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专题 22.4 拱桥问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】根据下列素材，探索完成任务．
如何设计跳绳的方案
参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2
人，共计8人，他们在同一平面内站成一路
纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，
素材1 可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队
员水平间距AB为5米，他们的手到地面的
高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2
米．
某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男
生身高均在1.70－1.80米，女生身高一人为
素材2
1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，
跳绳队员之间的距离至少0.5米．
问题解决
在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛
任务1 确定长绳在最高点时的形状
物线的函数表达式．
若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳
任务2 探究站队的方式
能否顺利甩过所有队员的头顶？
为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低
任务3 设计位置方案 的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求
出左边第一位队员横坐标的取值范围．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键；
任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待
定系数法求解二次函数的解析式即可；
5
任务二：如图，6名同学，以直线x= 为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两
2
侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当x=2.25或x=2.75时， 当x=1.75或x=3.25时， 当x=1.25或x=3.75时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是
取值范围即可．
【解题过程】
解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得，(0,1)，(5,1)在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为(2.5,2)，
( 5) 2
设抛物线解析式为y=a x− +2，
2
25
∴ a+2=1，
4
4
解得a=− ，
25
4 ( 5) 2
∴抛物线的函数解析式为y=− x− +2；
25 2
任务二：
4 ( 5) 2
∵y=− x− +2，
25 2
5
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
5
如图，6名同学，以直线x= 为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学
2
站中间，女同学站两边，
对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是2，3，∴有1个1.65米的女生的横坐标为1或4，
4 ( 5) 2 49
当x=2时或x=3时，y=− x− +2= =1.96>1.70，
25 2 25
4 ( 5) 2 46
当x=1.5或x=3.5时，y=− x− +2= =1.84>1.70
25 2 25
4 ( 5) 2 41
当x=1或x=4时，y=− x− +2= =1.64<1.65，
25 2 25
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧排列，
4 ( 5) 2
当x=2.25或x=2.75时，y=− x− +2=1.99>1.80，
25 2
4 ( 5) 2
当x=1.75或x=3.25时，y=− x− +2=1.91>1.80，
25 2
4 ( 5) 2
当x=1.25或x=3.75时，y=− x− +2=1.75>1.65，
25 2
∴站队方式符合要求，
4 ( 5) 2
当y=1.65时，则− x− +2=1.65，
25 2
10+❑√35 10−❑√35
∴x = ，x = ，
1 4 2 4
10−❑√35 5
∴左边第一个队员的横坐标的范围为： <x≤ ．
4 4
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨
度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（ ）A．6米 B．5米 C．4.5米 D．4米
2．（23-24九年级上·山东滨州·阶段练习）已知某抛物线形拱桥下的拱顶离水面2m时，水面宽4m，那么
下列说法中正确的是（ ）
A．若以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，则这条抛物线的解析式是
1
y=− x2
3
B．若以水面所在直线为x轴，以水面的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则过条批物线的解析式是
1
y=− x2+2
3
C．水面上升1m后，水面宽为2❑√2m
D．水面下降2m后，水面宽为4❑√3m
3．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中
建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为
（ ）
A．水面宽度为30m
1
B．抛物线的解析式为y= x²−5
25
C．最大水深为3.2m
1
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的
3
4．（2024·天津南开·一模）如图，是抛物线形拱桥，当拱桥顶端C离水面2m时，水面AB的宽度为4m．有下列结论：
①当水面宽度为5m时，水面下降了1.125m；
②当水面下降1m时，水面宽度为2❑√6m；
③当水面下降2m时，水面宽度增加了(4❑√2−4)m．
其中，正确的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2023·吉林长春·二模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正
常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即
NC=4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF=
m．
6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交
于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为10m，AB=40m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，
点E到直线AB的距离为10m，则DE的长为 m．
7．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和
BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大
高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为
7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度
为 米．8．（2024·河南南阳·三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，
其高为9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形ABCD是安装
的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．
9．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段OE表示水平的路
面，根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯）．若
要求A，B处的照明灯水平距离为5m，求照明灯的高度．10．（2024·福建龙岩·模拟预测）上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的
16个重点工程项目之一，该项目全长937.6米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计
论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计
数据为55m+180m+55m，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间
距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），
桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
（1）建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
（2）请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：❑√2≈1414.❑√3≈1.732,❑√5≈2.236）
11．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水
面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；
（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货
