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专题 22.3 二次函数 y=ax ²(a≠0)和 y=ax ²+c(a≠0)的图象与性质
（专项练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）函数 是关于 的二次函数，则 的值为
（ ）
A． B． 或 C． D． 不存在
2．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）二次函数 ，若在其图象的对称轴左侧，y随x的增大
而增大，则下列各点不在其图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山西晋城·一模）若点 ， ， 都在二次函数 的图象上，则有
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）将抛物线 绕原点O旋转 ，则旋转后抛物线的解析
式为（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23九年级上·北京昌平·期末）关于四个函数 ， ， ， 的共同点，下
列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．都有最低点
C．对称轴是 轴 D． 随 增大而增大
6．（23-24九年级上·山东泰安·期中）平面直角坐标系中，已知点 ，过点 作 轴，垂足为 ，若抛物线 与 的边总有两个公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23九年级上·广东惠州·期中）已知抛物线 ．下列结论：
①抛物线开口向下；②对称轴是 轴；③顶点坐标是 ；④函数有最小值 ；⑤当 时， 随 的
增大而减小．
其中正确的个数有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
8．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线 ，直线 ，将抛物线在直线l左侧的部分
沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点
在G上，则a的取值范围是（ ）
A． B． 或 C． D．
9．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，抛物线 经过正方形 的三个顶点 ， ， ，
点 在 轴上，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．210．（2023·河南南阳·一模）在钝角三角形 中（如图1）， ，点P为边 上一动点，连接
，在直线 的上方构造等腰直角三角形 ，使 ，连接 ，设 的长为x， 的面
积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则 的面积为（ ）
A．20 B．10 C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知函数 是关于 的二次函数，则m的
值是 ．
12．（23-24九年级上·天津东丽·阶段练习）二次函数 ，当 时，y的取值范围为
．
13．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于 ，当
为直角三角形时， 满足的关系为： ．
14．（2023·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，如
等．抛物线 上的“黎点”是 ．
15．（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，正方形 的顶点 在抛物线 的第一象限的
图象上，若点 的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线 的长为 ．16．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为
， ，若抛物线 与线段 有交点，则a的取值范围是
17．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知 ， 是抛物线 上的两点，点 的横坐标为 ，点
的横坐标为 ， 为线段AB的中点， 轴，交抛物线于点 ．
（1）抛物线的顶点坐标是 ；
（2）线段 的长为 ．
18．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，分别过点 作 轴的垂线，交
的图象于点 ，交直线 于点 ，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系内，已知抛物线
上有两个点 、 ，它们的横坐标分别为 ， ．若 为直角三角形，求 的值．
20．（8分）（2022九年级下·全国·专题练习）根据下列条件求a的取值范围：
（1）函数y＝(a-2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；
（2）函数y＝(3a-2)x2有最大值；
（3）抛物线y＝(a+2)x2与抛物线 的形状相同；
（4）函数 的图象是开口向上的抛物线．
21．（10分）（23-24九年级上·河南驻马店·期中）已知函数 是关于 的二次函数．
（1）求满足条件的 的值；
（2）m为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，这时，抛物线的增减性如何？
22．（10分）（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数 位于 的下方的图象沿
轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．
（1）当 时，新函数值为______，当 时，新函数值为______；
（2）当 ______时，新函数有最小值；
（3）当新函数中函数 随 的增大而增大时，自变量 的范围是______；
(4)直线 与新函数图象有两个公共点时， 的取值范围______．23．（10分）在平面直角坐标系 中，将点 定义为点 的“关联点”．已知：点
在函数 的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点 ．
（1）请在如图的基础上画出函数 的图像，简要说明画图方法；
（2）如果点 在函数 的图象上，求点 的坐标；
（3）将点 称为点 的“待定关联点”（其中， ）．如果点 的“待定关联
点” 在函数 的图象上，试用含n的代数式表示点 的坐标．
24．（12分）（23-24九年级上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，点 、 在 的图象上．已知 、
的横坐标分别为 、 ，直线 与 轴交于点 ，连接 、 ．
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；（3）在 轴上找一点 ，使 的值最小，求点 的坐标和 的最小值．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得 且 即可，解
题的关键是熟记二次函数的定义：形如 的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得 ，解得： ，
故选： ．
2．A
【分析】根据二次函数的定义求出 ，再结合函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，
可知 ，即可求出函数，再将各点代入函数逐项判断即可．
【详解】解：根据题意， 是二次函数，
，
解得： ，
