专题22.4 二次函数（章节复习）
（知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： 二次函数的定义......................................................2
知识点梳理02：二次函数的图象与性质.................................................3
知识点梳理03：二次函数的几何变换...................................................4
知识点梳理04：待定系数法求函数解析式...............................................4
知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系......................................5
知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程..............................................5
知识点梳理07： 二次函数与实际问题..................................................6
优选题型 考点讲练......................................................................7
高频考点1：根据二次函数的定义求参数................................................7
高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质.................................................8
高频考点3：二次函数图象与各项系数符号.............................................11
高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号.........................................14
高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值...........................................16
高频考点6：y=ax²+bx+c的最值......................................................18
高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径...........................................21
高频考点8：待定系数法求二次函数解析式.............................................24
高频考点9：线段周长问题（二次函数综合)............................................26
高频考点10：面积问题（二次函数综合）..............................................30
高频考点11：角度问题（二次函数综合）..............................................34
高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标..............................................41
高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标..............................................44
高频考点14：抛物线与x轴的交点问题................................................46
高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况..................................48
高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围......................................51
高频考点17：根据交点确定不等式的解集..............................................54
高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数).........................................57
高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数).....................................59高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数).........................................61
高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数).........................................63
高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数).........................................65
高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数).........................................68
高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数).......................................70
高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数).........................................72
高频考点26：面积问题（二次函数综合）..............................................76
高频考点27：线段周长问题（二次函数综合）..........................................79
高频考点28：角度问题（二次函数综合）..............................................82
中考真题 实战演练.....................................................................88
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................97
基础夯实..........................................................................97
培优拔高..........................................................................99
知识点梳理01： 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、
b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次
函数解析式的这三种形式可以互化.知识点梳理02：二次函数的图象与性质
1. 二次函数的性质与图像：
形式
一般式： 顶点式
的符号
开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下
，若 同号，则对称轴在 ，若 ，对称轴在 轴右边；若
对称轴
轴左边；若 异号，则对称轴在 轴右 ，对称轴在 轴左边，
边。简称左同右异。
当 时取得 当 时取得 当 时取得最小 当 时取得最大
最值
值 值
最小值 最大值
顶点坐标
图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边
随 的增大而减 随 的增大而增 随 的增大而减 随 的增大而增
增减性 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴
右边 随 的增大 右边 随 的增大而 右边 随 的增大 右边 随 的增大而
而增大； 减小； 而增大； 减小；
①若二次函数是一般形式时，则二次函数与 轴的交点坐标为 。若 ，则二次函数与
轴交于正半轴；若 ，则二次函数与 轴交于负半轴。
②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的
函数值越小。
③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。
知识点梳理03：二次函数的几何变换
1. 二次函数的平移：
①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移
个单位，y=ax2+bx+c变成
（或 ）
2. 一次函数的对称变换：
①若二次函数关于 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
②若二次函数关于 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
知识点梳理04：待定系数法求函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)。
1 2
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由a决定， ，开口向上， ，开口向下。
2. 二次函数的对称轴：
b
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为x=− 。若 同号，则
2a
＜0，二次函数的对称轴在 轴的左边；若 异号，则 ＞0，二次函数的对称轴
在 轴的右边。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴 =1，则 0。
②若二次函数的对称轴 =﹣1，则 0。
3. 二次函数与 轴的交点：
二次函数 与 轴的交点坐标为（0，c）。
拓展：在二次函数 中：
是自变量为1的函数值， 是自变量为﹣1的函数值。
是自变量为2的函数值， 是自变量为﹣2的函数值。
是自变量为3的函数值， 是自变量为﹣3的函数值。
知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与一元二次方程：
①若二次函数 与 轴有两个交点⇔一元二次方程 有两个不
相等的实数根⇔ 。
②若二次函数 与 轴只有一个交点⇔一元二次方程 有两个相等的实数根⇔ 。
③若二次函数 与 轴没有交点⇔一元二次方程 没有实数根
⇔ 。
④若二次函数 与直线 相交，则一元二次方程为 。交
点情况与方程的解的情况同与 轴相交时一样。
2. 二次函数与不等式（组）
若二次函数 与一次函数 存在交点，则不等式：
的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；
的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
知识点梳理07： 二次函数与实际问题
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
2. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转
化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：
总利润＝单利润×数量
现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝原数量－ ×变化数量（原数量＋ ×变化数量）
涨价基础 降价基础4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。
高频考点1：根据二次函数的定义求参数
【典例精讲】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，满足如下四
个条件：abc=0；a+b+c=3；3a+4b+2c=5，a<b<c，则a= ，c= ．
【答案】 −1 4
【思路引导】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识
点是解题关键．由二次函数的定义可得a≠0，进而得到b=0或c=0，再分别求解即可．
【规范解答】解：∵二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∴a≠0，
∵abc=0，
∴b=0或c=0，
当b=0时，a+c=3，3a+2c=5，
解得：a=−1，c=4，满足a<b<c，符合题意；
当c=0时，a+b=3，3a+4b=5，
解得：a=7，b=−4，不满足a<b<c，不符合题意；
故答案为：−1；4．
【变式训练】（24-25九年级上·广西防城港·期中）已知关于x的函数y=(m2−m)x2+mx+(m+1)．
(1)当m为何值时，此函数是二次函数？
(2)当m为何值时，此函数是一次函数？
【答案】(1)m≠0且m≠1
(2)m=1
【思路引导】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如y=kx+b(k≠0)的函数关系称为一次函数；形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数关系称为二次函数是解题的关键．
（1）根据二次函数的定义即可求解；
（2）根据一次函数的定义即可求解．
【规范解答】（1）解：由二次函数的概念可得m2−m≠0
解得m≠0且m≠1；
（2）解：由一次函数的概念可得
{m2−m=0)
，
m≠0
解得：m=0或m=1，且m≠0，
∴m=1．
高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2x+3．
(1)补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；
x … −1 0 1 2 3 …
y … 0 3 …
(2)根据图象回答：当−1<x<2时，y的取值范围是______；
(3)设A(−1,0)，B(2,3)，过点(0,t)与y轴垂直的直线l与抛物线交于点P(x ,y )，Q(x ,y )．其中
1 1 2 2
x <x ，与直线AB交于点N(x ,y )，若x <x <x ，直接写出t的取值范围______．
1 2 3 3 1 3 2
【答案】(1)3，4，0；函数图象见解析(2)0<y≤4
(3)0<t<3
【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，正确画出函数图象，是解题的关键．
（1）将x的值代入解析式，求出y值，填表，进而画出函数图象即可；
（2）图象法进行求解即可；
（3）图象法进行求解即可．
【规范解答】（1）解：∵y=−x2+2x+3，
∴x=0时，y=3；x=1时，y=4，x=3时，y=0，
描点、连线、绘制函数图象如下：
故答案为：3，4，0；
（2）解：观察函数图象知，当−1<x<2时，y的取值范围是0<y≤4，
故答案为：0<y≤4；
（3）解：根据图象，当直线y=t在点A和B之间时满足x <x <x ，
1 3 2
∴t的取值范围为0<t<3，
故答案为：0<t<3．【变式训练】（2025·福建南平·二模）已知二次函数y=−4x2+4x．
(1)请完善下表，通过描点、连线，在网格图中画出函数图象，利用图象回答：当y≥0时，x的取值范围是
；
0.
x … 0 1 …
5
y … …
(2)两个不相等的正数a,b满足a+b=2．求证：关于x的方程ax2+2ax+2a−1=0，
bx2+2bx+2b−1=0不可能同时有实数根．
【答案】(1)见解析，0≤x≤1
(2)见解析
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象和一元二次方程根的关系．
（1）将表中x数值代入y=−4x2+4x，求出y值填表即可；再通过表中的数据描点画出函数图象即可；最
后根据函数图象可得，当y≥0时，x的取值范围；
（2）假设关于x的方程ax2+2ax+2a−1=0,bx2+2bx+2b−1=0都有实数根，根据（1）知，当y≥0
时，0≤x≤1，则当Δ ≥0时，0≤a≤1，Δ ≥0时，0≤b≤1，进而得0≤a+b≤2，再根据a,b是两个不
1 2
相等的正数，得0<a+b<2与a+b=2相矛盾，即可得出结论．【规范解答】（1）解：表格如下：
0.
x … 0 1 …
5
y … 0 1 0 …
在网格图中画出函数图象如下：
由函数图象可知，当y≥0时，x的取值范围：0≤x≤1，
故答案为：0≤x≤1；
（2）解：证明：假设关于x的方程ax2+2ax+2a−1=0,bx2+2bx+2b−1=0都有实数根，
则有Δ =(2a) 2−4a(2a−1)=−4a2+4a=−4 ( a− 1) 2 +1≥0
1 2
Δ =(2b) 2−4b(2b−1)=−4b2+4b=−4 ( b− 1) 2 +1≥0
2 2
由（1）知，当y≥0时，0≤x≤1，
所以当Δ ≥0时，0≤a≤1，
1
当Δ ≥0时，0≤b≤1，
2
所以0≤a+b≤2，
因为a,b是两个不相等的正数，
所以0<a+b<2，与a+b=2相矛盾，
所以假设不成立，
所以关于x的方程ax2+2ax+2a−1=0,bx2+2bx+2b−1=0不可能同时有实数根．
高频考点3：二次函数图象与各项系数符号
【典例精讲】（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0
）与x轴交于点(4,0)，对称轴为直线x=1，下列结论中（ ）①abc>0；②3a+c<0；③M(−3,y ),N(3,y )是抛物线上两点，则y <y ；
1 2 1 2
1
④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5没有实数根，则0<a< ；
2
⑤对于任意实数m，总有am2+bm−a−b>0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【规范解答】解：①由抛物线开口向上得，a>0；由对称轴位于y轴的右侧得，a,b符号相异，b<0；由
抛物线与y轴交于负半轴得，c<0；∴abc>0，该选项正确，符合题意；
b
②由对称轴为直线x=1得，− =1，b=−2a，(4,0)的对称点为(−2,0)，
2a
当x=−1时，y=a−b+c=3a+c<0，该选项正确，符合题意；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，且|−3−1)=4,|3−1)=2,4>2，
∴y >y ，该选项错误，不符合题意；
1 2
④由②得b=−2a，
y=ax2−2ax+c，
将(4,0)代入上式得，16a−8a+c=0，
解得c=−8a，
由关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5没有实数根，结合图象得，
a−5<a+b+c，
即a−5<a−2a−8a，
1
解得a< ，
2
又因为抛物线开口向上，1
∴0<a< ，该选项正确，符合题意；
2
⑤∵抛物线开口向上，
∴顶点为最低点，顶点纵坐标为最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c
即am2+bm−a−b≥0，该选项错误，不符合题意；
所以正确的选项是①②④，
故选：B．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则下列结论中错误的是（ ）
A．abc>0 B．当x>4时，y>0
C．a−b+c=0 D．2a−b=0
【答案】D
【思路引导】本题考查了图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数之间的关系，二次函数系数符号由抛
物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对
称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可．
【规范解答】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线对称轴为x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故选项D错误，符合题意；
∴b<0，
∵抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故选项A正确，不符合题意；∵抛物线与 x 轴一个交点为 (3,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 (−1,0) ，
∴x>3 时 y>0，
∴x>4时 y>0，故选项B正确，不符合题意；
当 x=−1 时，y=a(−1) 2+b×(−1)+c=a−b+c，
∵抛物线与 x 轴的交点为 (−1,0) ，
∴a−b+c=0，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．
高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中两个变量
x与y的三组对应值：
x … −2 2 8 …
y … n 1 n …
点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上．若当2<x <x 时，y <y <1，下列四个结论：①a<0；②
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x >6；③25a+5b+c−1>0；④若记二次函数y=ax2+bx+c(x <x<8,a≠0)的图象为图形G，存
1 2 1
在直线y=k与图形G有两个交点，则2<x <3．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
1
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②③
