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专题22.39 二次函数（全章直通中考）（基础练）
【要点回顾】
【要点一】二次函数的解析式
一般式： (a、b、c是常数， )；
顶点式： ( )，二次函数的顶点坐标是(h，k)；
交点式： ( )，其中x，x 是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
【要点二】二次函数的图象与性质
开
口 >0时，开口向上；a<0时，开口向下.
方 a
向
b
对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x=−
2a
( b 4ac−b2 )
(0，0) (0，k) (h，0) (h，k) − ,
顶 2a 4a
点
与
4ac−b2
最 a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或 4a )；
值 4ac−b2
a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或 4a ).
b b
− −
x<0(h或 2a )时，y随x的增大而减小；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而增
a>0 大。
即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增
增
大。
减
b b
性 − −
x<0(h或 2a )时，y随x的增大而增大；x>0(h或 2a )时，y随x的增大而减
a<0 小。
即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减
小。
对 1.图象是轴对称图形；
称 2. 抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；
性 3. 抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.
【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系
(1) 的正负决定开口方向： ，抛物线开口向上； ，抛物线开口向下.
的大小决定开口的大小： 越大，抛物线的开口越小； 越小，抛物线的开口越大.
(2) 、b的符号共同决定对称轴的位置当 时， ，对称轴为y轴；
当a、b同号时， ，对称轴在y轴左边；
当a、b异号时， ，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）
(3)c决定抛物线与 轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
【要点四】二次函数图象的变换
（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础
上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方
法如下：
（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.
【要点五】二次函数与一元二次方程
二次函数 ( )的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程 的根.
（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；
（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；
（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.
【要点六】二次函数与不等式
（1）抛物线 在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集；
（2）抛物线 在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的 x的所有值就是不等式
的解集.
【要点七】二次函数的应用
（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范
围内.
（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.
（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题
一、单选题
1．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）二次函数 图象的顶点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线 ，则当 时，函数的最大值为
（ ）
A． B． C．0 D．2
3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示，直线l为二次函数 的图像的对称轴，
则下列说法正确的是（ ）
A．b恒大于0 B．a，b同号 C．a，b异号 D．以上说法都不对
4．（2023·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象向右平移
2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·陕西·统考中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 （ 为常数）的
图像经过点 ，其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
6．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是－3 D．函数的最小值是－37．（2023·河南·统考中考真题）二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象一
定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2023·安徽·统考中考真题）下列函数中， 的值随 值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛
物线是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线 与x轴交于点 和点
，与y轴交于点C．下列说法：① ；②抛物线的对称轴为直线 ；③当 时，
；④当 时，y随x的增大而增大；⑤ （m为任意实数）其中正确的个数
是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023·山东泰安·统考中考真题）二次函数 的最大值是 ．
12．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移
个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线 与 轴只有一个交点，则 ．
14．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数 ，若点 在该函数的图
象上，且 ，则 的值为 ．
15．（2023·湖南娄底·统考中考真题）如图，抛物线 与x轴相交于点 、点 ，
与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当 轴时， ．
16．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，王叔叔想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙围成一
个矩形羊圈 ，已知房屋外墙足够长，当矩形 的边 时，羊圈的面积最大．
17．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距
离x（单位：m）之间的关系是 ，则铅球推出的距离 m．18．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶
端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地
处离池中心 ，水管长度应为 ．
三、解答题
19．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，连接 ，与抛物线的对称轴交于点 ，顶点为点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的面积．
20．（2021·江苏盐城·统考中考真题）已知抛物线 经过点 和 ．
（1）求 、 的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
21．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图在平面直角坐标系中，一次函数 的图像经过点
、 交反比例函数 的图像于点 ，点 在反比例函数的图像上，横坐标为
