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专题 22.6 投球问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】掷实心球是某市中考体育考试的选考项目，小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数
学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从 y轴上的
点A(0,2)处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点B的坐标为(4,3.6)，落在x轴上的点C
处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某市男子实心球的得分标准如表：
得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10
掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2
请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分；
（3）若抛物线经过M(m,y )，N(m+2,y )两点，抛物线在M，N之间的部分为图象H（包括M，N两
1 2
1
点），图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 ，求m的值．
5
【思路点拨】
（1）易得抛物线的顶点坐标为B(4,3.6)，用顶点式表示出抛物线的解析式，进而把A(0,2)的坐标代入可
得二次函数的比例系数，于是可求出二次函数的解析式；
（2）取函数值为0，看球落地时x的值为多少，根据点C的位置，x取正值即为球抛出去的距离，根据所给
表格可判断应得分数；
（3）根据题意得出y =−0.1m2+0.8m+2，y =−0.1m2+0.4m+3.2，进而根据m的范围，分四种情况
1 2
讨论，根据题意列出方程，解方程即可求解．【解题过程】
（1）解：由题意可得，抛物线的顶点B的坐标为(4,3.6)，
设该抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+3.6(a≠0)，
∵抛物线经过点A(0,2)，
∴a(0−4) 2+3.6=2，
∴a=−0.1，
∴该抛物线的解析式为：y=−0.1(x−4) 2+3.6=−0.1x2+0.8x+2；
（2）解：当y=0时，−0.1(x−4) 2+3.6=0，
解得：x =10，x =−2，
1 2
∵点C在x轴的正半轴，
∴x =−2舍去，
2
∴x =10，即小强在这次训练中的成绩为10米，
1
∵9.6<10<11.2，
∴小强的得分是90分；
（3）解：∵抛物线经过两点M(m,y )，N(m+2,y )，
1 2
∴y =−0.1m2+0.8m+2，
1
y =−0.1m2+0.4m+3.2，
2
1
由题意可知，图象H上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为 ，
5
∴有以下四种情况：
①如图，当0≤m<2时，y的值随x的值的增大而增大，1
依题意，y −y = ，
2 1 5
1
即：(−0.1m2+0.4m+3.2)−(−0.1m2+0.8m+2)=
，
5
解得：m=2.5，
这与0≤m<2相矛盾，故舍去；
1
②如图，当2≤m<3时，y −y = ，
最大值 1 5
1
即：3.6−(−0.1m2+0.8m+2)=
，
5
解得：m=4+❑√2或m=4−❑√2，
∵m=4+❑√2与2≤m<3相矛盾，故舍去，
∴m=4−❑√2；
1
③如图，当3≤m<4时，y −y = ，
最大值 2 5
1
即：3.6−(−0.1m2+0.4m+3.2)=
，
5
解得：m=2+❑√2或m=2−❑√2，
∵m=2−❑√2与3≤m<4相矛盾，故舍去，
∴m=2+❑√2；
④如图，当m≥4时，y的值随x的值的增大而减小，1
依题意，y −y = ，
1 2 5
1
即：(−0.1m2+0.8m+2)−(−0.1m2+0.4m+3.2)=
，
5
解得：m=3.5，
这与m≥4相矛盾，故舍去；
综上所述：m=4−❑√2或m=2+❑√2．
◆ 学霸必刷
1．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛
1 1
物线y=4x− x2 刻画，斜坡可以用直线y= x刻画．下列结论错误的是（ ）
2 2
A．小球落地点与点O的水平距离为7m
B．当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为3m
C．小球与点O的水平距离超过4m时呈下降趋势
49
D．小球与斜坡的距离的最大值为 m
8
【思路点拨】
1 1
本题考查了二次函数的性质，令4x− x2= x，解得x =0，x =7，即可判断A；把y=7.5代入
2 2 1 21 1
y=4x− x2得4x− x2=7.5，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一
2 2
点A的坐标为
(
a,4a−
1 a2)
，作AB⊥x轴交直线y=
1
x于B，则B
(
a,
1
a
)
，表示出AB，结合二次函数
2 2 2
的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【解题过程】
1 1