【答案】B
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线x=3，再结
合二次函数的增减性，逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关
键．
8+(−2) b
【规范解答】解：由表格数据可得，该二次函数对称轴为直线x= =3=− ，
2 2a
∴点(2,1)关于对称轴的对称点为(4,1)，
若a>0时，开口向上，离对称轴越近值越小，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2<x <x 时，y <y <1，
1 1 2 2 1 2 1 2∴|x −3)<|x −3)<|2−3)，
1 2
当2<x <x <3时，3−x <3−x <1，解得x >x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
当2<x <3<x 时，3−x <x −3<1，解得2<x <3<x <4，x +x >6，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
当3<x <x 时，x −3<x −3<1，解得3<x <x <4，x +x >6，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
若a<0时，开口向下，离对称轴越近值越大，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2<x <x 时，y <y <1，
1 1 2 2 1 2 1 2
∴|x −3)>|x −3)>|2−3)，
1 2
当2<x <x <3时，3−x >3−x >1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 2
当2<x <3<x 时，3−x >x −3>1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 1
当3<x <x 时，x −3>x −3>1，解得x >x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
∴a>0，当2<x <3<x <4时，x +x >6，当3<x <x <4时，x +x >6，故①错误，②正确；
1 2 1 2 1 2 1 2
∵a>0，开口向上，当x>3时，函数值随着x增大而增大，把x=5代入y=ax2+bx+c得y=25a+5b+c，
当x=4时，y=1，
∴25a+5b+c>1，即25a+5b+c−1>0，故③正确；
当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c的图象有最低点，当x>3时，函数值随着x增大而增大，
∵二次函数y=ax2+bx+c(x <x<8,a≠0)的图象记为图形G，且存在直线y=k与图形G有两个交点，
1
∴2<x <x ，
1 2
∵由题意可得图形G不是单调的，其中x <x<8必须包含x=3，
1
∴x <3<8，
1
∴2<x <3，故④正确；
1
综上所述，正确的有②③④，
故选：B．
【变式训练】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线
x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则下列4个结论：①
b2−4ac<0；②2a−b=0；③a+b+c<0；④点M(x ,y )、N(x ,y )在抛物线上，若x <x ，则
1 1 2 2 1 2
y ≤ y ，其中正确的是 ．
1 2【答案】②③
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与系数的关系，利用抛物线与x轴的交点
个数对①进行判断；利用抛物线的对称轴方程对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一
个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以x=1时，y<0，则可对③进行判断；利用二次函数的性质对④进行判
断．
【规范解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，
故①错误；
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴ b=2a，
即2a−b=0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴x=1时，y<0，
∴ a+b+c<0，
故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴当x <x <−1时，y <y ，
1 2 1 2
当−1<x <x 时，y >y ，
1 2 1 2
故④错误，
故答案为：②③．
高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值
【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)．①a−b+c>0；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是
；③若点 和 在该抛物线上，则 ；④对任意实数n，不等式 总
(−3,0) (−1,y ) (2,y ) y <y an2+bn≤a+b
1 2 1 2
成立．其中正确的有 ．
【答案】①③④
【思路引导】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．根据
二次函数的图像和性质进行解题即可．
【规范解答】解：对称轴是直线x=1，
4+x
∴ =1，
2
故该抛物线与x轴的另一个交点坐标是(−2,0)，故②错误；
将x=−1代入，可得y=a−b+c，
由图像可知，此时图像在x轴上方，故a−b+c>0，故①正确；
∵x=1时，函数有最大值，(2,y )距离对称轴更近，故y <y ，故③正确；
2 1 2
∵x=1时，函数有最大值，
故an2+bn+c≤a+b+c，即不等式an2+bn≤a+b总成立，故④正确；
故答案为：①③④．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·期末）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直
1
线x=−1，部分图象如图所示，下列结论中：①a= b：②5a+c>0：③若t为任意实数，则有
2
a−bt≤at2+b：④点(1,2)在抛物线上时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x ,x (x <x )，则
1 2 1 2
x +2x =−1，其中正确的结论的个数为（ ）
1 2A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【思路引导】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，熟练掌握以上知识是解答本题的
关键．
1
利用抛物线开口向上得到a>0，利用抛物线的对称轴方程得到a= b，即可判断①；由x=1时，y>0得
2
a+b+c>0，再结合b=2a得3a+c>0，由于a>0，所以5a+c>0，即可判断②；当x=−1时，
y=a−b+c取得最小值，所以a−b+c≤at2+bt+c，化简后即可判断③；根据对称性得二次函数
y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(−3,2)，所以x =−3，x =1，代入x +2x 中即可判断④．
1 2 1 2
【规范解答】解：① ∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=−1，即− =−1，
2a
1
∴a= b，故①正确；
2
② ∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
而b=2a，
∴3a+c>0，
∵a>0，
∴5a+c>0，故②正确；
③ ∵x=−1时，y=a−b+c取得最小值，
∴a−b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a−bt≤at2+b，故③正确；
④ ∵点(1,2)在抛物线上时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x ,x (x <x )，
1 2 1 2
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(1,2)，∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=−1，
∴二次函数y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(−3,2)，
即x =−3，x =1，
1 2
∴x +2x =−3+2×1=−1，故④正确；
1 2
故选：D．
高频考点6：y=ax²+bx+c的最值
【典例精讲】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，AB=8，C是线段AB上一动点（不与点A，B重
合），以AC为边作正方形ACMN，以BC为边作菱形BCDE（正方形ACMN与菱形BCDE在AB的同
侧），连接MD，当∠E=60°时，△CDM面积的最大值为 ．
【答案】4
【思路引导】本题主要考查了二次函数的最值问题，正方形的性质，菱形的性质，含30度角的直角三角形
1
的性质，由菱形的性质得到CD=CB，∠BCD=∠E=60°，则可求出∠CDF=30°，则CF= CD；
2
1
设CB=CD=x，则AC=AB−BC=8−x，CF= x，由正方形的性质得到
2
1 1
CM⊥AB，CM=AC=8−x，则S = CM⋅CF=− (x−4) 2+4，据此求解即可．
△CDM 2 4
【规范解答】解：如图所示，过点D作DF⊥BC于F，
∵四边形BCDE是菱形，
∴CD=CB，∠BCD=∠E=60°，
∴∠CDF=90°−∠DCF=30°，
1
∴CF= CD，
2
1
设CB=CD=x，则AC=AB−BC=8−x，CF= x，
2
∵四边形ACMN是正方形，
∴CM⊥AB，CM=AC=8−x，∴CM∥DF，
1 1 1 1
∴S = CM⋅CF= ⋅ x⋅(8−x)=− (x−4) 2+4，
△CDM 2 2 2 4
∴当x−4=0，即x=4时，S 有最大值，最大值为4，
△CDM
故答案为：4．
【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定
义：点A(x,y)是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y−x”称为点A的“纵横值”．函数
图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．
例如：点A(1,3)在函数y=2x+1图象上，点A的“纵横值”为3−1=2，函数y=2x+1图象上所有点的
“纵横值”可表示为y−x=2x+1−x=x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1=7，所以函数
y=2x+1(3≤x≤6)的“最优纵横值”为7．
根据定义，解答下列问题：
(1)点B(−6,2)的“纵横值”为________；
3
(2)若二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，且最优纵横值为5，求c的值；
2
1
(3)若二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，当−1≤x≤3时，求该二次函数的纵横值的范
2
围．
【答案】(1)8
(2)c=4
5
(3)−5≤函数纵横值≤
4
【思路引导】本题考查了二次函数的性质，涉及顶点坐标以及最值，正确理解题意，掌握二次函数的相关
性质是解题的关键．
（1）点B(−6,2)的“纵横值”为2−(−6)=8，即可求解；
b 3
（2）由题意得− = ，解得b=3，y=−x2+3x+c，进而得
2×(−1) 2，即可求解；
y−x=−x2+2x+c=−(x−1) 2+c+1
1
（3）由题意得3= ℎ+2，解得ℎ=2，y=−(x−2) 2+3=−x2+4x−1，进而得
2
y−x=−x2+3x−1=− ( x− 3) 2 + 5 ，即可求解．
2 4
【规范解答】（1）解：点B(−6,2)的“纵横值”为2−(−6)=8，
故答案为：8；
3
（2）∵二次函数y=−x2+bx+c的顶点在直线x= 上，
2
b 3
∴ − = ，
2×(−1) 2
解得b=3，
∴ y=−x2+3x+c，
∴ y−x=−x2+2x+c=−(x−1) 2+c+1，
∵最优纵横值为5，
∴c+1=5，
解得c=4；
1
（3）∵二次函数y=−(x−ℎ) 2+3的顶点在直线y= x+2上，
2
1
∴ 3= ℎ+2，
2
解得ℎ=2，
∴ y=−(x−2) 2+3=−x2+4x−1，
∴ y−x=−x2+3x−1=− ( x− 3) 2 + 5 ，
2 4
当−1≤x≤3时可知，
3 5
当x= 时，(y−x) = ，
2 max 4( 3) 2 5
当x=−1时，(y−x) =− −1− + =−5，
min 2 4
5
∴ −5≤函数纵横值≤ ．
4
高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点
A(6, 0), B(−1, 0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
【答案】(1)y=−x2+5x+6
(5 7)
(2)M ,
2 2
【思路引导】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数的图象和性
质是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答即可；
5
（2）由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x= ，连接AC交对称轴于点M，由点A、B关于对称轴对
2
称可得AM=BM，即得CM+BM=AM+BM=AC，由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最
小，利用待定系数法求出直线AC的解析式，进而即可求解．
{36a+6b+6=0)
【规范解答】（1）解：把A(6, 0), B(−1, 0)代入抛物线y=ax2+bx+6得， ，
a−b+6=0
{a=−1)
解得 ，
b=5
∴抛物线的函数表达式为y=−x2+5x+6；
（2）解：∵抛物线y=−x2+5x+6，5
∴抛物线对称轴为直线x= ，
2
把x=0代入y=−x2+5x+6得y=6，
∴C(0,6)，
连接AC交对称轴于点M，连接BM，如图所示：
∵点A、B关于对称轴对称，
∴AM=BM，
∴CM+BM=CM+AM=AC，
由两点之间线段最短，可知此时CM+BM的值最小，最小值即为线段AC的长，
设直线AC的解析式为y=kx+n，
{0=6k+n)
把A(6,0)，C(0,6)代入得， ，
6=n
{k=−1)
解得： ，
n=6
∴直线AC的解析式为y=−x+6，
5 5 7
当x= 时，y=− +6= ，
2 2 2
(5 7)
∴M , ．
2 2
【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图所示，抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于点A和点
B，与y轴交于点C，且OA =OC，点M、N是直线x=−1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上
方），给出以下结论：①OB=1；②−x2+bx =−x2+bx 且x ≠x ，则x +x =−1；③若m是抛物线上
1 1 2 2 1 2 1 2
除顶点外的任意一点横坐标，则−1−b>−m2+bm；④BM+CN的最小值是❑√10其中说法正确的有
．（填写正确结论的序号）【答案】①③④
【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；
①先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点B的坐标，即可判断①；
根据对称性得出x +x =−2，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为−1−b+3，即可判断③；
1 2
取E (0,1)，连接AM，EM，AE，可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME，则四边形BCNM
的周长=BC+CN+NM+BM，再由点A，B关于直线MN对称，得到AM=BM，则
BM+CN=AM+ME≥AE，故当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时BM+CN
最小，即可判断④．
【规范解答】解：∵点C是抛物线y=−x2+bx+3与y轴交点，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OA=OC=3，
∴点A的坐标为(−3,0)，
∴0=−9−3b+3，
∴b=−2，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得x=1或x=−3，
∴点B的坐标为(1,0)，
∴OB=1，故①正确；
∵−x2+bx =−x2+bx 且x ≠x ，
1 1 2 2 1 2
设y=−x2+bx +3=−x2+bx +3，则x ,x 关于x=−1对称，
1 1 2 2 1 2
∴x +x =−2，故②错误，
1 2
∵x=−1时，函数有最大值为−1−b+3，若m是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为，−m2+bm+3
∴−1−b+3>−m2+bm+3
即−1−b>−m2+bm，故③正确
取E (0,1)，连接AM，EM，AE，
∴CE=MN=2
，
又∵MN∥CE，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴CN=ME，
∵点A，B关于直线MN对称，
∴AM=BM，
∴ BM+CN=AM+ME≥AE，
∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时BM+CN最小，
∴AE=❑√12+32=❑√10，
∴四边形BM+CN的最小值为❑√10．故④正确
故答案为：①③④．
高频考点8：待定系数法求二次函数解析式
【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）（1）已知关于x的方程(x−3)(x−2)−p²=0，
若方程的一个根x =1，求方程的另一个实数根x 及p的值；
1 2
( 9)
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(−2,0)，(4,0)两点，且过点 1,− ，求这个二次
2
函数的解析式．
1
【答案】（1）方程的另一个实数根是4，p的值是±❑√2；（2）y= x2−x−4．
2
【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟知相关
知识是解题的关键．（1）先把原方程化为一般式，由根与系数的关系可得x₁+x₂=5,x₁x₂=6−p²，据此求出x 的值，进而
2
可求出p的值；
（2）先把解析式设为交点式，再利用待定系数法求解即可．
【规范解答】解：（1）∵(x−3)(x−2)−p²=0，
∴x²−5x+6−p²=0，
∴x +x =5,x x =6−p²，
1 2 1 2
∵x =1，
1
∴x =4，
2
∴4=6−p²，
∴p=±❑√2．
∴方程的另一个实数根是4，p的值是±❑√2，
（2）∵二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(−2,0)，(4,0)两点，
∴可设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x−4)，
( 9)
又∵函数的图象过点 1,− ，
2
9
∴− =a(1+2)(1−4)，
2
1
解得 a= ，
2
1 1
∴这个二次函数的解析式为 y= (x+2)(x−4)，即 y= x2−x−4．
2 2
【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y=ax2+(2m−6)x+1经过点(1,2m−4)．
(1)求a的值；
(2)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(3)点(−m,y )，(m,y )，(m+2,y )在抛物线上，若y <y ≤ y ，求m的取值范围．
1 2 3 2 3 1
【答案】(1)1
(2)x=3−m
(3)1<m≤2
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
（1）将点(1 ,2m−4)代入抛物线解析式计算即可；（2）结合（1）中的结果，将抛物线解析式化为顶点式即可求解；
（3）分两种情况讨论：①当m>0时，可知点(−m , y )，(m, y )，(m+2, y )从左至右分布，根据
1 2 3
m+m+2 −m+m+2
y <y 可得3−m< ，根据y ≤ y 可得3−m≥ ，即可求解；②当m≤0时，即−m≥0，
2 3 2 3 1 2
即有m≤−m<−m+3，可得y ≥ y ，与题意不符，舍去.
2 1
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+(2m−6)x+1经过点(1,2m−4)，
∴2m−4=a+(2m−6)+1，
∴a=1；
（2）由（1）得抛物线的表达式为y=x2+(2m−6)x+1，
即y=[x+(m−3)) 2 +1−(m−3) 2，
∴抛物线的对称轴为x=3−m；
（3）①当m>0时，
可知点(−m , y )，(m, y )，(m+2, y )从左至右分布，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
1 2 3
m+m+2
根据y <y 可得3−m< ，
2 3 2
∴m>1，
−m+m+2
根据y ≤ y 可得3−m≥ ，
3 1 2
∴m≤2，
∴1<m≤2；
②当m≤0时，即−m≥0，
∵m≤−m<−m+3，
∴y ≥ y ，不符合题意.
