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专题 22.7 喷水问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】某蔬菜基地调洒水车来浇灌菜地，已知洒水的剖面是由AC、两条拋物线和地面组成，建立如图
1 4
的平面直角坐标系．拋物线CND的函数表达式为y=− x2+ x+1，拋物线AMB上点A的坐标为
5 5
( 11)
0, ，其最高点M离地面的高度是ℎ米，且恰好在点D的正上方．
6
（1）如图1，当
ℎ
=6时，求抛物线AMB与x轴正半轴的交点坐标．
3
（2）如图2，若大棚的一边是防风墙PQ，防风墙距离点O有11米，墙高 米，要想所洒的水既能到墙边
2
又不会洒到墙外，求 的取值范围．
ℎ
（3）如图3，在（2）抛物线AMB正好经过墙角Q的条件下，为了防止强光灼伤蔬菜，菜农将遮阴网（用
线段PE表示，PE与拋物线AMB相交于点F）两端固定在P,E两处，点E距点O正好2米．若G是线段
EF上一动点，过点G作GH⊥x轴交拋物线AMB于点H，求GH长度的最大值．【思路点拨】
（1）先求出点D的坐标，进而求出点M的坐标，设抛物线 的函数表达式为 ，把点A
AMB y=a(x−5) 2+6
的坐标代入，求出抛物线AMB的函数表达式，最后令y=0，求出对的x的值即可；
11 1 66 11
（2）a= − ℎ ，则可求当x=11时，y= − ℎ ，然后根据所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外
150 25 25 25
66 11 3
得出0≤ − ℎ≤ ，即可求解；
25 25 2
1 1 1 5 11
（3）先求直线EP的表达式为y= x− ，抛物线的表达式为y=− x2+ x+ ，设点G的横坐标为m，
6 3 6 3 6
则∴GH= y −y =−
1
m2+
3
m+
13
=−
1(
m−
9) 2
+
133
，然后根据二次函数的性质求解即可．
H G 6 2 6 6 2 24
【解题过程】
1 4 1 4
（1）解：把y=0代入y=− x2+ x+1，得− x2+ x+1=0，
5 5 5 5
解得x =−1,x =5，
1 2
∴点D的坐标为(5,0)，
∴抛物线AMB的顶点M的坐标为(5,6)．
设抛物线 的函数表达式为 ．
AMB y=a(x−5) 2+6
将点A ( 0, 11) 代入，得a(0−5) 2+6= 11 ，解得a=− 1 ，
6 6 6
1
∴抛物线AMB的函数表达式为y=− (x−5) 2+6．
6
1
令y=0，得− (x−5) 2+6=0，
6
解得x =−1,x =11，
1 2∴拋物线AMB与x轴正半轴的交点坐标为(11,0)．
（2）解：设抛物线 的函数表达式为 ．
AMB y=a(x−5) 2+
ℎ
( 11)
∵它经过点A 0, ，
6
11
∴a(0−5) 2+ ℎ = ，
6
11 1
∴a= − ℎ，
150 25
当x=11时，y=a(11−5) 2+ ℎ =36a+ ℎ =36 ( 11 − 1 ℎ ) + ℎ = 66 − 11 ℎ．
150 25 25 25
∵要想所洒的水既能到墙边又不会洒到墙外，
66 11 3
∴0≤ − ℎ≤ ，
25 25 2
57
解得 ≤ℎ≤6，
22
57
∴ℎ 的取值范围为 ≤ℎ≤6．
22
设抛物线 的函数表达式为 ，把点A坐标代入，求出
AMB y=a(x−5) 2+
ℎ
( 3)
（3）解：由题意知，点E的坐标为(2,0)，点P的坐标为 11, ．
2
设EP所在直线的函数表达式为y=kx+b，
∴¿，解得¿
1 1
∴y= x− ．
6 3
∵拋物线AMB正好经过墙角Q，
1 1 5 11
∴抛物线AMB的函数表达式为y=− (x−5) 2+6=− x2+ x+ ．
6 6 3 6
设点G的横坐标为m．
∵GH⊥x轴，∴点H的横坐标为m．
∴GH= y −y = ( − 1 m2+ 5 m+ 11) − (1 m− 1) =− 1 m2+ 3 m+ 13 =− 1( m− 9) 2 + 133 ．
H G 6 3 6 6 3 6 2 6 6 2 24
1
∵− <0，
69 133
∴当m= 时，GH取最大值 ，
2 24
133
即GH长度的最大值为 米．
24
◆ 学霸必刷
1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆
房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的
力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶
点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH=12cm，喷
嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q
到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是
（ ）
A．12❑√2cm B．12❑√3cm C．6❑√2cm D．6cm
2．（2024·河北石家庄·一模）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌
架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水
流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距
离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．
下列说法正确的是（ ）1
A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣ x2﹣x+1
40
B．水流喷射的最远水平距离是40米