解：令4x− x2= x，解得x =0，x =7，
2 2 1 2
∴小球落地点与点O的水平距离为7m，故A正确，不符合题意；
1 1
把y=7.5代入y=4x− x2 得4x− x2=7.5，
2 2
解得：x =3，x =5，
1 2
∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球与点O的水平距离为3m或5m，故B错误，符合题意；
1 1
∵y=4x− x2=− (x−4) 2+8，
2 2
∴抛物线的对称轴为直线x=4，
1
∵− <0，
2
∴当x>4时，y随x的增大而减小，
∴小球与点O的水平距离超过4m时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；
设抛物线上一点A的坐标为
(
a,4a−
1 a2)
，
2
1 ( 1 )
作AB⊥x轴交直线y= x于B，则B a, a ，
2 2
，
∴AB=4a−
1
a2−
1
a=−
1
a2+
7
a=−
1(
a−
7) 2
+
49
，
2 2 2 2 2 2 8
1
∵− <0，
27 49
∴当a= 时，AB有最大值，最大值为 ，
2 8
49
∴小球与斜坡的距离的最大值为 m，故D正确，不符合题意；
8
故选：B．
2．（2024·辽宁鞍山·二模）如图，小明站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B
处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一
次着地前抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+2，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大
高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为0.5m，高为0.5m的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为n米，
若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则n的值可以是（ ）
A．7 B．9 C．10 D．8
【思路点拨】
本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题
的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点B的坐标，再根据B处着地后弹起
的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛
物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为0.5m，可求出当弹力球恰好砸中筐的最
左端、最右端时，n的值，进而得到n的取值范围，从而得到答案．
【解题过程】
解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y=a(x−2) 2+2，且过点A(0,1)，代入解析式中得：
1=a(0−2) 2+2，
1
∴a=− ，
4
1
∴解析式为：y=− (x−2) 2+2，
4
当x=2时，y的最大值为2，1
令y=0，则− (x−2) 2+2=0，
4
解得：x =2+2❑√2或x =2−2❑√2(舍去)，
1 2
∴B(2+2❑√2，0)，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
1
∴其最大高度为：2× =1(m)，
2
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
1
设处着地后弹起的抛物线解析式为：y=− (x−ℎ) 2+1，
4
1
将点B(2+2❑√2，0)代入该解析式得：0=− (2+2❑√2−ℎ) 2+1，
4
解得：ℎ =2❑√2+4或ℎ =2❑√2(舍去)，
1
∴该抛物线的解析式为：y=− (x−2❑√2−4) 2+1，
4
∴对称轴为：x=2❑√2+4，
∵点B的坐标为(2+2❑√2，0)，则点C的坐标为(2❑√2+6,0)，
∵圆柱形的高为0.5m，
1
当y=0.5时，则− (x−2❑√2−4) 2+1=0.5，
4
解得：x=4+3❑√2或x=4+❑√2（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，n=4+3❑√2，
∵筐的底面半径为0.5m，直径为1m，，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，n=4+3❑√2−1=3+3❑√2，
∴3+3❑√22.24，
∴小华这次发球能过网；
1
（3）设只改变击球点高度后抛物线的表达式为：y=− (x−6) 2+k．
45
1
把x=9，y=2.24代入y=− (x−6)22+k，
45
解得k=2.44．
1
∴y=− (x−6) 2+2.44．
45
1
把x=0代入y=− (x−6) 2+2.44，
45
解得y=1.64．
1
把x=18，y=0代入y=− (x−6) 2+k，
45
解得k=3.2．
1
∴y=− (x−6) 2+3.2．
45
1
把x=0代入y=− (x−6) 2+3.2，
45
解得y=2.4．
∴小华的击球点高度ℎ的取值范围是1.64< ℎ≤2.4．
10．（2024·湖北武汉·模拟预测）乒乓球是我国国球，球台长为2.8m，中间处球网的高度为1.5dm．现有
