文档内容
专题22.4 二次函数（章节复习）
（知识梳理+28个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共71题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01： 二次函数的定义......................................................2
知识点梳理02：二次函数的图象与性质.................................................3
知识点梳理03：二次函数的几何变换...................................................4
知识点梳理04：待定系数法求函数解析式...............................................4
知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系......................................5
知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程..............................................5
知识点梳理07： 二次函数与实际问题..................................................6
优选题型 考点讲练......................................................................7
高频考点1：根据二次函数的定义求参数................................................7
高频考点2：y=ax²+bx+c的图象与性质.................................................8
高频考点3：二次函数图象与各项系数符号.............................................11
高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号.........................................14
高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值...........................................16
高频考点6：y=ax²+bx+c的最值......................................................18
高频考点7：利用二次函数对称性求最短路径...........................................21
高频考点8：待定系数法求二次函数解析式.............................................24
高频考点9：线段周长问题（二次函数综合)............................................26
高频考点10：面积问题（二次函数综合）..............................................30
高频考点11：角度问题（二次函数综合）..............................................34
高频考点12：求抛物线与x轴的交点坐标..............................................41
高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标..............................................44
高频考点14：抛物线与x轴的交点问题................................................46
高频考点15：根据二次函数图象确定相应方程根的情况..................................48
高频考点16：利用不等式求自变量或函数值的范围......................................51
高频考点17：根据交点确定不等式的解集..............................................54
高频考点18：图形问题（实际问题与二次函数).........................................57
高频考点19：图形运动问题（实际问题与二次函数).....................................59高频考点20：拱桥问题（实际问题与二次函数).........................................61
高频考点21：销售问题（实际问题与二次函数).........................................63
高频考点22：投球问题（实际问题与二次函数).........................................65
高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数).........................................68
高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数).......................................70
高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数).........................................72
高频考点26：面积问题（二次函数综合）..............................................76
高频考点27：线段周长问题（二次函数综合）..........................................79
高频考点28：角度问题（二次函数综合）..............................................82
中考真题 实战演练.....................................................................88
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................97
基础夯实..........................................................................97
培优拔高..........................................................................99
知识点梳理01： 二次函数的定义
1. 二次函数的定义：
一般的，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a、
b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。
二次函数解析式的表示方法
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，
它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)；
(3)交点式：y＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，
1 2
其中x，x是图象与x轴交点的横坐标 ．
1 2
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点
式，只有抛物线与 轴有交点，即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次
函数解析式的这三种形式可以互化.知识点梳理02：二次函数的图象与性质
1. 二次函数的性质与图像：
形式
一般式： 顶点式
的符号
开口方向 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下
，若 同号，则对称轴在 ，若 ，对称轴在 轴右边；若
对称轴
轴左边；若 异号，则对称轴在 轴右 ，对称轴在 轴左边，
边。简称左同右异。
当 时取得 当 时取得 当 时取得最小 当 时取得最大
最值
值 值
最小值 最大值
顶点坐标
图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边 图像在对称轴左边
随 的增大而减 随 的增大而增 随 的增大而减 随 的增大而增
增减性 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴 小；图像在对称轴 大；图像在对称轴
右边 随 的增大 右边 随 的增大而 右边 随 的增大 右边 随 的增大而
而增大； 减小； 而增大； 减小；
①若二次函数是一般形式时，则二次函数与 轴的交点坐标为 。若 ，则二次函数与
轴交于正半轴；若 ，则二次函数与 轴交于负半轴。
②二次函数开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大；二次函数开口向下时，离对称轴越远的
函数值越小。
③二次函数函数值相等的两个点一定关于对称轴对称。
④二次函数的一般式化为顶点式：利用一元二次方程的配方法。
知识点梳理03：二次函数的几何变换
1. 二次函数的平移：
①若函数进行左右平移，则在函数的自变量上进行加减。左加右减。
②若函数进行上下平移，则在函数解析式常数项后面进行加减。上加下减。(1) 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成
（或 ）
(2) 沿x轴平移：向左（右）平移
个单位，y=ax2+bx+c变成
（或 ）
2. 一次函数的对称变换：
①若二次函数关于 轴对称，则自变量不变，函数值变为相反数。
②若二次函数关于 轴对称，则函数值不变，自变量变成相反数。
③若二次函数关于原点对称，则自变量与函数值均变成相反数。
知识点梳理04：待定系数法求函数解析式
1. 待定系数法求二次函数解析式的具体步骤：
（1）设二次函数解析式；
①已知抛物线上任意三点，则设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
②已知抛物线的顶点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)。
③已知抛物线与x轴的两个交点坐标，则设二次函数解析式为y=a(x−x )(x−x )(a≠0)。
1 2
（2）带点：将已知点带入函数解析式建立方程。
（3）解方程：解（2）中得到的方程，得出未知系数。
（4）反带：将未知系数反带入函数解析式。知识点梳理05 ：二次函数的图象与系数之间的关系
1. 二次函数的开口方向：
二次函数的开口方向由a决定， ，开口向上， ，开口向下。
2. 二次函数的对称轴：
b
由二次函数的性质可知，二次函数 的对称轴为x=− 。若 同号，则
2a
＜0，二次函数的对称轴在 轴的左边；若 异号，则 ＞0，二次函数的对称轴
在 轴的右边。简称左同右异。
①若二次函数的对称轴 =1，则 0。
②若二次函数的对称轴 =﹣1，则 0。
3. 二次函数与 轴的交点：
二次函数 与 轴的交点坐标为（0，c）。
拓展：在二次函数 中：
是自变量为1的函数值， 是自变量为﹣1的函数值。
是自变量为2的函数值， 是自变量为﹣2的函数值。
是自变量为3的函数值， 是自变量为﹣3的函数值。
知识点梳理06： 二次函数与一元二次方程
1. 二次函数与一元二次方程：
①若二次函数 与 轴有两个交点⇔一元二次方程 有两个不
相等的实数根⇔ 。
②若二次函数 与 轴只有一个交点⇔一元二次方程 有两个相等的实数根⇔ 。
③若二次函数 与 轴没有交点⇔一元二次方程 没有实数根
⇔ 。
④若二次函数 与直线 相交，则一元二次方程为 。交
点情况与方程的解的情况同与 轴相交时一样。
2. 二次函数与不等式（组）
若二次函数 与一次函数 存在交点，则不等式：
的解集取二次函数图像在上方的部分所对应的自变量取值范围；
的解集取二次函数图像在下方的部分所对应的自变量取值范围。
知识点梳理07： 二次函数与实际问题
1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤：
①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系．
