专题 22.6 投球问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数
学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从 y轴上的
点A(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为(4,3.6)，落在x轴上的点C
处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）若抛物线经过M(m,y )，N(m+2,y )两点，抛物线在M，N之间的部分为图象H（包括M，N两
1 2
1
点），图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 ，求m的值．
5
【思路点拨】
（1）易得抛物线的顶点坐标为B(4,3.6)，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把A(0,2)的坐标代入可
得二次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式；
（2）取函数值为0，看球落地时x的值为多少，根据点C的位置，x取正值即为球抛出去的距离，根据所给
表格可判断应得分数；
（3）根据题意得出y =−0.1m2+0.8m+2，y =−0.1m2+0.4m+3.2，进而根据m的范围，分四种情况
1 2
讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解．【解题过程】
（1）解：由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为(4,3.6)，
设该抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+3.6(a≠0)，
∵抛物线经过点A(0,2)，
∴a(0−4) 2+3.6=2，
∴a=−0.1，
∴该抛物线的解析式为：y=−0.1(x−4) 2+3.6=−0.1x2+0.8x+2；
（2）解：当y=0时，−0.1(x−4) 2+3.6=0，
解得：x =10，x =−2，
1 2
∵点C在x轴的正半轴，
∴x =−2舍去，
2
∴x =10，即小强在这次训练中的成绩为10米，
1
∵9.6<10<11.2，
∴小强的得分是90分；
（3）解：∵抛物线经过两点M(m,y )，N(m+2,y )，
1 2
∴y =−0.1m2+0.8m+2，
1
y =−0.1m2+0.4m+3.2，
2
1
由题意可知，图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 ，
5
∴有以下四种情况：
①如图，当0≤m<2时，y的值随x的值的增大而增大，1
依题意，y −y = ，
2 1 5
1
即：(−0.1m2+0.4m+3.2)−(−0.1m2+0.8m+2)=
，
5
解得：m=2.5，
这与0≤m<2相矛盾，故舍去；
1
②如图，当2≤m<3时，y −y = ，
最大值 1 5
1
即：3.6−(−0.1m2+0.8m+2)=
，
5
解得：m=4+❑√2或m=4−❑√2，
∵m=4+❑√2与2≤m<3相矛盾，故舍去，
∴m=4−❑√2；
1
③如图，当3≤m<4时，y −y = ，
最大值 2 5
1
即：3.6−(−0.1m2+0.4m+3.2)=
，
5
解得：m=2+❑√2或m=2−❑√2，
∵m=2−❑√2与3≤m<4相矛盾，故舍去，
∴m=2+❑√2；
④如图，当m≥4时，y的值随x的值的增大而减小，1
依题意，y −y = ，
1 2 5
1
即：(−0.1m2+0.8m+2)−(−0.1m2+0.4m+3.2)=
，
5
解得：m=3.5，
这与m≥4相矛盾，故舍去；
综上所述：m=4−❑√2或m=2+❑√2．
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛
1 1
物线y=4x− x2 刻画，斜坡可以用直线y= x刻画．下列结论错误的是（ ）
2 2
A．小球落地点与点O的水平距离为7m
B．当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为3m
C．小球与点O的水平距离超过4m时呈下降趋势
49
D．小球与斜坡的距离的最大值为 m
8
【思路点拨】
1 1
本题考查了二次函数的性质，令4x− x2= x，解得x =0，x =7，即可判断A；把y=7.5代入
2 2 1 21 1
y=4x− x2得4x− x2=7.5，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一
2 2
点A的坐标为
(
a,4a−
1 a2)
，作AB⊥x轴交直线y=
1
x于B，则B
(
a,
1
a
)
，表示出AB，结合二次函数
2 2 2
的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【解题过程】
1 1
解：令4x− x2= x，解得x =0，x =7，
2 2 1 2
∴小球落地点与点O的水平距离为7m，故A正确，不符合题意；
1 1
把y=7.5代入y=4x− x2 得4x− x2=7.5，
2 2
解得：x =3，x =5，
1 2
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为3m或5m，故B错误，符合题意；
1 1
∵y=4x− x2=− (x−4) 2+8，
2 2
∴抛物线的对称轴为直线x=4，
1
∵− <0，
2
∴当x>4时，y随x的增大而减小，
∴小球与点O的水平距离超过4m时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；
设抛物线上一点A的坐标为
(
a,4a−
1 a2)
，
2
1 ( 1 )
作AB⊥x轴交直线y= x于B，则B a, a ，
2 2
，
∴AB=4a−
1
a2−
1
a=−
1
a2+
7
a=−
1(
a−
7) 2
+
49
，
2 2 2 2 2 2 8
1
∵− <0，
27 49
∴当a= 时，AB有最大值，最大值为 ，
2 8
49
∴小球与斜坡的距离的最大值为 m，故D正确，不符合题意；
8
故选：B．
2．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B
处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一
次着地前抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+2，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大
高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m，高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为n米，
若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则n的值可以是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．8
【思路点拨】
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题
的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点B的坐标，再根据B处着地后弹起
的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛
物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为0.5m，可求出当弹力球恰好砸中筐的最
左端、最右端时，n的值，进而得到n的取值范围，从而得到答案．
【解题过程】
解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+2，且过点A(0,1)，代入解析式中得：
1=a(0−2) 2+2，
1
∴a=− ，
4
1
∴解析式为：y=− (x−2) 2+2，
4
当x=2时，y的最大值为2，1
令y=0，则− (x−2) 2+2=0，
4
解得：x =2+2❑√2或x =2−2❑√2(舍去)，
1 2
∴B(2+2❑√2，0)，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
1
∴其最大高度为：2× =1(m)，
2
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
1
设处着地后弹起的抛物线解析式为：y=− (x−ℎ) 2+1，
4
1
将点B(2+2❑√2，0)代入该解析式得：0=− (2+2❑√2−ℎ) 2+1，
4
解得：ℎ =2❑√2+4或ℎ =2❑√2(舍去)，
1
∴该抛物线的解析式为：y=− (x−2❑√2−4) 2+1，
4
∴对称轴为：x=2❑√2+4，
∵点B的坐标为(2+2❑√2，0)，则点C的坐标为(2❑√2+6,0)，