2 1
综上，m的取值范围为1<m≤2．
高频考点9：线段周长问题（二次函数综合)
【典例精讲】（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)．A点在原点的左侧，B点的坐标为
(3,0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，
请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．
【答案】(1)y=−x2+2x+3
(2)(1,2)
3 15 75
(3)P( , )，四边形面积的最大值为
2 4 8
【思路引导】本题主要考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用菱形的性质求出P点
的纵坐标是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意求出l :y=−x+3以及二次函数的对称轴，由题意可知，点A和点B关于x=1对称，当点
BC
Q(1,y)在l :y=−x+3上时，△QAC的周长最小，即可得到答案；
BC
（3）根据面积的和差，得到二次函数，根据二次函数的性质和自变量与函数值的对应关系，求出点P的坐
标．
【规范解答】（1）解：将B、C两点坐标代入y=−x2+bx+c，
{−9+3b+c=0)
得 ，
c=3
{b=2)
解得 ，
c=3
∴y=−x2+2x+3；
（2）解：设l :y=kx+b，
BC
将C(0,3)，(3,0)代入，
{ b=3 )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得
b=3故l :y=−x+3，
BC
∵ y=−x2+2x+3，
b 2
对称轴x=− =− =1，
2a 2×(−1)
设点Q(1,y)，
由题意可知，点A和点B关于x=1对称，
当点Q(1,y)在l :y=−x+3上时，△OAC的周长最小，
BC
此时点Q(1,2)，
（3）解：过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设点P的横坐标为x，则0<x<3，
P(x,−x2+2x+3)，
由（2）得l :y=−x+3，
BC
则Q点的坐标为(x,−x+3)，
PQ=−x2+3x，
1 1 1
S =S +S +S = AB⋅OC+ QP⋅BF+ QP⋅OF
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ 2 2 2
1 1
= ×4×3+ (−x2+3x)×3
2 2
3 3 2 75
=− (x− ) + ，
2 2 8
3
当x= 时，四边形ABPC的面积最大，
2
3 15 75
此时P点的坐标为( , )，四边形ABPC的面积最大为 ．
2 4 8
【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x
轴交于A、B两点，其中点A的坐标为(−3,0)，与y轴交于点C，点D(−2,−3)在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAD周长最小，若存在，求出P点的坐标及△PAD周长的最
小值．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)❑√10+3❑√2，P(−1,−2)
【思路引导】（1）根据A,D的坐标，待定系数法求解析式即可；
（2）先求得点B的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，D,P,B三点共线，进
而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线BD的解析式即可得到P的坐标．
【规范解答】（1）解：∵A(−3,0),D(−2,−3)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，
{ 9−3b+c=0 )
∴
4−2b+c=−3
{ b=2 )
解得
c=−3
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：∵ y=x2+2x−3 =(x+1) 2−4
∴对称轴为x=−1
如图，连接DB，
∵A,B x=−1
关于 轴对称
∴PA=PB
△APD的周长等于AD+PA+PD=AD+PB+PD≥AD+DP，当D,P,B三点共线时，△APD的周长取得最小值，最小值为AD+DP
由抛物线解析式y=x2+2x−3，
令y=0，即x2+2x−3=0，
解得x =−3,x =1，
1 2
∴B(1,0)，
∵A(−3,0),D(−2,−3),B(1,0)，
∴AD=❑√(−3+2) 2+(−3) 2=❑√10，DB=❑√(1+2) 2+(−3) 2=3❑√2，
∴ △APD的周长的最小值为❑√10+3❑√2，
∵D(−2,−3),B(1,0)，
设直线BD为y=ex+n，
{ e+n=0 )
∴ ，
−2e+n=−3
{ e=1 )
解得： ，
n=−1
∴直线BD为y=x−1，
当x=−1时，y=−2，
∴P(−1,−2)．
【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对
称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
高频考点10：面积问题（二次函数综合）
1
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线y=− x2+2x+c与x轴交于A(−1,0)、
2
B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上的点，且点P的横坐标是3，求△PAB的面积．1 5
【答案】(1)y=− x2+2x+
2 2
(2)12
【思路引导】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与几何问题，正确求出二次函数解析式是解题的关
键．
（1）把A(−1,0)代入函数解析式即可；
（2）把x=3代入抛物线，求得点P的坐标，把y=0代入抛物线，求得点B的坐标，即可解答．
【规范解答】（1）解：把A(−1,0)代入函数解析式可得，
1 5
0=− −2+c，解得c= ，
2 2
1 5
∴抛物线的函数解析式为y=− x2+2x+ ；
2 2
1 5
（2）解：当x=3时，y=− ×9+2×3+ =4，
2 2
∴P(3,4)，
1
当y=0时，可得0=− x2+2x+c，
2
解得x =−1,x =5，
1 2
∴B(5,0)，
∴AB=5−(−1)=6，
AB×4
∴S = =12．
△PAB 2
【变式训练】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等腰直角三角
1
形，∠BAC=90°,A(1,0)，B(0,2)，抛物线y= x2+bx−2的图象经过C点．
2(1)求抛物线的解析式；
(2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不
存在，说明理由．
1 1
【答案】(1)抛物线的解析式为y= x2− x−2
2 2
(2)当L移动到x=3−❑√3处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分
(3)存在，P点坐标为(−2,1)
【思路引导】（1）首先过C作CK⊥x轴于K，构造全等三角形△AOB≌△CKA，求出点C的坐标，
然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
1 5
（2）设抛物线的对称轴所在直线L交BC于P ，交AC于Q，设直线L为x=m，求出S = ×(❑√5) 2= ，
1 △ABC 2 2
求出BC与AC的解析式，则可求出P Q；根据题意，列出方程求解即可；
1
（3）设P的横坐标为t，然后根据平行四边形的性质及中点坐标公式求解即可．
【规范解答】（1）解：过C作CK⊥x轴于K，如图：
∵∠BAC=90°=∠BOA=∠AKC
，
∴∠BAO=90°−∠CAK=∠ACK，
∵AB=AC，
∴△AOB≌△CKA(AAS)，
∴OA=CK，OB=AK，
∵A(1,0)，B(0,2)，
∴OA=CK=1，OB=AK=2，
∴OK=3，
∴C(3,1)，
1
把C(3,1)代入y= x2+bx−2得：
29
+3b−2=1，
2
1
解得b=− ，
2
1 1
∴抛物线的解析式为y= x2− x−2；
2 2
（2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交BC于P ，交AC于Q，此时直线L恰好将△ABC的面积分为相
1
等的两部分，如图：
设直线L为x=m，
由A(1,0)，B(0,2)可得AB=❑√12+22=❑√5，
1 5
∴S = ×(❑√5) 2= ，
△ABC 2 2
设直线AC为y=a x+b ，
1 1
将A(1,0)，C(3,1)代入y=a x+b ，
1 1
{a +b =0 )
得 1 1 ，
3a +b =1
1 1
1
{ a = )
1 2
解得 ，
1
b =−
1 2
1 1
∴直线AC解析式为y= x− ，
2 2
( 1 1)
∴Q m, m− ，
2 2设直线BC为y=a x+b ，
2 2
将B(0,2)，C(3,1)代入y=a x+b ，
2 2
{3a +b =1)
得 2 2 ,
b =2
2
{ a =− 1 )
解得 2 3 ，
b =2
2
1
∴直线BC解析式为y=− x+2，
3
( 1 )
∴P m,− m+2 ，
1 3
( 1 ) (1 1) 5 5
∴P Q= − m+2 − m− =− m+ ，
1 3 2 2 6 2
∴S =
1(
−
5
m+
5)
⋅(3−m)=
5
m2−
5
m+
15
，
△NCQ 2 6 2 12 2 4
5 5 15 1 5
∴ m2− m+ = × ，
12 2 4 2 2
解得m=3+❑√3（此时直线L在C右侧，舍去）或m=3−❑√3，
∴当L移动到x=3−❑√3处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分；
（3）解：存在点P，使四边形PACB为平行四边形，
理由如下：
设P的横坐标为t，
∵四边形PACB为平行四边形，∴PC的中点即为AB的中点，
∵A(1,0)，B(0,2)，C(3,1)，
∴t+3=1+0，
解得t=−2，
1 1 1 1
此时 t2− t−2= ×(−2) 2− ×(−2)−2−2=1，
2 2 2 2
∴P(−2,1)，
经检验，P(−2,1)符合题意；
∴P点坐标为(−2,1)．
【考点剖析】本题考查了二次函数综合题型以及二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系
数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．解题的关键是用含字母的代数式表示相关点
坐标和相关线段的长度．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．
高频考点11：角度问题（二次函数综合）
1
【典例精讲】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线y=− x2+bx+3与x轴相交于A，B两点
4
（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．
(1)求AB的长；
(2)点D为BC上方抛物线上的一动点，若△BCD的面积是△ABC面积的一半，求点D的横坐标；
(3)过点C的直线y=mx+n(m>0)与抛物线的另一个交点为M，若∠MCB=2∠ABC，求点M的坐标．
【答案】(1)AB=8
(2)点D的横坐标为4或2
(3)M(2,4)
【思路引导】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质．
（1）求出抛物线的表达式，得到A(−2,0),B(6,0)，即可求解；
（2）由S = 1( − 1 m2+ 3 m ) ⋅6=6，即可求解；
△BCD 2 4 2
（3）证明CN=CB，则NO=BO=6，得到N(−6,0)，即可求解．
b b
− =− =2b=2
【规范解答】（1）解：∵ 2a 1 ，
−
2∴b=1，
1
∴y=− x2+x+3，
4
1
令y=0，则0=− x2+x+3，
4
∴x =−2,x =6，
1 2
∴A(−2,0),B(6,0)，
∴AB=8．
（2）解：当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
1
∴S = ×8×3=12，
△ABC 2
∴S =6，
△BCD
设直线BC的表达式为：y=kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0=6k+3，
1
则k=− ，
2
1
则直线BC:y=− x+3，
2
过点D作DE∥y轴交BC于E，
设D ( m,− 1 m2+m+3 ) ，则E ( m,− 1 m+3 ) ，
4 2
∴ 1( − 1 m2+ 3 m ) ⋅6=6，
2 4 2
∴m =4,m =2，
1 2
∴点D的横坐标为4或2；（3）解：设直线y=mx+n与x轴交于点N，
则∠MCB=∠MNB+∠ABC=2∠ABC，
∴∠MNB=∠ABC，
∴CN=CB，
∴NO=BO=6，
∴N(−6,0)，
{0=−6m+n) { m= 1 )
由点C、N的坐标得， ，解得： 2 ，
n=3
n=3
1
∴直线l的解析式为：y= x+3，
2
1 1
令 x+3=− x2+x+3，
2 4
解得：x =0,x =2，
1 2
∴M(2,4)．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与直线
3 11
y=− x+3交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为 ，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，
4 4
点P的横坐标为m．
(1)求c的值．(2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分∠PAB，求m
的值．
(3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点N，
设四边形PMAN的周长为l．
①求l关于m的函数解析式；
②若点(m,l ),(m+1,l )都在l关于m的函数图象上，当l <l 时，直接写出m的取值范围．
1 2 1 2
【答案】(1)c=3
5
(2)m=
4
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4 1
(3)① ；②0<m<
l=−2m2−3m ( m> 11) 2
4
【思路引导】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数
形结合思想成为解题的关键．
（1）根据题意求得点A(0,3)，再代入y=−x2+2x+c即可求得c的值；
(11 15) 3
（2）先求出B , ，再运用待定系数法求得直线AB的解析式为y=− x+3，由点A与点C关于抛
4 16 4
物线的对称轴对称，可得AC∥x轴，AC的解析式为y=3；如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，
( 3 )
根据等腰三角形的性质可得PE=DE，点P的横坐标为m，则P(m,−m2+2m+3)、D m,− m+3 ，进
4
3
而得到PE=−m2+2m,ED= m，然后根据PE=DE列关于m的方程求解即可；
4
（3）①分两种情况，当P点位于A、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形PMAN是平行
( 3 )
四边形，即AM=PN、MP=AN；由题意可得P(m,−m2+2m+3)、N m,− m+3 ，进而得到
4
PE，ED，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函
数的性质列关于m的方程解答即可．3
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=− x+3=3，即A(0,3)，
4
将A(0,3)代入y=−x2+2x+c，可得：c=3．
∴y=−x2+2x+3．
11
（2）解：∵点B的横坐标为 ，
4
3 3 11 15 (11 15)
∴y=− x+3=− × +3= ，即点B , ，
4 4 4 16 4 16
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{
3=b
) {
b=3
)
则 15 11 ，解得： 3 ，
= k+b k=−
16 4 4
3
∴直线AB的解析式为y=− x+3，
4
∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴AC∥x轴，AC的解析式为y=3，
如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，
∵AC平分∠PAB，
∴PE=DE，
∵点P的横坐标为m，
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，D m,− m+3 ，
4
∴PE=−m2+2m+3−3=−m2+2m,ED=3− ( − 3 m+3 ) = 3 m，
4 43 5
∴−m2+2m= m，解得：m=0（舍弃）或m= ．
4 4
（3）解：①如图：当P点位于A、B之间时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点
N，
∴四边形PMAN是平行四边形，
∴AM=PN，MP=AN，
∵点P的横坐标为m，m>0
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4
∴AM=PN=−m2+2m+3− ( − 3 m+3 ) =−m2+ 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( −m2+ 11 m+ 5 m ) =−2m2+8m，即l=−2m2+8m ( 0<m< 11) ．
4 4 4
如图：当P点位于B点右侧时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点N，∴四边形PMAN是平行四边形，
∴AM=PN，MP=AN，
∵点P的横坐标为m，m>0
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4
∴AM=PN=−(−m2+2m+3)+ ( − 3 m+3 ) =m2− 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( m2− 11 m+ 5 m ) =2m2−3m，即l=−2m2−3m ( m> 11) ，
4 4 4
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4
∴l关于m的函数解析式为 ．
l=−2m2−3m ( m> 11)
4
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4
②∵ ，
l=−2m2−3m ( m> 11)
4
∵l=−2m2+8m=−2(m−2) 2+8
． ，函数图形开口向上，对称
轴为m=2两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴左侧时，0<m<m+1≤2，
∴0<m≤1
{
0<m<2
)
两点分别在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴左右两侧时， 11 ，
2<m+1<
4
即1<m<2，比较到对称轴的距离，
2−m>m+1−2
3
∴1<m< ；
2
{
m>2
)
两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴右侧时， 11 ，
m+1<
4
不等式无解，不符合题意；
{ l=−2m2+8m ( 0<m< 11))
4
当两点分别在函数 上时，
l=−2m2−3m ( m> 11)
4
11
{ m< )
4 11
，即2<m< 时，
11 4
m+1>
4
7+❑√65 7−❑√65
