文档内容
2021-2022学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示圆柱的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，
则树的高度为（ ）
A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米
3．（3分）2021年上半年我国成功发射了天和核心舱、天舟二号货运飞船和神舟十二号载人
飞船，中国的太空经济时代即将到来．太空基金会发布新闻稿指出，2018年的全球航天经
济总量为80亿美元，2020年全球航天经济总量再创新高，达到3850亿美元，假设2018年
到2020年每年的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）＝3850 B．80x＝3850
C．80（1+x）3＝3850 D．80（1+x）2＝3850
4．（3分）已知点（﹣2，y ），（1，y ），（3，y ）和（2，3）都在反比例函数y＝ 的图象上，那么
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2
5．（3分）如图，点A、B、C在 O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
⊙
第1页（共31页）A．54° B．27° C．36° D．108°
6．（3分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列
四个判断中，正确的个数有（ ）
①四边形AEDF是平行四边形
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，以A为圆心，AD的长为半径画弧交BC于
点E，则图中空白部分的面积是（ ）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．2+
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0．则
它的图象可能是（ ）
第2页（共31页）A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）tan30°＝ ．
10．（3分）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000
次，其中有199次摸到红球，由此估计盒子中的红球大约有 个．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
ax2+bx+c＝0的解为 ．
12．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长
线于点G，过点▱C作CE⊥DG，垂足为E，CE＝2，则△BFG的周长为 ．
13．（3分）写出一组a，b的值，使二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，则
a，b的值可以是a＝ ，b＝ ．
14．（3分）如图，函数y＝ 和y＝﹣ 的图象分别是l 和l ．设点P在l 上，PC⊥x轴，垂足为
1 2 1
第3页（共31页）C，交l 于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l 于点B，则△PAB的面积为 ．
2 2
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）求作：Rt△ABC，使∠A＝45°，斜边AB＝a．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）解方程：
（1）4x（2x+1）＝3（2x+1）；
（2）﹣3x2+4x+4＝0．
17．（6分）甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定．
游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若
指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，
直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
18．（6分）青岛电视塔座落于榉林公园内的太平山上，为测得电视塔的高度，如图所示，某同
学在某栋楼的底部点D处看向电视塔底端的点B处，测得仰角是45°，在楼顶点E处，看
向电视塔顶端C处，测得仰角是64°，已知楼高DE的高度为112米，AD⊥AC，DE∥AC，
太平山的高度AB约为120米，求青岛电视塔BC的高度．（tan64°≈2）
第4页（共31页）19．（6分）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点
C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点
坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8分）小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6
个值，分别计算出对应的y值，如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 11 2 ﹣1 2 5 m …
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．
（1）求该二次函数表达式；
（2）请你指出这个算错的y值；
（3）通过计算求m的值．
21．（8分）如图，在 ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，▱使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
第5页（共31页）（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四
边形？并证明你的结论．
22．（10分）2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名
木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树
龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已
400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用
50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如
果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能
围成的矩形的最大面积是多少？
23．（10分）实际问题：某学校共有18个教学班（每班的学生都多于10人）．为了解学生课余
时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10
人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白、…m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要