∵圆柱形的高为0.5m，
1
当y=0.5时，则− (x−2❑√2−4) 2+1=0.5，
4
解得：x=4+3❑√2或x=4+❑√2（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，n=4+3❑√2，
∵筐的底面半径为0.5m，直径为1m，，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，n=4+3❑√2−1=3+3❑√2，
∴3+3❑√2<n<4+3❑√2，
∴选项B，n=8满足，
故选：D．
3．（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，嘉嘉用计算机编程模拟抛出的弹跳球落在斜面上反弹后的距
离，当弹跳球以某种特定的角度从点P(0,1)处抛出后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L，其最高点的坐标为
(4,5)．弹跳球落到斜面上的点A处反弹后，弹跳球的运动轨迹是抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，2
但最大高度只是抛物线L最大高度的 ．
5
（1）抛物线L的解析式为 ；
（2）若点A与点P的高度相同，且点A在抛物线L′的对称轴的右侧，则抛物线L′的对称轴为直线 ．
【思路点拨】
（1）设抛物线L的解析式为y=a(x−ℎ ) 2+k (a≠0)，由题意得，该抛物线的顶点坐标是(4,5)，抛物线
1 1
经过点P(0,1)，待定系数法求解析式即可求解．
（2）设抛物线L′的解析式为y=m(x−ℎ ) 2+k ，由对称性可得点A(8,1)，由抛物线L′，且开口大小和方
2 2
2 1 2
向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的 ，可得m=− ，k = ×5=2，则
5 4 2 5
1 1
y=− (x−ℎ ) 2+2，将点A(8,1)代入y=− (x−ℎ ) 2+2，即可求解．
4 2 4 2
【解题过程】
解：设抛物线L的解析式为y=a(x−ℎ ) 2+k (a≠0)．
1 1
由题意得，该抛物线的顶点坐标是(4,5)，
∴ y=a(x−4) 2+5(a≠0)．
∵该抛物线经过点P(0,1)，
∴ 1=a(0−4) 2+5
1
解之，得a=− ．
4
1 1
y=− (x−4) 2+5=− x2+2x+1
4 41
故答案为：y=− x2+2x+1；
4
（2）设抛物线L′的解析式为y=m(x−ℎ ) 2+k
2 2
若点A与点P的高度相同，
则点A与点P关于直线x=4对称，
∴点A(8,1)，
1
∵抛物线L的解析式为y=− (x−4) 2+5，
4
∴最高点的高度为5，
2
∵抛物线L′，且开口大小和方向均与L相同，但最大高度只是抛物线L最大高度的 ，
5
1 2
则m=− ，k = ×5=2，
4 2 5
1
∴y=− (x−ℎ ) 2+2，
4 2
1
将点A(8,1)代入可得1=− (8−ℎ ) 2+2，
4 2
解得：ℎ =10或6，
2
∵ℎ <8，
2
∴ℎ =6
2
即抛物线L′的对称轴为直线x=6，
故答案为：x=6．
4．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，乒乓球桌桌面是长AB=2.7m，宽AD=1.5m的矩形，E，F
分别是AB和CD的中点，在E，F处设置高HE=0.15m的拦网．一次运动员在AD端发球，在P点击打乒
4
乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数a=− 的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点
27
O在到桌面底边AD的距离为0.1m，到桌面侧边AB的距离为0.1m处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于
BC），此时球在越过拦网时正好比拦网上端GH高0.1m，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网EF的距离为
m；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离BC为0.2m的Q点处，此
时QC的长度为 m．【思路点拨】
①如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得I(1.25,0.25)，利用待定系数法求出抛物线解
析式，再求出点Q横坐标即可求解；
②由题意可得Q(2.4,0)，由y = y =0得到点O和点Q关于抛物线的对称轴对称，即Q点距AB也是0.1m，
O Q
BJ=0.1m，进而得到CJ=BC−BJ=1.4m，由勾股定理即可求出QC的长；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二
次函数解析式是解题的关键．
【解题过程】
解：①如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
1
由题意可得，AE= AB=1.35m，
2
∴x =1.35−0.1=1.25，y =0.15+0.1=0.25，
I I
4
设抛物线的解析式为y=− x2+bx+c，把(0,0)，(1.25,0.25)代入得，
27
{
0=0+0+c
)
4 ，
0.25=− ×1.252+1.25b+c
27
{ b= 52 )
解得 135 ，
c=04 52
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x，
27 135
4 52
把y =0代入得，− x2+ x=0，
Q 27 135
13
解得x =0（不合，舍去），x = ，
1 2 5
13
∴x = ，
Q 5
13
∴落点Q到拦网EF的距离为 −1.25=1.35m，
5
故答案为：1.35；
②由题意可得，x =2.7−0.1−0.2=2.4，
Q
∴Q(2.4,0)，
∵y = y =0，
O Q
∴点O和点Q关于抛物线的对称轴对称，
∴Q点距AB也是0.1m，
设x轴交BC于点J，连接CQ，
∵BC∥x轴，四边形ABCD为矩形，
∴QJ=0.2m，BJ=0.1m，
∴CJ=BC−BJ=1.5−0.1=1.4m，
∴CQ=❑√QJ2+CJ2=❑√0.22+1.42=❑√2m，
故答案为：❑√2．
5．（2024·贵州贵阳·一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，
以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方1.8m的点 P处出手，篮球的高度1
y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=− x2+x+c．
8
（1）求c的值；
（2）求篮球在运动过程中离地面的最大高度；
（3）小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为
BC=2.8m，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的实际应用．
1
（1）将点P的坐标代入y=− x2+x+c，即可求出c的值；
8
（2）先得出该抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可解答；
（3）求出y=2.8时x的值，结合“在下落过程中接住球”，即可解答．
【解题过程】
（1）解：由题意得点P的坐标为(0,1.8)，
1
将P(0,1.8)代入y=− x2+x+c得c=1.8．
8
（2）解：由（1）知c=1.8，
1 1
∴y=− x2+x+1.8=− (x−4) 2+3.8，
8 8
1
∵a=− <0，
8
∴当x=4时，y有最大值3.8，
∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为3.8m．
1
（3）解：当y=2.8时，2.8=− x2+x+1.8，
8
解得：x =4+2❑√2,x =4−2❑√2，
1 2
∵4−2❑√2<4<4+2❑√2，且在下落过程中接球，∴x=4+2❑√2，
∴在球下落过程中小亮离小明的距离至少(4+2❑√2)米才能顺利接住球．
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）海豚是生活在海洋里的一种动物，它行动敏捷，弹跳能力强．海豚表演是
武汉海昌极地海洋公园最吸引人的节目之一．在进行跳水训练时，海豚身体（看成一点）在空中的运行路
线可以近似看成抛物线的一部分．如图，在某次训练中以海豚起跳点O为原点，以O与海豚落水点所在的
直线为x轴，垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系．海豚离水面的高度y（单位：m）与距离起跳
点O的水平距离x（单位：m）之间具有函数关系y=ax2+2x，海豚在跳起过程中碰到（不改变海豚的运
动路径）饲养员放在空中的离O点水平距离为3m，离水面高度为4.5m的小球．
（1）求海豚此次训练中离水面的最大高度是多少m?
