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专题 22.3 二次函数 y=ax ²+bx+c 的图象和性质之八大考点
【考点导航】
目录
【典型例题】.....................................................................................................................................................1
【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】...........................................................................................................1
【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】...................................................................................................2
【考点三 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】...........................................................................................8
【考点四 求二次函数与x轴的交点坐标】...................................................................................................11
【考点五 求二次函数与y轴的交点坐标】...................................................................................................13
【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】......................................................................................14
【考点七 二次函数的平移】..........................................................................................................................15
【考点八 根据二次函数的增减性求最值】..................................................................................................17
【过关检测】...................................................................................................................................................21
【典型例题】
【考点一 把y=ax²+bx+c化成顶点式】
例题：（2023·北京海淀·校考一模）将二次函数 化成 的形式，结果为
．
【变式训练】
1．（2023·山西晋中·统考一模）将抛物线 化成顶点式为 ．
2．（2023秋·山东淄博·九年级校考期末）二次函数 图象的顶点坐标是 ．
3．（2023春·江苏无锡·九年级校联考期末）二次函数 的图象开口向 ，顶点坐标为
．【考点二 画二次函数y=ax²+bx+c的图象】
例题：（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）已知：二次函数 ．
(1)将函数关系式化为 的形式，并指出函数图像的对称轴和顶点坐标；
(2)利用描点法画出所给函数的图像．
x ··· 0 1 2 3 ···
y ··· ···
(3)当 时，观察图像，直接写出函数值y的取值范围．
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线 ．
(1)该抛物线的对称轴是_______，顶点坐标_______；
(2)选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
… …
… …(3)若该抛物线上两点 ， 的横坐标满足 ，试比较 与 的大小．
2．（2023·上海松江·统考一模）已知二次函数 ．
(1)用配方法求这个二次函数的顶点坐标；
(2)在所给的平面直角坐标系 中（如图），画出这个二次函数的图像；
(3)请描述这个二次函数图像的变化趋势．
3．（2023秋·九年级统考期末）小明用描点法画抛物线 ．
(1)请帮小明完成下面的表格，并根据表中数据在所给的平面直角坐标系中描点，连线从而画出此抛物线；
x … 0 1 2 3 4 5 …… 0 …
(2)直接写出抛物线的对称轴，顶点坐标．
【考点三 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质】
例题：（2023秋·河南郑州·九年级统考期末）已知抛物线 ，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线
C．抛物线的顶点坐标为 D．当 时，y随x的增大而减小
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级专题练习）关于抛物线 的判断，下列说法正确的是（ ）．
A．抛物线的开口方向向上 B．抛物线的对称轴是直线
C．在抛物线对称轴左侧， 随 增大而减小 D．抛物线顶点到 轴的距离是2
2．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于二次函数 ，下列说法中
错误的是（ ）
A．图象顶点坐标为 ，对称轴为直线 ．
B． 的最小值为 ．
C．当 时， 的值随 值的增大而增大，当 时， 的值随 值的增大而减小．
D．它的图象可由 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到．3．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数 ，下列说法正确的是( )
A．点 在该函数的图象上
B．当 且 时，
C．该函数的图象与x轴一定有交点
D．当 时，该函数图象的对称轴一定在直线 的左侧
【考点四 求二次函数与x轴的交点坐标】
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线 与 轴交点坐标为
__________．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）二次函数 图象与 轴的交点坐标为_________．
2．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数 的图象交x轴于点A，B．则点 的距离
为________．
【考点五 求二次函数与y轴的交点坐标】
例题：（2023·上海·一模）抛物线 与y轴交点的坐标为____．
【变式训练】
1．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）抛物线 与y轴的交点坐标为______．
2．（2023春·湖南永州·九年级统考期中）二次函数 的图象与 轴交点坐标是________．
3．（2023·全国·九年级假期作业）抛物线 与 轴的交点坐标是______ ，与 轴的交点坐标是
_______ ．
【考点六 已知二次函数上对称的两点求对称轴】例题：（2023春·江苏盐城·八年级校考期中）已知抛物线 经过点 、 ，那么此抛
物线的对称轴是______．
【变式训练】
1．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）若 ， 在抛物线
上，则m的值为_______________．
2．（2023秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数 的x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
则该二次函数图象的对称轴为直线___________．
【考点七 二次函数的平移】
例题：（2023·广东江门·统考模拟预测）把函数 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单
位长度平移后图象的函数解析式为___________．
【变式训练】
1．（2023·广东佛山·校考三模）将抛物线 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式是______．
2．（2023·黑龙江牡丹江·统考二模）将二次函数 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个
单位，得到的新图象与y轴交点的纵坐标为_______．
3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）把抛物线 先向左移动2个单位，在向下移动4个单位，
所得到的新的抛物线的顶点坐标为____________．
【考点八 根据二次函数的增减性求最值】
例题：（2023春·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）二次函数 的最大值是___________，最小值是___________．
【变式训练】
1．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数 的最小值是______，最大值
是______．
2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十二中学校考一模）已知二次函数 .