函数图象的对称轴左侧，y随x的增大而增大，
抛物线开口方向向下，
，
，即 ，
当 时， ，故 不在其图象上， 在其图像上，
当 时， ，当 时， ，故 ， 在其图象上，
故选： ．
【点拨】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图形和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本
题的关键．
3．D
【分析】
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地
运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是 y轴，根据 时，y随x的增大而减小，
即可得出答案．
【详解】
解：∵ 的图象开口向下，对称轴是y轴， 关于y轴的对称点是 ，
∴ 时，y随x的增大而减小，
又∵
∴ ，
故选：D．
4．A
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求得
旋转后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式求解即可．
【详解】解： 的顶点坐标为 ，
∵抛物线 绕原点O旋转 ，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为 ，
∴旋转后的抛物线的解析式为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化是解题的关键．
5．C
【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得
出函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D．
【详解】解：A．函数 与 的开口向下，函数 与 开口向上， 故此选项
不符合题意；
B．函数 与 的开口向下，有最高点；函数 与 开口向上，有最低点，
故此选项不符合题意；C．函数 ， ， ， 的对称轴都是y轴，故此选项符合题意；
D．函数 与 ，当 时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小；函数
与 ，当 时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大；故此选项不符
合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数 的图象性质是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程与二次函数的
关系．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，再结合二次函数的性质即可解答，解题
的关键是利用数形结合的思想解决问题．
【详解】解：设 所在直线的函数解析式为 ，
把 代入得， ，
解得 ，
∴ 所在直线的函数解析式为 ，
∵抛物线 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 轴，顶点坐标为 ，
如图，
∵点 ， 轴，∴点 坐标为 ，
将 代入 得， ，
解得 ，
∴ 时，抛物线向上移动，抛物线与 的边有两个交点，
如图，
当抛物线经过原点时，有两个交点，将 代 得， ，
当抛物线向上平移，且与直线 ： 只有一个交点时，
由 得， ，
解得 ，
∴ 时与三角形有两个交点，
综上， ，
故选：C．
7．B
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本
题得以解决．
【详解】解：∵抛物线 ，
∴抛物线开口向下，故①正确；
对称轴是 轴，故②正确；
顶点坐标是 ，故③错误；函数有最大值 ，故④错误；
当 时， 随 的增大而减小，故⑤正确；
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数
的性质解答．
8．A
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算
当 的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得 的范围．
【详解】解：如图，把 代入 ，
∴ ，
由图象可得直线 ，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，
如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点 在G上，
∴ ；
故选A
9．D
【分析】本题考查正方形的性质，二次函数的图象和性质，先根据抛物线解析式求出 ，再
根据正方形的性质得出 ，进而可得点 ，将A点坐标代入抛
物线解析式，即可求出 的值．【详解】解：如图，连接 交y轴于点D，
对于 ，当 时， ，
，
四边形 是正方形，
，
，
，
解得 ，
故选D．
10．D
【分析】由图2可得，当 ， ，点P运动到点A的位置，过点Q、C分别作 的垂
线，垂足为D、E，由勾股定理先求出 的长，根据全等三角形的判定和性质得到 ，进
而求出面积．
【详解】解：由图2可得，当 ， ，点P运动到点A的位置，
过点Q、C分别作 的垂线，垂足为D、E，如图：∵ ， ，三角形 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，能够作辅助线构造全等三角形是解题的关
键．
11．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得： ，
解得： ．故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的定义，注意到 是关键．
12．
【分析】当 时， 在 取得最大值，当 时， ，当 时， ，即可
求解．
【详解】解：∵
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为 ，
∴当 时，y取得最大值3，
又∵当 时， ，
当 时， ，
∴当 时，y的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数值的取值范围，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
13．
【分析】本题考查二次函数的性质，理解 的性质是解题关键．先分别求得抛物线
与坐标轴的交点，然后根据等腰直角三角形的性质分析求解．
【详解】解：当 时， ，
∴抛物线与y轴交于点 ，
当 时， ，解得 ，
∴ ，且a，c异号，
当 为直角三角形时，此时 ，
∴ ，∴ ，即 ，
故答案为： ．
14． ，
【分析】根据题意，横纵坐标互为相反数的点称为“黎点”，得到横纵坐标的数量关系，直接将点
代入函数解析式，解一元二次方程即可．
【详解】由题可知，“黎点”的坐标为 ，代入 ，
得 ，即 ，
解得 ，
故坐标为： ， ．
故答案为： ，
【点拨】此题考查二次函数的性质，解题关键是理解题意，推出点的横纵坐标关系，然后列方程求
解．
15． /
【分析】设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为 ，将 代入抛物线，再根据正方形对角
线相等的性质，即可解题．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 四边形 是正方形，
，
设B点的横坐标为a，则B点的纵坐标为 ，将 代入抛物线，得 ，解得： （舍）， ，
∴ ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，求出点B的坐标是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在 之间，将 ，