16
（2）求当海豚离水面的高度是 m时，距起跳点O的水平距离是多少m?
3
（3）在海豚起跳点与落水点之间漂浮着一个截面长CD=6m，高DE=4m的泡沫箱，若海豚能够顺利跳过
泡沫箱（不碰到），求点D横坐标n的取值范围．
【思路点拨】
本题考查二次函数的实际问题，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式然后配方得到最大值即可；
16
（2）令y= ，解一元二次方程方程即可；
3
（3）令y=4，解出x的值，然后借助图象解题即可．
【解题过程】
（1）由抛物线y=ax2+2x，过点(3,4.5)，
得4.5=9a+2×3
1
a=−
61
∴y=− x2+2x
6
1
=− (x2−12x+36)+6
6
1
=− (x−6) 2+6
6
∴海豚此次训练中离水面的最大高度是6m．
1 16
（2）依题意得：y=− (x−6) 2+6=
6 3
解得x =8,x =4
1 2
答：海豚距起跳点O的水平距离是8m或4m．
（3）若海豚恰好接触到纸箱边缘，则点F或点E在抛物线上，
1
令y=4，则− x2+2x=4，
6
解得x =6−2❑√3,x =6+2❑√3，
1 2
当点F在抛物线上时，D点的横坐标n为12−2❑√3．
当点E在抛物线上时，D点的横坐标n为6+2❑√3．
∴n的取值范围是12−2❑√3<n<6+2❑√3．
7．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）为适应2024年武汉市体育中考改革，学校购入一台羽毛球发球
机，羽毛球飞行路线可以看作是抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，发球机放置在球场中央离
球网水平距离3m的点O处，球从点O正上方1.15m的A处发出，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)
满足关系式y=a(x−4) 2+ ℎ．小明同学站在球网另一侧，距离球网水平距离3m（如图所示），在头顶
0.6m至0.8m处称为有效击球高度．（球网高度不影响有效击球）
（1）若ℎ =2.75，
①求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
②如果小明的身高为1.65m，试判断他能否在原地有效击球？（2）如果小明的身高为1.75m，并且能在原地有效击球，直接写出a的取值范围．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用；
（1）①利用待定系数法求解即可；②令x=6，求出有效击球点的高度即可求解；
（2）由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：2.35≤ y≤2.55，将点(6,2.35)、(6,2.55)分别代入
解析式求出a的值，即可得出取值范围；
熟练运用二次函数的性质解决实际问题是关键．
【解题过程】
（1）解：①当ℎ =2.75时，y=a(x−4) 2+2.75，
∵它过(0,1.15)，
∴1.15=a(0−4) 2+2.75，
1
∴a=− ，
10
1
∴y=− (x−4) 2+2.75；
10
②他能在原地有效击球；理由如下：
1
由（1）可知，y=− (x−4) 2+2.75，
10
1
令x=6得y=− (6−4) 2+2.75，
10
解得：y=2.35
∵2.35−1.65=0.7m，
∴0.6m<0.7m<0.8m
∴能在原地有效击球；
（2）由题意得：有效击球点的纵坐标的取值范围为：2.35≤ y≤2.55，
当抛物线y=a(x−4) 2+ ℎ过点(0,1.15)和点(6,2.35)时
{1.15=a(0−4) 2+ ℎ) 1
解得：a=− ，
2.35=a(6−4) 2+
ℎ
10
当抛物线y=a(x−4) 2+ ℎ过点(0,1.15)和点(6,2.55)时{1.15=a(0−4) 2+ ℎ) 7
解得：a=− ，
2.55=a(6−4) 2+
ℎ
60
7 1
∴− ≤a≤− ，
60 10
7 1
∴a的取值范围：− ≤a≤− ．
60 10
8．（23-24九年级上·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小
球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水平距离为2．
（1）求抛物线L的函数解析式；
（2）求小球P在x轴上的落点坐标；
（3）在x轴上的线段AB处，竖直向上摆放着若干个无盖儿的长方体小球回收箱，已知OA=3，且每个回
收箱的宽、高分别是0.5、0.3，当小球P恰好能落入回收箱内（不含边缘）时，求竖直摆放的回收箱的个
数．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用．
（1）由题意知，抛物线L的顶点坐标为(2,3)，再利用待定系数法求解即可；
3
（2）对于y=− (x−2) 2+3，令y=0，求解一元二次方程，据此计算即可求解；
4
（3）由题意先求出，当x=3和x=3.5时，求得对应y的值，再设竖直摆放的回收箱有m个，根据题意得出
关于m的不等式组，求出m的整数解即可．
【解题过程】
（1）解：∵从原点O向右上方沿抛物线L发出一个小球P，当小球P达到最大高度3时，小球P移动的水
平距离为2，
∴顶点坐标为(2,3)，
∴设抛物线L对应的函数解析式为y=a(x−2) 2+3(a<0)，把(0,0)代入得0=a⋅(0−2) 2+3，
3
解得a=− ，
4
3
∴抛物线L对应的函数解析式为y=− (x−2) 2+3；
4
3
（2）解：对于y=− (x−2) 2+3，
4
3
令y=0，则0=− (x−2) 2+3，
4
解得x =0，x =4，
1 2
∴小球P在x轴上的落点坐标为(4,0)；
（3）解：∵OA=3，AB=0.5，
3
∴OB=3.5，对于y=− (x−2) 2+3，
4
3 9
当x=3时，y=− (3−2) 2+3= ；
4 4
3 11
当x=3.5时，y=− (3.5−2) 2+3= ；
4 16
设竖直摆放的回收箱有m个，
11 9
则 <0.3m< ，
16 4
55 15
解得 <m< ，
24 2
∵m是正整数，
∴m可以是3或4或5或6或7，
答：竖直摆放的回收箱的个数为3个或4个或5个或6个或7个．
9．（2024·河南漯河·二模）2023年10月7日晚，杭州第19届亚运会女子排球比赛落幕．中国女排在决赛
中以3:0击败日本队，成功卫冕，斩获队史亚运第9冠．爱思考的小芳在观看比赛时发现一个有趣的现象：
排球被垫起后，沿弧线运动，运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，于是她和同学小华一起进行了实践探
究．
经实地测量可知，排球场地长为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．建立如图所示的平面直角坐标系，
A为击球点．记排球运动过程中距地面的竖直高度为y（单位：m），距击球点的水平距离为x（单位：m
）．小华第一次发球时，测得y与x的几组数据如下表：
水平距离x/m 0 4 6 8 11 12
竖直高度y/m 2.00 2.71 2.80 2.71 2.24 2.00
（1）根据表格数据，求排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离x近似满足的函数关系