②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式．
④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题．
⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论．
⑥答：写出答案。
2. 二次函数与图形面积问题：
解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转
化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。
3. 二次函数解决销售利润问题：
计算公式：
总利润＝单利润×数量
现单利＝原单利＋涨价部分（原单利－降价部分）
涨价部分 降价部分
现数量＝原数量－ ×变化数量（原数量＋ ×变化数量）
涨价基础 降价基础4. 二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题：
（1）建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。
（2）从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。
（3）利用待定系数法求函数表达式。
（4）运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。
高频考点1：根据二次函数的定义求参数
【典例精讲】（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，满足如下四
个条件：abc=0；a+b+c=3；3a+4b+2c=5，a0；②3a+c<0；③M(−3,y ),N(3,y )是抛物线上两点，则y 0．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【规范解答】解：①由抛物线开口向上得，a>0；由对称轴位于y轴的右侧得，a,b符号相异，b<0；由
抛物线与y轴交于负半轴得，c<0；∴abc>0，该选项正确，符合题意；
b
②由对称轴为直线x=1得，− =1，b=−2a，(4,0)的对称点为(−2,0)，
2a
当x=−1时，y=a−b+c=3a+c<0，该选项正确，符合题意；
③∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，且|−3−1)=4,|3−1)=2,4>2，
∴y >y ，该选项错误，不符合题意；
1 2
④由②得b=−2a，
y=ax2−2ax+c，
将(4,0)代入上式得，16a−8a+c=0，
解得c=−8a，
由关于x的一元二次方程ax2+bx+c=a−5没有实数根，结合图象得，
a−50 B．当x>4时，y>0
C．a−b+c=0 D．2a−b=0
【答案】D
【思路引导】本题考查了图象与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数之间的关系，二次函数系数符号由抛
物线开口方向，对称轴和抛物线与y轴的交点确定．根据抛物线的开口方向得出a的符号，根据抛物线对
称轴可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c的符号，从而逐项进行判断即可．
【规范解答】∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵抛物线对称轴为x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故选项D错误，符合题意；
∴b<0，
∵抛物线与 y 轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故选项A正确，不符合题意；∵抛物线与 x 轴一个交点为 (3,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点为 (−1,0) ，
∴x>3 时 y>0，
∴x>4时 y>0，故选项B正确，不符合题意；
当 x=−1 时，y=a(−1) 2+b×(−1)+c=a−b+c，
∵抛物线与 x 轴的交点为 (−1,0) ，
∴a−b+c=0，故选项C正确，不符合题意；
故选：D．
高频考点4：根据二次函数的图象判断式子符号
【典例精讲】（24-25九年级上·北京·阶段练习）如表记录了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中两个变量
x与y的三组对应值：
x … −2 2 8 …
y … n 1 n …
点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上．若当26；③25a+5b+c−1>0；④若记二次函数y=ax2+bx+c(x 0时，开口向上，离对称轴越近值越小，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
当26，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
当36，符合题意；
1 2 1 2 1 2 1 2
若a<0时，开口向下，离对称轴越近值越大，
∵点P(x ,y )，Q(x ,y )在该函数图象上，当2|x −3)>|2−3)，
1 2
当23−x >1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 2
当2x −3>1，解得x <2，不符合题意；
1 2 1 2 1
当3x −3>1，解得x >x ，不符合题意；
1 2 1 2 1 2
∴a>0，当26，当36，故①错误，②正确；
1 2 1 2 1 2 1 2
∵a>0，开口向上，当x>3时，函数值随着x增大而增大，把x=5代入y=ax2+bx+c得y=25a+5b+c，
当x=4时，y=1，
∴25a+5b+c>1，即25a+5b+c−1>0，故③正确；
当x=3时，二次函数y=ax2+bx+c的图象有最低点，当x>3时，函数值随着x增大而增大，
∵二次函数y=ax2+bx+c(x 0，
故①错误；
b
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴ b=2a，
即2a−b=0，
故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴x=1时，y<0，
∴ a+b+c<0，
故③正确；
∵抛物线开口方向向下，
∴当x y ，
1 2 1 2
故④错误，
故答案为：②③．
高频考点5：根据二次函数的对称性求函数值
【典例精讲】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4,0)．①a−b+c>0；②该抛物线与x轴的另一个交点坐标是
；③若点 和 在该抛物线上，则 ；④对任意实数n，不等式 总
(−3,0) (−1,y ) (2,y ) y 0，故①正确；
∵x=1时，函数有最大值，(2,y )距离对称轴更近，故y 0：③若t为任意实数，则有
2
a−bt≤at2+b：④点(1,2)在抛物线上时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x ,x (x 0，利用抛物线的对称轴方程得到a= b，即可判断①；由x=1时，y>0得
2
a+b+c>0，再结合b=2a得3a+c>0，由于a>0，所以5a+c>0，即可判断②；当x=−1时，
y=a−b+c取得最小值，所以a−b+c≤at2+bt+c，化简后即可判断③；根据对称性得二次函数
y=ax2+bx+c与直线y=2的一个交点为(−3,2)，所以x =−3，x =1，代入x +2x 中即可判断④．
1 2 1 2
【规范解答】解：① ∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=−1，即− =−1，
2a
1
∴a= b，故①正确；
2
② ∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
而b=2a，
∴3a+c>0，
∵a>0，
∴5a+c>0，故②正确；
③ ∵x=−1时，y=a−b+c取得最小值，
∴a−b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a−bt≤at2+b，故③正确；
④ ∵点(1,2)在抛物线上时，方程ax2+bx+c−2=0的两根为x ,x (x −m2+bm；④BM+CN的最小值是❑√10其中说法正确的有
．（填写正确结论的序号）【答案】①③④
【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等；
①先求出点C的坐标，求出求出点A的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点B的坐标，即可判断①；
根据对称性得出x +x =−2，即可判断②，根据二次函数的性质得出最大值为−1−b+3，即可判断③；
1 2
取E (0,1)，连接AM，EM，AE，可证四边形MNCE是平行四边形，得到CN=ME，则四边形BCNM
的周长=BC+CN+NM+BM，再由点A，B关于直线MN对称，得到AM=BM，则
BM+CN=AM+ME≥AE，故当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时BM+CN
最小，即可判断④．
【规范解答】解：∵点C是抛物线y=−x2+bx+3与y轴交点，
∴点C的坐标为(0,3)，
∴OA=OC=3，
∴点A的坐标为(−3,0)，
∴0=−9−3b+3，
∴b=−2，
∴抛物线解析式为y=−x2−2x+3=−(x+1) 2+4，
∴抛物线对称轴为直线x=−1，
令y=0，则−x2−2x+3=0，
解得x=1或x=−3，
∴点B的坐标为(1,0)，
∴OB=1，故①正确；
∵−x2+bx =−x2+bx 且x ≠x ，
1 1 2 2 1 2
设y=−x2+bx +3=−x2+bx +3，则x ,x 关于x=−1对称，
1 1 2 2 1 2
∴x +x =−2，故②错误，
1 2
∵x=−1时，函数有最大值为−1−b+3，若m是抛物线上除顶点外的任意一点横坐标，则纵坐标为，−m2+bm+3
∴−1−b+3>−m2+bm+3
即−1−b>−m2+bm，故③正确
取E (0,1)，连接AM，EM，AE，
∴CE=MN=2
，
又∵MN∥CE，
∴四边形MNCE是平行四边形，
∴CN=ME，
∵点A，B关于直线MN对称，
∴AM=BM，
∴ BM+CN=AM+ME≥AE，
∴当A、M、E三点共线时，AM+ME最小，最小为AE，即此时BM+CN最小，
∴AE=❑√12+32=❑√10，
∴四边形BM+CN的最小值为❑√10．故④正确
故答案为：①③④．
高频考点8：待定系数法求二次函数解析式
【典例精讲】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）（1）已知关于x的方程(x−3)(x−2)−p²=0，
若方程的一个根x =1，求方程的另一个实数根x 及p的值；
1 2
( 9)
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(−2,0)，(4,0)两点，且过点 1,− ，求这个二次
2
函数的解析式．
1
【答案】（1）方程的另一个实数根是4，p的值是±❑√2；（2）y= x2−x−4．
2
【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式，一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，熟知相关
知识是解题的关键．（1）先把原方程化为一般式，由根与系数的关系可得x₁+x₂=5,x₁x₂=6−p²，据此求出x 的值，进而
2
可求出p的值；
（2）先把解析式设为交点式，再利用待定系数法求解即可．
【规范解答】解：（1）∵(x−3)(x−2)−p²=0，
∴x²−5x+6−p²=0，
∴x +x =5,x x =6−p²，
1 2 1 2
∵x =1，
1
∴x =4，
2
∴4=6−p²，
∴p=±❑√2．
∴方程的另一个实数根是4，p的值是±❑√2，
（2）∵二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于(−2,0)，(4,0)两点，
∴可设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)(x−4)，
( 9)
又∵函数的图象过点 1,− ，
2
9
∴− =a(1+2)(1−4)，
2
1
解得 a= ，
2
1 1
∴这个二次函数的解析式为 y= (x+2)(x−4)，即 y= x2−x−4．