−2m2+8m<2(m+1) 2−3(m+1)，m> 或m< ，
8 8
7+❑√65 11
则 <m< ，
8 4
7+❑√65 11
当两点都在函数l=−2m2−3m上时， <m< ，
8 4
3 7+❑√65 11 7+❑√65 11
综上所述，m的取值范围0<m< 或 <m< 或 <m< ．
2 8 4 8 4
高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）抛物线部分图象如图所示，过点C(0,−3)，顶点
D(1,−4)．(1)求抛物线的解析式及它与x轴的交点坐标；
(2)结合函数图象，直接写出当y>−3时，x的取值范围是__________．
(3)结合函数图象，直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围是__________．
【答案】(1)y=(x−1) 2−4；抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或(3,0)
(2)x<0或x>2
(3)−4≤ y≤0
【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−4(a≠0)，再利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再令y=0，
即可求出与x轴的交点坐标；
（2）求出点C(0,−3)关于对称轴对称的点的坐标为(2,−3)，再结合函数图象即可得解；
（3）求出当x=3时，y=0，再结合函数图象判断即可得解．
【规范解答】（1）解：∵抛物线顶点D(1,−4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−4(a≠0)，
将C(0,−3)代入解析式可得：a−4=−3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x−1) 2−4，
令y=0，则(x−1) 2−4=0，
解得：x=−1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或(3,0)；
（2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C(0,−3)关于对称轴对称的点的坐标为(2,−3)，由函数图象可得，当y>−3时，x的取值范围是x<0或x>2；
（3）解：当x=3时，y=(3−1) 2−4=0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围是−4≤ y≤0．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则当△MAC的周长
最小时，点M的坐标是 ．
【答案】(2,1)
【思路引导】根据“将军饮马”模型，先求出A(1,0),B(3,0),C(0,3)，由二次函数对称性，A,B关于对
称轴对称，从而C =CA+CM+MA=CA+CM+MB，AC=❑√OA2+OC2=❑√10，则△MAC周长
△MAC
的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共
线时线段CB长，再求出直线BC的解析式，即可得到答案．
【规范解答】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所
求点，
∵ y=x2−4x+3 A,B A B
抛物线 与x轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），与y轴交于点C，
∴当y=0时，0=x2−4x+3，
解得：x=1或x=3，
即A(1,0),B(3,0)；
当x=0时，y=3，即C(0,3)，
1+3
∴抛物线对称轴为直线x= =2，
2
由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，即MA=MB，
∴ C =CA+CM+MA=CA+CM+MB，
△MAC
∵ AC=❑√OA2+OC2=❑√10，
∴当CM+MB最小时，△MAC周长的最小，
根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点C(0,3)，B(3,0)代入得：
{ b=3 )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得： ，
b=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
当x=2时，y=1，
∴点M的坐标为(2,1)，
故答案为：(2,1)．
【考点剖析】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性
质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标
【典例精讲】（2025·山西运城·三模）如图，二次函数y=mx2−2x+n的图象与x轴交于A(−1,0)、B
两点，与y轴交于点C，顶点为D，下列结论正确的是（ ）A．m=2 B．该函数图象与y轴的交点的纵坐标是−4
C．当x<0时，函数值y<0 D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断
即可．
−2
【规范解答】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2m
∴m=1；故A选项错误；
∴y=x2−2x+n，
把A(−1,0)代入y=x2−2x+n，得：0=1+2+n，
∴n=−3，
∴y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=−3，
∴该函数图象与y轴的交点的纵坐标是−3，当x<0时，y>−3，故B，C选项错误；
由图象可知，当x>1时，y随x的增大而增大；故D选项错误；
故选D．
【变式训练】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称
轴与x轴交于点D．已知A(−1,0),B(3,0)，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点P的横
坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标．
(2)点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大，求出此时P点坐标和△PCD的最大面积．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=−x2+2x+3，点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(1,0)；
(5 7) 25
(2) , ，△PCD面积的最大值为 ．
2 4 8
【思路引导】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知
识，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标；
（2）作PE⊥x轴于点E，连接OP，设点P的坐标为(m,−m2+2m+3)，根据
S =S +S −S 列式，再利用二次函数的性质即可求解．
△PCD △POC △POD △OCD
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，
{−1−b+c=0
)
∴ ，
−9+3b+c=0
{b=2)
解得 ，
c=3
∴抛物线的函数表达式为y=−x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，y=−(x−1) 2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∴点D的坐标为(1,0)；
（2）解：作PE⊥x轴于点E，连接OP，设点P的坐标为(m,−m2+2m+3)，∵点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(1,0)，
∴OC=3，OD=1，PE=−m2+2m+3，
∴S =S +S −S
△PCD △POC △POD △OCD
1 1 1
= ×3m+ ×1×(−m2+2m+3)− ×1×3
2 2 2
1 5
=− m2+ m
2 2
1( 5) 2 25
=− m− + ，
2 2 8
1
∵− <0，
2
5 25
∴当m= 时，△PCD面积的最大值为 ．
2 8
此时−m2+2m+3=−
(5) 2
+2×
5
+3=
7
2 2 4
(5 7)
即此时点P的坐标为 , ．
2 4
高频考点14：抛物线与x轴的交点问题
【典例精讲】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数y=ax2−4ax+m（m为常数）的图
象与x轴的一个交点为(−1,0)，则关于x的一元二次方程ax2−4ax+m=0（m为常数）的两实数根是（
）A．x =−1，x =3 B．x =−1，x =5
1 2 1 2
C．x =1，x =−5 D．x =1，x =3
1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
−4a
由题意得，抛物线的对称轴为直线x=− =2，则二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象与x轴
2a
的另一个交点为(5,0)，即可得关于x的一元二次方程ax2−4ax+m=0(m为常数)的两实数根是x =−1，
1
x =5．
2
−4a
【规范解答】解：二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象的对称轴为直线x=− =2，
2a
∵二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象与x轴的另一个交点为(5,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2−4ax+m=0(m为常数)的两实数根是x =−1，x =5．
1 2
故选：B．
【变式训练】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知抛物线y=(m+1)x2−2mx+m−2与x轴有两个交
点(x ,0)，(x ,0)．现有如下结论：
1 2
m
①此抛物线的对称轴为直线x=− ；
m+1
②若抛物线开口向下，则m的取值范围是−2<m<−1；
③此抛物线过定点(1,−1)；
2 1
④若m>−1时，有−2<x <−1，1<x <2，则m的取值范围是− <m< ．
1 2 9 4其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，根据对称轴计算公式
可判断①；抛物线开口向下，则二次项系数小于0，再结合二次函数与x轴有两个交点，即Δ>0，求出m
的取值范围即可判断②；求出x=1时的函数值可判断③；根据题意可得当x=−2时，y>0，当x=−1时，
y<0，当x=1时，y<0，当x=2时，y>0，据此列出不等式组求出m的取值范围即可判断④．
【规范解答】解：∵抛物线解析式为y=(m+1)x2−2mx+m−2，
−2m m
∴抛物线对称轴为直线x=− =
，故①错误；
2(m+1) m+1
∵抛物线开口向下，
∴m+1<0，
∴m<−1，
又∵抛物线y=(m+1)x2−2mx+m−2与x轴有两个交点(x ,0)，(x ,0)
1 2
∴Δ=(−2m) 2−4(m+1)(m−2)>0，
∴4m2−4(m2+m−2m−2)>0，
∴4m2−4m2−4m+8m+8>0，
∴m>−2，
∴−2<m<−1，故②正确；
在y=(m+1)x2−2mx+m−2中，当x=1时，y=m+1−2m+m−2=−1，
∴此抛物线过定点(1,−1)，故③正确；
∵m>−1，
∴m+1>0，
∴抛物线开口向上，
当x=−2时，y=4(m+1)+4m+m−2=9m+2，
当x=−1时，y=m+1+2m+m−2=4m−1
当x=1时，y=−1
当x=2时，y=4(m+1)−4m+m−2=m+2，
∵−2<x <−1，1<x <2，
1 2∴当x=−2时，y>0，当x=−1时，y<0，当x=1时，y<0，当x=2时，y>0，
9m+2>0
{ )
4m−1<0
∴ ，
m+2>0
m>−1
2 1
∴− <m< ，故④正确；
9 4
故选：B．
高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）老师给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对
应值如表：
x … −3 −2 0 1 3 5 …
y … 7 0 −8 −9 −5 7 …
同学们讨论得出了下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=2；③当 −2<x<4 时，
y<0；④x=3是方程 ax2+bx+c+5=0的一个根；⑤若A(x ,5)，B(x ,6)是抛物线上从左到右依次分布
1 2
的两点，则x <x ．其中正确的是（ ）
1 2
A．①③④⑤ B．②③④ C．①③⑤ D．③④⑤
【答案】A
【思路引导】本题考查了二次函数对称性，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系，
解答时，熟练掌握二次函数的性质，待定系数法确定解析式，灵活处理二次函数与一元二次方程的关系是
解题的关键．根据表格，任选三点，确定抛物线的解析式，根据抛物线的解析式，结合题意，逐一判断即
可．
【规范解答】解：∵(−3,7)和(5,7)是对称点，
−3+5
∴抛物线的对称轴为直线x= =1，
2
∴结论②错误；
设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2+k，
{9a+k=0)
把(−2,0)和(0,−8)分别代入解析式，得 ，
a+k=−8{ a=1 )
解得 ，
k=−9
∴抛物线的解析式为y=(x−1) 2−9=x2−2x−8，
∴抛物线开口向上，
∴结论①正确；
令y=0，得x2−2x−8=0，
解得x =−2,x =4，
1 2
∴当−2<x<4时，y<0，
∴结论③正确；
∵ax2+bx+c+5=0，
∴x2−2x−3=0，
解得x =−1,x =3，
1 2
∴x=3是方程 ax2+bx+c+5=0的一个根，
∴结论④正确；
∵A(x ,5)，B(x ,6)是抛物线上从左到右依次分布的两点，
1 2
∴x <x ，
1 2
∴结论⑤正确；
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为
( 1 )
− ,n ，与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc>0；②5b+2c<0；③若抛物线经过
3
点(−6,y )，(5,y )，则y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确
1 2 1 2
结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、由二次函数图象判定系数符
合及式子符号的方法是解决问题的关键．由图可知，抛物线开口向下，则a<0；抛物线y=ax2+bx+c的
( 1 ) b 1
顶点A的坐标为 − ,n ，则对称轴为x=− =− <0，得b<0；抛物线与y轴交于正半轴，则c>0；
3 2a 3
根据结论逐项验证即可得到答案．
【规范解答】解：由图可知，抛物线开口向下，则a<0；抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为
( 1 ) b 1
− ,n ，则对称轴为x=− =− <0，得b<0；抛物线与y轴交于正半轴，则c>0；
3 2a 3
∴abc>0，故①正确；
b 1
∵对称轴为x=− =− ，
2a 3
∴3b=2a，则5b+2c=3b+2b+2c=2a+2b+2c=2(a+b+c)，
令x=1，则由图可知y=a+b+c<0，
∴ 5b+2c<0，故②正确；
1 2
若抛物线经过点(−6,y )，(5,y )，对称轴为x=− ，则点(−6,y )，(5,y )到对称轴的距离分别为5 ，
1 2 3 1 2 3
1
5 ，
3
2 1
∵5 >5 ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越近y值越大，
3 3
∴ y <y ，故③错误；
1 2
若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则抛物线y=ax2+bx+c与y=4无交点，如图所示：
( 1 )
∵ y=ax2+bx+c A − ,n
3
抛物线 的顶点 的坐标为 ，∴当n<4时，抛物线y=ax2+bx+c与y=4无交点，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，共3个，
故选：C．
高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围
【典例精讲】（2024·河北邢台·一模）在直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1（a，b是常数，a≠0）
与y轴相交于点A．
(1)若抛物线经过点(1,6)，(−2,3)，求a，b的值；
(2)已知3a+b=0，若−1≤x≤2，y有最大值9，求a的值；
(3)①求A点坐标；
②已知a<0，t≠0，若抛物线经过(−2,m)，(−3,n)和(t,1)，且1<n<m，求t的取值范围．
【答案】(1)a，b的值分别为2，3
32
(2)a=2或a=−
9
(3)①A点坐标为(0,1)；②−5<t<−3
【思路引导】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质，熟记二次
函数图象与性质是解决问题的关键．
（1）由待定系数法，将点代入表达式解方程组即可得到答案；
(3 4−9a)
（2）由3a+b=0得到抛物线为y=ax2−3ax+1，化为顶点式得到抛物线顶点坐标为 , ，根据
2 4
开口方向，分类讨论求解即可得到答案；
b t
（3）①当x=0时，y=1，则A点坐标为(0,1)；②将(t,1)，(0,1)代入y=ax2+bx+1得到x=− = ，再
2a 2
由抛物线经过(−2,m)，(−3,n)，得到1<9a−3b+1<4a−2b+1求解即可得到答案．
【规范解答】（1）解：将点(1,6)，(−2,3)代入y=ax2+bx+1，
{ 6=a＋b+1 )
得 ，
3=4a－2b+1
{a=2)
解得 ，
b=3
∴a，b的值分别为2，3；
（2）解：∵3a+b=0，
∴b=−3a，
∴抛物线为y=ax2−3ax+1，∵y=ax2+bx+1=a ( x− 3) 2 + 4−9a ，
2 4
(3 4−9a)
∴抛物线顶点坐标为 , ，
2 4
3 3
①当a>0时，抛物线开口向上， −(−1)>2− ，
2 2
∴当x=−1时，y=a+3a+1=4a+1为最大值，
即4a+1=9，解得a=2；
②当a<0时，抛物线开口向下，
3 4−9a
∴当x= 时，y= 为最大值，
2 4
4−9a 32
即 =9，解得a=− ；
4 9
32
综上所述，a=2或a=−
9
（3）解：①∵抛物线y=ax2+bx+1，
当x=0时，y=1，则A点坐标为(0,1)；
②∵(t,1)，(0,1)均在抛物线上，
b t
∴抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∵抛物线经过(−2,m)，(−3,n)，
∴m=4a−2b+1，n=9a−3b+1，1<n<m，
∴1<9a−3b+1<4a−2b+1，
∴−3a<−b<−5a，
∵a<0，
3a b 5a
∴− >− >− ，
2a 2a 2a
3 t 5
∴− > >− ，
2 2 2
∴−5<t<−3．
【变式训练】（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图是抛物线 图象的一部分，
y =ax2+bx+c(a≠0)
1
抛物线的顶点是点A，对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)；直线AB的解析式为y =mx+n(m≠0)，下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③方程ax2+bx+c=mx+n有一个实数根；④抛