一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，从第一次接触台面到
第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，乒乓球第一次接触台面在球网左侧，越过球网（擦网不影
响球运动轨迹）后，第二次接触台面在球网右侧为成功发球．乒乓球大小忽略不计．如图，当发球器放在
球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm
）的相关数据，如下表所示：
x(dm) 0 2 4 6 8 10 12 14 …y(dm) 3.36 2.52 1.68 0.84 0 1.40 2.40 3 …
（1）直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式；（写出自变量的取值范围）
（2）求乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；
（3）发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球，发球口最多向右平移多少dm？
【思路点拨】
本题考查二次函数的应用．理解发球口最多平移的距离是球台的一半长减去刚好擦网时得到的距离发球器
出口的水平距离是解决本题的难点．
（1）易得球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数为一次函数，设y=kx+b(k≠0)，把表格中
的前两组数据代入可得k和b的值，观察表格中的数据可得一次函数自变量的取值在0和8之间；
（2）观察表格中的数据和所给函数图象可得当x>8时，函数图象为二次函数，设二次函数的表达式为一
般式，把表格中的从8开始的三组数据代入可得二次函数的解析式；取y=0，求得相应的x的值，取较大
的值即为乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离；
（3）取y=1.5，代入抛物线解析式，求得对应的x的值；易得球台长28dm，那么球台的一半长14dm，取
球台的一半长减去较小的x的值，即为平移的距离；比较平移的距离和未移动前球台剩余的长度可得最多
平移的距离．
【解题过程】
（1）解：∵球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，
∴设y=kx+b(k≠0)．
∵经过点(0,3.36)，(2,2.52)．
{k=−0.42)
∴ ．
b=3.36
∴球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函数解析式为：y=−0.42x+3.36(0≤x≤8)；
（2）解：当x>8时，设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(a≠0)．
{
64a+8b+c=0
)
∴ 100a+10b+c=1.4 ．
144a+12b+c=2.4{a=−0.05
)
解得： b=1.6 ．
c=−9.6
∴y=−0.05x2+1.6x−9.6．
当y=0时，0=−0.05x2+1.6x−9.6．
整理得：x2−32x+192=0．
(x−24)(x−8)=0．
解得：x =24，x =8（舍去）．
1 2
答：乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为24dm；
（3）解：∵2.8m=28dm．
∴球台的一半长14dm．
当y=1.5时，
1.5=−0.05x2+1.6x−9.6．
整理得：x2−32x+222=0．
解得：x =16+❑√34（舍去），x =16−❑√34．
1 2
∴14−(16−❑√34)=❑√34−2．
∵28−24=4，❑√34−2<4，
∴发球口最多向右平移(❑√34−2)dm．
11．（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）在嘉嘉的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮圈中心的
水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心
距离地面3米．
（1）经计算此球________（填写“能”或“不能”）投中．
（2）若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求嘉嘉朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮才能
将篮球投入篮圈中？（3）若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求嘉嘉出手
的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮圈中？
（4）若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮圈的坐标为(6,3.44)，球场上方有一组高6米的电线，
要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮圈中，直接写出二次函数解析式中a的取值范围．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用；