确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
第6页（共31页）为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化．
探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），
现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，
至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是
它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即
最少需摸出小球的个数是：1+3＝4（如图①）；
（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需
摸出多少个小球？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少．
需摸出小球的个数是：1+3×2＝7（如图②）；
（3）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需
摸出多少个小球？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少
需摸出小球的个数是：1+3×3＝10（如图③）；
（4）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10个是同色的，则最少
需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数是 ；
（5）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需
摸出 个小球．
探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个（除颜色外完全相
同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（6）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小
球，至少有2个是同色的，则最少需摸出 个小球；
（7）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最
少需摸出 个小球；
（8）要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少
需摸出 个小球；
（9）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最
第7页（共31页）少需摸出 个小球；
探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若干个（除颜色外完全
相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个
数是 ．
探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随
机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 ．
问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取 名学生．
24．（12分）如图所示，在△ABC中，∠C＝30°，BC＝20，AC＝16，E为BC中点．动点P从点B
出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方
向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．
过点P作PD∥AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0＜t＜10）
（1）当t＝3时，求PD的长；
（2）设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△DPQ ：S△ABC ＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请
说明理由．
第8页（共31页）2021-2022学年山东省青岛市崂山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）如图所示圆柱的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可．
【解答】解：此圆柱的左视图是一个矩形，故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
2．（3分）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，
则树的高度为（ ）
A．4.8米 B．6.4米 C．9.6米 D．10米
【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程求解即可．
【解答】解：根据同一时刻，列方程
即 ，
解方程得，大树高＝9.6米
故选：C．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方
程，通过解方程求出树的高度，体现了方程的思想．
3．（3分）2021年上半年我国成功发射了天和核心舱、天舟二号货运飞船和神舟十二号载人
第9页（共31页）飞船，中国的太空经济时代即将到来．太空基金会发布新闻稿指出，2018年的全球航天经
济总量为80亿美元，2020年全球航天经济总量再创新高，达到3850亿美元，假设2018年
到2020年每年的平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）＝3850 B．80x＝3850
C．80（1+x）3＝3850 D．80（1+x）2＝3850
【分析】利用2020年全球航天经济总量＝2018年全球航天经济总量×（1+平均增长率）2，
即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：80（1+x）2＝3850．
故选：D．
【点评】本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中
档题．
4．（3分）已知点（﹣2，y ），（1，y ），（3，y ）和（2，3）都在反比例函数y＝ 的图象上，那么
1 2 3
y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2
【分析】先将点（2，3）代入反比例函数解析式求得k的取值，然后得到函数的增减性，进而
得到y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：将点（2，3）代入y＝ 得，k＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
∴函数在第一象限和第三象限内的函数值随x的增大而减小，
∵﹣2＜0＜1＜3，
∴y ＞y ＞0＞y ，
2 3 1
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数的增减性，解题的关键