， 轴交直线 于点 ， 是 轴上任意一点，连接 、 ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求 面积的最大值．
22．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）端午节前夕，某批发部购入一批进价为8元/袋的粽子，销售过
程中发现：日销量y（袋）与售价x（元/袋）满足如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）每袋粽子的售价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
23．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进 、 两种品牌的粽子，
两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进 品牌粽子100袋和 品牌粽子150袋，总费用为
7000元；第二次购进 品牌粽子180袋和 品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求 、 两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当 品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对 品牌粽子进
行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当 品牌粽子每袋
的销售价降低多少元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
24．（2016·湖南怀化·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣3，0）、B（5，
0）、C（0，5）三点，O为坐标原点
（1）求此抛物线的解析式；（2）若把抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度得到
新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；
（3）设点P在y轴上，且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA，求CP的长．
参考答案
1．B根据抛物线 ，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
解： ，
顶点坐标为 ，
顶点在第二象限．
故选： ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．D
【分析】把抛物线 化为顶点式，得到对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ，
再分别求出 和 时的函数值，即可得到答案．
解：∵ ，
∴对称轴为 ，当 时，函数的最小值为 ，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时，函数的最大值为2，
故选：D
【点拨】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．C
【分析】先写出抛物线的对称轴方程，再列不等式，再分 ， 两种情况讨论即可．
解：∵直线l为二次函数 的图像的对称轴，
∴对称轴为直线 ，
当 时，则 ，
当 时，则 ，
∴a，b异号，
故选C．
【点拨】本题考查的是二次函数的性质，熟练的利用对称轴在y轴的右侧列不等式是解本题的关键．
4．B
【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．解：由二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线
对应的函数表达式为 ；
故选B．
【点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
5．D
【分析】将 代入二次函数解析式，进而得出 的值，再利用对称轴在 轴左侧，得出 ，再
利用二次函数的顶点式即可求出二次函数最值．
解：将 代入二次函数解析式 得： ，解得： ， ，
∵二次函数 ，对称轴在 轴左侧，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时，二次函数有最小值，最小值为 ，
故选： ．
【点拨】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出 的值是解题关键．
6．C
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
解：二次函数 的对称轴为 ，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点拨】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
7．D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出 、 的正负情况，再由一次函数的性质解答．解：由图象开口向下可知 ，
由对称轴 ，得 ．
∴一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出 、 的正负情况，
要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
8．D
【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解．
解：A. ， ，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而减小，当 时， 的值随 值的增大而增大，故该选项不正确，
不符合题意；
B. ， ，对称轴为直线 ，
当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小，故该选项不正确，
不符合题意；
C. ， ， 的值随 值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；
D. ， ， 的值随 值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键．
9．A
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
解：将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：
．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10．C【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得 ，根据 和点 可得
抛物线的对称轴为直线 ，即可判断②；推出 ，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；
根据当 时，抛物线有最大值 ，即可得到 ，即可判断⑤．
解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵抛物线与x轴交于点 和点 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，故②正确；
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由函数图象可知，当 时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当 时， ，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，y随x的增大而减小，即当 时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线 且开口向下，
∴当 时，抛物线有最大值 ，
∴ ，
∴ ，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点拨】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知
识是解题的关键．
11．
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式，即可求解．
解：利用配方法，将一般式化成顶点式：
二次函数开口向下，顶点处取最大值，
即当 时，最大值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的相关知识．将一般式化为顶点式，顶点处取到最值．其中配方法是解决
问题的关键，也是易错点．
12．2或4/4或2
【分析】先求出抛物线 向下平移1个单位长度后与 的交点坐标，然后再求出新抛物线经
过原点时平移的长度．
解：抛物线 向下平移1个单位长度后的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得， ，
∴抛物线 与 的交点坐标为 和 ，