（1）当 时，二次函数的最小值为________；
（2）当 时，二次函数 的最小值为1，则 ________.
3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数 ，
（1）当 时，二次函数 的最大值为______．
（2）当 时，二次函数 的最大值为6，则 的值为______．
【过关检测】
一、选择题
1．（2023秋·浙江宁波·九年级统考期末）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）把抛物线 向右平移2个单位，然后向
下平移3个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）
A． B． C． D．3．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）关于二次函数 ，下列说法不正确的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的左侧
C．图像的顶点坐标为 D．当 时， 的值随 值的增大而减小
4．（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）已知抛物线 （ ）上部分点的横坐标 与纵坐
标 的对应值如下表：
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … -4 0 2 2 0 -4 …
下列结论：①抛物线开口向下；②当 时， 随 增大而减小；③抛物线的对称轴是 ；④函数 的
最大值是2．其中正确的结论是( )
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
5．（2023·陕西西安·校考一模）已知：二次函数 ，下列说法中错误的个数是（ ）
若图象与 轴有交点，则
若该抛物线的顶点在直线 上，则 的值为
当 时，不等式 的解集是
若将图象向上平移 个单位，再向左平移 个单位后过点 ，则
若抛物线与 轴有两个交点，横坐标分别为 、 ，则当 取 时的函数值与 取 时的函数值相
等．
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023春·浙江金华·八年级统考期末）抛物线 的对称轴是直线 ，则 ．
7．（2023春·广东河源·九年级校考阶段练习）抛物线 的开口方向 ，对称轴是
，顶点坐标是 ．
8．（2023·上海·九年级假期作业）已知点 ， 在二次函数 的图像上，则（填“>”“<”或“=”）．
9．（2023秋·北京海淀·九年级期末）抛物线 与x轴的交点坐标为 ，与y轴交点坐标
为 ．
10．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）已知：抛物线 ．
（1）此抛物线的对称轴为直线 ；
（2）当 时，y的最小值为−4，则 ．
三、解答题
11．（2023·四川泸州·统考一模）如图，抛物线 与 轴交于两点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)求 的面积．
12．（2023·上海奉贤·统考一模）已知抛物线 ，将这条抛物线向左平移3个单位，再向下平
移2个单位．(1)求平移后新抛物线的表达式和它的开口方向、顶点坐标、对称轴，并说明它的变化情况；
(2)在如图所示的平面直角坐标系内画出平移后的抛物线．
13．（2023春·辽宁大连·九年级专题练习）已知抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B左
侧），与y轴交于点C，
(1)用配方法求出顶点D坐标
(2)画出函数图象
(3)直接写出四边形 的面积；
14．（2023春·北京西城·九年级北京八中校考开学考试）对于抛物线 ．
(1)它与 轴交点的坐标为_______，与 轴交点的坐标为________，顶点坐标为_______；
(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
… …
… …
(3)当 时，结合函数图象，直接写出 的取值范围________；(4)若点 ， 在抛物线上，且 ，直接写出 的取值范围_______．
15．（2023春·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期末）已知二次函数 ．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；
②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．
16．（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知抛物线 与 轴交于 ， 两点．(1)求 的值和点 的坐标；
(2)在抛物线上任取一点 ，作点 关于原点 的对称点 ．
①是否存在 ， 两点均在抛物线上的情况？如果存在，求 的长；如果不存在，请说明理由；
②请在网格中画出点 所在曲线的大致图象，并求当 取得最小值时点 的坐标．