是由待定系数法求得反比例函数的解析式．
5．（3分）如图，点A、B、C在 O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（ ）
⊙
第10页（共31页）A．54° B．27° C．36° D．108°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三
角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝ （180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质和三角形
的内角和定理等知识点，能求出圆心角∠AOB的度数是解此题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列
四个判断中，正确的个数有（ ）
①四边形AEDF是平行四边形
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是正方形．
【解答】解：因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故①正确．
第11页（共31页）∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故②正确．
因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故
③正确．
如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故④错误．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，和正方形
的判定定理等知识点．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝1，以A为圆心，AD的长为半径画弧交BC于
点E，则图中空白部分的面积是（ ）
A．1﹣ B．2﹣ C． D．2+
【分析】根据S空白 ＝S矩形ABCD ﹣S扇形ADE 求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，AD∥BC，
由题意知AE＝AD＝2，
∵AB＝1，
∴∠AEB＝∠DAE＝30°，
∵∠B＝90°，
∴S空白 ＝S矩形ABCD ﹣S扇形ADE ＝2×1﹣ ，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、扇形的面积公式和直角三角形的性质等知识点，能求出
AE长和∠AEB的度数是解此题的关键．
8．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0．则
它的图象可能是（ ）
第12页（共31页）A． B．
C． D．
【分析】由a＞b＞c，且a+b+c＝0，确定a＞0，c＜0，与x轴交点一个是（1，0），采取排除法
即可选出所选答案．
【解答】解：∵a+b+c＝0，
即当x＝1时a+b+c＝0，
∵a＞b＞c，
∴定a＞0，c＜0，
故C选项正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，灵活运用性质进行说理是解此题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）tan30°＝ ．
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【解答】解：tan30°＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确对特殊值的记忆是解题的关键．
10．（3分）一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色不同外，其余均相同，
从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验1000
次，其中有199次摸到红球，由此估计盒子中的红球大约有 2 个．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以
从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
第13页（共31页）【解答】解：设盒子中的红球有x个，
根据题意得： ＝ ，
解得：x≈2，
即盒子中的红球大约有2个．
故答案为：2．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白
球的频率得到相应的等量关系．
11．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程
ax2+bx+c＝0的解为 x ＝﹣ 3 ， x ＝ 1 ．
1 2
【分析】抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点为（﹣3，0），则根据函数的对
称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，抛物线和x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），
则根据函数的对称性，抛物线和x轴的另外一个交点坐标为（1，0），
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x＝﹣3或1，
故答案为：x ＝﹣3，x ＝1．
1 2
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于
中考常考题型．
12．（3分）如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长
▱
线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE＝2，则△BFG的周长为 4+ ．
【分析】首先利用已知条件可证明△ADE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的
第14页（共31页）性质得出DE＝2DG，而在Rt△ADG中，由勾股定理可求得DG的值，即可求得DE的长；
然后，证明△ADE∽△BFE，再分别求出△ADE的周长，然后根据周长比等于相似比即可
得到答案．
【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE；，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CDF＝∠DFC，
∴CD＝CF＝6，
∵CE⊥DG，
∴DF＝2DE，
在Rt△CDE中，∵∠DEC＝90°，CD＝6，CE＝2，
∴DE＝ ＝4 ，
∴DF＝2DE＝8 ；
∴△CDF的周长＝12+8 ，
∵CF＝6，BC＝AD＝8，
∴BF＝BC﹣CF＝8﹣6＝2，
∴CF：BF＝6：2＝3：1．
∵AB∥CD，
∴△CDF∽△BFG，
∴△CDF的周长：△BFG的周长＝CF：BF＝3：1，
则△BFG 周长＝4+ ．
故答案为：4+ ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌
握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．