式．
（2）通过计算，判断小华这次发球能否过网，并说明理由．
（3）小华第二次发球时，假设她只改变击球点高度，排球运动轨迹的抛物线形状不变，在点O处上方击球，
既要过球网，又不出边界（排球压线属于没出界）时，问小华的击球点高度ℎ（单位：m）的取值范围是
多少？
【思路点拨】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质是解题的关键．
（1）根据题意，设y与x的函数关系式为y=a(x−6) 2+2.8，将(0,2)代入计算即可；
（2）将x=9代入抛物线解析式，求得y值与2.24比较即可；
1
（3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为y=− (x−6) 2+k，利用二次函数图象上点的坐标特征
45
来求解即可．
【解题过程】
（1）解：由表格，可知抛物线顶点坐标为(6,2.8)；
设y与x之间的函数关系式为y=a(x−6) 2+2.8．
将(0,2)代入，得2=a(0−6) 2+2.8 ，
1
解得a=− ，
45
经检验，表格中其他数据(x,y)也满足上述关系．1
∴排球运动过程中距地面的竖直高度y与距击球点的水平距离满足的函数表达式为：y=− (x−6) 2+2.8；
45
（2）能，理由如下：
1
当x=9时，y=− (9−6) 2+2.8=2.6．
45
∵2.6>2.24，
∴小华这次发球能过网；
1
（3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：y=− (x−6) 2+k．
45
1
把x=9，y=2.24代入y=− (x−6)22+k，
45
解得k=2.44．
1
∴y=− (x−6) 2+2.44．
45
1
把x=0代入y=− (x−6) 2+2.44，
45
解得y=1.64．
1
把x=18，y=0代入y=− (x−6) 2+k，
45
解得k=3.2．
1
∴y=− (x−6) 2+3.2．
45
1
把x=0代入y=− (x−6) 2+3.2，
45
解得y=2.4．
∴小华的击球点高度ℎ的取值范围是1.64< ℎ≤2.4．
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为2.8m，中间处球网的高度为1.5dm．现有
一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到
第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影
响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在
球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm
）的相关数据，如下表所示：
x(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 …y(dm) 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 …
（1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围）
（2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；
（3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少dm？
【思路点拨】
本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器
出口的水平距离是解决本题的难点．
（1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数为一次函数，设y=kx+b(k≠0)，把表格中
的前两组数据代入可得k和b的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间；
（2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当x>8时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一
般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取y=0，求得相应的x的值，取较大
的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；
（3）取y=1.5，代入抛物线解析式，求得对应的x的值；易得球台长28dm，那么球台的一半长14dm，取
球台的一半长减去较小的x的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多
平移的距离．
【解题过程】
（1）解：∵球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
∴设y=kx+b(k≠0)．
∵经过点(0,3.36)，(2,2.52)．
{k=−0.42)
∴ ．
b=3.36
∴球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式为：y=−0.42x+3.36(0≤x≤8)；
（2）解：当x>8时，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)．
{
64a+8b+c=0
)
∴ 100a+10b+c=1.4 ．
144a+12b+c=2.4{a=−0.05
)
解得： b=1.6 ．
c=−9.6
∴y=−0.05x2+1.6x−9.6．
当y=0时，0=−0.05x2+1.6x−9.6．
整理得：x2−32x+192=0．
(x−24)(x−8)=0．
解得：x =24，x =8（舍去）．
1 2
答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为24dm；
（3）解：∵2.8m=28dm．
∴球台的一半长14dm．
当y=1.5时，
1.5=−0.05x2+1.6x−9.6．
整理得：x2−32x+222=0．
解得：x =16+❑√34（舍去），x =16−❑√34．
1 2
∴14−(16−❑√34)=❑√34−2．
∵28−24=4，❑√34−2<4，
∴发球口最多向右平移(❑√34−2)dm．
11．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在嘉嘉的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮圈中心的
水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心
距离地面3米．
（1）经计算此球________（填写“能”或“不能”）投中．
（2）若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求嘉嘉朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮才能
将篮球投入篮圈中？（3）若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求嘉嘉出手
