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专题22.3 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)图象与性质
（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．下列各点中，在二次函数 图象上的点是（ ）
A． B． C． D．
2．关于抛物线 ，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线开口向下 B．当 时， 有最小值为3
C．顶点坐标是 D．当 时， 随 的增大而减小
3．已知 ， ， 是抛物线 （k为常数）上的点，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于四个函数 ， ， ， 的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．对称轴是 轴 D． 随 增大而增大
5．已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知抛物线 上有A，B两点，其横坐标分别为 ；在y轴上有一动点C，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．5
7．已知函数 经过A（m， ）、B（m−1， ），若 ．则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和
等于6，则对角线AC的长为（ ）
A．2 B． C． D．
9．从﹣3、﹣1、0、 、2、3这六个数中，随机抽取一个数记为a，若数a使关于x的分式方程
﹣1＝ 有整数解，且使二次函数y＝x2﹣（a﹣1）x+3，当x＞ 时，y随x的增大而增大，那么这
六个数中满足所有条件的a的值之和为（ ）
A．﹣ B． C． D．
10．如图，在 中， ， ，点 从点 沿边 、 匀速运动到点 ，过点
作 交 于点 ，线段 ， ， ，则能够反映 与 之间函数关系的图象
大致是（ ）A． B．
C． D．
二、填空题
11．二次函数 的最小值是 ．
12．抛物线 经过点 ，那么 ．
13．抛物线 与直线 的一个交点坐标是 ，则另一个交点坐标是 ．
14．对于二次函数 ，当 时， 的取值范围是 ．
15．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解
析式为 ．
16．对于二次函数 ，当 取 时，函数值相等，则当 取 时，函数值
为 ．
17．已知 的三个顶点为 ， 将 向右平移 个单位
后， 某一边的中点恰好落在二次函数 的图象上， 则 的值为 .
18．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象上两点A， 的横坐标分别为 ，2．
若 为直角三角形，则 的值为 ．三、解答题
19．在平面直角坐标系中，过点(0，2)且平行于x轴的直线，与直线y=x−2交于点A，点A关于直线
x=2的对称点为B．
(1) 求点A与点B的坐标；
(2) 若函数 的图象与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
20．在同一个直角坐标系中作出y＝ x2，y＝ x2－1的图象．
(1) 分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；
(2) 抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2有什么关系？
21．已知函数 是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
22．如图直角坐标系中 ，O为坐标原点， ， ，二次函数 的图像经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结PA，作 垂足为H，交OB于点Q．
（1）求b，c的值；
（2）当 时，求点P的坐标；
（3）当 面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点Р的坐标．
23．在平面直角坐标系中，P，Q是抛物线 上不重合的两点，点 ，直线
的比例系数互为相反数．
（1）若点P的坐标为 ，求a的值．
（2）在（1）的条件下，求点Q的坐标．
（3）若点P，Q都在第一象限内，且点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，试探究点P与点Q的纵坐
标的差是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．24．已知二次函数y＝ax2与y＝﹣2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝ ；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y
＝﹣2x2+c的图象完全重合，则c＝ ；
（3）二次函数y＝﹣2x2+c中x、y的几组对应值如表：
x ﹣2 1 5
y m n p
表中m、n、p的大小关系为 （用“＜”连接）．
参考答案
1．B
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
解：A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
2．B
【分析】根据二次根式的性质进行判断即可．解： ，
图象开口向下，故A正确；
又 ，
对称轴为y轴，顶点为 ，故C正确；
当 时， 有最大值为3，故B错误；
，对称轴为y轴，
当 时， 随 的增大而减小，而 时， 随 的增大而减小，故D正确．
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据二次函数的性质比较即可．
解：二次函数 的图象开口向下，对称轴是y轴，当 时，y随x的增大而增大，
∵ ， ， 是抛物线上的点，
点 关于y轴的对称点为 ，
∵ ，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此
题的关键．
4．C
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出
函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
解：A．函数 与 的开口向下，函数 与 开口向上， 故此选项不符合题意；
B．函数 与 的开口向下，有最高点；函数 与 开口向上，有最低点， 故
此选项不符合题意；C．函数 ， ， ， 的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数 与 ，当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小；函数
与 ，当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数 的图象性质是解题的关键．
5．C
【分析】本题可先由一次函数y＝ax图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2的图象相比较看
是否一致．
解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错
误；
B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；
C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；