C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米
D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌
3．（2024·吉林长春·一模）公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱
子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动
时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高5m时，水柱落点距
O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为 m．
4．（2024·吉林长春·二模）长春公园拟建一个喷泉景观，在一个柱形高台上装有喷水管，水管喷头斜着喷
出水柱，经过测量水柱在不同位置到水管的水平距离和对应的竖直高度呈抛物线型，当喷水管离地面3.2
米喷水时，水柱在离水管水平距离3米处离地面竖直高度最大，最大高度是5米．此喷水管可以上下调节，
喷出的水柱形状不变且随之上下平移，若调节后的落水点（水落到地面的距离）向内平移了1米，则喷水
管需要向下平移 米．5．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，灌溉系统从点A处喷出水来给右侧矩形BCDE花坛浇水，水
流的形状为抛物线，某一时刻抛物线经过点E，分别交ED，BC于点F，G.测量得AB=40cm，
BC=130cm，CD=60cm，EF=80cm，则GC= cm.过一段时间，灌溉系统由点A处升高至点H
处，水流的方向和水量均没有发生变化，此时抛物线经过点D，则AH= cm.
6．（2024·浙江温州·一模）某游乐园有一圆形喷水池（如图），中心立柱AM上有一喷水头A，其喷出的
水柱距池中心3米处达到最高，最远落点到中心M的距离为9米，距立柱4米处地面上有一射灯C，现将
喷水头A向上移动1.5米至点B（其余条件均不变），若此时水柱最高处D与A，C在同一直线上，则水柱
最远落点到中心M的距离增加了 米．
7．（2024·陕西西安·模拟预测）某村为了响应国家关于农田灌溉高效节水的号召，引入了现代灌溉技术，
已知喷灌机从喷水口A点向四周旋转喷洒，喷出的水流近似为抛物线的一部分，且形状相同，建立如图所
示的平面直角坐标系，测得喷水口OA的竖直高度为1m，喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离OB为
8m，喷出水流竖直高度的最高处位置距离喷灌机底座O的水平距离OC为3m．（1）求喷出水流的竖直高度y（m）与距离喷灌机底座O的水平距离x（m）之间的关系式：
（2）为了能喷洒到更多的农作物，保证水资源的充分利用，村民决定对喷灌机做如下设计改进：在喷水
口高度和喷出水流形状不变的前提下，要让喷出水流距离喷灌机底座O最远水平距离扩大为12米，请探
究改进后喷出水流的最大高度为多少米？
8．（2024·河南商丘·二模）小江自制了一把水枪（图1），他将水枪固定，在喷水头距离地面1米的位置
进行实验．当喷射出的水流与喷水头的水平距离为2米时，水流达到最大高度3米，该水枪喷射出的水流
可以近似地看成抛物线，图2为该水枪喷射水流的平面示意图．
（1）求该抛物线的表达式．
（2）在距离喷射头水平距离3米的位置放置一高度为2米的障碍物，试问水流能越过该障碍物吗？
（3）小江通过重新调整喷头处的零件，使水枪喷射出的水流抛物线满足表达式y=−x2+(a+1)x+1．当
1≤x≤2时，y的值总大于2，请直接写出a的取值范围．9．（2024·山东青岛·三模）如图，无人机在离地面22m的A处发现大楼E处出现火灾，同时观察到A点与
大楼前的旗杆CD顶端C及着火点E正好在同一直线上．此时消防员正在其正下方离地面2m的B处进行喷
水灭火，水流近似的呈抛物线形状喷出，且正好经过C，E．已知旗杆CD离消防员的水平距离是40m，高
度是14m，大楼离旗杆10m，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求直线AC的解析式，并求E点坐标；
（2）求抛物线的解析式，并求水喷出的最大高度；
（3）由于火势太猛，消防员退后了10m，要使水仍然能喷到着火点E处，消防员应升高多少米？（期间抛
物线形状保持不变）
（4）在（3）的条件下，水流能否顺利越过旗杆？请说明理由．10．（2024·河南濮阳·三模）如图1，为打造潴龙河夜景景观观赏通道，管理部门在河道两旁安装了喷水装
置．喷水水柱要越过绿道喷入潴龙河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5
米，坝面AB的坡比为i=1:0.5（其中i=tan∠ABE），BC是河底．当水柱离喷水口O处水平距离为2米
时，离地平面距离的最大值为3米．为解决这个问题，建立如图3的平面直角坐标系．
（1）出于安全考虑，在河道的坝边A 处安装护栏，要求水柱不能喷射到护栏上，则护栏的最大高度是多
少米（结果保留一位小数）？
（2）水柱落入水中会溅起美丽的水花，河水水深至少为多少米时，喷水水柱刚好落在水面上？11．（2024·河北邯郸·二模）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．
建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面2m，距离原点的水平距离为6m，着
火点A距离点B的水平距离为10m，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为
1
y=− x2+bx+c（其中b，c为常数）．
4
（1）写出点B的坐标，求c与b之间满足的关系式．
（2）若着火点A高出地面3m，
①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；