2 2
【变式训练】（24-25九年级上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线
y=ax2+(2m−6)x+1经过点(1,2m−4)．
(1)求a的值；
(2)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
(3)点(−m,y )，(m,y )，(m+2,y )在抛物线上，若y 0时，可知点(−m , y )，(m, y )，(m+2, y )从左至右分布，根据
1 2 3
m+m+2 −m+m+2
y 0时，
可知点(−m , y )，(m, y )，(m+2, y )从左至右分布，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
1 2 3
m+m+2
根据y 1，
−m+m+2
根据y ≤ y 可得3−m≥ ，
3 1 2
∴m≤2，
∴10)与抛物线的另一个交点为M，若∠MCB=2∠ABC，求点M的坐标．
【答案】(1)AB=8
(2)点D的横坐标为4或2
(3)M(2,4)
【思路引导】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数
形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关
系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质．
（1）求出抛物线的表达式，得到A(−2,0),B(6,0)，即可求解；
（2）由S = 1( − 1 m2+ 3 m ) ⋅6=6，即可求解；
△BCD 2 4 2
（3）证明CN=CB，则NO=BO=6，得到N(−6,0)，即可求解．
b b
− =− =2b=2
【规范解答】（1）解：∵ 2a 1 ，
−
2∴b=1，
1
∴y=− x2+x+3，
4
1
令y=0，则0=− x2+x+3，
4
∴x =−2,x =6，
1 2
∴A(−2,0),B(6,0)，
∴AB=8．
（2）解：当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
1
∴S = ×8×3=12，
△ABC 2
∴S =6，
△BCD
设直线BC的表达式为：y=kx+3，
将点B的坐标代入上式得：0=6k+3，
1
则k=− ，
2
1
则直线BC:y=− x+3，
2
过点D作DE∥y轴交BC于E，
设D ( m,− 1 m2+m+3 ) ，则E ( m,− 1 m+3 ) ，
4 2
∴ 1( − 1 m2+ 3 m ) ⋅6=6，
2 4 2
∴m =4,m =2，
1 2
∴点D的横坐标为4或2；（3）解：设直线y=mx+n与x轴交于点N，
则∠MCB=∠MNB+∠ABC=2∠ABC，
∴∠MNB=∠ABC，
∴CN=CB，
∴NO=BO=6，
∴N(−6,0)，
{0=−6m+n) { m= 1 )
由点C、N的坐标得， ，解得： 2 ，
n=3
n=3
1
∴直线l的解析式为：y= x+3，
2
1 1
令 x+3=− x2+x+3，
2 4
解得：x =0,x =2，
1 2
∴M(2,4)．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+c与直线
3 11
y=− x+3交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为 ，点P是抛物线上不与A，B重合的一动点，
4 4
点P的横坐标为m．
(1)求c的值．(2)如图，点A与点C关于抛物线的对称轴对称，当点P在AC上方的抛物线上时，若AC平分∠PAB，求m
的值．
(3)当点P在y轴右侧的抛物线上运动时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点N，
设四边形PMAN的周长为l．
①求l关于m的函数解析式；
②若点(m,l ),(m+1,l )都在l关于m的函数图象上，当l 11) 2
4
【思路引导】本题主要考查求二次函数解析、二次函数与几何的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数
形结合思想成为解题的关键．
（1）根据题意求得点A(0,3)，再代入y=−x2+2x+c即可求得c的值；
(11 15) 3
（2）先求出B , ，再运用待定系数法求得直线AB的解析式为y=− x+3，由点A与点C关于抛
4 16 4
物线的对称轴对称，可得AC∥x轴，AC的解析式为y=3；如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，
( 3 )
根据等腰三角形的性质可得PE=DE，点P的横坐标为m，则P(m,−m2+2m+3)、D m,− m+3 ，进
4
3
而得到PE=−m2+2m,ED= m，然后根据PE=DE列关于m的方程求解即可；
4
（3）①分两种情况，当P点位于A、B之间时，当P点位于B点右侧时，由题意可得四边形PMAN是平行
( 3 )
四边形，即AM=PN、MP=AN；由题意可得P(m,−m2+2m+3)、N m,− m+3 ，进而得到
4
PE，ED，然后根据平行四边形的周长公式即可解答；②根据函数图像分成五种情况，然后根据二次函
数的性质列关于m的方程解答即可．3
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=− x+3=3，即A(0,3)，
4
将A(0,3)代入y=−x2+2x+c，可得：c=3．
∴y=−x2+2x+3．
11
（2）解：∵点B的横坐标为 ，
4
3 3 11 15 (11 15)
∴y=− x+3=− × +3= ，即点B , ，
4 4 4 16 4 16
设直线AB的解析式为y=kx+b，
{
3=b
) {
b=3
)
则 15 11 ，解得： 3 ，
= k+b k=−
16 4 4
3
∴直线AB的解析式为y=− x+3，
4
∵点A与点C关于抛物线的对称轴对称，
∴AC∥x轴，AC的解析式为y=3，
如图：过P作PE⊥AC交AC,AB于E、D，
∵AC平分∠PAB，
∴PE=DE，
∵点P的横坐标为m，
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，D m,− m+3 ，
4
∴PE=−m2+2m+3−3=−m2+2m,ED=3− ( − 3 m+3 ) = 3 m，
4 43 5
∴−m2+2m= m，解得：m=0（舍弃）或m= ．
4 4
（3）解：①如图：当P点位于A、B之间时，过点P作PM∥AB交y轴于点M，作PN∥y轴交AB于点
N，
∴四边形PMAN是平行四边形，
∴AM=PN，MP=AN，
∵点P的横坐标为m，m>0
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4
∴AM=PN=−m2+2m+3− ( − 3 m+3 ) =−m2+ 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( −m2+ 11 m+ 5 m ) =−2m2+8m，即l=−2m2+8m ( 00
( 3 )
∴P(m,−m2+2m+3)，N m,− m+3 ，
4
∴AM=PN=−(−m2+2m+3)+ ( − 3 m+3 ) =m2− 11 m，
4 4
MP=AN=❑ √ (0−m) 2+ [ 3− ( − 3 m+3 )) 2 = 5 m，
4 4
∴l关于m的函数解析式为l=2 ( m2− 11 m+ 5 m ) =2m2−3m，即l=−2m2−3m ( m> 11) ，
4 4 4
{ l=−2m2+8m ( 0 11)
4
{ l=−2m2+8m ( 0 11)
4
∵l=−2m2+8m=−2(m−2) 2+8
． ，函数图形开口向上，对称
轴为m=2两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴左侧时，0m+1−2
3
∴12
)
两点都在函数l=−2(m−2) 2+8对称轴右侧时， 11 ，
m+1<
4
不等式无解，不符合题意；
{ l=−2m2+8m ( 0 11)
4
11
{ m< )
4 11
，即2
4
7+❑√65 7−❑√65
−2m2+8m<2(m+1) 2−3(m+1)，m> 或m< ，
8 8
7+❑√65 11
则 −3时，x的取值范围是__________．
(3)结合函数图象，直接写出当0≤x≤3时，y的取值范围是__________．
【答案】(1)y=(x−1) 2−4；抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或(3,0)
(2)x<0或x>2
(3)−4≤ y≤0
【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．
（1）设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−4(a≠0)，再利用待定系数法即可求出抛物线解析式，再令y=0，
即可求出与x轴的交点坐标；
（2）求出点C(0,−3)关于对称轴对称的点的坐标为(2,−3)，再结合函数图象即可得解；
（3）求出当x=3时，y=0，再结合函数图象判断即可得解．
【规范解答】（1）解：∵抛物线顶点D(1,−4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−1) 2−4(a≠0)，
将C(0,−3)代入解析式可得：a−4=−3，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x−1) 2−4，
令y=0，则(x−1) 2−4=0，
解得：x=−1或x=3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或(3,0)；
（2）解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点C(0,−3)关于对称轴对称的点的坐标为(2,−3)，由函数图象可得，当y>−3时，x的取值范围是x<0或x>2；
（3）解：当x=3时，y=(3−1) 2−4=0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围是−4≤ y≤0．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期中）如图，抛物线y=x2−4x+3与x轴分别交于A，B两点（点
A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接MA,MC,AC，则当△MAC的周长
最小时，点M的坐标是 ．
【答案】(2,1)
【思路引导】根据“将军饮马”模型，先求出A(1,0),B(3,0),C(0,3)，由二次函数对称性，A,B关于对
称轴对称，从而C =CA+CM+MA=CA+CM+MB，AC=❑√OA2+OC2=❑√10，则△MAC周长
△MAC
的最小值就是CM+MB的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共
线时线段CB长，再求出直线BC的解析式，即可得到答案．
【规范解答】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接CB交函数对称轴于点M，则点M为所
求点，
∵ y=x2−4x+3 A,B A B
抛物线 与x轴分别交于 两点（点 在点 的左侧），与y轴交于点C，
∴当y=0时，0=x2−4x+3，
解得：x=1或x=3，
即A(1,0),B(3,0)；
当x=0时，y=3，即C(0,3)，
1+3
∴抛物线对称轴为直线x= =2，
2
由二次函数对称性，A,B关于对称轴对称，即MA=MB，
∴ C =CA+CM+MA=CA+CM+MB，
△MAC
∵ AC=❑√OA2+OC2=❑√10，
∴当CM+MB最小时，△MAC周长的最小，
根据两点之间线段最短即可得到CM+MB的最小值为C,M,B三点共线时线段CB长，
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点C(0,3)，B(3,0)代入得：
{ b=3 )
，
3k+b=0
{k=−1)
解得： ，
b=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
当x=2时，y=1，
∴点M的坐标为(2,1)，
故答案为：(2,1)．
【考点剖析】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性
质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．
高频考点13：求抛物线与y轴的交点坐标
