相似三角形的性质求出CH，可得结论．
【解答】解：如图中，过点E作EH⊥CD于点H，交AB于点J．则四边形EFBJ，四边形
第18页（共24页）EFDH都是矩形．
∴EF＝BJ＝DH＝1.5米，BF＝EJ＝2米，DB＝JH＝23米，
∵AB＝2.5米．
∴AJ＝AB﹣BJ＝2.5﹣1.5＝1（米），
∵AJ∥CH，
∴△EAJ∽△ECH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CH＝12.5（米），
∴CD＝CH+DH＝12.5+1.5＝14（米）．
答：大楼的高度CD为14米．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角
形解决问题，属于中考常考题型．
23．（7分）甲、乙两人去超市选购奶制品，有两个品牌的奶制品可供选购，其中蒙牛品牌有三
个种类的奶制品：A：纯牛奶，B：酸奶，C：核桃奶；伊利品牌有两个种类的奶制品：D：纯牛
奶，E：核桃奶．
（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ；
（2）若甲喜爱蒙牛品牌的奶制品，乙喜爱伊利品牌的奶制品，甲、乙两人从各自喜爱的品
牌中随机选购一种奶制品，请用列表法或画树状图法求出两人选购到同一种类奶制品的
概率．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）甲从这两个品牌的奶制品中随机选购一种，选购到纯牛奶的概率是 ，
第19页（共24页）故答案为： ；
（2）列表如下：
A B C
D （A，D） （B，D） （C，D）
E （A，E） （B，E） （C，E）
由表知，共有6种等可能结果，其中两人选购到同一种类奶制品的有2种结果，
所以两人选购到同一种类奶制品的概率为 ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
24．（8分）如图，在△ABC中，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，过点D作
DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求证：△ECD∽△EDB；
（2）求△DCE与△ACB的周长比．
【分析】（1）由DE∥AB得∠EDC＝∠A，因为∠CBD＝∠A，所以∠EDC＝∠EBD，而∠A
＝∠A，可证明△ECD∽△EDB；
（2）由DE∥AB可证明△DCE∽△ACB，而AC＝3CD，所以△DCE的周长：△ACB的周长
＝CD：AC＝1：3，即可得出问题的答案．
【解答】（1）证明：如图，∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠A，
∵∠CBD＝∠A，
∴∠EDC＝∠CBD，
即∠EDC＝∠EBD，
∵∠E＝∠E，
∴△ECD∽△EDB；
（2）解：∵DE∥AB，
第20页（共24页）∴△DCE∽△ACB，
∵AC＝3CD，
∴△DCE的周长：△ACB的周长＝CD：AC＝1：3＝ ，
∴△DCE与△ACB的周长比为 ．
【点评】此题考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，其中证明
△DCE∽△ACB是解题的关键．
25．（8分）如图，直角坐标系中，点B坐标为（6，0），且AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，过B作
BC⊥x轴交过点A的双曲线 于点C，连接OC交AB于点D，交AH于点M．
（1）求双曲线的表达式；
（2）求 的值．
【分析】（1）根据B坐标为（6，0），得到OB＝6，根据等腰三角形的性质得到OH＝BH＝
OB＝3，根据勾股定理得到AH＝ ＝ ＝4，求得A坐标为（3，4），于是
得到结论；
（2）设C坐标为（6，m），根据y＝ （x＞0）经过点C，求得BC＝2，根据相似三角形的性质
得到 ＝ ，根据三角形的中位线定理得到MH＝ BC＝ ×2＝1于是得到结论．
【解答】解：（1）∵B坐标为（6，0），
第21页（共24页）∴OB＝6，
∵AO＝AB＝5，AH⊥x轴于点H，
∴OH＝BH＝ OB＝3，
在Rt△AOH中，AO2＝AH2+OH2，
∴AH＝ ＝ ＝4，
∴A坐标为（3，4），
∵y＝ （x＞0）经过点A，
∴4＝ ，
∴k＝12，
∴双曲线表达式为y＝ （x＞0）；
（2）设C坐标为（6，m），
∵y＝ （x＞0）经过点C，
∴m＝ ＝2，
∴BC＝2，
∵AH⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AM∥CB，
∴△ADM∼△ABC，
∴ ＝ ，
∵OH＝BH，
∴OM＝CM，
∴MH是△OBC的中位线，
∴MH＝ BC＝ ×2＝1，
∴AM＝AH﹣MH＝3，
∴ ＝ ．
第22页（共24页）【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角
形的中位线定理，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
26．（10分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长交AD于点E，交
BA的延长线于点F．
（1）求证：△APD≌△CPD；
（2）求证：△APE∽△FPA；
（3）若PE＝4，PF＝12，求PC的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得AD＝CD＝AB＝CB，还有BD是
公共边，可证明△ADB≌△CDB，得∠PDA＝∠PDC，再证明△APD≌△CPD即可；
（2）由CD∥AB得∠F＝∠PCD，由△APD≌△CPD得∠PAE＝∠PCD，所以∠PAE＝∠F，
而∠PAE＝∠FPA，即可证明△APE∽△FPA；
（3）由△APE∽△FPA 得 ＝ ，其中 PE＝4，PF＝12，可求出 PA 的长，由
△APD≌△CPD可知PC＝PA，即可求得PC的长．
【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD＝AB＝CB，
在△ADB和△CDB中，
，
∴△ADB≌△CDB（SSS），
∴∠PDA＝∠PDC，
在△APD和△CPD中，
，
∴△APD≌△CPD（SAS）．
（2）证明：如图，∵CD∥AB，
第23页（共24页）∴∠F＝∠PCD，
∵∠PAE＝∠PCD，
∴∠PAE＝∠F，
∵∠PAE＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA．
（3）解：如图，∵△APE∽△FPA，
∴ ＝ ，
∵PE＝4，PF＝12，
∴PA2＝PE•PF＝4×12＝48，
∴PA＝ ＝4 ，
∴PC＝PA＝4 ．
∴PC的长为4 ．
【点评】此题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知
识，根据菱形的性质找出相等的角并证明角相等是解题的关键．
第24页（共24页）