2
物线与x轴的另一个交点是(−2,0)；⑤当x<1时，则y >y ，其中正确的是（ ）
1 2
A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，
即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质，
抛物线与x轴的交点．
b
根据抛物线的对称轴方程得到x=− =1，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到a<0，则利用
2a
b=−2a可判断b>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的
交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量
的取值范围可对⑤进行判断．
b
【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b=−2a，
即2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线y =ax2+bx+c与直线y =mx+n有两个交点，
1 2
∴方程ax2+bx+c=mx+n有两个实数根，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标(−2,0)，所以④正确；
当1<x<4时，y >y ，所以⑤错误．
1 2
故选：C．
高频考点17：根据交点确定不等式的解集
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线y =ax2+bx−4与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)
1
两点，与y轴交于点C，过B，C两点的直线y =kx+b(k≠0)．
2
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ；
(2)当−1<x<6时，函数值y 的取值范围；
1
(3)当y >y 时，自变量x的取值范围．
1 2
【答案】(1)y =x2−3x−4，
(3
,−
25)
1 2 4
25
(2)− ≤ y <14
4 1
(3)x<0或x>4
【思路引导】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括利用交点求函数解析式、求函数最值
以及根据函数值大小确定自变量范围等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）对于求抛物线解析式，可利用抛物线与x轴交点坐标，代入抛物线表达式求解系数，再将抛物线解析
式化为顶点式求顶点坐标；
（2）求函数值y 的取值范围，先分析抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定函数值的最值
1
情况；
（3）求y >y 时自变量x的取值范围，先求出直线BC的解析式，再联立抛物线与直线方程，求出交点横
1 2
坐标，结合图像确定范围．
【规范解答】（1）解：∵ 抛物线y =ax2+bx−4过A(−1,0)、B(4,0)
1∴ ¿
解方程组可得¿
∴ 抛物线解析式为y =x2−3x−4
1
3 25
∵ y =x2−3x−4=(x− ) 2−
1 2 4
3 25
∴ 顶点坐标为( ,− )
2 4
3 25
故答案为：y =x2−3x−4，( ,− )．
1 2 4
（2）解：∵ 抛物线y =x2−3x−4中a=1>0
1
3
∴ 抛物线开口向上，对称轴为x=
2
3 25
当x= 时，y 取得最小值−
2 1 4
当x=6时，y =62−3×6−4=14
1
当x=−1时，y =0
1
3
∵ 6距离对称轴x= 的距离大于−1距离对称轴的距离
2
25
∴ 当−1<x<6时，y 的取值范围是− ≤ y <14．
1 4 1
（3）解：∵ 抛物线y =x2−3x−4与y轴交于C点，令x=0，则y =−4
1 1
∴ C(0,−4)
∵ 直线y =kx+b过B(4,0)、C(0,−4)
2
∴ ¿
解得¿
∴ 直线BC的解析式为y =x−4
2
联立¿
即x2−3x−4=x−4
x2−4x=0
x(x−4)=0
解得x =0，x =4
1 2由图像可知，当y >y 时，x<0或x>4．
1 2
【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点
A(−1,0),B(3,0),C(0,−3)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)利用图象的特点填空：
①当x=________时，方程ax2+bx+c=−4；
②不等式−4<ax2+bx+c<0的解集为 ．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)①1；②−1<x<3且x≠1
【思路引导】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求
自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．也考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与x轴的
交点．
（1）设交点式y=a(x+1)(x−3)，然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）①先利用配方法得到y=(x−1) 2−4，则当x=1时，y有最小值−4；②写出函数图象在x轴下方所对
应的自变量的范围，并且自变量不取顶点的横坐标．
【规范解答】（1）解：设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
把C(0,−3)代入得−3=a×1×(−3)，
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x+1)(x−3)，即y=x2−2x−3；
（2）解：①∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴当x=1时，y有最小值−4，
即x=1时，方程ax2+bx+c=−4，
故答案为：1；②不等式−4<ax2+bx+c<0的解集为−1<x<3且x≠1．
故答案为：−1<x<3且x≠1．
高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩
形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论：
①S与x之间的函数关系为S=−2x2+30x；
②x的取值范围为2≤x≤10；
③AB的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为100m2；
225
④矩形菜园ABCD的面积的最大值为 ．
2
其中，正确结论是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关
键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为18m,AD≥AB，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x
的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积=100列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函
数性质求出最大值判断④．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴S=x(30−2x)=−2x2+30x，故①正确；
设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm，则BC的长为(30−2x)m，
∵墙长为18m,AD≥AB，
{30−2x≥x )
∴ ，
30−2x≤18
{x≤10)
解得： ，
x≥6
∴x的取值范围为6≤x≤10，故②错误；当y=100时，即x(30−2x)=100，
解得x =5,x =10，
1 2
∵6≤x≤10，
∴x=10，
∴AB的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2，故③正确；
∵S=x(30−2x)=−2x2+30x=−2 ( x− 15) 2 + 225 ，
2 2
∵−2<0,6≤x≤10，
15 225
∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ，故④正确．
2 2
故选：D．
【变式训练】（24-25九年级上·重庆永川·期中）某农场要建一个长方形ABCD的养鸡场，鸡场的一边
靠墙（墙长25m）另外三边用木栏围成，木栏长40m．
(1)若养鸡场面积为168m2，求鸡场垂直于墙的一边AB的长；
(2)养鸡场面积能达到最大吗？如果能，请你求出最大面积；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)AB=14m
(2)最大面积为200m2
【思路引导】本题考查了二次函数，一元一次不等式与一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，
并根据题意列出一元二次方程与求出二次函数的解析式．
（1）设边AB的长为x m，根据题意可知CD=AB=xm,BC=(40−2x)m，结合墙长25m，建立不等式求
出x≥7.5，再根据“养鸡场面积为168m2，”建立方程求解，即可解题；
（2）根据题意表示出养鸡场面积，再结合二次函数最值求解，即可解题．
【规范解答】（1）解：设边AB的长为x m，
根据题意可知CD=AB=xm,BC=(40−2x)m，
∵墙长25m，
∴40−2x≤25，
解得x≥7.5，
∵养鸡场面积为168m2，∴(40−2x)x=168，
解得x=6（不合题意，舍去）或x=14，
∴AB=14m．
（2）解：养鸡场面积=(40−2x)x=−2x2+40x=−2(x−10) 2+200，
∵−2<0，
∴当x=10时，养鸡场面积最大，最大面积为200m2．
高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（2025·安徽合肥·三模）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°,AB=2cm，P点从B点
出发，以1cm/s的速度沿B→C→D运动，过P点作PE⊥AD，交折线B−A−D于点E，设P点运动
的时间t(s)，△BEP的面积为S(cm2)．则S与t的函数关系大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的
图象求解．
【规范解答】解：过A作AH⊥BC于H，
在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=2cm，∴BC=CD=AB=2cm，∠ABC=60°=∠ACD，
∴AH=❑√3cm，
1 ❑√3
当0<t≤1时，S= ⋅t⋅❑√3t= t2 ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线，
2 2
1 ❑√3
当1<t≤2时，S= ⋅t⋅❑√3= t，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势；
2 2
当2<t≤4时，如图2所示：延长EP交BC的延长线于F，
t−2 (t−2 )
则：CP=(t−2)cm,CF= cm,FP= ❑√3 cm，
2 2
∴S= 1 ⋅ ❑√3 (4−t)⋅ [ 2+ 1 (t−2) ) =− ❑√3 t2+ ❑√3 t+❑√3，
2 2 2 8 4
此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线，
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=12cm，
BA=5cm，点P从点A开始沿AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿BC向点C以2cm/s的速度
移动，如果点P，Q同时从点A,B出发，试问：
(1)出发多少时间时，点P,Q之间的距离等于5cm？
(2)△PQB面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？
【答案】(1)出发5s时间时，点P,Q之间的距离等于5cm
25 5
(2)△PQB面积的有最大值 ，此时时间是 秒
4 2【思路引导】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键．
（1）设出发xs时间时，点P,Q之间的距离等于10cm，根据勾股定理列方程并解方程即可；
（2）根据题意得到△PQB面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【规范解答】（1）解：设出发xs时间时，点P,Q之间的距离等于10cm，
依题意有4x2+(5−x) 2=25，
解得x =5,x =0（不合题意舍去）．
1 2
答：出发5s时间时，点P,Q之间的距离等于5cm；
（2）依题意有S = 1 ×2t×(5−t)=− ( t− 5) ❑ 2+ 25 ，
△PQB 2 2 4
∵−1<0，
25 5
∴△PQB面积的有最大值 ，此时时间是 秒．
4 2
高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图是一座悬索桥侧面示意图．桥塔AD与桥塔
BC均垂直于桥面FF′，缆索AB段与缆索AE段、缆索BE段均呈抛物线型．缆索AB段所在的抛物线与缆
索AE段所在的抛物线关于AD所在的直线对称，桥塔AD与桥塔BC之间的距离
DC=100m，AD=BC=17m（桥塔的粗细忽略不计），缆索AB段的最低点P到FF′的距离PQ=2m．
请你建立适当的坐标系，解答问题：
(1)在你所建坐标系下，求缆索AB段所在的抛物线的函数解析式；
(2)若EF⊥FF′ ，EF=2.6m，FD<DQ，求FD的长．
3
【答案】(1)y= (x−50) 2+2
500
(2)40m
【思路引导】（1）先根据已知条件确定抛物线的顶点坐标和抛物线上一点的坐标，然后设出抛物线的顶
点式解析式，将点的坐标代入求出解析式中的系数．
（2）先根据抛物线的对称性得到另一段抛物线的解析式，再将y的值代入解析式求出x的值，最后结合条
件确定FD的长．本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【规范解答】（1）解：如图，以点D为坐标原点，CD所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角
坐标系，
∵AD=17m，
∴A(0,17)．
又DC=100m，缆索AB段的最低点P到FF′的距离PQ=2m，
∴抛物线的顶点P的坐标为(50,2)．
故可设抛物线解析式为y=a(x−50) 2+2．
将A(0，17)代入抛物线解析式，
得2500a+2=17．
3
∴a= ．
500
3
∴缆索AB段所在抛物线的解析式为y= (x−50) 2+2．
500
（2）解：∵缆索AB段所在抛物线与缆索AE段所在抛物线关于AD所在直线对称，
3
又缆索AB段所在抛物线的解析式为y= (x−50) 2+2，
500
3
∴缆索AE段所在抛物线的解析式为y= (x+50) 2+2．
500
∵EF=2．6m，
∴可令y=2．6，
3
∴2．6= (x+50) 2+2．
500
解得x=−40或x=−60．
又FD<DQ=50m，
∴x=−40．
∴FD的长为40m．
【变式训练】（24-25九年级上·江西上饶·阶段练习）南昌生米大桥（图1）是南昌市中南部城市主干道的重要构成部分之一，横跨赣江，是一座集现代设计美学与工程技术创新于一体的标志性建筑．如图2，
主桥拱ACB可近似地看作抛物线的一部分，桥面的一部分可看作水平线段AB，其跨度为120m，桥拱的最
大高度CD为25m．以点A为原点，线段AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，构建平面直
角坐标系．
(1)求主桥拱ACB所在抛物线的解析式；
(2)如图2，若在AB两端之间的桥面与桥拱之间铺设满垂直于桥面的5根杆状景观灯，且相邻景观灯的间
距、端点A，B到相邻景观灯之间的距离均相等，已知杆状景观灯平均的铺设成本为270元/m，求5根景
观灯的铺设成本．
1
【答案】(1)y=− (x−60) 2+25
144
(2)5根景观灯的铺设成本为26250元
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用：
（1）根据题意设出二次函数顶点式，利用待定系数法求解；
（2）先求出相邻景观灯之间的距离，再利用（1）中结论及二次函数图象的对称性求出5根杆状景观灯的
长度，即可求解．
【规范解答】（1）解：根据题意可知A(0,0)，顶点C(60,25)，B(120,0)，
设主桥拱ACB所在抛物线的表达式为y=a(x−60) 2+25，
将B(120,0)代入y=a(x−60) 2+25，
得a(120−60) 2+25=0，
1
解得a=− ．
144
1
∴主桥拱ACB所在抛物线的表达式为y=− (x−60) 2+25；
144
（2）120÷(5+1)=20(m)．
1 125
当x=20时，y=− (20−60) 2+25= ；
144 91 200
当x=40时，y=− (40−60) 2+25= ；
144 9
当x=60时，y=25；
200 125
由对称性得，当x=80时，y= ；当x=100时，y= ．
9 9
125 200 875
∴5根杆状景观灯的总长度为 ×2+ ×2+25= (m)．
9 9 9
875
×270=26250（元）．
9
答：5根景观灯的铺设成本为26250元．
高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）小赵经营一家网店，销售一款成本为80元的冬装．
他销售一段时间后发现，当售价为240元时，每周可销售200件，售价每下降1元，可多销售2件．设该
冬装降价x元，每周可获利润y元．
(1)试用含x的式子表示y，并求当y取最大值时，该款冬装应降价多少元？
(2)小赵准备减少库存，且每周的利润不低于32000元，则该款冬装最多降价多少元？
【答案】(1)y=−2x2+120x+32000，当y取最大值时，该款冬装应降价30元
(2)该款冬装最多降价60元
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用．建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要
读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式或方程．
（1）根据利润=(售价−成本)×销售量，结合题意可得y与x的函数表达式；利用二次函数图像与性质进行
解答即可；
（2）把y=32000代入（1）中函数表达式中，求得相应的x的值，进而结合题意可求解．
【规范解答】（1）解：设该冬装降价x元，每周可获利润y元，则销售量为(200+2x)件，
依题意，得：
y=(240−x−80)(200+2x)
=(160−x)(200+2x)
=−2x2+120x+32000，
∴y与x之间的函数表达式为：y=−2x2+120x+32000．
y=−2x2+120x+32000=−2(x−30) 2+33800，
∵−2<0，∴抛物线图像开口向下，
∴当x=30时，y取得最大值．
即当y取最大值时，该款冬装应降价30元；
（2）解：当y=32000时，−2(x−30) 2+33800=32000，
解得：x =0，x =60，
1 2
由（2）可知，抛物线图像开口向下，
∵每天的销售利润不低于32000元，
∴0≤x≤60，
∵要减少库存，
∴该款冬装最多降价60元．
【变式训练】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）一位助农主播利用“互联网+”销售一种农业加工
品）这种加工品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种加工品的销售利润