箱最宽应为多少米？12．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧
道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形ABCD和抛物线的一部分CED构
成，矩形ABCD的边AB=12m，AD=2m，抛物线的最高点E离地面8m．以AB的中点为原点、AB所在
直线为x轴．建立平面直角坐标系xOy．
（1）求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即
为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 m2；
（3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与
1
隧道有不少于 π的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
313．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作拋物线，抛
物线解析式的二次项系数为−0.1．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米．
（1）请在图中建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）现有一身高为1.75米的同学也想参加这个活动，请问他在跳绳时，头顶与用绳之间的最大竖直距离
为多少（假定当绳用到最高处时，学生双脚处于落地状态）；
（3）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳
绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？14．（2024九年级下·吉林·专题练习）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最
低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂
素 线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
材
1
某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为
10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据
调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处
悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬
素
挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相
材
邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放
2
置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生
圈的柱子大小忽略不计）
任
务 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
1
任
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一
务 拟定设计方案
个救生圈悬挂点的坐标．
2
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达
任 抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥
务 探究救生绳长度 上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者
3 身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽
略不计，结果保留整数）
问题解决
（1）任务1：确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3：探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何
一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保
留整数）15．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式；
（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多
少？
（3）如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数
图象．现将新函数图象向右平移m（m>0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随
x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．16．（2024·贵州毕节·三模）如图①，是一间学校体育场的遮阳蓬截面图，某校数学兴趣小组学习二次函
数后，受到该图启示设计了一个遮阳蓬截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线
的顶点在C处，对称轴OC与横梁AB相互垂直，且CO=5，AB=10．
（1）建立如图②平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）若为了使遮阳蓬更加牢固，在遮阳蓬内部设计了一个矩形框架（如图②所示），且DE:EF=4:3，
求EF的长；
（3）根据（1）中求解得到的函数表达式，若当p≤x≤p+1时，函数的最大值与最小值的差为1，求p的
值．17．（2024·山东青岛·二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线
型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如
图1所示，其中支架DE=BC=3米，OF=DF=BD=2米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所
示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽
略不计），经费预算为40000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．18．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛
15
物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已如水面宽OA是16m；当水面上升 m时，水面
8
宽减少了2m ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为10m ，露出水面的高度为3.5m ，该货船能否正常通过这座拱
桥？请说明理由；
（3）现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形BCDE灯带来美化桥面，点C在抛物线上且BC与水面
平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于7.5m，求矩形
BCDE灯带的周长l范围．19．（2024·贵州·模拟预测）如图①是位于安顺的坝陵河大桥．某兴趣小组受到该桥的启示，设计了一座
桥的模型， 它的两桥塔AD，BC 之间的悬索DPC 是抛物线型(如图②所示)，悬索上设置有若干
条 垂直于水平线AB的吊索，图中， AD=BC=10cm，AB=32cm，悬索上最低点P 到AB的垂直
距离PO=2cm． (悬索 DPC与 AB在同一平面内)
（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）根据设计要求，从抛物线的顶点P 开始，每相隔2cm 有一条吊索，当吊索高度 大于或等于4cm
时，需加固．求此条抛物线有多少条吊索需要加固；
（3）若抛物线经过两点E(m,y )，F(m+2,y )，抛物线在E，F之间的部分为图象G(包括 E，F
1 2
两点)，图象G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，当t=1 时，求m 的值．20．（2024·辽宁大连·一模）【发现问题】美丽的大连星海湾跨海大桥，是大连一张亮丽的名片，晚上大
桥的灯光秀璀璨夺目．小明通过查阅得知，星海湾大桥（Xinghai Bay Bridge） 是中国辽宁省大连市境内
连接甘井子区与西岗区的跨海通道，位于黄海水域上．大连星海湾跨海大桥全长6千米，主桥为双塔三跨
地锚式、双层通车悬索桥．主桥长820米，主桥主跨（两个主塔间的距离L）460米，边跨180米，跨径布
置为180+460+180=820m．
3
如图是大桥的主跨，主跨悬索矢跨比（S：L）约为 ，悬索的最低处直接和桥梁相连，悬索和桥梁之间
20
的吊杆间距10m，由于桥梁中间有车辆通过，灯光秀的光源放置在距桥梁上沿下方21米的桥梁中．
【提出问题】星海大桥主跨上的吊杆的高度与它距最低点的水平距离有怎样的数量关系?
【分析问题】小明了解到，大桥主跨上连接两座主塔之间的悬索可以看成是抛物线的一部分，结合二次函
数相关内容和查阅到的相关数据，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，便可解决
问题．
【解决问题】小明利用查阅到的相关数据，为解题方便，小明以抛物线的顶点（大桥主跨上悬索的最低
点）为原点，以主跨的中轴为y轴，建立平面直角坐标系（如图3）．（1）请直接写出以下问题的答案：
①右侧悬索最高点B的坐标；
②y与x的函数解析式；
③最长的吊杆的长度；
（2）某游客在远处海滩正对大桥主跨的位置，看到一个由多辆彩车组成的150米的车队，车队以50米/分
的速度通过大桥主跨，彩车高于桥梁部分均为6.9米．在彩车通过大桥主跨过程中，该游客在悬索上方能
看到彩车的时间是否超过6分钟；
（3）如图3，灯光秀中一个射灯光源C（−70，−21），位于悬索最低点左下方，即距悬索最低点的水平
距离为70米的地方，它所发出的射线状光线，刚好经过右侧悬索的最高点B，现在想在这个光源的水平右
侧再放置一个同样的平行光源，应该在什么范围内放置，才能保证该光源所射出的光线照到右侧悬索上?