（1）待定系数法求得解析式，当x=7时代入解析式，即可求解；
1
（2）设y=− (x−4−ℎ) 2+4，代入点(7,3)，解方程，即可求解；
8
（3）设y=a(x−4) 2+4，代入点(7,3)，待定系数法求解析式即可求解；
（4）分别求得临界点时的解析式，即可求解；设y=a(x−b) 2+6，代入点(0,2)，(6,3.44)，待定系数法
9 1
得出a=− ，设y=a(x−6) 2+3.44，得出a=− ，结合题意即可求解．
25 25
【解题过程】
（1）解：因为抛物线的顶点为(4,4)，设抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+4，
∵过点(0,2)，
∴2=16a+4，
1 1
∴ a=− ，即y=− (x−4) 2+4，
8 8
9 23
当x=7时，y=− +4= ≠3．所以此球不能投中．
8 8
故答案为：不能．
1
（2）解：设向前平移ℎ米，由题意可得y=− (x−4−ℎ) 2+4，代入点(7,3)，
8
1
得3=− (7−4−ℎ) 2+4求得ℎ =3±2❑√2，
8
根据实际情况3−2❑√2，即向前平移3−2❑√2米，可投中篮筐；
（3）解：设y=a(x−4) 2+4，
因为投中篮筐，即代入x=7，y=3得3=a(7−4) 2+4，1 1
解得a=− ，即y=− (x−4) 2+4，
9 9
20 20 2 2
当x=0时， y= ， −2= 即小明出手的高度要增加 米，可将篮球投中；
9 9 9 9
{ 2=a⋅b2+6 )
（4）解：设y=a(x−b) 2+6，代入点(0,2)，(6,3.44)得 ，
3.44=a(6−b) 2+6
9
解得a=− ，
25
设y=a(x−6) 2+3.44，
∵过点(0,2)代入得2=36a+3.44，
1 9 1
得a=− ，所以− t，
∴t−ℎ =−4，则ℎ =t+4，
1
∴y′=− (x−t−4) 2+1.5
16∵当球击在篮框上方0.2m及以内范围的篮板上时，球会打板进框，
∴当x=4时，4−3≤ y′≤4−3+0.2，即1≤ y′≤1.2，
1
若y′=1，则− (4−t−4) 2+1.5=1，解得：t=±2❑√2，
16
此时距离蓝框的距离L=4−t=4−2❑√2或4+2❑√2，
1 2❑√30
若y′=1.2，则− (4−t−4) 2+1.5=1.2，解得：t=± ，
16 5
2❑√30 2❑√30
此时距离蓝框的距离L=4−t=4− 或4+ ，
5 5
2❑√30 2❑√30
即：4−2❑√2≤L≤4− 或4+2❑√2≤L≤4+
5 5
亦即：1.2≤L≤1.8或6.2≤L≤6.8．
14．（2024·贵州黔西·一模）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部
1
分，斜坡可以用一次函数y= x表示，若小球到达的最高点的坐标为(4,8)，解答下列问题：
2
（1）求抛物线的表达式；
（2）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度（垂直于地面）；
（3）将小球的运动路线所在抛物线平移得到抛物线y=a(x−ℎ) 2+k(a≠0)，当平移后的抛物线与直线
OA仅有一个交点，且交点在线段OA上时，ℎ的取值范围是 ．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，
待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
（1）依据题意，设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2+8，把(0,0)代入即可得到答案；
（2）依据题意，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）依据题意，由平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，从而平移后抛物线与直线OA相切，进而设将OA向上平移m个单位与二次函数y=−
1
(x−4) 2+8相切，进而可得m=
49
，此时切点为
(7
,
63)
，反
2 8 2 8
1 49 1 15
过来，将抛物线y=− (x−4) 2+8向下平移 个单位可与OA相切，即y=− (x−4) 2+ 与OA相切，
2 8 2 8
(7 7) 7 (7 7)
切点为 , ，又求出A(7, )，结合切点在OA之间移动，即切点 , 由O(0,0)逐渐变化到
2 4 2 2 4
7 15 (1 1) (15 29)
A(7, )，进而根据平移规律，最后可得顶点(4, )应该是由 , 逐渐变化到 , ，进而可以得
2 8 2 8 2 8
解．
【解题过程】
（1）解：由题意，∵小球到达的最高的点坐标为(4,8)，
∴设抛物线的表达式为y=a(x−4) 2+8，
把(0,0)代入得，0=a(0−4) 2+8，
1
解得：a=− ，
2
1
∴抛物线的表达式为y=− (x−4) 2+8；
2
1 1 1 7 2 49
（2）由题意，小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度ℎ =− (x−4) 2+8− x=− (x− ) + ，
2 2 2 2 8
49
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ；
8
（3）由题意，
∵平移后的抛物线与直线OA仅有一个交点，
∴平移后抛物线与直线OA相切．
1
设将OA向上平移m个单位与二次函数y=− (x−4) 2+8相切，
2