13．（3分）写出一组a，b的值，使二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴有两个不同的交点，则
a，b的值可以是a＝ 1 ，b＝ 3 ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝b2﹣8a＞0，然后a取一个不为0的实数，再确定对应
的b的值．
第15页（共31页）【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣8a＞0，
若a＝1，则b可取3．
故答案为：1，3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，
a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
14．（3分）如图，函数y＝ 和y＝﹣ 的图象分别是l 和l ．设点P在l 上，PC⊥x轴，垂足为
1 2 1
C，交l 于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l 于点B，则△PAB的面积为 8 ．
2 2
【分析】设P的坐标是（a， ），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB
的值，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：方法一：∵点P在y＝ 上，
∴|x |×|y |＝|k|＝1，
p p
∴设P的坐标是（a， ）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y＝﹣ 上，
∴A的坐标是（a，﹣ ），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是 ，
第16页（共31页）∵B在y＝﹣ 上，
∴代入得： ＝﹣ ，
解得：x＝﹣3a，
∴B的坐标是（﹣3a， ），
∴PA＝| ﹣（﹣ ）|＝ ，
PB＝|a﹣（﹣3a）|＝4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是： PA×PB＝ × ×4a＝8．
故答案为：8．
方法二：∵函数y＝ 和y＝﹣ 的图象分别是l 和l ．点P在l 上，PC⊥x轴，垂足为C，
1 2 1
交l 于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l 于点B，
2 2
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
由矩形DOPC∽矩形BEAP，
故S矩形BEAP ＝16S矩形DOPC ，
＝16×1
＝16，
则S△APB ＝8．
第17页（共31页）【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出
A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹。
15．（4分）求作：Rt△ABC，使∠A＝45°，斜边AB＝a．
【分析】作线段AB＝a，作线段AB的垂直平分线DM，垂足为D，在射线DM上截取DC＝
DA，连接AC，CB，即可．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵
活运用所学知识解决问题．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）解方程：
（1）4x（2x+1）＝3（2x+1）；
（2）﹣3x2+4x+4＝0．
【分析】（1）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次
方程，分别求解即可得出答案；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵4x（2x+1）＝3（2x+1），
∴4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0，
则（2x+1）（4x﹣3）＝0，
∴2x+1＝0或4x﹣3＝0，
解得x ＝﹣ ，x ＝ ；
1 2
（2）∵a＝﹣3，b＝4，c＝4，
∴Δ＝42﹣4×（﹣3）×4＝64＞0，
第18页（共31页）则x＝ ＝ ，
∴x ＝2，x ＝﹣ ．
1 2
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解
题的关键．
17．（6分）甲、乙两同学只有一张乒乓球比赛的门票，谁都想去，最后商定通过转盘游戏决定．
游戏规则是：转动下面平均分成三个扇形且标有不同颜色的转盘，转盘连续转动两次，若
指针前后所指颜色相同，则甲去；否则乙去．（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，
直到指针指向一种颜色为止）．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出颜色相同的情况数，然后根据
概率公式求出甲去和乙去的概率，最后其进行比较，即可得出答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
红 黄 蓝
红 红、红 红、黄 红、蓝
黄 黄、红 黄、黄 黄、蓝
蓝 蓝、红 蓝、黄 蓝、蓝
由上表可知，总共有9种不同的情况，它们出现的可能性相同，其中颜色相同的有3种，
所以P（甲去）＝ ，P（乙去）＝ ．
∵ ＜ ，
∴这个游戏不公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概
第19页（共31页）率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之
比．
18．（6分）青岛电视塔座落于榉林公园内的太平山上，为测得电视塔的高度，如图所示，某同
学在某栋楼的底部点D处看向电视塔底端的点B处，测得仰角是45°，在楼顶点E处，看
向电视塔顶端C处，测得仰角是64°，已知楼高DE的高度为112米，AD⊥AC，DE∥AC，
太平山的高度AB约为120米，求青岛电视塔BC的高度．（tan64°≈2）
【分析】过E作EF⊥AC于F，则四边形ADEF是矩形，得AF＝DE＝112米，EF＝AD，证
△ABD是等腰直角三角形，得AD＝AB＝120米，则EF＝120米，再由锐角三角函数定义
得CF≈2EF＝240（米），则AC＝AF+CF≈352（米），即可得出答案．
【解答】解：过E作EF⊥AC于F，如图：
则四边形ADEF是矩形，
∴AF＝DE＝112米，EF＝AD，
在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝120米，
∴EF＝AD＝120米，
在Rt△CEF中，tan∠CEF＝ ＝tan64°≈2，
∴CF≈2EF＝240（米），
∴AC＝AF+CF≈112+240＝352（米），
∴BC＝AC﹣AB≈352﹣120＝232（米），
答：青岛电视塔BC的高度约为232米．
第20页（共31页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角
形是解题的关键．
19．（6分）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点D，BC⊥y轴于点
C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点
坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定
出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）存在，设设P（0，m），表示出CP，DP，连接AP，BP，三角形ABP面积＝四边形ABCD
面积﹣三角形ADP面积﹣三角形BCP面积，求出即可．
【解答】解：（1）∵点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，
∴6n＝m①，
∵DC＝5，
∴m﹣n＝5②，
第21页（共31页）联立①②解得，m＝6，n＝1，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y＝ ，
将A（1，6）代入得：k＝6，
则反比例解析式为y＝ ；
（2）存在，
如图，设P（0，m），则CP＝m﹣1，DP＝6﹣m，
∵AD⊥y轴，BC⊥y轴，
∴∠ADP＝∠BCP＝90°，
连接AP，BP，
则S△ABP ＝S四边形ABCD ﹣S△ADP ﹣S△BCP
＝ （BC+AD）•DC﹣ DP•AD﹣ CP•BC
＝ ×（1+6）×5﹣ （6﹣m）×1﹣ （m﹣1）×6
＝10，
解得：m＝3，
则P（0，3）．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以
及三角形、梯形的面积，相似三角形的性质等，熟练掌握待定系数法和相似三角形的性质
是解本题的关键．
20．（8分）小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，取自变量x的6
第22页（共31页）个值，分别计算出对应的y值，如表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … 11 2 ﹣1 2 5 m …
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值．
（1）求该二次函数表达式；
（2）请你指出这个算错的y值；
（3）通过计算求m的值．
【分析】（1）将点（0，﹣1），（1，2），（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c，即可求解；
（2）当x＝2时，y＝11，可知算的y值为5；
（3）当x＝3时，求m的值即可．
【解答】解：（1）由表格可知，对称轴为x＝0，
∴x＝2或x＝﹣2时，对应的y值有一个是错误的，
将点（0，﹣1），（1，2），（﹣1，2）代入y＝ax2+bx+c，
∴ ，
∴ ，
∴y＝3x2﹣1；
（2）当x＝2时，y＝11，
∴算错的y值为5；
（3）当x＝3时，m＝26．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解
题的关键．
21．（8分）如图，在 ABCD中，AC⊥CD．
（1）延长DC到E，▱使CE＝CD，连接BE，求证：四边形ABEC是矩形；
（2）若点F，G分别是BC，AD的中点，连接AFCG，试判断四边形AFCG是什么特殊的四
边形？并证明你的结论．
第23页（共31页）【分析】（1）先证四边形ABEC是平行四边形，再证∠ACE＝90°，即可得出结论；
（2）先证四边形AFCG是平行四边形，再由矩形的性质得∠BAC＝90°，然后由直角三角形
斜边上的中线性质得AF＝ BC＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵CE＝CD，
∴AB＝CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，
又∵AC⊥CD，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四边形ABEC是矩形；
（2）解：四边形AFCG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵点F，G分别是BC，AD的中点，
∴CF＝ BC，AG＝ AD，
∴CF＝AG，
∴四边形AFCG是平行四边形，
由（1）可知，四边形ABEC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
∵F是BC的中点，
第24页（共31页）∴AF＝ BC＝CF，
∴平行四边形AFCG是菱形．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角
形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22．（10分）2021年10月28日，青岛市崂山区启动了古树名木普查工作，期间对全区古树名
木进行健康生长状况、立地条件，保护措施等调查，崂山区共有古树名木300多株，现知树
龄最大的古树距今已有2100余年．崂山区王哥庄街道港东社区的一株银杏树，树龄已
400余年，社区现在想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用
50m长的篱笆围成一个矩形保护区域来保护这株银杏树，设AB＝xm．（AB≤AD）
（1）若围成保护区域的面积为600m2，求x的值；
（2）已知这株银杏树在点O处，且与墙体AD的距离为10m，与墙体CD的距离为18m．如
果在围建矩形保护区域时，将银杏树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能
围成的矩形的最大面积是多少？
【分析】（1）根据题意得出长×宽＝600，进而得出答案；
（2）由题意可得出：S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，再利用二次函数增减性求
得最值．
【解答】解：（1）∵AB＝xm，则BC＝（50﹣x）m，
∴x（50﹣x）＝600，
解得：x ＝20，x ＝30，
1 2
答：x的值为20或30；
（2）∵AB＝xm，BC＝（50﹣x）m，
∴S＝x（50﹣x）＝﹣x2+50x＝﹣（x﹣25）2+625，
∵在O处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是18m和10m，
∵50﹣18＝32，
第25页（共31页）∴10≤x≤32，
∴当x＝25时，S取到最大值为625，
答：矩形面积S的最大值为625平方米．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系
式是解题关键．
23．（10分）实际问题：某学校共有18个教学班（每班的学生都多于10人）．为了解学生课余
时间上网情况，学校打算做一次抽样调查，如果要确保全校抽取出来的学生中至少有10
人在同一班级，那么全校最少需抽取多少名学生？
建立模型：为解决上面的“实际问题”，我们先建立并研究下面从口袋中摸球的数学模型：
在不透明的口袋中装有红、黄、白、…m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现要
确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
为了找到解决问题的办法，我们可把上述问题简单化．
探究一：我们研究一个口袋中装有红、黄、白3种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），