∴将抛物线 向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点拨】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上
加下减是解题关键．
13．9
【分析】根据抛物线与 轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
解：∵抛物线 与 轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．
【点拨】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式
；抛物线与x轴有一个交点，则判别式 ；抛物线与x轴没有交点，则判别式 ．14．2
【分析】将点 代入函数解析式求解即可．
解：点 在 上，
，
∴
，
解得： （舍去）
故答案为：2．
【点拨】题目主要考查二次函数图象上的点的特点，理解题意正确求解是解题关键．
15．4
【分析】与抛物线 与x轴相交于点 、点 ，可得抛物线的对称轴为直线
，由 轴，可得 ， 关于直线 对称，可得 ，从而可得答案．
解：∵抛物线 与x轴相交于点 、点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵当 时， ，即 ，
∵ 轴，
∴ ， 关于直线 对称，
∴ ，
∴ ；
故答案为：4
【点拨】本题考查的是利用抛物线上两点的坐标求解对称轴方程，熟练的利用抛物线的对称性解题是
关键．
16．15
【分析】设 为 ，则 ，根据矩形的面积公式可得关于x的二次函数关系式，配方
后即可解．解：设 为 ，面积为 ，
由题意可得： ，
当 时， 取得最大值，
即 时，羊圈的面积最大，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大面积的问题常利函数的增减性来解答，
我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量
的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在 时取得．
17．10
【分析】令 ，则 ，再解方程，结合函数图象可得答案．
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令 求解方程的解是解本题的关键．
18． /2.25米/ 米/ m/ 米/ m
【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系，设
抛物线的解析式为 ，将 代入求得a值，则 时得的y值即为水管的长．
解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的水平面为x轴建立直角坐标系．
由于在距池中心的水平距离为 时达到最高，高度为 ，
则设抛物线的解析式为：
，
代入 求得： ．将 值代入得到抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ．
故水管长度为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直
角坐标系是解题的关键．
19．（1）抛物线的解析式为 ；（2）
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得 ，进而可得 ，然后问题可求解．
解：（1）把点 和点 代入抛物线 可得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
20．（1） ， ；（2）
【分析】（1）将点 和 ，代入解析式求解即可；
（2）将 ，按题目要求平移即可．
解：（1）将点 和 代入抛物线 得：解得：
∴ ，
（2） 原函数的表达式为: ，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为:
即
【点拨】本题考查了待定系数法确定解析式，顶点式的函数平移，口诀：“左加右减，上加下减”，
正确的计算和牢记口诀是解题的关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）利用点 、 求解一次函数的解析式，再求 的坐标，再求反比例函数解
析式；
（2）设 则 再表示 的长度，列出三角形面积与 的函数关系式，利用函数的
性质可得答案．
解：（1）设直线AB为
把点 、 代入解析式得：
解得：
直线 为把 代入得：
把 代入：
，
（2）设 轴，
则 由 ＜ ＜ ，
即当 时，
【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性
质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1） ；（2）当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润
是810元
【分析】（1）直接应用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据题意列出获日销售利润与x的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求解．
（1）解：设一次函数的解析式为 ，
将 ， 代入得：
，
解得： ，
∴求y与x之间的函数关系式为 ；
（2）解：设日销售利润为w，
由题意得：
，
∴当 时，w有最大值，最大值为810，
∴当粽子的售价定为12.5元/袋时，日销售利润最大，最大日销售利润是810元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关
系，列出方程或函数关系式是解题的关键．
23．（1） 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）当 品牌粽子
每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，列出 关于 的函数关系式，求出函数的最
值即可．
（1）解：设 种品牌粽子每袋的进价是 元， 种品牌粽子每袋的进价是 元，
根据题意得， ，
解得 ，
故 种品牌粽子每袋的进价是25元， 种品牌粽子每袋的进价是30元；（2）解：设 品牌粽子每袋的销售价降低 元，利润为 元，
根据题意得，
，
∵ ，
∴当 品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出 品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980
元．
【点拨】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一
次方程组是解题的关键．
24．（1）y=﹣ x2+ x+5；（2）0＜n＜3；（3）PC的长为7或17．
解：试题分析：（1）根据A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式即可；（2）
可先求得抛物线的顶点坐标，再利用坐标平移，可得平移后的坐标为（1+n，1），再由B、C两点的坐标
可求得直线BC的解析式，可求得y=1时，对应的x的值，从而可求得n的取值范围；（3）当点P在y轴负
半轴上和在y轴正半轴上两种情况，根据这两种情况分别求得PC的长即可.
解：（1）把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+5；
（2）∵y=﹣ x2+ x+5，
∴抛物线顶点坐标为（1， ），
∴当抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）向下平移 个单位长度，再向右平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线的顶点M坐标为（1+n，1），
设直线BC解析式为y=kx+m，把B、C两点坐标代入可得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5，
令y=1，代入可得1=﹣x+5，解得x=4，
∵新抛物线的顶点M在△ABC内，
∴1+n＜4，且n＞0，解得0＜n＜3，
即n的取值范围为0＜n＜3；
（3）当点P在y轴负半轴上时，如图1，过P作PD⊥AC，交AC的延长线于点D，
由题意可知OB=OC=5，
∴∠CBA=45°，
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°，
∴AD=PD，
在Rt△OAC中，OA=3，OC=5，可求得AC= ，
设PD=AD=m，则CD=AC+AD= +m，
∵∠ACO=∠PCD，∠COA=∠PDC，
∴△COA∽△CDP，
∴ ，即 ，
解得m= ，PC=17；
可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12，
如图2，在y轴正半轴上截取OP′=OP=12，连接AP′，
则∠OP′A=∠OPA，
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA，
∴P′也满足题目条件，此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7，
综上可知PC的长为7或17．考点：二次函数综合题.