的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮圈中？
（4）若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮圈的坐标为(6,3.44)，球场上方有一组高6米的电线，
要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮圈中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求得解析式，当x=7时代入解析式，即可求解；
1
（2）设y=− (x−4−ℎ) 2+4，代入点(7,3)，解方程，即可求解；
8
（3）设y=a(x−4) 2+4，代入点(7,3)，待定系数法求解析式即可求解；
（4）分别求得临界点时的解析式，即可求解；设y=a(x−b) 2+6，代入点(0,2)，(6,3.44)，待定系数法
9 1
得出a=− ，设y=a(x−6) 2+3.44，得出a=− ，结合题意即可求解．
25 25
【解题过程】
（1）解：因为抛物线的顶点为(4,4)，设抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+4，
∵过点(0,2)，
∴2=16a+4，
1 1
∴ a=− ，即y=− (x−4) 2+4，
8 8
9 23
当x=7时，y=− +4= ≠3．所以此球不能投中．
8 8
故答案为：不能．
1
（2）解：设向前平移ℎ米，由题意可得y=− (x−4−ℎ) 2+4，代入点(7,3)，
8
1
得3=− (7−4−ℎ) 2+4求得ℎ =3±2❑√2，
8
根据实际情况3−2❑√2，即向前平移3−2❑√2米，可投中篮筐；
（3）解：设y=a(x−4) 2+4，
因为投中篮筐，即代入x=7，y=3得3=a(7−4) 2+4，1 1
解得a=− ，即y=− (x−4) 2+4，
9 9
20 20 2 2
当x=0时， y= ， −2= 即小明出手的高度要增加 米，可将篮球投中；
9 9 9 9
{ 2=a⋅b2+6 )
（4）解：设y=a(x−b) 2+6，代入点(0,2)，(6,3.44)得 ，
3.44=a(6−b) 2+6
9
解得a=− ，
25
设y=a(x−6) 2+3.44，
∵过点(0,2)代入得2=36a+3.44，
1 9 1
得a=− ，所以− <a≤− ．
25 25 25
12．（2024·贵州贵阳·一模）如图是身高为1.75m的小明在距篮筐4m处跳起投篮的路线示意图，篮球运行
轨迹可近似看作抛物线的一部分，球在小明头顶上方0.25m的A处出手，在距离篮筐水平距离为1.5m处达
到最大高度3.5m，最终投入篮筐所在的B内．以小明起跳点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求篮球运行轨迹所在抛物线的表达式；
（2）当小明按照如图方式投篮出手时，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.7m，则
小刚与小明的距离在什么范围内才能在空中截住篮球？
（3）当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同．若他想投中篮筐，则应该向
前走多远？ (投篮时，球从下方穿过篮筐无效)
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−m) 2+3.5，可得抛物线为y=a(x−2.5) 2+3.5，代入
(4,3.05)，求出a后即可得解；（2）令y=2.7，求得x =4.5，x =0.5，据此求解即可；
1 2
（3）依据题意，设球出手时，小明跳离地面的高度为ℎ m，则球出手时，球的高度为
ℎ
+1.75+0.25=(ℎ +2)m，代入抛物线，从而可得ℎ，故球出手时，小明跳离地面的高度是0.25m，再结
合当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，可得小明不起跳直接投篮时，篮
球运动的抛物线为y+0.25=−0.2(x−2.5) 2+3.5，再令y=3.05时，−0.2(x−2.5) 2+3.25=3.05，求出x
后即可判断得解．
【解题过程】
（1）解：由题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−m) 2+3.5，
∵m=4−1.5=2.5，
∴抛物线为y=a(x−2.5) 2+3.5，
由于抛物线过(4,3.05)，
∴a×2.25+3.5=3.05．
1
∴a=− ．
5
1
∴抛物线的函数表达式为y=− (x−2.5) 2+3.5=−0.2x2+x+2.25；
5
（2）解：令y=2.7，则2.7=−0.2(x−2.5) 2+3.5，
解得x =4.5，x =0.5，
1 2
∵此时小明与篮筐的距离为4m，
∴ x=0.5，
∴小明投篮出手时，小刚与小明的距离在0.5m以内才能在空中截住篮球；
（3）解：设球出手时，小明跳离地面的高度为ℎ m，则球出手时，球的高度为ℎ +1.75+0.25=(ℎ +2)m．
∵抛物线y=−0.2(x−2.5) 2+3.5 过点A，
∴ ℎ +2=−0.2x(0−2.5) 2+3.5．
∴ℎ =0.25．
∴球出手时，小明跳离地面的高度是0.25m．
∵当小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线形状与跳起投篮时相同，∴小明不起跳直接投篮时，篮球运动的抛物线为y+0.25=−0.2(x−2.5) 2+3.5．
∴y=−0.2(x−2.5) 2+3.25，
当y=3.05时，−0.2(x−2.5) 2+3.25=3.05，
解得x =1.5，x =3.5，
1 2
∴小明与篮筐的距离为3.5m或1.5m时，可以投中篮筐，
∴他应该向前走4−3.5=0.5m或4−1.5=2.5m（不符合题意，舍去），
∴若小明想投中篮筐，则应该向前走0.5m．
13．（2024·浙江·模拟预测）篮球是一项广受喜爱的运动．学习了二次函数后，小江同学打篮球时发现，
篮球投出时在空中的运动可近似看作一条抛物线，于是建立模型，展开如下研究：
如图，篮框距离地面3m，某同学身高2m，站在距离篮球架L=4m处，从靠近头部的O点将球正对篮框投
出，球经过最高点时恰好进入篮框，球全程在同一水平面内运动，轨迹可看作一条抛物线C．不计篮框和
球的大小、篮板厚度等．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）研究发现，当球击在篮框上方0.2m及以内范围的篮板上时，球会打板进框．若该同学正对篮框，改
用跳投的方式，出手点O位置升高了0.5m，要能保证进球，求L的取值范围．（计算结果保留小数点后一
位）
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用，涉及了利用待定系数法求二次函数解析式的知识，解答本题的关键是建立直
角坐标系，将实际问题转化为数学模型．
（1）以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4,1)，则
设其表达式为y=a(x−4) 2+1，利用待定系数法即可求解；1
（2）由（1）可设抛物线C′的表达式为y′=− (x−ℎ) 2+k，结合题意可知抛物线C′的抛球点位(t,0.5)，
16
1
k=1+1.5=1.5，t<4，将其代入求得t−ℎ =−4，则ℎ =t+4，可知y′=− (x−t−4) 2+1.5由题意可知，