率不高于60%，市场调查发现，当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售
量减少20件，设该加工品每天的销售量y（件），销售价x（元/件），每天的销售利润W（元）．
(1)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每
天的销售利润最大？最大利润是多少？（销售利润=销售量×每件的利润）
【答案】(1)y=−10x+340(10≤x≤16)
(2)W =−10x2+440x−3400，每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元
【思路引导】本题考查二次函数的应用，二次函数的最值问题，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据当销售价定为12元/件时，每天售出220件，售价每上涨2元，每天销售量减少20件，列出一
次函数解析式，并求出x的取值范围，即可解答；
（2）根据每天的销售利润等于单件的利润×每天的销售量，列出二次函数，再由10≤x≤16确定W的最大
值，即可解答．
x−12
【规范解答】（1）解：y=220− ×20=−10x+340，
2
{ x≥10 )
由 ，
x≤10×(1+60%)
解得10≤x≤16．
（2）W =(x−10)y=(x−10)(−10x+340)=−10x2+440x−3400，440
由a=−10<0，开口向下，对称轴为x=− =22，
2×(−10)
∴当10≤x≤16时，W随x的增大而增大，
∴当x=16时，W取得最大值为−10×162+440×16−3400=1080（元）．
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是1080元．
高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在投掷铅球时，铅球所经过的路线可以看作抛物
线的一部分．如图，是小明在校运动会上某次试投中铅球所经过的路线．这次试投时，铅球从出手到落地
的过程中，铅球的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
0 1 2 3 4 5
（米）
竖直高度 5 9 8 35 35
3
（米） 3 4 3 12 12
(1)根据以上数据，铅球运行的竖直高度的最大值为______米；
(2)求小明这次试投的投掷距离（出手点与着陆点的水平距离）．
【答案】(1)3
(2)10米
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
（1）根据表格数据可得这个抛物线的对称轴为直线x=4，再根据二次函数的性质求出最值即可得；
( 5)
（2）建立平面直角坐标系，设这个抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+3(x>0)，将点 0, 代入求出抛物
3
线的解析式，再求出当y=0时，x的值，由此即可得．
3+5
【规范解答】（1）解：由表格数据可知，这个抛物线的对称轴为直线x= =4，
2
∵这个抛物线的开口向下，
∴当x=4时，二次函数取得最大值，最大值为3，
即铅球运行的竖直高度的最大值为3米，故答案为：3．
（2）解：如图，建立平面直角坐标系如下：
∵这个抛物线的顶点坐标为(4,3)，
∴设这个抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+3(x>0)，
( 5) 5
将点 0, 代入得：16a+3= ，
3 3
1
解得a=− ，
12
1
∴这个抛物线的解析式为y=− (x−4) 2+3(x>0)，
12
1
将y=0代入得：− (x−4) 2+3=0，
12
解得x=10或x=−2<0（不符合题意，舍去），
答：小明这次试投的投掷距离为10米．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨
迹ABC可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最
高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)求该男生把铅球推出去多远？
11
(3)有一个横截面为矩形DEFG的竹筐，长DE=1米，高DG= 米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落
12
入筐内，请求竹筐的边DG到O点的水平距离m的取值范围．
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+5；
12(2)(6+2❑√15)米
(3)12≤m≤13
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，得到B(6,5)为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出y=0时的x的值，即可得出结果；
11
（3）求出y= 时的函数值，结合DE=1，即可得出结果．
12
【规范解答】（1）解：根据题意可知A(0,2)，B(6,5)，且B(6,5)为顶点坐标，
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+5，
1
将(0,2)代入，得36a+5=2，解得a=− ，
12
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−6) 2+5；
12
1
（2）解：令y=0，得− (x−6) 2+5=0，
12
解得x =6+2❑√15，x =6−2❑√15（舍去）．
1 2
答：该男生把铅球推出去(6+2❑√15)米远；
11 1 11
（3）解：令y= ，得− (x−6) 2+5= ．
12 12 12
解得x =13，x =−1（舍去）．
1 2
∵DE=1，
∴12≤m≤13．
高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，有一建筑工地从10m高的窗口A处用
40
水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m．
3(1)求抛物线的解析式；
(2)求水流落地点B离墙的距离OB．
10 20
【答案】(1)y=− x2+ x+10
3 3
(2)3米
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）根据点M的坐标可得抛物线解析式的顶点式，然后将点A的坐标代入即可得；
（2）令y=0可得一个关于x的一元二次方程，解方程即可得．
40
【规范解答】（1）由题意，A(0,10),M(1, )，
3
40
设抛物线解析式的顶点式为y=a(x−1) 2+ ，
3
40
将点A(0,10)代入得：a+ =10，
3
10
解得a=− ，
3
10 40
则抛物线解析式的顶点式为y=− (x−1) 2+ ，
3 3
10 20
即抛物线的解析式为y=− x2+ x+10；
3 3
10 20
（2）令y=0得：− x2+ x+10=0，
3 3
10 40
即− (x−1) 2+ =0，
3 3
解得x=3或x=−1<0（不符题意，舍去），
则OB=3，
故水流落地点B离墙的距离3米．
【变式训练】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距
地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，
请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出y关于x的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，
使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到0.1米）
（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【答案】(1)见解析
(2)3.2；
1
(3)y=− (x−5) 2+3.2；
10
(4)2.6
【思路引导】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点，灵活运用
相关知识成为解题的关键．
（1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可；
（2）根据图像及表中数据即可解答；
（3）根据图像得知二次函数对称轴为x=5，再用待定系数法代入图上一点即可解答；
（4）将x=2.5代入抛物线解析式求出y的值即为本题答案．
【规范解答】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：
(0,0.7),(1,1.6),(2,2.3),(3,2.8),(4,3.1),(5,3.2),(6,3.1)，将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：
（2）解：通过表中数据得知，当x=5时水流最高，此时水流到达地面距离为3.2米，
（3）解：设二次函数解析式为v=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，
由（2）知，对称轴为x=5，最高点为3.2，
∴顶点坐标为(5,3.2)，
∴v=a(x−5) 2+3.2(a≠0)，
∴把(0,0.7)代入v=a(x−5) 2+3.2(a≠0)中得：
1
0.7=a(0−5) 2+3.5，解得：a=− ，
10
1
∴抛物线表达式为：y=− (x−5) 2+3.2．
10
1
（4）解：根据题意把x=2.5代入y=− (x−5) 2+3.2中得：
10
1 10.3
y=− (2.5−5) 2+3.2= ≈2.6米．
10 4
∴大理石雕塑的高度约为2.6m．
高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改
造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧
房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【思路引导】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【规范解答】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：3(1+x) 2=4.32，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【考点剖析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的
性质进行求解．
【变式训练】为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并
规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安
装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安
装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种
型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【思路引导】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，
列出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元，列不等式，求出a的范围，
再求出w的函数解析式，进而可求出答案.
【规范解答】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：2560(1+x) 2=2560+3200，
解得:x =0.5=50%，x =−2.5（舍去）.
1 2答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元.
1
根据题意，得:a⩽ (200−a)，
2
2
解得:a≤66 ，
3
w=3.5a+4(200−a)=−0.5a+800，
∵−0.5<0，
∴w随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当a=66时，w最小，最小值为−0.5×66+800=767（万元）.
此时，200−a=134.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【考点剖析】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函
数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.
高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为
某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度OA=20米．河水水面截痕BC=10米，水面到河岸水平线
OA的距离为7.5米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
解决如下问题：
(1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？
(2)在丰水期，测得水面到OA的距离为3.6米．
①求此时水面截痕DE的长；
②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中
到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉
琪的小船至少要向右划行多少米？1
【答案】(1)y= x2−2x，最大水深为2.5米
10
30−2❑√55
(2)①16米②至少要向右划行 米
5
【思路引导】（1）过B作BG⊥x轴交于G，结合题意及抛物线的性质得B(5,−7.5)，A(20,0)，设
y=ax(x−20)，将B的坐标代入，求出最小值，即可求解；
1
（2）①当y=−3.6时，解方程 x2−2x=−3.6，即可求解；
10
②DE的中点为F，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为M，可得F(10,−3.6)，E(18,−3.6)，由对称性
得M(14,4.4)，可设小球的轨迹抛物线的解析式为y=m(x−14) 2+4.4， 设向右划行n米，小球落到A点
1
得y=− (x−14−n) 2+4.4，即可求解．
2
【规范解答】（1）解：如图，过B作BG⊥x轴交于G，
∴BG=7.5
，
1
由抛物线的对称性得OG= (OA−BC)=5，
2
∴B(5,−7.5)，
∵ OA=20，
∴A(20,0)，
∴设抛物线的解析式为y=ax(x−20)，
∴5a(5−20)=−7.5，
1
解得：a= ，
10
1
∴ y= x(x−20)
10
1
= x2−2x；
10
−2
x=− =10
当 1 时，
2×
101
y = ×102−2×10=−10，
最小 10
∴最大水深为−7.5−(−10)=2.5（米），
1
∴抛物线的解析式为y= x2−2x，最大水深为2.5米．
10
（2）解：①∵水面到OA的距离为3.6米，
∴当y=−3.6时，
1
x2−2x=−3.6，
10
解得：x =2，x =18，
1 2
∴DE=18−2=16（米），
答：此时水面截痕DE的长16米；
②解：如图，DE的中点为F，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为M，
∴F(10,−3.6)
，
由①得E(18,−3.6)，
∵小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过E、F，
∴ E、F关于小球轨迹所在抛物线的对称轴对称，
1
8−3.6=4.4， (10+18)=14，
2
∴M(14,4.4)，
∴可设小球的轨迹抛物线的解析式为y=m(x−14) 2+4.4，
∴ m(10−14) 2+4.4=−3.6，
1
解得：m=− ，
2
1
∴ y=− (x−14) 2+4.4，
2
设向右划行n米，小球落到A点，
1
∴ y=− (x−14−n) 2+4.4，
2将A(20,0)代入得：
1
− (20−14−n) 2+4.4=0，
2
30+2❑√55 30−2❑√55
解得：n = ，n = ，
1 5 2 5
30−2❑√55
故嘉琪的小船至少要向右划行 米．
5
【考点剖析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质，理解题意，能熟练利用待定系
数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键．
【变式训练】（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力
的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观
赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．
如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑
道底部所在直线的距离为3m，当离起跳点水平距离为4m时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大
值5.4m，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直
角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相
同，两者水平距离为7.8m，请通过计算说明小红能否转换成功？
【答案】(1)y=−0.15(x−4) 2+5.4
(2)能
【思路引导】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）当y=3时，3=−0.15(x−4) 2+5.4，解方程比较后即可得到答案．
【规范解答】（1）解：由题知起跳点的坐标为(0,3)，抛物线的顶点坐标为(4,5.4)．
设该抛物线的函数表达式为y=a(x−4) 2+5.4，
把(0,3)代入得3=16a+5.4，解得a=−0.15，
设该抛物线的函数表达式为y=−0.15(x−4) 2+5.4．
（2）当y=3时，3=−0.15(x−4) 2+5.4,
解得x =8，x =0（舍去），
1 2
因为8>7.8,
所以小文能成功转换．
高频考点26：面积问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的
图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,2)，且顶点P的坐标为(−1,3)．
(1)求二次函数的解析式；
( 5 3)
(2)如图，点D − , ，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求
2 4
△MCD面积的最大值及此时点M的横坐标．
【答案】(1)y=−x2−2x+2
125 5
(2)△MCD面积的最大值为 ，此时点M的横坐标为−
64 4
【思路引导】（1）根据已知的顶点坐标设出二次函数的解析式y=a(x+1) 2+3，再将点C(0,2)代入求出a
的值即可；
（2）如图，过点M作MH∥y轴交CD于点H，由S =S +S ，即可求解．
△MCD △MHD △MHC
【规范解答】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,2)，且顶点P的坐标为(−1,3)，
设二次函数的解析式为y=a(x+1) 2+3，
∴2=a×(0+1) 2+3，解得：a=−1，
∴二次函数的解析式为y=−(x+1) 2+3=−x2−2x+2；
（2）解：如图，过点M作MH∥y轴交CD于点H，
( 5 3)
设直线CD的解析式为y=k x+b ，过点C(0,2)，D − , ，
CD CD 2 4
{ b CD =2 )
∴ 5 3 ，
− k +b =
2 CD CD 4