【典例精讲】（2025·山西运城·三模）如图，二次函数y=mx2−2x+n的图象与x轴交于A(−1,0)、B
两点，与y轴交于点C，顶点为D，下列结论正确的是（ ）A．m=2 B．该函数图象与y轴的交点的纵坐标是−4
C．当x<0时，函数值y<0 D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，从函数图象中获取信息，求出函数解析式，逐一进行判断
即可．
−2
【规范解答】解：由图象可知：抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2m
∴m=1；故A选项错误；
∴y=x2−2x+n，
把A(−1,0)代入y=x2−2x+n，得：0=1+2+n，
∴n=−3，
∴y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=−3，
∴该函数图象与y轴的交点的纵坐标是−3，当x<0时，y>−3，故B，C选项错误；
由图象可知，当x>1时，y随x的增大而增大；故D选项错误；
故选D．
【变式训练】（24-25九年级上·山西吕梁·期中）综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称
轴与x轴交于点D．已知A(−1,0),B(3,0)，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点P的横
坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标．
(2)点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大，求出此时P点坐标和△PCD的最大面积．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=−x2+2x+3，点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(1,0)；
(5 7) 25
(2) , ，△PCD面积的最大值为 ．
2 4 8
【思路引导】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知
识，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标；
（2）作PE⊥x轴于点E，连接OP，设点P的坐标为(m,−m2+2m+3)，根据
S =S +S −S 列式，再利用二次函数的性质即可求解．
△PCD △POC △POD △OCD
【规范解答】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)，
{−1−b+c=0
)
∴ ，
−9+3b+c=0
{b=2)
解得 ，
c=3
∴抛物线的函数表达式为y=−x2+2x+3，
令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为(0,3)，y=−(x−1) 2+4，
∴对称轴为直线x=1，
∴点D的坐标为(1,0)；
（2）解：作PE⊥x轴于点E，连接OP，设点P的坐标为(m,−m2+2m+3)，∵点C的坐标为(0,3)，点D的坐标为(1,0)，
∴OC=3，OD=1，PE=−m2+2m+3，
∴S =S +S −S
△PCD △POC △POD △OCD
1 1 1
= ×3m+ ×1×(−m2+2m+3)− ×1×3
2 2 2
1 5
=− m2+ m
2 2
1( 5) 2 25
=− m− + ，
2 2 8
1
∵− <0，
2
5 25
∴当m= 时，△PCD面积的最大值为 ．
2 8
此时−m2+2m+3=−
(5) 2
+2×
5
+3=
7
2 2 4
(5 7)
即此时点P的坐标为 , ．
2 4
高频考点14：抛物线与x轴的交点问题
【典例精讲】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）如图，二次函数y=ax2−4ax+m（m为常数）的图
象与x轴的一个交点为(−1,0)，则关于x的一元二次方程ax2−4ax+m=0（m为常数）的两实数根是（
）A．x =−1，x =3 B．x =−1，x =5
1 2 1 2
C．x =1，x =−5 D．x =1，x =3
1 2 1 2
【答案】B
【思路引导】本题考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
−4a
由题意得，抛物线的对称轴为直线x=− =2，则二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象与x轴
2a
的另一个交点为(5,0)，即可得关于x的一元二次方程ax2−4ax+m=0(m为常数)的两实数根是x =−1，
1
x =5．
2
−4a
【规范解答】解：二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象的对称轴为直线x=− =2，
2a
∵二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，
∴二次函数y=ax2−4ax+m(m为常数)的图象与x轴的另一个交点为(5,0)，
∴关于x的一元二次方程ax2−4ax+m=0(m为常数)的两实数根是x =−1，x =5．
1 2
故选：B．
【变式训练】（23-24九年级上·天津和平·期末）已知抛物线y=(m+1)x2−2mx+m−2与x轴有两个交
点(x ,0)，(x ,0)．现有如下结论：
1 2
m
①此抛物线的对称轴为直线x=− ；
m+1
②若抛物线开口向下，则m的取值范围是−2−1时，有−20，求出m
的取值范围即可判断②；求出x=1时的函数值可判断③；根据题意可得当x=−2时，y>0，当x=−1时，
y<0，当x=1时，y<0，当x=2时，y>0，据此列出不等式组求出m的取值范围即可判断④．
【规范解答】解：∵抛物线解析式为y=(m+1)x2−2mx+m−2，
−2m m
∴抛物线对称轴为直线x=− =
，故①错误；
2(m+1) m+1
∵抛物线开口向下，
∴m+1<0，
∴m<−1，
又∵抛物线y=(m+1)x2−2mx+m−2与x轴有两个交点(x ,0)，(x ,0)
1 2
∴Δ=(−2m) 2−4(m+1)(m−2)>0，
∴4m2−4(m2+m−2m−2)>0，
∴4m2−4m2−4m+8m+8>0，
∴m>−2，
∴−2−1，
∴m+1>0，
∴抛物线开口向上，
当x=−2时，y=4(m+1)+4m+m−2=9m+2，
当x=−1时，y=m+1+2m+m−2=4m−1
当x=1时，y=−1
当x=2时，y=4(m+1)−4m+m−2=m+2，
∵−20，当x=−1时，y<0，当x=1时，y<0，当x=2时，y>0，
9m+2>0
{ )
4m−1<0
∴ ，
m+2>0
m>−1
2 1
∴− 0；②5b+2c<0；③若抛物线经过
3
点(−6,y )，(5,y )，则y >y ；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=4无实数根，则n<4．其中正确
1 2 1 2
结论有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】本题考查二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质、由二次函数图象判定系数符
合及式子符号的方法是解决问题的关键．由图可知，抛物线开口向下，则a<0；抛物线y=ax2+bx+c的
( 1 ) b 1
顶点A的坐标为 − ,n ，则对称轴为x=− =− <0，得b<0；抛物线与y轴交于正半轴，则c>0；
3 2a 3
根据结论逐项验证即可得到答案．
【规范解答】解：由图可知，抛物线开口向下，则a<0；抛物线y=ax2+bx+c的顶点A的坐标为
( 1 ) b 1
− ,n ，则对称轴为x=− =− <0，得b<0；抛物线与y轴交于正半轴，则c>0；
3 2a 3
∴abc>0，故①正确；
b 1
∵对称轴为x=− =− ，
2a 3
∴3b=2a，则5b+2c=3b+2b+2c=2a+2b+2c=2(a+b+c)，
令x=1，则由图可知y=a+b+c<0，
∴ 5b+2c<0，故②正确；
1 2
若抛物线经过点(−6,y )，(5,y )，对称轴为x=− ，则点(−6,y )，(5,y )到对称轴的距离分别为5 ，
1 2 3 1 2 3
1
5 ，
3
2 1
∵5 >5 ，且抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越近y值越大，
3 3
∴ y 0时，抛物线开口向上， −(−1)>2− ，
2 2
∴当x=−1时，y=a+3a+1=4a+1为最大值，
即4a+1=9，解得a=2；
②当a<0时，抛物线开口向下，
3 4−9a
∴当x= 时，y= 为最大值，
2 4
4−9a 32
即 =9，解得a=− ；
4 9
32
综上所述，a=2或a=−
9
（3）解：①∵抛物线y=ax2+bx+1，
当x=0时，y=1，则A点坐标为(0,1)；
②∵(t,1)，(0,1)均在抛物线上，
b t
∴抛物线y=ax2+bx+1的对称轴为直线x=− = ，
2a 2
∵抛物线经过(−2,m)，(−3,n)，
∴m=4a−2b+1，n=9a−3b+1，1− >− ，
2a 2a 2a
3 t 5
∴− > >− ，
2 2 2
∴−50；③方程ax2+bx+c=mx+n有一个实数根；④抛
2
物线与x轴的另一个交点是(−2,0)；⑤当x<1时，则y >y ，其中正确的是（ ）
1 2
A．①②③ B．③⑤ C．①④ D．④⑤
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数与不等式（组）：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，
即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了二次函数的性质，
抛物线与x轴的交点．
b
根据抛物线的对称轴方程得到x=− =1，从而可对①进行判断；利用抛物线开口方向得到a<0，则利用
2a
b=−2a可判断b>0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，从而可对②进行判断；利用抛物线与直线的
交点个数可对③进行判断；利用抛物线的对称性可对④进行判断；利用抛物线在直线上方所对应的自变量
的取值范围可对⑤进行判断．
b
【规范解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=− =1，
2a
∴b=−2a，
即2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，所以②错误；
∵抛物线y =ax2+bx+c与直线y =mx+n有两个交点，
1 2
∴方程ax2+bx+c=mx+n有两个实数根，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标(−2,0)，所以④正确；
当1y ，所以⑤错误．
1 2
故选：C．
高频考点17：根据交点确定不等式的解集
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线y =ax2+bx−4与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)
1
两点，与y轴交于点C，过B，C两点的直线y =kx+b(k≠0)．
2
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ；
(2)当−1y 时，自变量x的取值范围．
1 2
【答案】(1)y =x2−3x−4，
(3
,−
25)
1 2 4
25
(2)− ≤ y <14
4 1
(3)x<0或x>4
【思路引导】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括利用交点求函数解析式、求函数最值
以及根据函数值大小确定自变量范围等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）对于求抛物线解析式，可利用抛物线与x轴交点坐标，代入抛物线表达式求解系数，再将抛物线解析
式化为顶点式求顶点坐标；
（2）求函数值y 的取值范围，先分析抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定x的范围确定函数值的最值
1
情况；
（3）求y >y 时自变量x的取值范围，先求出直线BC的解析式，再联立抛物线与直线方程，求出交点横
1 2
坐标，结合图像确定范围．
【规范解答】（1）解：∵ 抛物线y =ax2+bx−4过A(−1,0)、B(4,0)
1∴ ¿
解方程组可得¿
∴ 抛物线解析式为y =x2−3x−4