分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上 ，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结
果．
【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段 有交点，如下图：
抛物线与线段的交点需要在 之间，
当抛物线经过A点时， ，解得： ，
当跑五项经过B点时， ，解得： ，
抛物线开口向上 ，a的绝对值越小，开口越大，
．
故答案为：
17． ； ．
【分析】（ ）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标；（ ）由题意写出 、 的坐标，再根据中点坐标得出 点坐标，再由 轴得出 点坐标即
可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴抛物线的顶点坐标是 ，
故答案为： ，
（2）依据题意可知，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ，
∵ 为线段 的中点，
∴ 的坐标为 ，
∵ 轴，
∴点 的坐标为 ，
∴CD＝ ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知
识点是解决本题的关键．
18．
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质．熟练掌握题中的规律是
解决本题的关键．
根据本题中连接两点线段的长等于两点纵坐标差的绝对值，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵
消即可得到结果．
【详解】根据题意得： ，
∵ ，
∴ ，．
故答案为： ．
19． 或
【分析】本题主要考查勾股定理和二次函数的图象和性质，要注意在 的直角顶点不确定的情
况下，要分类讨论，以免漏解．分别用 表示 、 两点的坐标，然后根据坐标系两点距离公式求
出 、 ， 的值，然后分三种情况，用勾股定理进行求解即可．
【详解】把横坐标 ， 分别代入 得 、 ，
∴ ， ， ，
当 时， ，即 ，
解得 ， （舍）；
当 时， ，即 ，
解得 ， （舍）；
当 时， ， ，
此方程无解，
综上，当 为直角三角形， 的值为 或 ．
20．（1）a＜2；（2） ；（3） ， ；（4）a＝1【分析】（1）由题意根据二次项的系数小于0，对称轴左边y随x增大而减小，对称轴右边y随x
增大而增大，可得答案；
（2）由题意根据二次函数有最大值，可得二次项的系数小于0；
（3）由题意根据抛物线的形状相同，可得两个二次函数的二次项系数相同或互为相反数；
（4）由题意根据函数图象开口向上，可得二次项系数与0的关系．
【详解】解：(1)由题意得，a-2＜0，解得a＜2；
(2)由题意得，3a-2＜0，解得 ；
(3)由题意得， ，解得 ， ；
(4)由题意得， ，
解得a＝-2，a＝1，但a＞0，
1 2
∴a＝1．
【点拨】本题考查二次函数的性质，二次函数的二次项系数大于0，开口向上，有最小值，二次函
数的二次项系数小于0，开口向下，有最大值.
21．(1) 或
(2)当 时，抛物线有最高点，最高点坐标为 ，当 时， 随 的增大而减小；当
时，随 的增大而增大
【分析】本题考查了二次函数的二次函数的性质，以及二次函数的定义，熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义得到 且 ，进而可得到满足条件的m的值；
（2）根据二次函数的性质得到当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，则 ，然后根
据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）根据题意得， 且 ，
解得 或
（2）当 时， ，抛物线开口向上，该抛物线有最低点，
当 时， 抛物线开口向下，该抛物线有最高点．此时抛物线解析式为 ，则最高点坐标为 ，
当 时， 随 的增大而减小；当 时，随 的增大而增大．
22．(1)5，3
(2)-2或2
(3) 或
(4) 或
【分析】（1）把 和 分别代入 求得函数值，根据函数图象即可求得答案；
（2）根据函数图象即可求得；
（3）根据函数图象即可求得；
（4）根据图象求得答案即可．
【详解】（1）解：把 代入 ，
得 ，
把 代入 ，
得 ，
当 时，新函数值为 ，当 时，新函数值为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：观察图象可得：
当 或 时，新函数有最小值为 ，
故答案为： 或 ；
（3）解：观察图象可得：
当新函数中函数 随 的增大而增大时，自变量 的范围是 或 ；
故答案为： 或 ；
（4）解：观察图象可得：
直线 与新函数图象有两个公共点时， 的取值范围 或 ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形
结合是解题的关键．
23．(1)见解析(2)
(3)
【分析】（1）将图中的抛物线 向下平移2个单位长，可得抛物线 ；
（2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到 ，然后代入 ，得到
，解得 ，即可求得点A 的坐标；
1
（3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到 ，然后代入 ，
得到 ，解得 ，即可求得点A 的坐标．
2
【详解】（1）解：将图中的抛物线 向下平移2个单位长，可得抛物线 ，
如图：
（2）解：由题意，得点 的“关联点”为 ，
由点 在抛物线 上，可得 ，
∴ ，
又 在抛物线 上，
，
解得 ．
将 代入 ，得 ；（3）解：点 的“待定关联点”为 ，
∵ 在抛物线 的图象上，
，
．
又
,
当 时， ，
故可得 ．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关
联点的坐标．
24．(1)直线 的解析式为： ；
(2) ；
(3) ， 的最小值为 ．
【分析】（1）将 的横坐标分别代入 求出 的值，得到 ， 点坐标，再运用待定系
数法求出直线 的解析式即可；
（2）求出 的长，根据“ ”求解即可；
（3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的值最小，先
利用待定系数法求得直线 ，进而即可求得点 的坐标，利用勾股定理即可求得 的最小
值．
【详解】（1）解：∵ ， 是抛物线 上的两点，
∴当 时， ；当 时，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为
设直线 的解析式为 ，把 ， 点坐标代入得
解得，
所以，直线 的解析式为： ；
（2）解：对于直线 ：
当 时，
∴
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
如图，作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ，则 的值最小，
设直线 ∶ ，
∵直线 ∶ 过点 和点 ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 ∶ ，令 ，有 ，
解得 ，
∴ ，
∵点 关于 轴的对称点为 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 的长： ．
【点拨】此题主要考查了运用待定系数法求直线解析式，轴对称的性质，勾股定理，二次函数二次
函数的图像及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键．