②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离1m的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线（水流路
线）L解析式中b的取值范围（包含端点）及c的最小值．12．（2024·贵州毕节·三模）毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面12m的
点A处和15m的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部
分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为
16m，水流的最高点到高楼的水平距离为4m，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与
出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系．
（1）求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式；
（2）待A处火熄灭后，消防员前进2m到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流
所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由；
（3）如图2，若消防员从点C前进tm到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，
请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同）13．（2024·贵州·模拟预测）数学建模社团的同学们想要研究植物园某圆形草坪自动浇水装置的喷洒范围，
他们发现：自动浇水装置竖直立于草坪中心处，且喷出的水流的最上层呈抛物线形，此时草坪边缘处恰好
能喷洒到水．他们将水流最上层各点到浇水装置的水平距离记为xm，到地面的竖直高度记为ym，得到部
分数据如下：
x/m 0 0.5 1 1.5 2 …
y/m 1 1.15 1.2 1.5 1 …
根据以上数据，完成下列问题．
（1）测量数据中，哪一组是错误的？
A．(0,1)B．(0.5，1.15)C．(1，1.2)
D．(1.5，1.5)E．(2，1)
（2）以草坪的中心为原点，浇水装置所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
①以表格中的各组数据为坐标的点已在图中标出，请将错误数据对应的点改正过来重新在图上标出，并用
平滑的曲线画出函数图象；
②求图象所在抛物线的函数表达式．
（3）经调查，该自动浇水装置的推力不变（抛物线的形状不变），喷水口可以从现有位置向上移动，移动范围是m≤0.6m．若植物园计划在圆形草坪外围种一圈宽度相等的花卉，请对花卉的宽度提出合理建议．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）某广场有一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，水流在各个方向
上沿形状相同的抛物线路径落下，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但
不改变水柱的形状．为了美观，在半径为3.2米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉．设水流离池底
的高度为y（单位：米），距喷水装置OA的水平距离为x（单位：米）．如图所示，以喷水装置OA所在
直线为y轴，以池底水平线为x轴建立平面直角坐标系．如表是喷水口A最低时水流高度y和水平距离x之
间的几组数据：
x/
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
米
x/
1.5 1.875 2 1.875 1.5 0.875 0
米
（1）根据上述数据，水流喷出的最大高度为______米，并求出y关于x的函数关系式，不要求写出自变量
的范围；
（2）为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，求喷水口A升高的最小值；
（3）喷泉口A升高的最大值为1.92米，为能充分喷灌四周花卉，花卉的种植宽度至少要为多少米，才能使
喷出的水流不至于落在花卉外？15．（2024·山东枣庄·模拟预测）【项目式学习】
【项目主题】自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜
【项目背景】寻找生活中的数学，九（1）班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，
对蔬菜喷水管建立数学模型，菜地装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉蔬菜，如图1所示，观察喷头可顺、
逆时针往返喷洒．
【项目素材】
素材一：甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出
的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y
轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点．
素材二：乙小组测得种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间．
素材三：丙小组了解到需要给蔬菜大鹏里拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．
【项目任务】
2
（1）任务一：丁小组测量得喷头的高OA= 米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，
3