{ k = 1 )
解得： CD 2 ，
b =2
CD
1
∴设直线CD的解析式为y= x+2，
2
( 1 )
设M(m,−m2−2m+2)，则点H m, m+2 ，设x 、x 分别为点C、D的横坐标，
2 C D
∴S =S +S
△MCD △MHD △MHC
1
= MH×(x −x )
2 C D
=
1
×
[
(−m2−2m+2)−
(1
m+2
))
×
5
2 2 2
=− 5( m2+ 5 m )
4 2
5( 5) 2 125
=− m+ + ，
4 4 645
∵− <0，
4
∴S 有最大值，即△MCD的面积有最大值，
△MCD
5 125
当m=− 时，△MCD的面积最大为 ，
4 64
125 5
即△MCD面积的最大值为 ，此时点M的横坐标为− ．
64 4
【考点剖析】本题二次函数与一次函数的综合题，考查待定系数法确定函数的解析式，坐标与图形，二次
函数的图象与性质等知识点，确定△MCD面积的函数表达式是解题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于点A、
B，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为m，且点P不与点C重合．
(1)写出点C的坐标为______；线段AB的长为______．
(2)写出△ABC的面积=______．
(3)抛物线上存在点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
【答案】(1)(0,−3)；4
(2)6
(3)P的坐标(2,−3)或(1+❑√7,3)或(1−❑√7,3)
【思路引导】（1）将x=0代入y=x2−2x−3，求得出C点坐标，令y=0求出A(−1,0)，B(3,0)，即可得
到线段AB的长；
（2）由（1）得到OC=3，AB=4，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）设P(m,m2−2m−3)，利用△ABC的面积等于△ABP的面积列方程求解即可．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类
讨论得出是解题关键．
【规范解答】（1）解：∵y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=x2−2x−3=−3，∴点C的坐标为(0,−3)，
当y=0时，0=x2−2x−3，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=3−(−1)=4；
（2）解：∵点C的坐标为(0,−3)，
∴OC=3，
∵AB=4，
1
∴△ABC的面积= ×4×3=6；
2
（3）解：设P(m,m2−2m−3)，
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
1
∴
×4×|m2−2m−3)=6，
2
解得m=1±❑√7或m=2或m=0（舍去），
∴P的坐标(2,−3)或(1+❑√7,3)或(1−❑√7,3)．
高频考点27：线段周长问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线y=ax2−ax−12a经过点C(0,4)，
与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点
P，交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为N，设点M的坐标为(m,0)，则PQ+❑√2PN的最大值 ．
8
【答案】
3
【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与
判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明OB=OC=4，得到∠OBC=∠OCB=45°，进而证明△PNQ是等腰直角三角形，得到PQ=❑√2PN；求出直线BC解析式
为 y=−x+4 ，得到 P ( m,− 1 m2+ 1 m+4 )， Q(m,−m+4) ，则 PQ=− 1 m2+ 4 m ，据此可得
3 3 3 3
2 8
PQ+❑√2PN=− (m−2) 2+ ，由此可得答案．
3 3
【规范解答】解：∵y=ax2−ax−12a经过点C(0,4)，
∴4=−12a，
1
∴a=− ，
3
1 1
∴抛物线解析式为y=− x2+ x+4，
3 3
1 1 1 1
在y=− x2+ x+4中，当y=− x2+ x+4=0时，解得x=4或x=−3，
3 3 3 3
∴B(4,0)，
∴OB=OC=4，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°；
∵PM⊥x轴，
∴△BMQ是等腰直角三角形，
∴∠MQB=45°，
∴∠PQN=∠MQB=45°，
又∵PN⊥BC，
∴△PNQ是等腰直角三角形，
∴PN=QN，
∴PQ=❑√PN2+QN2=❑√2PN；
设直线BC解析式为y=kx+b(k≠0)，
{4k+b=0)
∴ ，
b=4
{k=−1)
∴ ，
b=4
∴直线BC解析式为y=−x+4，∵M(m,0)，
∴P ( m,− 1 m2+ 1 m+4 ) ，Q(m,−m+4)，
3 3
1 1 1 4
∴PQ=− m2+ m+4−(−m+4)=− m2+ m，
3 3 3 3
∴PQ+❑√2PN
=PQ+PQ
=2PQ
=2 ( − 1 m2+ 4 m )
3 3
2 8
=− (m−2) 2+ ，
3 3
2
∵− <0，
3
8
∴当m−2=0，即m=2时，PQ+❑√2PN有最大值，最大值为 ，
3
8
故答案为： ．
3
【变式训练】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象
交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,4)，若点B的坐标为(4,0)，点D是该二次函数图象上的一个动点，且
在第一象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F，当点D运动到什么位置时，线段DF有最大
值？请求出点D的坐标和DF的最大值；
(3)连接OD，CD，若△OCD关于y轴的对称图形是△OCD′，是否存在点D，使得四边形ODCD′为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+3x+4
(2)点D的坐标为(2,6)时，DF的最大值为4
(3+❑√17 )
(3)存在，D的坐标是 ,2
2
【思路引导】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质．
（1）将B(4,0)，C(0,4)分别代入y=−x2+bx+c，得到二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设D(x,−x2+3x+4)，由由B(4,0)，C(0,4)，可得直线BC的表达式为y=−x+4，设F(x,−x+4)，
得DF=−x2+4x=−(x−2) 2+4，即可求解；
1
（3）由四边形ODCD′为菱形，得OD=DC=CD′=D′O，DD′ ⊥OC，进而得OM=MC= OC=2，
2
则−x2+3x+4=2，即可求解．
【规范解答】（1）解：将B(4,0)，C(0,4)分别代入y=−x2+bx+c，
{−16+4b+c=0)
得 ，
c=4
{b=3)
解这个方程组，得 ，
c=4
所以二次函数的表达式为y=−x2+3x+4；
（2）解：设D(x,−x2+3x+4)，
由B(4,0)，C(0,4)，可得直线BC的表达式为y=−x+4，
设F(x,−x+4)，
∴DF=−x2+3x+4−(−x+4)
=−x2+4x
=−(x−2) 2+4≤4，
当x=2时，−x2+3x+4=6，
故点D的坐标为(2,6)时，DF的最大值为4；
（3）解：存在，理由如下：
如图，连接DD′，交OC于点M，设点D(x,−x2+3x+4)，
若四边形ODCD′为菱形，
则OD=DC=CD′=D′O，DD′ ⊥OC，
1
∴OM=MC= OC=2，
2
∴−x2+3x+4=2，即x2−3x−2=0，
3±❑√17
解得x= ，
2
∵点D在第一象限，
(3+❑√17 )
故当点D的坐标是 ,2 时，四边形ODCD′为菱形．
2
高频考点28：角度问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一点，使得S =S ，请求出点M的坐标；
△MBC △OBC
(3)点D(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足
∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x2+2x+3
(3+❑√21 3+❑√21) (3−❑√21 3−❑√21)
(2) ,− 或 ,−
2 2 2 2
( 2 11)
(3)存在， − ,
3 9
【思路引导】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是
关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可；
（3）连接CD，过点D作DT⊥CB于点T，交抛物线于点A，交PB于点H，求出点T(1,2)，由中点坐标公
1
式得，点H(0,1)，点B、H的坐标得直线BH的表达式为：y=− x+1，联立上式和抛物线的表达式得：
3
1 2
−x2+2x+3=− x+1，则x=3（舍去）或− ，即可得到答案．
3 3
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=−x+3=3
当y=0时，0=−x+3，解得x=3，
∴点B、C的坐标分别为：(3,0)、(0,3)，
{−9+3b+c=0)
由题意得： ，
c=3
{b=2)
解得： ，
c=3
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
（2）∵S =S ，
△MBC △OBC
∴过点O作直线m∥BC交抛物线于点M，则点M为所求点，设直线BC的表达式为y=px+q，
{3p+q=0)
则 ，
q=3
{p=−1)
解得： ，
q=3
∴直线BC的表达式为： y=−x+3，
则直线m的表达式为：y=−x，
3±❑√21
联立上式和抛物线的表达式得：−x=−x2+2x+3，则x= ，
2
(3+❑√21 3+❑√21) (3−❑√21 3−❑√21)
即点M ,− 或M ,− ，
2 2 2 2
当M在BC上方时，
同理可得直线m的表达式为：y=−x+6，
联立上式和抛物线的表达式得：6−x=−x2+2x+3，此方程无解；
(3+❑√21 3+❑√21) (3−❑√21 3−❑√21)
故点M ,− 或M ,− ；
2 2 2 2
（3）由题意可得，m=−22+4+3=3
∴点D(2,3)，
连接CD，过点D作DT⊥CB于点T，交抛物线于点A，交PB于点H，∵∠PBC=∠DBC，
则点T是DH的中点，
由（1）知，BC的表达式为：y=−x+3，
设点T(t,−t+3)，
1 1
∵S = BC⋅DT= CD×3，BC=❑√32+32=3❑√2，
△BCD 2 2
1 1
∴ ×3❑√2DT= ×2×3
2 2
解得DT=❑√2
∴(t−2) 2+(−t+3−3) 2=(❑√2) 2 ,
解得t=1，
∴点T(1,2)，
由中点坐标公式得，点H(0,1)，
1
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=− x+1，
3
1 2
联立上式和抛物线的表达式得：−x2+2x+3=− x+1，则x=3（舍去）或− ，
3 3
( 2 11)
则点P − , ．
3 9
【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过A(1,t)，
B(3,t+8)两点．(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线交抛物线于另一点C，BD⊥x轴于点D，连接OB．若BO平分∠CBD，求点C
的坐标；
(3)如图2，Q为y轴正半轴上一点，M为第一象限内抛物线上一点，点M的横坐标为m，将点M绕点Q逆
时针旋转90°，得到的对应点N恰好落在拋物线上，过点M的直线y=(2m−2)x+b交抛物线于另一点P，
求证：△PMN的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)y=x2
( 5 25)
(2)C − ,
3 9
(3)证明见解析，S =3
△PMN
【思路引导】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作OH⊥BC，垂足为H，设BC与y轴的交点为E．证明△OHB≌△ODB(AAS)，得OH=OD，
4
BH=BD，设OE=x，则BE=x，EH=9−x，解方程得x=5．得直线BC的表达式为：y= x+5，联立
3
方程组求解即可；
（3）用三角形全等求出点N[m+1,(m+1) 2)．根据S =S −S −S 即可求
△PMN 四边形PFKN 四边形PFGM 四边形MGKN
解．
【规范解答】（1）解： ∵抛物线的顶点在坐标原点，
∴设抛物线的表达式为y=ax2．
将A(1,t)，B(3,t+8)代入y=ax2，得：{ t=a×12 )
，
t+8=a×32
{t=1)
解得， ，
a=1
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）解：如图，作OH⊥BC，垂足为H，
设BC与y轴的交点为E．
∵BO平分∠CBD，OE∥BD，
∴∠OBE=∠OBD，∠EOB=∠OBD，
∴∠OBE=∠EOB，
∴OE=EB．
∵ OH⊥BC，BD⊥x轴，
∴∠BHO=∠BDO=90°，
∴ △OHB≌△ODB(AAS)，
∴OH=OD，BH=BD，
设OE=x，则BE=x，EH=9−x，
在Rt△EOH中，x2=32+(9−x) 2，
解得，x=5．
∴E(0,5)．
设直线BC的表达式为：y=kx+b，
代入E(0,5)，B(3,9)，
{ b=5 )
得 ，
3k+b=9{ k= 4 )
解得 3 ，
b=5
4
可得直线BC的表达式为：y= x+5，
3
{ y= 4 x+5)
联立，得： 3 ，
y=x2
5
{ x=− )
3 {x=3)
解得， 或 ；
25 y=9
y=
9
( 5 25)
∴点C − , ．
3 9
（3）解：△PMN的面积为定值，定值为3．
证明：将点M(m,m2)代入直线y=(2m−2)x+b，得，b=2m−m2，
∴直线PM的表达式为：y=(2m−2)x+2m−m2．
∵点P既在抛物线上又在直线PM上，
∴x2=(2m−2)x+2m−m2，
整理得，(x−m)[x−(m−2))=0，
解得，x =m−2，x =m；
1 2∴点P[m−2,(m−2) 2)．
作NL⊥y轴于N，作MI⊥y轴于I，MG⊥x轴于G，NK⊥x轴于K，PF⊥x轴于F，
∴∠NLQ=∠QIM=90°，
∵∠MQN=90°，∠NQL+∠MQI=∠MQI+∠QMI=90°，
∴∠QMI=∠NQL，
∴ △IMQ≌△LQN(AAS)，
∴QL=ℑ=m，ln=IQ．
设ln=a，则IQ=a，
∴点N(a,m2+a+m)，
又点N在抛物线上，
∴a2=m2+a+m，
∴a2−m2=a+m，
∴(a+m)(a−m)=a+m，得，a−m=1，即a=m+1，
∴点N[m+1,(m+1) 2)．
∴S =S −S −S
△PMN 四边形PFKN 四边形PFGM 四边形MGKN
[(m−2) 2+(m+1) 2)×3 [(m−2) 2+m2)×2 [m2+(m+1) 2)×1
= − −
2 2 2
=3．
【考点剖析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
1．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函
数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m −4 n −4 s …
其中0<m<2．以下结论：①abc<0；②若抛物线经过点(−2,y ),(7,y ),则y >y ；③关于x的方程
1 2 2 116
|ax2+bx+c)+1−s=0有两个不相等的实数根；④− <s+n<−4；⑤当m=1，t≤x≤t+2时，y的最
3
小值是1，则t=2或4．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质（对称性、单调性、最值）、二次方程
根的个数判断及不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的
对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论．
主要关键步骤
1.由x=1和x=3时y=−4,确定对称轴为x=2,得b=−4a;
2.利用x=0时0<m<2,确定a>0（开口向上）、b<0、c>0,分析abc符号；
3.通过对称点距离对称轴的远近比较函数值，判断结论②；
4.结合s=m及抛物线最值，分析方程|y)=s−1的根的个数，判断结论③；
5.用a表示s和n,结合a的范围推导s+n的范围，判断结论④；
6.当m=1时确定抛物线解析式，分析t≤x≤t+2内最小值为1的条件，判断结论⑤．
b
【规范解答】解：由表格可知，抛物线对称轴为x=2（因x=1与x=3时y=−4对称），故− =2，
2a
即b=−4a．x=0时，y=c=m;x=1时，a+b+c=−4,代入b=−4a得c=3a−4．
4
由0<m<2,得0<3a−4<2,即 <a<2，
3
故a>0（开口向上），b=−4a<0，c=m>0．
结论①：abc<0
∵a>0,b<0,c>0
∴abc<0,①正确．
结论②：:y >y
2 1
点(−2,y )到对称轴距离为4，点(7,y )到对称轴距离为5．
1 2
∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
∴y >y ，②正确．
2 1
结论③：方程|ax2+bx+c|+1−s=0有两个不相等实根
s=m(x=0与x=4对称），故方程为|y)=s−1．
∵0<s<2,当s>1时，s−1>0,|y)=s−1有4个根；当s=1时，有2个根；当
s<1时，无实根．故③错误．16
结论④：− <s+n<−4
3
顶点x=2时，n=4a+2b+c=−a−4;s=m=3a−4．
4 16
∴s+n=2a−8,由 <a<2得− <2a−8<−4，④正确，
3 3
结论⑤：t=2或4
5 5 20
当m=1时，a= ，抛物线为y= x2− x+1，与y=1交于x=0和x=4．
3 3 3
17
t≤x≤t+2时最小值为1，需不包含顶点（y=− ）,故t=−2或t=4,与结论t=2不符合，故⑤错
3
误．
综上，正确结论为①②④，共3个．
故选：C．
2．（2025·四川乐山·中考真题）已知二次函数y=x2+4x+m的图象经过A(x ,y )、B(x ,y )两点，
1 1 2 2
有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=−2；
②当m<4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；
③若y <y ，则|x +2)>|x +2)；
1 2 1 2
④当x≥−2时，二次函数的图象与y=2x−1的图象有两个交点，则−1≤m<0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图
像和性质是解题的关键．
【规范解答】解：二次函数y=x2+4x+m中a=1>0，b=4，
b 4
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为x=− =− =−2，故①正确．
2a 2×1
令x2+4x+m=0，
则Δ=b2−4ac=16−4×1×m=16−4m，
当m<4时，则Δ=16−4m>0，
则二次函数的图象与x轴有两个交点，故②正确．
点(x,y)到对称轴直线x=−2的距离为|x+2)，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，
故若y <y ，则|x +2)<|x +2)，故③错误．
1 2 1 2
联立y=x2+4x+m与y=2x−1，
则x2+4x+m=2x−1，
整理得：x2+2x+m+1=0，
则Δ=b2−4ac=4−4(m+1)=−4m>0，解得：m<0，