1
3 25
∵ y =x2−3x−4=(x− ) 2−
1 2 4
3 25
∴ 顶点坐标为( ,− )
2 4
3 25
故答案为：y =x2−3x−4，( ,− )．
1 2 4
（2）解：∵ 抛物线y =x2−3x−4中a=1>0
1
3
∴ 抛物线开口向上，对称轴为x=
2
3 25
当x= 时，y 取得最小值−
2 1 4
当x=6时，y =62−3×6−4=14
1
当x=−1时，y =0
1
3
∵ 6距离对称轴x= 的距离大于−1距离对称轴的距离
2
25
∴ 当−1y 时，x<0或x>4．
1 2
【变式训练】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点
A(−1,0),B(3,0),C(0,−3)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)利用图象的特点填空：
①当x=________时，方程ax2+bx+c=−4；
②不等式−40)，将点 0, 代入求出抛物
3
线的解析式，再求出当y=0时，x的值，由此即可得．
3+5
【规范解答】（1）解：由表格数据可知，这个抛物线的对称轴为直线x= =4，
2
∵这个抛物线的开口向下，
∴当x=4时，二次函数取得最大值，最大值为3，
即铅球运行的竖直高度的最大值为3米，故答案为：3．
（2）解：如图，建立平面直角坐标系如下：
∵这个抛物线的顶点坐标为(4,3)，
∴设这个抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+3(x>0)，
( 5) 5
将点 0, 代入得：16a+3= ，
3 3
1
解得a=− ，
12
1
∴这个抛物线的解析式为y=− (x−4) 2+3(x>0)，
12
1
将y=0代入得：− (x−4) 2+3=0，
12
解得x=10或x=−2<0（不符合题意，舍去），
答：小明这次试投的投掷距离为10米．
【变式训练】（24-25九年级上·湖北恩施·阶段练习）九年级的一名高个子男生推铅球，铅球的运动轨
迹ABC可看作某条抛物线的一部分，已知这名男生的出手处A点离地面的高度为2米，当球运动到点B最
高处5米时，离该男生站立地点O的水平距离为6米．以点O为原点建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）；
(2)求该男生把铅球推出去多远？
11
(3)有一个横截面为矩形DEFG的竹筐，长DE=1米，高DG= 米（不考虑竹筐的宽度），若铅球可落
12
入筐内，请求竹筐的边DG到O点的水平距离m的取值范围．
1
【答案】(1)y=− (x−6) 2+5；
12(2)(6+2❑√15)米
(3)12≤m≤13
【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据题意，得到B(6,5)为顶点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出y=0时的x的值，即可得出结果；
11
（3）求出y= 时的函数值，结合DE=1，即可得出结果．
12
【规范解答】（1）解：根据题意可知A(0,2)，B(6,5)，且B(6,5)为顶点坐标，
设抛物线的解析式为y=a(x−6) 2+5，
1
将(0,2)代入，得36a+5=2，解得a=− ，
12
1
∴抛物线的解析式为y=− (x−6) 2+5；
12
1
（2）解：令y=0，得− (x−6) 2+5=0，
12
解得x =6+2❑√15，x =6−2❑√15（舍去）．
1 2
答：该男生把铅球推出去(6+2❑√15)米远；
11 1 11
（3）解：令y= ，得− (x−6) 2+5= ．
12 12 12
解得x =13，x =−1（舍去）．
1 2
∵DE=1，
∴12≤m≤13．
高频考点23：喷水问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图所示，有一建筑工地从10m高的窗口A处用
40
水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m．
3(1)求抛物线的解析式；
(2)求水流落地点B离墙的距离OB．
10 20
【答案】(1)y=− x2+ x+10
3 3
(2)3米
【思路引导】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）根据点M的坐标可得抛物线解析式的顶点式，然后将点A的坐标代入即可得；
（2）令y=0可得一个关于x的一元二次方程，解方程即可得．
40
【规范解答】（1）由题意，A(0,10),M(1, )，
3
40
设抛物线解析式的顶点式为y=a(x−1) 2+ ，
3
40
将点A(0,10)代入得：a+ =10，
3
10
解得a=− ，
3
10 40
则抛物线解析式的顶点式为y=− (x−1) 2+ ，
3 3
10 20
即抛物线的解析式为y=− x2+ x+10；
3 3
10 20
（2）令y=0得：− x2+ x+10=0，
3 3
10 40
即− (x−1) 2+ =0，
3 3
解得x=3或x=−1<0（不符题意，舍去），
则OB=3，
故水流落地点B离墙的距离3米．
【变式训练】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为x米，距
地面的竖直高度为y米，现测得x与y的几组对应数据如下：
水平距离x/m 0 1 2 3 4 5 6 …
垂直高度y/m 0.7 1.6 2.3 2.8 3.1 3.2 3.1 …
小华根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，
请补充完整：
(1)在平面直角坐标系xOy中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象；
(2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米；
(3)求出y关于x的函数关系式；
(4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离2.5米处修建一个大理石雕塑，
使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到0.1米）
（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素）
【答案】(1)见解析
(2)3.2；
1
(3)y=− (x−5) 2+3.2；
10
(4)2.6
【思路引导】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点，灵活运用
相关知识成为解题的关键．
（1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可；
（2）根据图像及表中数据即可解答；
（3）根据图像得知二次函数对称轴为x=5，再用待定系数法代入图上一点即可解答；
（4）将x=2.5代入抛物线解析式求出y的值即为本题答案．
【规范解答】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：
(0,0.7),(1,1.6),(2,2.3),(3,2.8),(4,3.1),(5,3.2),(6,3.1)，将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线：
（2）解：通过表中数据得知，当x=5时水流最高，此时水流到达地面距离为3.2米，
（3）解：设二次函数解析式为v=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，
由（2）知，对称轴为x=5，最高点为3.2，
∴顶点坐标为(5,3.2)，
∴v=a(x−5) 2+3.2(a≠0)，
∴把(0,0.7)代入v=a(x−5) 2+3.2(a≠0)中得：
1
0.7=a(0−5) 2+3.5，解得：a=− ，
10
1
∴抛物线表达式为：y=− (x−5) 2+3.2．
10
1
（4）解：根据题意把x=2.5代入y=− (x−5) 2+3.2中得：
10
1 10.3
y=− (2.5−5) 2+3.2= ≈2.6米．
10 4
∴大理石雕塑的高度约为2.6m．
高频考点24：增长率问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（2021·江苏盐城·一模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改
造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧
房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计
划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【思路引导】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式
w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【规范解答】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：3(1+x) 2=4.32，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：w=(300+a)×(20000−50a)=−50(a−50) 2+612500，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【考点剖析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的
性质进行求解．
【变式训练】为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并
规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安
装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安
装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种
型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【思路引导】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，
列出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元，列不等式，求出a的范围，
再求出w的函数解析式，进而可求出答案.
【规范解答】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：2560(1+x) 2=2560+3200，
解得:x =0.5=50%，x =−2.5（舍去）.
1 2答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩(200−a)个，所需资金为w万元.
1
根据题意，得:a⩽ (200−a)，
2
2
解得:a≤66 ，
3
w=3.5a+4(200−a)=−0.5a+800，
∵−0.5<0，
∴w随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当a=66时，w最小，最小值为−0.5×66+800=767（万元）.
此时，200−a=134.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【考点剖析】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函
数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.
高频考点25：其他问题（实际问题与二次函数)
【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图是南水北调某段河道的截面图．河道轮廓为
某抛物线的一部分，嘉琪在枯水期测得河道宽度OA=20米．河水水面截痕BC=10米，水面到河岸水平线
OA的距离为7.5米．以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．
解决如下问题：
(1)求河道轮廓的函数解析式，并求此时最大水深为多少米？
(2)在丰水期，测得水面到OA的距离为3.6米．
①求此时水面截痕DE的长；
②嘉琪乘坐小船游弋到河道正中央时，向右侧河岸抛出一个小球，小球恰好落在点E处，小球飞行过程中