其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF=3米，距离喷水口OE=4米，求出水柱
所在抛物线的函数解析式．
（2）任务二：乙小组发现这位农民在与喷水口水平距离是p米时，不会被水淋到，求p的取值范围．
（3）任务三：丙小组测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3，求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是10厘米？（直接写出答案，精确到0.1米）．
16．（2024·广东深圳·二模）综合与实践：洒水车是城市绿化的生力军，清扫道路，美化市容，降温除尘，
方便出行．如图1，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．数学小组成员想了
解，洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带？
为解决这一问题，数学小组决定建立函数模型来描述浇水的情况，探索步骤如下：
（1）【建立模型】
数据收集：如图2，选取合适的原点O，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口H点在y轴上，根据现场
测量结果，喷水口H离地竖直高度为OH=1.5m．把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其中D，E点在x
轴上，测得其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段
OD的长来表示．
①查阅资料：发现可以把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，
分别为y ，y ．上边缘抛物线y 的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，求上边缘抛物
1 2 1
线y 的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程OC．
1
②下边缘抛物线y 可以看作由上边缘抛物线y 向左平移得到，其开口方向与大小不变．请求出下边缘抛物
2 1
线y 与x轴的正半轴交点B的坐标．
2
（2）【问题解决】
要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，利用上述信息求OD的取值范围．
（3）【拓展应用】半年之后，由于植物生长与修剪标准的变化，绿化带的竖直高度EF变成了1m，喷水口也应适当升高，才
能使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，已知y 与y 的开口方向与大小不变，请直接写出OH的
1 2
最小值： ．
17．（2024·浙江杭州·模拟预测）
设计喷水方案
图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射
水柱呈抛物线形，水柱距水池中心7m处达到最高，高度为5m，水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其
底面直径CD为12m，高CF为1.8米
素
材
1
如图3、图4，拟将在圆柱形蓄水池中心处建
一能伸缩高度的喷水装置OP(OP⊥CD)，要
求水柱不能碰到图2中的水柱，也不能落在蓄
素
水池外面．经调研，目前市场有两种喷水头均
材
能喷射与图2中形状相同的抛物线．其中，甲
2
喷水头以点P为最高点向四周喷射水柱(如图
3)，乙喷水头喷射水柱的最高点与点P的高度
差为0.8m (如图4)．
问题解决
任
在图2中以点O为坐标原点，水平方向为轴建立直
务 确定水柱形状
角坐标系，求左边这条抛物线的函数表达式．
1若选择甲装置(图3)，为防止水花溅出，当落水点
任
2
务 选择喷水装置甲，确定喷水装置的最高高度 G、M之间的距离满足GM= FM时，OP不能再
7
2
升高，求此时OP的最高高度．
任 若选择乙装置(图4)，为了美观，要求OP喷出的水
务 选择喷水装置乙，拟定喷水装置的高度范围 柱高度不低于5m，求喷水装置OP高度的变化范
3 围．
18．（2024·广东深圳·三模）【项目式学习】
项目主题：数学眼光仪式设计
项目背景：“过水门”是国际民航中高级别的礼仪，因两辆（或以上）的消防车在飞机两侧喷射水柱出现一个“水门”状的效果而得名．学校计划在运动会开幕式上举行彩旗队“过水门”仪式，数学研习小组协
助彩旗队进行队列设计．
任务一 测量建模
（1）如图1，研习小组测得表演场地宽度AB=16米，在A、B处各安装一个接通水源的喷泉喷头，将出水
口高度AM，BN都设为1米，调整出水速度与角度，使喷出的两条抛物线水柱形状相同，并在抛物线顶点
C处相遇，组成一条完整的抛物线形水门，且点C到地面的距离为5米．以线段AB所在的直线为x轴，
AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出坐标系，并求出“过水门”仪式中抛物线的函
数表达式；（不要求写出自变量的取值范围）
任务二 方案设计
（2）研习小组了解到彩旗队的队列设置要求，每两列之间保持相同的间距，队员所持彩旗的顶端离地面
的距离保持3.6米．为保证“水门”的水柱不被破坏，要求每排最外侧两列队员所持彩旗顶端与水柱间的
铅直距离为0.4米，彩旗队要排成6列纵队，请你通过计算，确定彩旗队“过水门”时，每相邻两列纵队
的间距．
任务三 创意设计
（3）为使下一次“过水门”的设计更具创意，研习小组通过进一步分析发现：两个喷头同时向后移动相
同的距离m米，此时两个水柱（水柱形状不变）的交点相应向下移动1米，在喷头底端的同一直线上各安
装一台射灯，射灯射出的光线与地面的夹角为45°且相交于一点．若光线与水柱之间的最小距离为❑√2米，
此时右侧射灯与右侧喷头底端的水平距离为n米，则m的值为______，n的值为______．