D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与正比例函数的图象，解题的关键是熟练的掌握二次函数的图象
与正比例函数的图象的相关知识点．
6．B
【分析】找出点A关于y轴的对称点 ，连接 与y轴相交于点C，根据轴对称确定最短路线问题，
点C即为使 最短的点，再根据抛物线解析式求出点 、B的坐标，然后利用勾股定理列式计算即
可得解．
解：如图，点A关于y轴的对称点 的横坐标为1，连接 与y轴相交于点C，点C即为使
最短的点，
当 时， ，
当 时， ，
所以，点 ，
由勾股定理得， ．
故选：B．【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，勾股定理，以及二次函数的性质，熟记确定出最短路
径的方法和二次函数的对称性确定出点C的位置是解题的关键．
7．B
【分析】由 图像开口向下，对称轴为y=0知，要使 ，需使A点更靠近对称轴y轴，
由此列出关于m的不等式解之即可 ．
解：∵ 图像开口向下，对称轴为y=0且
∴ ，下面解此不等式．
第一种情况，当m＜0时，得 ，解得m＜0；
第二种情况，当 时，得 ，解得 ；
第三种情况，当 时，得 ，解得，无解；
综上所述得 ．
故选：B．
【点拨】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向
下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，
函数值越小．
8．C
【分析】设点B（x， ），构造方程 +x=6，确定点B的坐标，计算OB的长度，根据正方形的性质
即可得到AC．
解：设点B（x，y）
∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝ 的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于
6，∴AC=BO， +x=6，
解得 （舍去），
∴B（2，4），
∴BO= = ，
∴AC= ，
故选C．
【点拨】本题考查了二次函数的解析式与点的坐标，正方形的性质，一元二次方程的解法，两点间的
距离公式，熟练掌握抛物线的性质，灵活求解方程是解题的关键．
9．D
【分析】求解分式方程 ，利用使分式有意义和使分式有整数解的条件来判断符合的a
的值，再将这些数代入二次函数，根据二次函数的性质即可最后确定符合的a的值，最后相加即可．
解：解分式方程 ，得： ，且 ．
∴ ．
∴-3、-1、0、 、2、3这六个数中，使x为整数的a为：0、 、2、3；
将上述满足条件的a（0、 、2、3）逐项代入二次函数表达式，根据二次函数的性质可知满足条件的
a为：0、 、2，
∴其和为： ．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解分式方程和使分式方程有意义的条件，掌握分式方程的解法和
二次函数的性质是解答本题的关键．
10．D
【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即 时；②当P点在AB上时，即 时，求
出这两种情况下的PC长，则y= PC•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．解：∵△AOB是等腰直角三角形， ，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即 时，
PC=OC= ，S =y= PC•OC= ，
POC
△
是开口向上的抛物线，当 时， ；
②当P点在AB上时，即 时，
OC= ，则BC= ，PC=BC= ，
S =y= PC•OC= ，
POC
△
是开口向下的抛物线，当 时， ．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定和性质，二次
函数的图象和性质，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类
讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
11．2016
【分析】根据二次函数 的性质解答即可．
解：∵对于二次函数 ，若 ，则当 时，y有最小值k，
∴二次函数 的最小值是2016．
故答案为：2016．
【点拨】本题考查了二次函数的最值，把解析式化成顶点式是解题的关键．
12．1
【分析】把点的坐标代入解析式，得6=4a+2，解方程即可．
解：∵抛物线 经过点 ，
∴6=4a+2，
解得a=1，故答案为：1．
【点拨】本题考查了抛物线与点的关系，熟记图像过点，点的坐标满足函数的解析式是解题的关键．
13．
【分析】把交点坐标代入抛物线求出m的值，再代入直线求出b的值，最后联立方程组解方程即可得
出另一个交点坐标．
解：将 代入 得， ，
∴交点坐标为 ，
将其代入直线 得， ，
解得 ，
∴直线的解析式为 ，
联立 ，解得 ， ，
∴另一个交点坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质、求一次函数解析式和两函数图象交点的求解方法，求出题中参
数m和b的值是解题的关键．
14．
【分析】由抛物线解析式可得对称轴为直线 ，且开口向上，再由 可知，当 时，取
得最小值，当 时，取得最大值，即可求出答案．
解：∵二次函数的解析式为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线开口向上，
∵ ，
当 时，取得最小值 ，
当 时， ，当 时， ，
∴当 时，y的取值范围是 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握抛物线对称轴和增减性是解决本题的关键．
15．
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的 球队个打一场，因此要打 场，然而有重复一
半的场次，即可求出函数关系式．
解：根据题意，得 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
16．
【分析】先判断出二次函数图像对称轴为 轴，再根据二次函数的性质判断出 关于 轴对称即
可解答．
解：二次函数 的对称轴为 轴，
取 时，函数值相等，
关于 轴对称，
，
当 取 时，函数值为0．
故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，熟记性质并判断出 关于 轴对称是解题的关键．
17．
【分析】求得三角形三边中点的坐标，然后根据平移规律可得平移后的中点坐标，再根据平移后的中点在二次函数 的图象上，进而算出m的值．
解：∵△ABC的三个顶点为A(-1，-1)，B(-1，3)，C(-3，-3)，
∴AB边的中点(-1，1)，BC边的中点(-2，0)，AC边的中点(-2，-2)，
∵将△ABC向右平移m(m＞0)个单位后，
∴AB边的中点平移后的坐标为(-1+m，1)，BC边的中点平移后的坐标为(-2+m，0)，AC边的中点平移后
的坐标为(-2+m，-2)，
∵二次函数 的图象在x轴的下方，点(-1+m，1)在x轴的上方，
∴AB边的中点不可能在二次函数 的图象上，
把(-2+m，0)代入 ，得
-2(-2+m)2=0，
解得m=2；
把(-2+m，-2)代入 ，得
-2(-2+m)2=-2，
解得m=1，m=3；
1 2
∴ 的值为1，2，3，
故答案为1，2，3．
【点拨】此题主要考查了平移的性质，中点坐标公式，二次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握二
次函数图象上的点(x，y)的横纵坐标满足二次函数解析式．
18． 或
【分析】分两种情况讨论，如图，当 时，利用 建立方程求解即可；
当 利用 建立方程求解即可；从而可得答案.