到水面最大距离是8米，若小球飞行轨迹的形状保持不变，要想让小球飞到河岸（即点A右侧）上，求嘉
琪的小船至少要向右划行多少米？1
【答案】(1)y= x2−2x，最大水深为2.5米
10
30−2❑√55
(2)①16米②至少要向右划行 米
5
【思路引导】（1）过B作BG⊥x轴交于G，结合题意及抛物线的性质得B(5,−7.5)，A(20,0)，设
y=ax(x−20)，将B的坐标代入，求出最小值，即可求解；
1
（2）①当y=−3.6时，解方程 x2−2x=−3.6，即可求解；
10
②DE的中点为F，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为M，可得F(10,−3.6)，E(18,−3.6)，由对称性
得M(14,4.4)，可设小球的轨迹抛物线的解析式为y=m(x−14) 2+4.4， 设向右划行n米，小球落到A点
1
得y=− (x−14−n) 2+4.4，即可求解．
2
【规范解答】（1）解：如图，过B作BG⊥x轴交于G，
∴BG=7.5
，
1
由抛物线的对称性得OG= (OA−BC)=5，
2
∴B(5,−7.5)，
∵ OA=20，
∴A(20,0)，
∴设抛物线的解析式为y=ax(x−20)，
∴5a(5−20)=−7.5，
1
解得：a= ，
10
1
∴ y= x(x−20)
10
1
= x2−2x；
10
−2
x=− =10
当 1 时，
2×
101
y = ×102−2×10=−10，
最小 10
∴最大水深为−7.5−(−10)=2.5（米），
1
∴抛物线的解析式为y= x2−2x，最大水深为2.5米．
10
（2）解：①∵水面到OA的距离为3.6米，
∴当y=−3.6时，
1
x2−2x=−3.6，
10
解得：x =2，x =18，
1 2
∴DE=18−2=16（米），
答：此时水面截痕DE的长16米；
②解：如图，DE的中点为F，小球轨迹为抛物线的一部分，顶点为M，
∴F(10,−3.6)
，
由①得E(18,−3.6)，
∵小球飞行过程中到水面最大距离是8米，且经过E、F，
∴ E、F关于小球轨迹所在抛物线的对称轴对称，
1
8−3.6=4.4， (10+18)=14，
2
∴M(14,4.4)，
∴可设小球的轨迹抛物线的解析式为y=m(x−14) 2+4.4，
∴ m(10−14) 2+4.4=−3.6，
1
解得：m=− ，
2
1
∴ y=− (x−14) 2+4.4，
2
设向右划行n米，小球落到A点，
1
∴ y=− (x−14−n) 2+4.4，
2将A(20,0)代入得：
1
− (20−14−n) 2+4.4=0，
2
30+2❑√55 30−2❑√55
解得：n = ，n = ，
1 5 2 5
30−2❑√55
故嘉琪的小船至少要向右划行 米．
5
【考点剖析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法，二次函数的性质，理解题意，能熟练利用待定系
数法，二次函数的性质进行求解是解题的关键．
【变式训练】（2025·陕西渭南·三模）滑板是一项富有激情与挑战的极限运动，U型池则是它绽放魅力
的重要舞台，滑手在连续的U型池滑道间展开挑战，这不仅能考验滑手的综合能力，也为观众带来极具观
赏性的视觉盛宴．滑手在U型池之间转换时，脱离滑道起跳后的飞行路线可近似看作是抛物线的一部分．
如图，某次挑战中，滑手小红尝试从滑道①转换到滑道②，已知小红从起跳到着陆的过程中，起跳点到滑
道底部所在直线的距离为3m，当离起跳点水平距离为4m时，小红到滑道底部所在直线的距离达到了最大
值5.4m，现以滑道底部所在直线为x轴，垂直于滑道底部所在直线且经过起跳点的直线为y轴建立平面直
角坐标系（滑道①、②底部在一条直线上）．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若滑手的着陆点位于下一个U型池滑道的内部，则视为滑手成功完成转换，已知滑道②与滑道①高度相
同，两者水平距离为7.8m，请通过计算说明小红能否转换成功？
【答案】(1)y=−0.15(x−4) 2+5.4
(2)能
【思路引导】此题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出抛物线的顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）当y=3时，3=−0.15(x−4) 2+5.4，解方程比较后即可得到答案．
【规范解答】（1）解：由题知起跳点的坐标为(0,3)，抛物线的顶点坐标为(4,5.4)．
设该抛物线的函数表达式为y=a(x−4) 2+5.4，
把(0,3)代入得3=16a+5.4，解得a=−0.15，
设该抛物线的函数表达式为y=−0.15(x−4) 2+5.4．
（2）当y=3时，3=−0.15(x−4) 2+5.4,
解得x =8，x =0（舍去），
1 2
因为8>7.8,
所以小文能成功转换．
高频考点26：面积问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的
图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,2)，且顶点P的坐标为(−1,3)．
(1)求二次函数的解析式；
( 5 3)
(2)如图，点D − , ，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求
2 4
△MCD面积的最大值及此时点M的横坐标．
【答案】(1)y=−x2−2x+2
125 5
(2)△MCD面积的最大值为 ，此时点M的横坐标为−
64 4
【思路引导】（1）根据已知的顶点坐标设出二次函数的解析式y=a(x+1) 2+3，再将点C(0,2)代入求出a
的值即可；
（2）如图，过点M作MH∥y轴交CD于点H，由S =S +S ，即可求解．
△MCD △MHD △MHC
【规范解答】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,2)，且顶点P的坐标为(−1,3)，
设二次函数的解析式为y=a(x+1) 2+3，
∴2=a×(0+1) 2+3，解得：a=−1，
∴二次函数的解析式为y=−(x+1) 2+3=−x2−2x+2；
（2）解：如图，过点M作MH∥y轴交CD于点H，
( 5 3)
设直线CD的解析式为y=k x+b ，过点C(0,2)，D − , ，
CD CD 2 4
{ b CD =2 )
∴ 5 3 ，
− k +b =
2 CD CD 4
{ k = 1 )
解得： CD 2 ，
b =2
CD
1
∴设直线CD的解析式为y= x+2，
2
( 1 )
设M(m,−m2−2m+2)，则点H m, m+2 ，设x 、x 分别为点C、D的横坐标，
2 C D
∴S =S +S
△MCD △MHD △MHC
1
= MH×(x −x )
2 C D
=
1
×
[
(−m2−2m+2)−
(1
m+2
))
×
5
2 2 2
=− 5( m2+ 5 m )
4 2
5( 5) 2 125
=− m+ + ，
4 4 645
∵− <0，
4
∴S 有最大值，即△MCD的面积有最大值，
△MCD
5 125
当m=− 时，△MCD的面积最大为 ，
4 64
125 5
即△MCD面积的最大值为 ，此时点M的横坐标为− ．
64 4
【考点剖析】本题二次函数与一次函数的综合题，考查待定系数法确定函数的解析式，坐标与图形，二次
函数的图象与性质等知识点，确定△MCD面积的函数表达式是解题的关键．
【变式训练】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，已知二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于点A、
B，与y轴交于点C．点P是抛物线上一点，其横坐标为m，且点P不与点C重合．
(1)写出点C的坐标为______；线段AB的长为______．
(2)写出△ABC的面积=______．
(3)抛物线上存在点P，使△ABP的面积等于△ABC的面积，利用上面的计算结果，求点P的坐标．
【答案】(1)(0,−3)；4
(2)6
(3)P的坐标(2,−3)或(1+❑√7,3)或(1−❑√7,3)
【思路引导】（1）将x=0代入y=x2−2x−3，求得出C点坐标，令y=0求出A(−1,0)，B(3,0)，即可得
到线段AB的长；
（2）由（1）得到OC=3，AB=4，然后利用三角形面积公式求解即可；
（3）设P(m,m2−2m−3)，利用△ABC的面积等于△ABP的面积列方程求解即可．
此题主要考查了抛物线与x轴的交点，三角形面积求法，二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类
讨论得出是解题关键．
【规范解答】（1）解：∵y=x2−2x−3，
∴当x=0时，y=x2−2x−3=−3，∴点C的坐标为(0,−3)，
当y=0时，0=x2−2x−3，
解得x=−1或x=3，
∴A(−1,0)，B(3,0)，
∴AB=3−(−1)=4；
（2）解：∵点C的坐标为(0,−3)，
∴OC=3，
∵AB=4，
1
∴△ABC的面积= ×4×3=6；
2
（3）解：设P(m,m2−2m−3)，
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
1
∴
×4×|m2−2m−3)=6，
2
解得m=1±❑√7或m=2或m=0（舍去），
∴P的坐标(2,−3)或(1+❑√7,3)或(1−❑√7,3)．
高频考点27：线段周长问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线y=ax2−ax−12a经过点C(0,4)，
与x轴交于A，B两点，连接AC，BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点
P，交BC于点Q．过点P作PN⊥BC，垂足为N，设点M的坐标为(m,0)，则PQ+❑√2PN的最大值 ．
8
【答案】
3
【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与
判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明OB=OC=4，得到∠OBC=∠OCB=45°，进而证明△PNQ是等腰直角三角形，得到PQ=❑√2PN；求出直线BC解析式
为 y=−x+4 ，得到 P ( m,− 1 m2+ 1 m+4 )， Q(m,−m+4) ，则 PQ=− 1 m2+ 4 m ，据此可得
3 3 3 3
2 8
PQ+❑√2PN=− (m−2) 2+ ，由此可得答案．
3 3
【规范解答】解：∵y=ax2−ax−12a经过点C(0,4)，
∴4=−12a，
1
∴a=− ，
3
1 1
∴抛物线解析式为y=− x2+ x+4，
3 3
1 1 1 1
在y=− x2+ x+4中，当y=− x2+ x+4=0时，解得x=4或x=−3，
3 3 3 3
∴B(4,0)，
∴OB=OC=4，
又∵∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°；
∵PM⊥x轴，
∴△BMQ是等腰直角三角形，
∴∠MQB=45°，
∴∠PQN=∠MQB=45°，
又∵PN⊥BC，
∴△PNQ是等腰直角三角形，
∴PN=QN，
∴PQ=❑√PN2+QN2=❑√2PN；
设直线BC解析式为y=kx+b(k≠0)，
{4k+b=0)
∴ ，
b=4
{k=−1)
∴ ，
b=4
∴直线BC解析式为y=−x+4，∵M(m,0)，
∴P ( m,− 1 m2+ 1 m+4 ) ，Q(m,−m+4)，
3 3
1 1 1 4
∴PQ=− m2+ m+4−(−m+4)=− m2+ m，
3 3 3 3
∴PQ+❑√2PN
=PQ+PQ
=2PQ
=2 ( − 1 m2+ 4 m )
3 3
2 8
=− (m−2) 2+ ，
3 3
2
∵− <0，
3
8
∴当m−2=0，即m=2时，PQ+❑√2PN有最大值，最大值为 ，
3
8
故答案为： ．
3
【变式训练】（2025·贵州贵阳·二模）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象
交x轴于A，B两点，交y轴于点C(0,4)，若点B的坐标为(4,0)，点D是该二次函数图象上的一个动点，且
在第一象限．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E，交线段BC于点F，当点D运动到什么位置时，线段DF有最大
值？请求出点D的坐标和DF的最大值；
(3)连接OD，CD，若△OCD关于y轴的对称图形是△OCD′，是否存在点D，使得四边形ODCD′为菱形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=−x2+3x+4
(2)点D的坐标为(2,6)时，DF的最大值为4