16
当x=4时，4−3≤ y′≤4−3+0.2，即1≤ y′≤1.2，
计算出y′=1，y′=1.2时，t的值，根据距离蓝框的距离L=4−t即可求解．
【解题过程】
（1）解：以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4,1)，则设其表达式为y=a(x−4) 2+1，
将O(0,0)代入，可得：16a+1=0，
1
∴a=− ，
16
1 1 1
∴抛物线C的表达式为y=− (x−4) 2+1=− x2+ x；
16 16 2
1
（2）解：由（1）可设抛物线C′的表达式为y′=− (x−ℎ) 2+k，
16
∵改用跳投的方式，出手点O位置升高了0.5m，
则抛物线C′的最高点抛物线C的基础上升高0.5m，
∴抛物线C′的抛球点位(t,0.5)，k=1+1.5=1.5，t<4，
1 1
将其代入y′=− (x−ℎ) 2+k，得0.5=− (t−ℎ) 2+1.5，
16 16
解得：t−ℎ =±4，
由球的运动可知，最高点在抛出点的右侧，则ℎ >t，
∴t−ℎ =−4，则ℎ =t+4，
1
∴y′=− (x−t−4) 2+1.5
16∵当球击在篮框上方0.2m及以内范围的篮板上时，球会打板进框，
∴当x=4时，4−3≤ y′≤4−3+0.2，即1≤ y′≤1.2，
1
若y′=1，则− (4−t−4) 2+1.5=1，解得：t=±2❑√2，
16
此时距离蓝框的距离L=4−t=4−2❑√2或4+2❑√2，
1 2❑√30
若y′=1.2，则− (4−t−4) 2+1.5=1.2，解得：t=± ，
16 5
2❑√30 2❑√30
此时距离蓝框的距离L=4−t=4− 或4+ ，
5 5
2❑√30 2❑√30
即：4−2❑√2≤L≤4− 或4+2❑√2≤L≤4+
5 5
亦即：1.2≤L≤1.8或6.2≤L≤6.8．
14．（2024·贵州黔西·一模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部
1
分，斜坡可以用一次函数y= x表示，若小球到达的最高点的坐标为(4,8)，解答下列问题：
2
（1）求抛物线的表达式；
（2）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；
（3）将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当平移后的抛物线与直线
OA仅有一个交点，且交点在线段OA上时，ℎ的取值范围是 ．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，
待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）依据题意，设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
（2）依据题意，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）依据题意，由平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，从而平移后抛物线与直线OA相切，进而设将OA向上平移m个单位与二次函数y=−
1
(x−4) 2+8相切，进而可得m=
49
，此时切点为
(7
,
63)
，反
2 8 2 8
1 49 1 15
过来，将抛物线y=− (x−4) 2+8向下平移 个单位可与OA相切，即y=− (x−4) 2+ 与OA相切，
2 8 2 8
(7 7) 7 (7 7)
切点为 , ，又求出A(7, )，结合切点在OA之间移动，即切点 , 由O(0,0)逐渐变化到
2 4 2 2 4
7 15 (1 1) (15 29)
A(7, )，进而根据平移规律，最后可得顶点(4, )应该是由 , 逐渐变化到 , ，进而可以得
2 8 2 8 2 8
解．
【解题过程】
（1）解：由题意，∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4) 2+8，
1
解得：a=− ，
2
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−4) 2+8；
2
1 1 1 7 2 49
（2）由题意，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度ℎ =− (x−4) 2+8− x=− (x− ) + ，
2 2 2 2 8
49
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ；
8
（3）由题意，
∵平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，
∴平移后抛物线与直线OA相切．
1
设将OA向上平移m个单位与二次函数y=− (x−4) 2+8相切，
2
1
{ y= x+m )
2 1 7 49
∴ 得 x2− x+m=0，Δ= −2m=0．
1 2 2 4
y=− (x−4) 2+8
2
49 (7 63)
∴m= ，此时切点为 , ．
8 2 81 49
∴反过来，将抛物线y=− (x−4) 2+8向下平移 个单位可与OA相切，
2 8
即y=−
1
(x−4) 2+
15
与OA相切，切点为
(7
,
7)
．
2 8 2 4
1
{ y= x )
2
又 ，
1
y=− (x−4) 2+8
2
{x=0)
{x=7
)
∴ 或 7 ．
y=0 y=
2
7
∴A(7, )．
2
(7 7) 7
∵切点在OA之间移动，即切点 , 由O(0,0)逐渐变化到A(7, )，
2 4 2
7 7 7 7
∴切点变化到O时，横坐标减去 ，纵坐标减去 ；切点变化到A时，横坐标加上 ，纵坐标加上 ．
2 4 2 4
15
∴顶点(4, )也应该满足上述变化．
8
15 ( 7 15 7) (1 1)
∴根据以上点的平移规律得，顶点(4, )应该是由 4− , − ，即 , 逐渐变化到
8 2 8 4 2 8
( 7 15 7) (15 29)
4+ , + ，即 , ．
2 8 4 2 8
1 15
∴ ≤ℎ≤ ．
2 2
1 15
故答案为： ≤ℎ≤ ．
2 2
15．（2024·河南周口·模拟预测）如图，排球运动场的长为18m，球网在场地中央，高度为2.24m，排球
在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网7m）练习发球，某次发
球，击球点的高度为2m，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m．小乐同学建立了如图所示
的平面直角坐标系（1个单位长度表示1m）．（1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．
（2）通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网
的距离 d 的取值范围．（结果保留根号）
【思路点拨】
本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）根据排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，求出抛物线的顶点坐标为(−2,2.5)，再用待
定系数法求解即可；