1
{ y= x+m )
2 1 7 49
∴ 得 x2− x+m=0，Δ= −2m=0．
1 2 2 4
y=− (x−4) 2+8
2
49 (7 63)
∴m= ，此时切点为 , ．
8 2 81 49
∴反过来，将抛物线y=− (x−4) 2+8向下平移 个单位可与OA相切，
2 8
即y=−
1
(x−4) 2+
15
与OA相切，切点为
(7
,
7)
．
2 8 2 4
1
{ y= x )
2
又 ，
1
y=− (x−4) 2+8
2
{x=0)
{x=7
)
∴ 或 7 ．
y=0 y=
2
7
∴A(7, )．
2
(7 7) 7
∵切点在OA之间移动，即切点 , 由O(0,0)逐渐变化到A(7, )，
2 4 2
7 7 7 7
∴切点变化到O时，横坐标减去 ，纵坐标减去 ；切点变化到A时，横坐标加上 ，纵坐标加上 ．
2 4 2 4
15
∴顶点(4, )也应该满足上述变化．
8
15 ( 7 15 7) (1 1)
∴根据以上点的平移规律得，顶点(4, )应该是由 4− , − ，即 , 逐渐变化到
8 2 8 4 2 8
( 7 15 7) (15 29)
4+ , + ，即 , ．
2 8 4 2 8
1 15
∴ ≤ℎ≤ ．
2 2
1 15
故答案为： ≤ℎ≤ ．
2 2
15．（2024·河南周口·模拟预测）如图，排球运动场的长为18m，球网在场地中央，高度为2.24m，排球
在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．小乐在场地左侧边界处（距球网7m）练习发球，某次发
球，击球点的高度为2m，当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m．小乐同学建立了如图所示
的平面直角坐标系（1个单位长度表示1m）．（1）求此抛物线的解析式（不写自变量的取值范围）．
（2）通过计算判断此球是否能够过网．若能过网，请进一步判断是否会出界．
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，要使球既能过网又不出界，请直接写出发球点距离球网
的距离 d 的取值范围．（结果保留根号）
【思路点拨】
本题考查二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键．
（1）根据排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，求出抛物线的顶点坐标为(−2,2.5)，再用待
定系数法求解即可；
（2）计算当x=0时，y的值，与2.24比较；再根据右边界的坐标为(9,0)，令y=0，求出x值与9比较即
可；
1 5
（3）小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，设击出的排球轨迹为y=− (x+ ℎ) 2+ ，求解出击出
50 2
排球轨迹的临界点，即可得解．
【解题过程】
（1）解：∵当排球飞行的水平距离为5m时达到最大高度2.5m，7−5=2，
∴抛物线的顶点坐标为(−2,2.5)，
5
设抛物线的解析式为y=a(x+2) 2+ ，
2
∵点(−7,2)在抛物线上，
5 1
∴2=a(−7+2) 2+ ，解得a=− ，
2 50
1 5
∴y=− (x+2) 2+ ．
50 2
1 5
（2）解：当x=0时，y=− ×4+ =2.42>2.24，
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∴此球能够过网；
根据题意得右边界的坐标为(9,0)1 5
∴当y=0时，− (x+2) 2+ =0，
50 2
解得x =5❑√5−2，x =−5❑√5−2（舍去），
1 2
∵5❑√5−2>9，
∴不会落在界内，会出界．
（3）解：小乐继续按同样的高度、角度和力度发球，
1 5
∴设击出的排球轨迹为y=− (x+ ℎ) 2+ ，
50 2
当该轨迹经过球网的顶端坐标(0,2.24)时，
1 5
− ℎ 2+ =2.24，解得ℎ =❑√13，（ℎ =−❑√13舍去）
50 2
1 5
∴y=− (x+❑√13) 2+ ，
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此时当y=2时，解得：x=5−❑√13（舍去）或x=−5−❑√13．
∴d=5+❑√13，
1 5
当该轨迹经过右边界的坐标(9,0)时，− (9+ ℎ) 2+ =0，
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解得ℎ =−9+5❑√5（不符合题意的根舍去），
1 5
∴y=− (x+5❑√5−9) 2+ ，
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此时当y=2时，x=4−5❑√5或x=14−5❑√5（舍去），
∴d=5❑√5−4，
经过分析，若排球既能过网（不触网），又不出界（不接触边界），5❑√5−41.2，
设BF=n，
∵石块越过了城墙后落地，且紧贴木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墙，
∴FG=BD=1.2米，则F(5+n，1.2)，
∴把F(5+n，1.2)代入y=−0.075(x−4) 2+1.5，
得1.2=−0.075(5+n−4) 2+1.5，
∴−0.3=−0.075(1+n) 2，
解得n=1或者n=−3（舍去），
∴在试验时，石块越过了城墙后落地，求城墙的厚度BF的取值范围为0