(3+❑√17 )
(3)存在，D的坐标是 ,2
2
【思路引导】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质．
（1）将B(4,0)，C(0,4)分别代入y=−x2+bx+c，得到二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设D(x,−x2+3x+4)，由由B(4,0)，C(0,4)，可得直线BC的表达式为y=−x+4，设F(x,−x+4)，
得DF=−x2+4x=−(x−2) 2+4，即可求解；
1
（3）由四边形ODCD′为菱形，得OD=DC=CD′=D′O，DD′ ⊥OC，进而得OM=MC= OC=2，
2
则−x2+3x+4=2，即可求解．
【规范解答】（1）解：将B(4,0)，C(0,4)分别代入y=−x2+bx+c，
{−16+4b+c=0)
得 ，
c=4
{b=3)
解这个方程组，得 ，
c=4
所以二次函数的表达式为y=−x2+3x+4；
（2）解：设D(x,−x2+3x+4)，
由B(4,0)，C(0,4)，可得直线BC的表达式为y=−x+4，
设F(x,−x+4)，
∴DF=−x2+3x+4−(−x+4)
=−x2+4x
=−(x−2) 2+4≤4，
当x=2时，−x2+3x+4=6，
故点D的坐标为(2,6)时，DF的最大值为4；
（3）解：存在，理由如下：
如图，连接DD′，交OC于点M，设点D(x,−x2+3x+4)，
若四边形ODCD′为菱形，
则OD=DC=CD′=D′O，DD′ ⊥OC，
1
∴OM=MC= OC=2，
2
∴−x2+3x+4=2，即x2−3x−2=0，
3±❑√17
解得x= ，
2
∵点D在第一象限，
(3+❑√17 )
故当点D的坐标是 ,2 时，四边形ODCD′为菱形．
2
高频考点28：角度问题（二次函数综合）
【典例精讲】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
抛物线y=−x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线上的一点，使得S =S ，请求出点M的坐标；
△MBC △OBC
(3)点D(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足
∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x2+2x+3
(3+❑√21 3+❑√21) (3−❑√21 3−❑√21)
(2) ,− 或 ,−
2 2 2 2
( 2 11)
(3)存在， − ,
3 9
【思路引导】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题等知识，分情况讨论是
关键．
（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）分两种情况，求出直线m的表达式，和二次函数解析式联立求出答案即可；
（3）连接CD，过点D作DT⊥CB于点T，交抛物线于点A，交PB于点H，求出点T(1,2)，由中点坐标公
1
式得，点H(0,1)，点B、H的坐标得直线BH的表达式为：y=− x+1，联立上式和抛物线的表达式得：
3
1 2
−x2+2x+3=− x+1，则x=3（舍去）或− ，即可得到答案．
3 3
【规范解答】（1）解：当x=0时，y=−x+3=3
当y=0时，0=−x+3，解得x=3，
∴点B、C的坐标分别为：(3,0)、(0,3)，
{−9+3b+c=0)
由题意得： ，
c=3
{b=2)
解得： ，
c=3
则抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
（2）∵S =S ，
△MBC △OBC
∴过点O作直线m∥BC交抛物线于点M，则点M为所求点，设直线BC的表达式为y=px+q，
{3p+q=0)
则 ，
q=3
{p=−1)
解得： ，
q=3
∴直线BC的表达式为： y=−x+3，
则直线m的表达式为：y=−x，
3±❑√21
联立上式和抛物线的表达式得：−x=−x2+2x+3，则x= ，
2
(3+❑√21 3+❑√21) (3−❑√21 3−❑√21)
即点M ,− 或M ,− ，
2 2 2 2
当M在BC上方时，
同理可得直线m的表达式为：y=−x+6，
联立上式和抛物线的表达式得：6−x=−x2+2x+3，此方程无解；
(3+❑√21 3+❑√21) (3−❑√21 3−❑√21)
故点M ,− 或M ,− ；
2 2 2 2
（3）由题意可得，m=−22+4+3=3
∴点D(2,3)，
连接CD，过点D作DT⊥CB于点T，交抛物线于点A，交PB于点H，∵∠PBC=∠DBC，
则点T是DH的中点，
由（1）知，BC的表达式为：y=−x+3，
设点T(t,−t+3)，
1 1
∵S = BC⋅DT= CD×3，BC=❑√32+32=3❑√2，
△BCD 2 2
1 1
∴ ×3❑√2DT= ×2×3
2 2
解得DT=❑√2
∴(t−2) 2+(−t+3−3) 2=(❑√2) 2 ,
解得t=1，
∴点T(1,2)，
由中点坐标公式得，点H(0,1)，
1
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=− x+1，
3
1 2
联立上式和抛物线的表达式得：−x2+2x+3=− x+1，则x=3（舍去）或− ，
3 3
( 2 11)
则点P − , ．
3 9
【变式训练】（24-25九年级上·山东淄博·期末）已知顶点在坐标原点的抛物线经过A(1,t)，
B(3,t+8)两点．(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线交抛物线于另一点C，BD⊥x轴于点D，连接OB．若BO平分∠CBD，求点C
的坐标；
(3)如图2，Q为y轴正半轴上一点，M为第一象限内抛物线上一点，点M的横坐标为m，将点M绕点Q逆
时针旋转90°，得到的对应点N恰好落在拋物线上，过点M的直线y=(2m−2)x+b交抛物线于另一点P，
求证：△PMN的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)y=x2
( 5 25)
(2)C − ,
3 9
(3)证明见解析，S =3
△PMN
【思路引导】（1）由待定系数法即可求解；
（2）作OH⊥BC，垂足为H，设BC与y轴的交点为E．证明△OHB≌△ODB(AAS)，得OH=OD，
4
BH=BD，设OE=x，则BE=x，EH=9−x，解方程得x=5．得直线BC的表达式为：y= x+5，联立
3
方程组求解即可；
（3）用三角形全等求出点N[m+1,(m+1) 2)．根据S =S −S −S 即可求
△PMN 四边形PFKN 四边形PFGM 四边形MGKN
解．
【规范解答】（1）解： ∵抛物线的顶点在坐标原点，
∴设抛物线的表达式为y=ax2．
将A(1,t)，B(3,t+8)代入y=ax2，得：{ t=a×12 )
，
t+8=a×32
{t=1)
解得， ，
a=1
∴抛物线的解析式为y=x2；
（2）解：如图，作OH⊥BC，垂足为H，
设BC与y轴的交点为E．
∵BO平分∠CBD，OE∥BD，
∴∠OBE=∠OBD，∠EOB=∠OBD，
∴∠OBE=∠EOB，
∴OE=EB．
∵ OH⊥BC，BD⊥x轴，
∴∠BHO=∠BDO=90°，
∴ △OHB≌△ODB(AAS)，
∴OH=OD，BH=BD，
设OE=x，则BE=x，EH=9−x，
在Rt△EOH中，x2=32+(9−x) 2，
解得，x=5．
∴E(0,5)．
设直线BC的表达式为：y=kx+b，
代入E(0,5)，B(3,9)，
{ b=5 )
得 ，
3k+b=9{ k= 4 )
解得 3 ，
b=5
4
可得直线BC的表达式为：y= x+5，
3
{ y= 4 x+5)
联立，得： 3 ，
y=x2
5
{ x=− )
3 {x=3)
解得， 或 ；
25 y=9
y=
9
( 5 25)
∴点C − , ．
3 9
（3）解：△PMN的面积为定值，定值为3．
证明：将点M(m,m2)代入直线y=(2m−2)x+b，得，b=2m−m2，
∴直线PM的表达式为：y=(2m−2)x+2m−m2．
∵点P既在抛物线上又在直线PM上，
∴x2=(2m−2)x+2m−m2，
整理得，(x−m)[x−(m−2))=0，
解得，x =m−2，x =m；
1 2∴点P[m−2,(m−2) 2)．
作NL⊥y轴于N，作MI⊥y轴于I，MG⊥x轴于G，NK⊥x轴于K，PF⊥x轴于F，
∴∠NLQ=∠QIM=90°，
∵∠MQN=90°，∠NQL+∠MQI=∠MQI+∠QMI=90°，
∴∠QMI=∠NQL，
∴ △IMQ≌△LQN(AAS)，
∴QL=ℑ=m，ln=IQ．
设ln=a，则IQ=a，
∴点N(a,m2+a+m)，
又点N在抛物线上，
∴a2=m2+a+m，
∴a2−m2=a+m，
∴(a+m)(a−m)=a+m，得，a−m=1，即a=m+1，
∴点N[m+1,(m+1) 2)．
∴S =S −S −S
△PMN 四边形PFKN 四边形PFGM 四边形MGKN
[(m−2) 2+(m+1) 2)×3 [(m−2) 2+m2)×2 [m2+(m+1) 2)×1
= − −
2 2 2
=3．
【考点剖析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结
合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
1．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的自变量x与函
数y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … m −4 n −4 s …
其中0y ；③关于x的方程
1 2 2 116
|ax2+bx+c)+1−s=0有两个不相等的实数根；④− 0（开口向上）、b<0、c>0,分析abc符号；
3.通过对称点距离对称轴的远近比较函数值，判断结论②；
4.结合s=m及抛物线最值，分析方程|y)=s−1的根的个数，判断结论③；
5.用a表示s和n,结合a的范围推导s+n的范围，判断结论④；
6.当m=1时确定抛物线解析式，分析t≤x≤t+2内最小值为1的条件，判断结论⑤．
b
【规范解答】解：由表格可知，抛物线对称轴为x=2（因x=1与x=3时y=−4对称），故− =2，
2a
即b=−4a．x=0时，y=c=m;x=1时，a+b+c=−4,代入b=−4a得c=3a−4．
4
由00（开口向上），b=−4a<0，c=m>0．
结论①：abc<0
∵a>0,b<0,c>0
∴abc<0,①正确．
结论②：:y >y
2 1
点(−2,y )到对称轴距离为4，点(7,y )到对称轴距离为5．
1 2
∵抛物线开口向上，距离对称轴越远函数值越大，
∴y >y ，②正确．
2 1
结论③：方程|ax2+bx+c|+1−s=0有两个不相等实根
s=m(x=0与x=4对称），故方程为|y)=s−1．
∵01时，s−1>0,|y)=s−1有4个根；当s=1时，有2个根；当
s<1时，无实根．故③错误．16
结论④：− |x +2)；
1 2 1 2
④当x≥−2时，二次函数的图象与y=2x−1的图象有两个交点，则−1≤m<0．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图像和性质，二次函数与x轴的交点等知识，掌握二次函数的图
像和性质是解题的关键．
【规范解答】解：二次函数y=x2+4x+m中a=1>0，b=4，
b 4
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为x=− =− =−2，故①正确．
2a 2×1
令x2+4x+m=0，
则Δ=b2−4ac=16−4×1×m=16−4m，
当m<4时，则Δ=16−4m>0，
则二次函数的图象与x轴有两个交点，故②正确．
点(x,y)到对称轴直线x=−2的距离为|x+2)，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，
故若y 0，解得：m<0，
令y=x2+2x+m+1，对称轴为直线x=−1，
∵当x≥−2时，二次函数的图象与y=2x−1的图象有两个交点，
故当x=−2时，(−2) 2+2×(−2)+m+1≥0，解得∶m≥−1．
解得：−1≤m<0，故④正确，
综上：①②④正确，
故选：C
3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数y=x2−2x−3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折
到x轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ）
A．图象与y轴的交点坐标是(0,−3) B．当x=1时，函数取得最大值