令y=x2+2x+m+1，对称轴为直线x=−1，
∵当x≥−2时，二次函数的图象与y=2x−1的图象有两个交点，
故当x=−2时，(−2) 2+2×(−2)+m+1≥0，解得∶m≥−1．
解得：−1≤m<0，故④正确，
综上：①②④正确，
故选：C
3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数y=x2−2x−3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折
到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标是(0,−3) B．当x=1时，函数取得最大值
C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影
响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．
先求出二次函数翻折前图象与y轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与y轴的交点坐标，判断A选项即可；
根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与x轴的交点坐标，求解距离判断C选项；
根据函数图象即可判断D选项．
【规范解答】解：A选项，二次函数y=x2−2x−3，
令x=0，解得y=02−2×0−3=−3，∴原二次函数y=x2−2x−3与y轴的交点坐标为(0,−3)，
翻折后新函数图象与y轴的交点坐标是(0,3)，A选项错误；
B选项，二次函数y=x2−2x−3，
−2
对称轴为x=− =1，
2
将x=1代入函数解析式可得y=12−2×1−3=−4，
∴原二次函数顶点坐标为(1,−4)，
翻折后新函数图象的对称轴不变，为x=1，
在x=1处，函数没有最大值，B选项错误；
C选项，二次函数y=x2−2x−3，
令x=0，则有x2−2x−3=0，
即(x−3)(x+1)=0，解得x =3，x =−1，
1 2
∴原二次函数y=x2−2x−3与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
翻折后新函数图象与x轴的交点坐标不变，为(−1,0)，(3,0)，
∴图象与x轴两个交点之间的距离为|3−(−1))=4，C选项正确；
D选项，新函数图象的对称轴为x=1，
由图象可知，函数在1<x<3时，y的值随x值的增大而减小，
当x>3时，y的值随x值的增大而增大，D选项错误．
故选：C ．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴相交于点A(0,2)，且抛物线的对称轴为直线x=−1．给出以下4个结论：①
abc<0；②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最
小值为2❑√2；④若点(x ,y ),(x ,y )在抛物线上，满足x <x 且x +x +2>0，则一定有y <y ．其中，
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
所有正确结论的序号为 ．【答案】②③④
【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形
结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，判断①，最值结合对
称轴判断②；作点O关于对称轴的对称点O′，连接O′ A，O′ A的长即为OP+AP的最小值，勾股定理求出
O′ A的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可．
b
【规范解答】解：由图象和题意可知：a>0,− =−1，当x=0时，y=c=2，
2a
∴b=2a>0，
∴2a−b=0，abc>0；故①错误，
当x=−1时，函数取得最小值为：a−b+c，
∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a−b+c+a=2a−b+c=c=2，
∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴的对称点O′，连接O′ A，
则：O′(−2,0)，
∴当点P在O′ A上时，OP+AP的值最小为O′ A的长，
∵A(0,2)，
∴O′ A=❑√22+22=2❑√2，
∴OP+AP的最小值为2❑√2；故③正确；∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点(x ,y ),(x ,y )在抛物线上，满足x <x 且x +x +2>0，
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x
∴ 1 2>−1，
2
∴点(x ,y )离对称轴远，
2 2
∴y <y ；故④正确；
1 2
故答案为：②③④．
5．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点
B的左边），与y轴相交于点C(0,−3)，且抛物线的顶点坐标为(1,−4)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0,−1)，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE与
△PBE的面积相等，求点P的坐标；
(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在点
M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(7 20)
(2)P ,−
3 9
(3)存在，正方形的边长为9❑√2或❑√2
【思路引导】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作PF⊥x轴，垂足为点F，设P(m,m2−2m−3)，则：OF=m,PF=−m2+2m+3，BF=3−m，
根据△CDE与△PBE的面积相等，推出S =S =S +S ，列出方程进行求解即可；
△BOC ODPB △PFB ODPF
（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M(x ,y ),N(x ,y )，设直线MN解析
1 1 2 2
式为y=−x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出
N F2，由△MNF为等腰直角三角形，得到M N2=2N F2，若四边形MNHG为正方形，得到
N H2=M N2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【规范解答】（1）解：∵抛物线与y轴相交于点C(0,−3)，且抛物线的顶点坐标为(1,−4)．
∴设抛物线的解析式为：y=a(x−1) 2−4，
把C(0,−3)代入，得：a(0−1) 2−4=−3，
∴a=1，
∴y=(x−1) 2−4=x2−2x−3；
（2）当y=x2−2x−3=0时，解得：x =3,x =−1，
1 2
∴B(3,0)，
∵C(0,−3)，
∴设直线BC的解析式为：y=kx−3，把B(3,0)代入，得：k=1，
∴y=x−3，
作PF⊥x轴，垂足为点F，设P(m,m2−2m−3)，则：OF=m,PF=−m2+2m+3，
∴BF=3−m，
∴△CDE与△PBE的面积相等，
∴S +S =S +S ，即：S =S =S +S ，
△CDE ODEB △PBE ODEB △BOC ODPB △PFB ODPF
∵D(0,−1)，
∴OD=1，
1 1 1
∴ ×3×3= ×(−m2+2m+3)(3−m)+ ×(−m2+2m+3+1)m，
2 2 2
7
解得：m= 或m=0（舍去）；
3
(7 20)
∴P ,− ；
3 9（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，
如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰
直角三角形，MN∥BC，
由（2）可知，直线BC的解析式为y=x−3，
设M(x ,y ),N(x ,y )，直线MN解析式为y=x−b，
1 1 2 2
{ y=x−b )
联立得： ，
y=x2−2x−3
消去y得：x2−3x+b−3=0，
∴N F2=|x −x ) 2=(x +x ) 2−4x x =21−4b，
1 2 1 2 1 2
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴M N2=2N F2=42−8b，
∵E(x ,x −3)，
2 2
∴N E2=[y −(x −3)) 2 =(x −b−x +3) 2=(b−3) 2，
2 2 2 2∴N H2= (❑√2 NE ) 2 = 1 (b−3) 2，
2 2
∵四边形MNHG为正方形，
∴N H2=M N2，
1
∴42−8b= (b2−6b+9)，
2
整理得：b2+10b−75=0，
解得：b=−15或b=5，
∵正方形边长为MN=❑√42−8b，
∴MN=9❑√2或❑√2．即正方形的边长为9❑√2或❑√2．
【考点剖析】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，
等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法
是解本题的关键．
基础夯实
1．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）二次函数y=2(x−4) 2−6的顶点坐标是（ ）
A．(2,6) B．(−4,6) C．(4,−6) D．(2,−6)
【答案】C
【思路引导】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的性质是解答的关键．
根据二次函数y=a(x−ℎ) 2+k的顶点坐标为(ℎ,k)求解即可．
【规范解答】解：二次函数y=2(x−4) 2−6的顶点坐标是(4,−6)．
故选：C
3
2．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）对于抛物线y=− (x+5) 2+4，下列说法正确的是（ ）
4
A．开口向下，顶点坐标(5,4) B．开口向上，顶点坐标(5,4)
C．开口向下，顶点坐标(−5,4) D．开口向上，顶点坐标(−5,4)
【答案】C【思路引导】本题主要考查了二次函数的顶点式，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的
顶点式．
利用二次函数的顶点解析式进行判断顶点坐标和开口方向即可．
3 3
【规范解答】解：对于抛物线y=− (x+5) 2+4，a=− <0，
4 4
∴开口向下，
顶点坐标为(−5,4)，
故选：C．
3．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1，且
经过点(−1,y )，(2,y )，试比较y 和y 的大小：y y ．（填“>”，“<”或“=”）
1 2 1 2 1 2
【答案】>
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由
于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的开口向上，对称轴为直线x=1，然后根据点(−1,y )，(2,y )离
1 2
对称轴的远近可判断y 和y 的大小关系．
1 2
【规范解答】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，
又∵a>0，
∴该函数图象的开口向上，
∵抛物线经过点(−1,y )，(2,y )，且1−(−1)>2−1，
1 2
∴点(−1,y )离对称轴的距离比点(2,y )要远，
1 2
∴y >y ．
1 2
故答案为：>．
4．（24-25九年级上·吉林·期末）将抛物线y=6x2先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度
后，得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】y=6(x+3) 2−2
【思路引导】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【规范解答】解：抛物线y=6x2先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到y=6(x+3) 2−2；故答案为：y=6(x+3) 2−2．
5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数y=x2−6ax+9（a为常数）．
(1)若该函数图象经过点P(2,7)，试求a的值和图象的顶点坐标；
(2)在（1）的情况下，当−1≤x<2时，求y的取值范围；
1 (3 27)
【答案】(1)a= ； ,
2 2 4
27
(2) ≤ y≤13
4
【思路引导】本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数的一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
1
（1）先整理y=x2−6ax+9=(x−3a) 2−9a2+9，再把点P(2,7)代入y=x2−6ax+9中，解得a= ，即
2
可求出图象的顶点坐标；
3
（2）先结合y=x2−3x+9的开口向上，对称轴为直线x= ，越远离对称轴的x所对应的函数值越大，又
2
27
因为−1≤x<2，则函数的最小值为y= ，最大值为y=13，即可作答．
4
【规范解答】（1）解：依题意，y=x2−6ax+9=x2−6ax+9a2−9a2+9=(x−3a) 2−9a2+9，
∴顶点为(3a,9−9a2)，
把点P(2,7)代入y=x2−6ax+9中
得：4−12a+9=7，
1
解得：a= ，
2
1 3 1 27
∴3a=3× = ,9−9a2=9−9× =
2 2 4 4
(3 27)
∴抛物线的顶点为 , ；
2 4
1
（2）解：由（1）得a=
2
∴二次函数解析式为y=x2−3x+9，b 3
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=− = ，越远离对称轴的x所对应的函数值越大
2a 2
| 3) 5 | 3) 1
∵−1≤x<2，且 −1− = > 2− =
2 2 2 2
3 9 3 27
∴函数在x= 时取最小值为y= −3× +9= ，
2 4 2 4
在x=−1时取最大值为y=1+3+9=13，
27
故y的取值范围为 ≤ y≤13．
4
培优拔高
6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数y=−x+2a的图象与二次函数y=x2−3x+5的图象有
两个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a>2 C．a≥2 D．a≥−2
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运
用二次函数的性质是解题的关键．
依据题意，由一次函数y=−x+2a的图象与二次函数y=x2−3x+5的图象有两个交点，从而可联立方程
x2−3x+5=−x+2a，即x2−2x+5−2a=0，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可．
【规范解答】解：∵一次函数y=−x+2a的图象与二次函数y=x2−3x+5的图象有两个交点，
∴联立方程x2−3x+5=−x+2a．
∴x2−2x+5−2a=0．
∴Δ=4−4(5−2a)>0．
∴a>2．
故选：B．
7．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,3)，下列
说法错误的是（ ）A．a<0 B．b2−4ac>0
b
C． =−1 D．抛物线向下平移c个单位后，一定经过(−2,0)
2a
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及
平移性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行
分析判断．
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，故A正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故B正确．
b
∵抛物线的顶点横坐标为− =−1，
2a
b
∴ =1，故C错误．
2a
抛物线向下平移c个单位后，解析式为y=ax2+bx+c−c=ax2+bx．
当x=−2时，y=a×(−2) 2+b×(−2)=4a−2b．
b
由− =−1可得b=2a，
2a
∴y=4a−2×2a=0，
∴抛物线向下平移c个单位后一定经过(−2,0)，故D正确．
故选：C．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线y=−x2+bx−5(b>0)上有
A(t,y ),B(3,y ),C(t+2,y )三点，且y >y >−5，则t的取值范围是 ．
1 2 1 1 21
【答案】 <t<1或t>3
2
【思路引导】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性
质是关键．依据题意，由−1<0，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过
t+t+2
A(t,y ),C(t+2,y )，可得对称轴是直线x= =t+1，又y >y >−5，且抛物线过(0,−5)，故
1 1 2 1 2
|t+1−0)>|t+1−3)>|t+1−t)，再分类讨论判断即可得解．
【规范解答】解：由题意，∵−1<0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵抛物线过A(t,y ),C(t+2,y )，
1 1
t+t+2
∴对称轴是直线x= =t+1．
2
又∵y >y >−5，且抛物线过(0,−5)，
1 2
∴|t+1−0)>|t+1−3)>|t+1−t)．
∴|t+1)>|t−2)>1．
①当t>2时，t+1>t−2>1，
∴t>3；
②当−1≤t≤2时，t+1>2−t>1，
1
∴ <t<1；
2
③当t<−1时，−t−1>2−t>1，
∴无解；
1
综上所述， <t<1或t>3．
2
1
故答案为： <t<1或t>3．
2
9．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对
称轴为直线x=1．下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；④
t(at+b)+a≤0（t是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二
次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，故结论①正确，符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的图像开口向下，
∴a<0，
∵b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点(−1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点位于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故结论②错误，不符合题意；
∵对称轴为x=1，
∴当x=1时，y有最大值a+b+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
又∵b=−2a，
∴a+b+c=−4a，即函数的最大值为−4a，故结论③正确，符合题意；
∵当x=1时y有最大值a+b+c，
当x=t时，y为at2+bt+c，
∴at2+bt+c≤a+b+c，
∴at2+bt≤a+b，
又∵b=−2a，
∴at2+bt≤a−2a，
∴t（at+b）≤−a，即t（at+b）+a≤0，故结论④正确，符合题意，
综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