（2）计算当x=0时，y的值，与2.24比较；再根据右边界的坐标为(9,0)，令y=0，求出x值与9比较即
可；
1 5
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为y=− (x+ ℎ) 2+ ，求解出击出
50 2
排球轨迹的临界点，即可得解．
【解题过程】
（1）解：∵当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，7−5=2，
∴抛物线的顶点坐标为(−2,2.5)，
5
设抛物线的解析式为y=a(x+2) 2+ ，
2
∵点(−7,2)在抛物线上，
5 1
∴2=a(−7+2) 2+ ，解得a=− ，
2 50
1 5
∴y=− (x+2) 2+ ．
50 2
1 5
（2）解：当x=0时，y=− ×4+ =2.42>2.24，
50 2
∴此球能够过网；
根据题意得右边界的坐标为(9,0)1 5
∴当y=0时，− (x+2) 2+ =0，
50 2
解得x =5❑√5−2，x =−5❑√5−2（舍去），
1 2
∵5❑√5−2>9，
∴不会落在界内，会出界．
（3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，
1 5
∴设击出的排球轨迹为y=− (x+ ℎ) 2+ ，
50 2
当该轨迹经过球网的顶端坐标(0,2.24)时，
1 5
− ℎ 2+ =2.24，解得ℎ =❑√13，（ℎ =−❑√13舍去）
50 2
1 5
∴y=− (x+❑√13) 2+ ，
50 2
此时当y=2时，解得：x=5−❑√13（舍去）或x=−5−❑√13．
∴d=5+❑√13，
1 5
当该轨迹经过右边界的坐标(9,0)时，− (9+ ℎ) 2+ =0，
50 2
解得ℎ =−9+5❑√5（不符合题意的根舍去），
1 5
∴y=− (x+5❑√5−9) 2+ ，
50 2
此时当y=2时，x=4−5❑√5或x=14−5❑√5（舍去），
∴d=5❑√5−4，
经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），5❑√5−4<d<5+❑√13．
16．（2024·河南濮阳·二模）濮阳杂技是一项非常古老的传统民间艺术．起源于春秋，兴盛于明清，发展
于现代，以功力深厚、技艺精湛著称于世．如图（1），“空中飞人”是杂技表演的压轴节目，表演惊险
刺激，极具观赏性，深受观众好评．
如图（2），演员从浪桥的旋转木梯点F处抛出（将身体看成一点，身体摆动忽略不计）飞到吊下的平台
AB上，其飞行路线可看作是抛物线的一部分．下面有一张平行于地面的保护网MN，以保护表演的演员
3
安全．建立如图的平面直角坐标系，已知：点A的坐标为(0,8)，OC=11.5m，CE=2m，EF= ❑√2m，
2
∠FEC=135°，AB=1m．（1）当抛物线过点B，且与y轴交于点H(0,6)时，求出抛物线的表达式；
( 7)
（2）在（1）的条件下，若点N的坐标为 8, ，为使演员在演出时不受伤害，求保护网MN（线段MN
2
）的长度至少为多少米；
（3）设该抛物线的关系式为 y=ax2−8ax+c，抛射点F不变，为保证演员表演时落在平台AB上，请直
接写出a的取值范围．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的综合应用，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，
（1）过点F作FK⊥x轴，过点E作EJ⊥FK，先求出F(10，3.5)，B(1，8)，然后用待定系数法即可
求解；
( 7) 7
（2）由MN平行于x轴，点N的坐标为 8， ，得出点M纵坐标为 ，代入解析即可得解；
2 2
（3）由发射点F不变，得出抛物线一定经过F(10,3.5)，然后分再经过A(0,8)，B(1,8)两种情况，讨论即
可得解
【解题过程】
（1）过点F作FK⊥x轴，过点E作EJ⊥FK，
∵∠FEC=135°,
∴∠FEJ=45°
∴△FEJ为等腰直角三角形，
∴FJ=EJ，3
∵EF= ❑√2m，
2
∴FJ2+EJ2=2FJ2=2EJ2= (3 ❑√2 ) 2 ，
2
∴FJ=EJ=1.5m，
∴OC=11.5m，CE=2m，
∴OK=11.5−1.5=10，FK=2+1.5=3.5，
∴点F的坐标为(10，3.5)，
∵AB=1m，点A的坐标为(0，8)，
∴点B的坐标为(1，8)，
∵抛物线y轴交于点H(0，6)，
∴设抛物线的表达式为y=ax2+bx+6，
将点B(1，8)和点F(10，3.5)代入y=ax2+bx+6得：
{ a+b+6=8 )
100a+10b+6=3.5
1
{ a=− )
4
解得： ，
9
b=
4
1 9
∴抛物线的表达式为y=− x2+ x+6；
4 4
( 7)
（2）∵MN平行于x轴，点N的坐标为 8， ，
2
7
∴点M纵坐标为 ，
2
7 7 1 9
当y= 时，代入抛物线解析式得 =− x2+ x+6，
2 2 4 4
解得：x =10（舍去），x =−1，
1 2
∴MN=8−(−1)=9，即保护网MN（线段MN）的长度至少为9米；
（3）由（1）知：A(0,8)，B(1,8)，F(10,3.5)，
∵发射点F不变，
∴抛物线一定经过F(10,3.5)，
∴当抛物线经过A(0,8)，F(10,3.5)时，
{100a−10×8a+c=3.5)
代入y=ax2−8ax+c得 ，
c=8{ a=− 9 )
∴ 40 ，
c=8
当抛物线经过B(1,8)，F(10,3.5)时，
{100a−10×8a+c=3.5)
代入y=ax2−8ax+c得 ，
a−8a+c=8
1
{ a=− )
6
∴ ，
41
c=
6
∵抛物线必经过平台AB，
9 1
∴− ≤a≤− ．
40 6
17．（2024·河北邯郸·模拟预测）将小球（看作一点）以速度v (m/s)竖直上抛，上升速度随时间推移逐渐
1
减少直至0，此时小球达到最大高度，小球相对于抛出点的高度y(m)与时间t(s)的函数解析式为
y=at2+v t(a≠0)，若上升的初始速度v =8m/s，且当t=1时，小球达到最大高度．
1 1
（1）求小球上升的高度y与时间t的函数关系式（不必写范围），并写出小球上升的最大高度；
（2）向上抛出小球时再让小球在水平方向上匀速运动，且速度为v (m/s)，发现小球运动的路线为一抛物
2
线，其相对于抛出点的高度y(m)与时间t(s)的函数关系式与（1）中的解析式相同．在如图所示的平面直角
坐标系中，y轴表示小球相对于抛出点的高度，x轴表示小球距抛出点的水平距离．
1
①若v =4m/s，当t= 时，小球的坐标为______，小球上升的最高点坐标为______；
2 2
②在①的条件下求小球上升的高度y与小球距抛出点的水平距离x之间的函数关系式；
③在小球的正前方的墙上有一高1m的小窗户PQ，其上沿P的坐标为(4,3)，若小球恰好能从窗户中穿过
（不包括恰好击中点P,Q，墙厚度不计），请直接写出小球的水平速度v 的取值范围．
2
【思路点拨】
本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，读懂题意，理解小球的水平距离和竖直距离是解题关键．
（1）将v =8m/s，代入解析式，再根据当t=1时，小球达到最大高度，得到对称轴为直线t=1，根据对
1
称轴公式求出a的值，求出抛物线的解析式，将t=1代入，求出上升的最大高度即可；
1
（2）①把t= 代入（1）中解析式，求出小球的纵坐标，用v ⋅t求出小球的横坐标，进而得到小球的坐标，
2 2