现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（1）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，
至少有2个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
假若从袋中随机摸出3个小球，它们的颜色可能会出现多种情况，其中最不利的情况就是
它们的颜色各不相同，那么只需再从发中摸出1个小球就可确保至少有2个小球同色，即
最少需摸出小球的个数是：1+3＝4（如图①）；
（2）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最少需
摸出多少个小球？
我们只需在（1）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有3个小球同色，即最少．
需摸出小球的个数是：1+3×2＝7（如图②）；
（3）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少需
摸出多少个小球？
我们只需在（2）的基础上，再从袋中摸出3个小球，就可确保至少有4个小球同色，即最少
需摸出小球的个数是：1+3×3＝10（如图③）；
（4）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有10个是同色的，则最少
需摸出多少个小球？最少需摸出小球的个数是 2 8 ；
（5）要确保从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最少需
第26页（共31页）摸出 3 n ﹣ 2 个小球．
探究二：我们研究一个口袋中装有红、黄、白黑4种颜色的小球若干个（除颜色外完全相
同），现要确保从口袋中随机摸出的小球至少有n个是同色的，则最少需摸出多少个小球？
（6）我们首先考虑最简单的情况：即要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小
球，至少有2个是同色的，则最少需摸出 5 个小球；
（7）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有3个是同色的，则最
少需摸出 9 个小球；
（8）要确保从装有红、黄、白黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有4个是同色的，则最少
需摸出 1 3 个小球；
（9）要确保从装有红、黄、白、黑4种颜色的口袋中摸出小球，至少有n个是同色的，则最
少需摸出 4 n ﹣ 3 个小球；
探究三：在不透明的口袋中装有红、黄、白、蓝、绿5种颜色的小球若干个（除颜色外完全
相同），现从袋中随机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个
数是 5 n ﹣ 4 ．
探究四：在不透明口袋中装有m种颜色的小球若干个（除颜色外完全相同），现从袋中随
机摸球：若要确保摸出的小球至少有n个同色，则最少需摸出小球的个数是 m n ﹣ m + 1
．
问题解决：根据上述探究过程中建立的数学模型，求出全校最少需抽取 16 3 名学生．
【分析】首先要理解题意，明确解题方法，探究一可得规律为1+3×（同色的球数﹣1），探究
二可得规律为1+4×（同色的球数﹣1），探究三可得规律为1+5×（同色的球数﹣1），探究四
可得规律为1+m×（同色的球数﹣1），解题时要注意运用类比和转化的思想结合活动中获
得的数学经验与知识解决实际问题．
【解答】解：探究一：
第27页（共31页）（4）根据前三小问可得规律为1+3×（同色的球数﹣1），
∴从装有红、黄、白3种颜色的口袋中摸出小球，同色的球数至少为10个时，至少需要摸
出：
1+3×（10﹣1）＝28．
（5）根据第四小问，当同色的球数至少为n时，至少需要摸出：
1+3×（n﹣1）＝3n﹣2．
探究二：
（6）（7）（8）（9）根据前两小问可得规律为1+4×（同色的球数﹣1），
∴（6）1+4×（2﹣1）＝5，
（7）1+4×（3﹣1）＝9，
（8）1+4×（4﹣1）＝13，
（9）1+4×（n﹣1）＝4n﹣3，
探究三：
根据前几小问可得规律为1+5×（同色的球数﹣1），
∴1+5×（n﹣1）＝5n﹣4，
探究四：
根据前几小问可得规律为1+m×（同色的球数﹣1），
∴1+m×（n﹣1）＝mn﹣m+1，
问题解决：
根据探究得到的规律可知，
全校最少需抽取的学生数为：1+18×（10﹣1）＝163．
【点评】本题以范例的形式给出，并在求解的过程中暗示解决问题的思路，要求学生在理
解的基础上进行方法的迁移运用，解题的关键是找到规律．
24．（12分）如图所示，在△ABC中，∠C＝30°，BC＝20，AC＝16，E为BC中点．动点P从点B
出发，沿BE方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点Q从点C出发，沿CE方
向匀速运动，速度为每秒1个单位长度，当一个点停止移动时，另一个点也立即停止移动．
过点P作PD∥AC，交AB于D，连接DQ，设点P运动的时间为t（s）．（0＜t＜10）
（1）当t＝3时，求PD的长；
（2）设△DPQ面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使S△DPQ ：S△ABC ＝3：25？若存在，请求出t的值；如果不存在，请
说明理由．
第28页（共31页）【分析】（1）当t＝3时，BP＝3，由平行线证出△BPD∽△BCA，得出比例式，即可得出结果；
（2）作DM⊥BC于M，由平行线证出△BPD∽△BCA，得出比例式，求出PD＝ t，由含
30°角的直角三角形的性质得出DM＝ t，求出PQ＝20﹣2t，由三角形面积公式即可得出
结果；
（3）作AN⊥BC于N，由含30°角的直角三角形的性质得出AN＝ AC＝8，求出△ABC的
面积＝ BC•AN＝80，由已知条件得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）当t＝3时，BP＝3，
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴ ，
即 ，
解得：PD＝ ；
（2）作DM⊥BC于M，如图1所示：
∵E为BC中点，
∴BE＝CE＝ BC＝10，
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BCA，
∴ ，∠DPM＝∠C＝30°，
第29页（共31页）∴ ，DM＝ PD，
∴PD＝ t，
∴DM＝ t，
∵BP＝CQ＝t，
∴PQ＝20﹣2t，
∴△DPQ的面积y＝ （20﹣2t）× t＝4t﹣ t2，
即y＝﹣ t2+4t（0＜t＜10）；
（3）存在某一时刻t，使S△DPQ ：S△ABC ＝3：25，t＝4或t＝6；
理由如下：
作AN⊥BC于N，如图2所示：
则∠ANC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AN＝ AC＝8，
∴△ABC的面积＝ BC•AN＝ ×20×8＝80，
∵S△DPQ ：S△ABC ＝3：25，
∴S△DPQ ＝ ×80＝ ，
∴﹣ t2+4t＝ ，
解得：t＝4或t＝6，
即：存在，t的值为4或6．
第30页（共31页）【点评】本题是三角形综合题目，主要考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三
角形的性质，三角形的面积公式，判断出△BPD∽△BCA是解本题的关键．
第31页（共31页）