解：如图，当 时，A， 的横坐标分别为 ，2,
，
过 作 于 则
解得： （负根舍去）
当
同理可得：
解得： （负根舍去）
综上： 或
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，二次函数的性质，掌握“利用勾股定理求解两点之间的距
离”是解题的关键.19．(1)点A的坐标为（4，2），点B的坐标为（0，2）；(2)a≥ ．
【分析】（1）过点（0，2）且平行于x轴的直线，则y=2，联立方程 ，即可求出点A的坐标，
点A关于直线x=2的对称点为B，利用轴对称性质，即可求出点B的坐标；
（2）画出函数图象，把A，B代入 ，求出a的值，确定a的取值范围．
（1）解：过点（0，2）且平行于x轴的直线，则y=2，
根据题意，联立方程 ，解得 ，
∴点A的坐标为（4，2），
∵点B与点A关于直线x=2对称，
∴点B的坐标为（0，2）；
（2）解：把点A（4，2）代入 得， ，
解得a= ，
结合函数图像， （a≠0）与线段AB恰有一个公共点，需满足a≥ ，
∴a≥ ．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，待定系数法确定二次函数的解析式等知识点．运用数形结合的
方法是解决本题的关键．
20．见分析
解：试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝ x2－1与抛物线y＝ x2形状相同，对
称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平
移1个单位长度得到的．
解：如图所示：
(1)抛物线y＝ x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；
抛物线y＝ x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．
(2)抛物线y＝ x2－1可由抛物线y＝ x2向下平移1个单位长度得到．
21．（1）m=2，m=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随
1 2
x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
解：（1）∵函数 是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m=2，m=﹣3；
1 2
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点拨】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义
与性质是解答本题的关键．
22．（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）把 ， 两点坐标代入二次函数 ，化简计算即可；
（2）设 ，根据 ，利用相似比 ，化简计算即可；
（3）当 面积是四边形AOQH面积的2倍时，则有 ，将设
代入化简即可.
解：（1）把 ， 代入 ，
则有
解之得： ．
（2）设
∵ ，
∴
∴ ，∴ ，得 （取正值），
∴
∴（3）当 的面积是四边形AOQH的面积的2倍时，由三角形面积公式可得： ，
由（2）可知
∴ ，
得： ， ，
∴ 或
【点拨】本题考查的是二次函数的综合运用，熟悉相关性质定理，是解题的关键.
23．（1）2；（2） ；（3）是， ；理由见详解．
【分析】（1）根据题意可直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）设直线 的表达式为 ，然后根据（1）及题意可求解直线PM的解析式，则由直线
的比例系数互为相反数，进而求解问题即可；
（3）设点Q的坐标为 ，则有点P的坐标为 ，设直线 的表达式为 ，则
直线 的表达式为 ，然后联立函数表达式，进而可根据题意求解即可．
解：（1）由题意得： ，解得 ；
（2）设直线 的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
∵直线 的比例系数互为相反数，
∴直线 的表达式为 ，
∴ ，解得 ，
∴点Q的坐标为 ；
（3）是定值；理由如下：设点Q的坐标为 ，
∵点P的横坐标是点Q的横坐标的3倍，
∴点P的坐标为 ，
再设直线 的表达式为 ，则直线 的表达式为 ，
∴ ，两式相减，得 ，
∴ ，
∴直线 的表达式为 ，
把 代入 ，解得 ，
∴点P与点Q的纵坐标的差为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题
的关键．
24．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐
标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有
改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n
【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；
(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数 y =ax2-2，根据完全重合，
得到c =-2．
(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．
解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐
标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有
改变，但是，顶点坐标会发生改变；
（2）∵函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，
∴a＝±2，
∵抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，
∴c＝﹣2，
故答案为：±2，﹣2．
（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，
∴p＜m＜n，
故答案为：p＜m＜n．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟
知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