C．图象与x轴两个交点之间的距离为4 D．当x>1时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影
响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键．
先求出二次函数翻折前图象与y轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与y轴的交点坐标，判断A选项即可；
根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与x轴的交点坐标，求解距离判断C选项；
根据函数图象即可判断D选项．
【规范解答】解：A选项，二次函数y=x2−2x−3，
令x=0，解得y=02−2×0−3=−3，∴原二次函数y=x2−2x−3与y轴的交点坐标为(0,−3)，
翻折后新函数图象与y轴的交点坐标是(0,3)，A选项错误；
B选项，二次函数y=x2−2x−3，
−2
对称轴为x=− =1，
2
将x=1代入函数解析式可得y=12−2×1−3=−4，
∴原二次函数顶点坐标为(1,−4)，
翻折后新函数图象的对称轴不变，为x=1，
在x=1处，函数没有最大值，B选项错误；
C选项，二次函数y=x2−2x−3，
令x=0，则有x2−2x−3=0，
即(x−3)(x+1)=0，解得x =3，x =−1，
1 2
∴原二次函数y=x2−2x−3与x轴的交点坐标为(−1,0)，(3,0)，
翻折后新函数图象与x轴的交点坐标不变，为(−1,0)，(3,0)，
∴图象与x轴两个交点之间的距离为|3−(−1))=4，C选项正确；
D选项，新函数图象的对称轴为x=1，
由图象可知，函数在13时，y的值随x值的增大而增大，D选项错误．
故选：C ．
4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴相交于点A(0,2)，且抛物线的对称轴为直线x=−1．给出以下4个结论：①
abc<0；②对于任意实数m，am2+bm+c+a的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则OP+AP的最
小值为2❑√2；④若点(x ,y ),(x ,y )在抛物线上，满足x 0，则一定有y 0,− =−1，当x=0时，y=c=2，
2a
∴b=2a>0，
∴2a−b=0，abc>0；故①错误，
当x=−1时，函数取得最小值为：a−b+c，
∴对于任意实数m，am2+bm+c+a≥a−b+c+a=2a−b+c=c=2，
∴am2+bm+c+a的值不小于2，故②正确；
作点O关于对称轴的对称点O′，连接O′ A，
则：O′(−2,0)，
∴当点P在O′ A上时，OP+AP的值最小为O′ A的长，
∵A(0,2)，
∴O′ A=❑√22+22=2❑√2，
∴OP+AP的最小值为2❑√2；故③正确；∵抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点(x ,y ),(x ,y )在抛物线上，满足x 0，
1 1 2 2 1 2 1 2
x +x
∴ 1 2>−1，
2
∴点(x ,y )离对称轴远，
2 2
∴y 0)的对称轴为直线x=1，且
经过点(−1,y )，(2,y )，试比较y 和y 的大小：y y ．（填“>”，“<”或“=”）
1 2 1 2 1 2
【答案】>
【思路引导】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．由
于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象的开口向上，对称轴为直线x=1，然后根据点(−1,y )，(2,y )离
1 2
对称轴的远近可判断y 和y 的大小关系．
1 2
【规范解答】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x=1，
又∵a>0，
∴该函数图象的开口向上，
∵抛物线经过点(−1,y )，(2,y )，且1−(−1)>2−1，
1 2
∴点(−1,y )离对称轴的距离比点(2,y )要远，
1 2
∴y >y ．
1 2
故答案为：>．
4．（24-25九年级上·吉林·期末）将抛物线y=6x2先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度
后，得到的抛物线的解析式为 ．
【答案】y=6(x+3) 2−2
【思路引导】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可．
【规范解答】解：抛物线y=6x2先向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到y=6(x+3) 2−2；故答案为：y=6(x+3) 2−2．
5．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知二次函数y=x2−6ax+9（a为常数）．
(1)若该函数图象经过点P(2,7)，试求a的值和图象的顶点坐标；
(2)在（1）的情况下，当−1≤x<2时，求y的取值范围；
1 (3 27)
【答案】(1)a= ； ,
2 2 4
27
(2) ≤ y≤13
4
【思路引导】本题考查了二次函数的图象性质，把二次函数的一般式化为顶点式，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
1
（1）先整理y=x2−6ax+9=(x−3a) 2−9a2+9，再把点P(2,7)代入y=x2−6ax+9中，解得a= ，即
2
可求出图象的顶点坐标；
3
（2）先结合y=x2−3x+9的开口向上，对称轴为直线x= ，越远离对称轴的x所对应的函数值越大，又
2
27
因为−1≤x<2，则函数的最小值为y= ，最大值为y=13，即可作答．
4
【规范解答】（1）解：依题意，y=x2−6ax+9=x2−6ax+9a2−9a2+9=(x−3a) 2−9a2+9，
∴顶点为(3a,9−9a2)，
把点P(2,7)代入y=x2−6ax+9中
得：4−12a+9=7，
1
解得：a= ，
2
1 3 1 27
∴3a=3× = ,9−9a2=9−9× =
2 2 4 4
(3 27)
∴抛物线的顶点为 , ；
2 4
1
（2）解：由（1）得a=
2
∴二次函数解析式为y=x2−3x+9，b 3
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=− = ，越远离对称轴的x所对应的函数值越大
2a 2
| 3) 5 | 3) 1
∵−1≤x<2，且 −1− = > 2− =
2 2 2 2
3 9 3 27
∴函数在x= 时取最小值为y= −3× +9= ，
2 4 2 4
在x=−1时取最大值为y=1+3+9=13，
27
故y的取值范围为 ≤ y≤13．
4
培优拔高
6．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数y=−x+2a的图象与二次函数y=x2−3x+5的图象有
两个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>−2 B．a>2 C．a≥2 D．a≥−2
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运
用二次函数的性质是解题的关键．
依据题意，由一次函数y=−x+2a的图象与二次函数y=x2−3x+5的图象有两个交点，从而可联立方程
x2−3x+5=−x+2a，即x2−2x+5−2a=0，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可．
【规范解答】解：∵一次函数y=−x+2a的图象与二次函数y=x2−3x+5的图象有两个交点，
∴联立方程x2−3x+5=−x+2a．
∴x2−2x+5−2a=0．
∴Δ=4−4(5−2a)>0．
∴a>2．
故选：B．
7．（24-25九年级上·江西南昌·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(−1,3)，下列
说法错误的是（ ）A．a<0 B．b2−4ac>0
b
C． =−1 D．抛物线向下平移c个单位后，一定经过(−2,0)
2a
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象特征、顶点坐标公式以及
平移性质是解题的关键．根据抛物线的图象特征、顶点坐标公式以及抛物线平移的性质，对每个选项进行
分析判断．
【规范解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，故A正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故B正确．
b
∵抛物线的顶点横坐标为− =−1，
2a
b
∴ =1，故C错误．
2a
抛物线向下平移c个单位后，解析式为y=ax2+bx+c−c=ax2+bx．
当x=−2时，y=a×(−2) 2+b×(−2)=4a−2b．
b
由− =−1可得b=2a，
2a
∴y=4a−2×2a=0，
∴抛物线向下平移c个单位后一定经过(−2,0)，故D正确．
故选：C．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）已知抛物线y=−x2+bx−5(b>0)上有
A(t,y ),B(3,y ),C(t+2,y )三点，且y >y >−5，则t的取值范围是 ．
1 2 1 1 21
【答案】 3
2
【思路引导】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性
质是关键．依据题意，由−1<0，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过
t+t+2
A(t,y ),C(t+2,y )，可得对称轴是直线x= =t+1，又y >y >−5，且抛物线过(0,−5)，故
1 1 2 1 2
|t+1−0)>|t+1−3)>|t+1−t)，再分类讨论判断即可得解．
【规范解答】解：由题意，∵−1<0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵抛物线过A(t,y ),C(t+2,y )，
1 1
t+t+2
∴对称轴是直线x= =t+1．
2
又∵y >y >−5，且抛物线过(0,−5)，
1 2
∴|t+1−0)>|t+1−3)>|t+1−t)．
∴|t+1)>|t−2)>1．
①当t>2时，t+1>t−2>1，
∴t>3；
②当−1≤t≤2时，t+1>2−t>1，
1
∴ 2−t>1，
∴无解；
1
综上所述， 3．
2
1
故答案为： 3．
2
9．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对
称轴为直线x=1．下列结论：①2a+b=0；②abc>0；③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；④
t(at+b)+a≤0（t是一个常数）．其中结论正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．根据二
次函数的图像，开口方向，对称轴，函数的最值，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果．
【规范解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，故结论①正确，符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c的图像开口向下，
∴a<0，
∵b=−2a，
∴b>0，
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下，与x轴交于点(−1,0)，对称轴为x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点位于y轴的正半轴，
∴c>0，
∴abc<0，故结论②错误，不符合题意；
∵对称轴为x=1，
∴当x=1时，y有最大值a+b+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
又∵b=−2a，
∴a+b+c=−4a，即函数的最大值为−4a，故结论③正确，符合题意；
∵当x=1时y有最大值a+b+c，
当x=t时，y为at2+bt+c，
∴at2+bt+c≤a+b+c，
∴at2+bt≤a+b，
又∵b=−2a，
∴at2+bt≤a−2a，
∴t（at+b）≤−a，即t（at+b）+a≤0，故结论④正确，符合题意，
综上所述，结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