根据t=1，小球上升的高度最高，求出此时的水平距离即为小球的横坐标，即可；
x
②根据水平距离等于4t，即：x=4t，得到t= 代入（1）中的解析式即可得出y关于x的解析式；
4
③分别求出小球击中点P和点Q的时间，进而求出对应的v 的值，即可得出v 的取值范围．
2 2
【解题过程】
（1）解：将v =8m/s代入y=at2+v t(a≠0)，得：y=at2+8t(a≠0)，
1 1
∵当t=1时，小球达到最大高度，
8
∴− =1，
2a
∴a=−4，
∴y=−4t2+8t，
∴当t=1时，y=−4+8=4，
∴小球能够上升的最大高度为4米；
（2）①∵y=−4t2+8t，
1 (1) 2 1
∴当t= 时，y=−4× +8× =3，
2 2 2
∴小球的纵坐标为3，
1
∵小球的运动的水平距离为：v ⋅t=4× =2m，
2 2
∴小球的横坐标为2，
∴小球的坐标为(2,3)；
由（1）知当t=1时，小球到达最高高度为4m，
∴此时小球的水平距离为4×1=4m，
∴此时小球的坐标为(4,4)，即最高点的坐标为(4,4)；
故答案为：(2,3)，(4,4)；
②∵水平距离x=v ⋅t=4t，
2x
∴t= ，
4
x (x) 2 x x2
∵y=−4t2+8t，把t= 代入，得：y=−4⋅ +8⋅ =− +2x；
4 4 4 4
x2
∴y=− +2x；
4
③∵PQ=1，上沿P的坐标为(4,3)，
∴Q(4,2)，
当小球刚好击中点P即：y=3时，3=−4t2+8t，
1 3
解得：t= 或t= ，
2 2
1 1
当t= 时，v =4÷ =8m/s；
2 2 2
3 3 8
当t= 时，v =4÷ = m/s；
2 2 2 3
当小球刚好击中点Q即：y=2时，2=−4t2+8t，
❑√2 ❑√2
解得：t= +1或t=− +1，
2 2
❑√2 (−❑√2 )
当t=− +1时，v =4÷ +1 =(4❑√2+8)m/s；
2 2 2
❑√2 (❑√2 )
当t= +1时，v =4÷ +1 =(8−4❑√2)m/s；
2 2 2
8
∴8−4❑√2<v < 或8<v <8+4❑√2．
2 3 2
18．（2024·山西·模拟预测）学科实践
问题情境：
某学校举办了校园科技节活动，培养学生的科学探究精神，科学小组的同学自制了一个小型投石机，并在
校园科技节主题活动当天进行投石试验展示．
试验步骤：
第一步：如图，在操场上放置一块截面为△OCD的木板，该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度
CD=0.5米，将投石机固定在点O处，紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙；第二步：利用投石机将石块(石块大小忽略不计）从点A处抛出，石块飞行到达最高点后开始下降，最终落
地，其中点A到地面的高度OA=0.3米，测得BC=0.7米．
试验数据：
科学小组的同学借助仪器得到石块飞行过程中的一组数据：石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5米，
飞行的水平距离OE为4米．
问题解决：
已知石块的飞行轨迹是抛物线的一部分，以O为原点，OG所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平
面直角坐标系．
（1）求石块飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式；
（2）在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围；
拓展应用：
（3）如图，在进行第二次试验前，小组同学准备在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木
杆用于瞄准，为确保木杆不会被石块击中，则这支木杆的最大长度是多少？
【思路点拨】
本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，二次函数的线段综合，一次函数的性质以及解析式，
正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合已知条件，设抛物线为顶点式，代入A(0，0.3)，则y=−0.075(x−4) 2+1.5，即可作答．
（2）结合已知条件，找出B(5，1.2)，再设BF=n，然后FG=BD=1.2米，把F(5+n，1.2)代入
y=−0.075(x−4) 2+1.5，解得n=1，即可作答．
（3）先求出线段OC的解析式为y=0.1x(0≤x≤5)，得W(x，0.1x+m)，其中0≤x≤2，设抛物线到点
0.5 10
W的距离为s，则s=−0.075x2+0.5x+0.3−m，因为−0.075<0，开口向下，x=− = 取
2×(−0.075) 3
大值，把x=2代入s=−0.075x2+0.5x+0.3−m，得出−0.075×22+0.5×2+0.3−m=0，此时这支木杆
有最大长度，即m有最大值，即m=1．【解题过程】
解：（1）依题意，∵石块飞到最高点P时离地面的高度PE为1.5米，飞行的水平距离OE为4米．且
OA=0.3
∴设该抛物线的函数表达式y=a(x−4) 2+1.5，
把A(0，0.3)代入y=a(x−4) 2+1.5，
∴0.3=a×(0−4) 2+1.5，
解得a=−0.075，
∴y=−0.075(x−4) 2+1.5；
（2）∵测得BC=0.7米，CD=0.5，OD=5米，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴BD⊥x轴，0.5+0.7=1.2（米），
∴B(5，1.2)，
把x=5代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
得出y=−0.075×(5−4) 2+1.5=1.425>1.2，
设BF=n，
∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴FG=BD=1.2米，则F(5+n，1.2)，
∴把F(5+n，1.2)代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
得1.2=−0.075(5+n−4) 2+1.5，
∴−0.3=−0.075(1+n) 2，
解得n=1或者n=−3（舍去），
∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围为0<BF<1；
（3）∵该木板的水平宽度（OD=5米，竖直高度CD=0.5米），
∴C(5，0.5)，
设线段OC的解析式为y=kx(0≤x≤5)，
把C(5，0.5)代入y=kx(0≤x≤5)，得0.5=k×5，
∴k=0.1，
∴线段OC的解析式为y=0.1x(0≤x≤5)，
∵在OC上与y轴水平距离为2米的范围内竖直安装一支木杆用于瞄准，
设这支木杆的长度为m，
如图：设木杆的顶端为W，
∴W(x，0.1x+m)，其中0≤x≤2，
设抛物线到点W的距离为s，
则s= y−0.1x−m=−0.075(x−4) 2+1.5−0.1x−m=−0.075x2+0.5x+0.3−m，
∵−0.075<0，开口向下，
0.5 10
∴x=− =
取大值，
2×(−0.075) 3
∵0≤x≤2，
∴把x=2代入s=−0.075x2+0.5x+0.3−m，
得出−0.075×22+0.5×2+0.3−m=0，此时这支木杆有最大长度，即m有最大值，
即m=1．
