文档内容
专题 22.4 拱桥问题——二次函数的应用
◆ 典例分析
【典例1】根据下列素材，探索完成任务．
如何设计跳绳的方案
参加跳长绳比赛时，各队跳绳6人，摇绳2
人，共计8人，他们在同一平面内站成一路
纵队．图2是长绳甩到最高处时的示意图，
素材1 可以近似的看作一条抛物线．摇绳的两名队
员水平间距AB为5米，他们的手到地面的
高度AC=BD=1米，绳子最高点距离地面2
米．
某队的6名跳绳队员中，男女生各3名，男
生身高均在1.70－1.80米，女生身高一人为
素材2
1.7米高，两人都为1.65米，为保证安全，
跳绳队员之间的距离至少0.5米．
问题解决
在图2中建立适当的平面直角坐标系，求抛
任务1 确定长绳在最高点时的形状
物线的函数表达式．
若将最高的男生站在摇绳队员的中点，长绳
任务2 探究站队的方式
能否顺利甩过所有队员的头顶？
为了更顺利的完成跳绳，现按中间高两边低
任务3 设计位置方案 的方式站队，请在你所建立的坐标系中，求
出左边第一位队员横坐标的取值范围．
【思路点拨】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的建立坐标系求解函数解析式是解本题的关键；
任务一：以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，，建立直角坐标系，如图：再利用待
定系数法求解二次函数的解析式即可；
5
任务二：如图，6名同学，以直线x= 为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两
2
侧，男同学站中间，女同学站两边，再求解对应的函数值与身高比较即可；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧对称排列，再计算当x=2.25或x=2.75时， 当x=1.75或x=3.25时， 当x=1.25或x=3.75时，得到站队方式符合要求，再求解左边第一个的横坐标是
取值范围即可．
【解题过程】
解：任务一：
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
由已知可得，(0,1)，(5,1)在抛物线上，且抛物线顶点的纵坐标为(2.5,2)，
( 5) 2
设抛物线解析式为y=a x− +2，
2
25
∴ a+2=1，
4
4
解得a=− ，
25
4 ( 5) 2
∴抛物线的函数解析式为y=− x− +2；
25 2
任务二：
4 ( 5) 2
∵y=− x− +2，
25 2
5
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
5
如图，6名同学，以直线x= 为对称轴，将最高的男生站在摇绳队员的中点，分布在对称轴两侧，男同学
2
站中间，女同学站两边，
对称轴两侧的2位男同学所在位置横坐标分布是2，3，∴有1个1.65米的女生的横坐标为1或4，
4 ( 5) 2 49
当x=2时或x=3时，y=− x− +2= =1.96>1.70，
25 2 25
4 ( 5) 2 46
当x=1.5或x=3.5时，y=− x− +2= =1.84>1.70
25 2 25
4 ( 5) 2 41
当x=1或x=4时，y=− x− +2= =1.64<1.65，
25 2 25
∴绳子能顺利的甩过男队员的头顶，绳子不能顺利的甩过女队员的头顶；
∴绳子不能顺利的甩过所有队员的头顶；
任务三：如图，设置战队方式如下：由高往左右两侧排列，
4 ( 5) 2
当x=2.25或x=2.75时，y=− x− +2=1.99>1.80，
25 2
4 ( 5) 2
当x=1.75或x=3.25时，y=− x− +2=1.91>1.80，
25 2
4 ( 5) 2
当x=1.25或x=3.75时，y=− x− +2=1.75>1.65，
25 2
∴站队方式符合要求，
4 ( 5) 2
当y=1.65时，则− x− +2=1.65，
25 2
10+❑√35 10−❑√35
∴x = ，x = ，
1 4 2 4
10−❑√35 5
∴左边第一个队员的横坐标的范围为： 0)，则−1=− m2+2，
2
解得，m=❑√6，
∴水面宽度为2❑√6m，②正确；
当水面下降2m时，
1
设B'(t,−2)(t>0)，则−2=− t2+2，
2
解得t=2❑√2，
∴水面宽度为4❑√2，
∴水面宽度增加了(4❑√2−4)m，③正确．
故选D．
5．（2023·吉林长春·二模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正
常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即
NC=4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF=
m．
【思路点拨】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是
关键．
根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，可以得到A、B、M的坐标，设出函数关系式，待定系数
求解函数式．根据NC的长度，得出函数的y坐标，代入解析式，即可得出E、F的坐标，进而得出答案．
【解题过程】
解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得，M点坐标为(0,6)，A点坐标为(−10,0)，B点坐标
为(10,0)，
设中间大抛物线的函数式为y=ax2+bx+c，{
c=6
)
代入三点的坐标得到 100a−10b+c=0 ，
100a+10b+c=0
3
{ a=− )
50
解得 ．
b=0
c=6
3
∴函数式为y=− x2+6．
50
∵NC=4.5米，
3
∴令y=4.5米，代入解析式得4.5=− x2+6
50
解得：x =5，x =−5，
1 2
∴可得EF=|x −x )=|5−(−5))=10(米)．
1 2
故答案为：10．
6．（23-24九年级上·吉林长春·期末）如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交
于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为10m，AB=40m，D、E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，
点E到直线AB的距离为10m，则DE的长为 m．
【思路点拨】
本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度较
大．首先建立平面直角坐标系，设AB与y轴交于点H，求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：
y=ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，即可求
解．
【解题过程】
解：建立平面直角坐标系如图：设AB与y轴交于点H，
∵AB=40m,
∴AH=BH=20m,
由题可知：OH=10m,CH=10m,
∴OC=10+10=20m,
设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，
∵顶点坐标C(0,20)，
∴y=ax2+20,
代入点(20,10),
∴10=400a+20,
∴400a=−10,
1
∴a=− ,
40
1
∴抛物线∶y=− x2+20，
40
1
当y=0时，0=− x2+20，
40
∴x2=800,
∴x=±20❑√2,
∴E(20❑√2,0),D(−20❑√2,0),
∴OE=OD=20❑√2m
∴DE=OD+OE=20❑√2+20❑√2=40❑√2m,
故答案为： 40❑√2．
7．（23-24九年级下·吉林长春·开学考试）某单位要对拱形大门进行粉刷，如图是大门示意图，门柱AD和
BC高均为0.75米，门宽AB为9米，上方门拱可以近似的看作抛物线的一部分，最高点到地面AB的最大
高度为4.8米，工人师傅站在倾斜木板AM上，木板点M一端恰好落在门拱上且到点A的水平距离AN为
7.5米，工人师傅能刷到的最大垂直高度为2.4米，则在MA上方区域中，工人师傅刷不到的最大水平宽度
为 米．【思路点拨】
本题主要考查的是二次函数的实际应用，同时考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知
识．先根据题意建立如图所示坐标系，然后利用待定系数法即可求出函数解析式，然后求出点M坐标，再
求出直线OM的解析式，设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F，设点E
的坐标为(m,−0.2(m−4.5) 2+4.8)，则F(m,0.4m)，求出EF，再根据EF=2.4，解出m的值，从而得
出结论．
【解题过程】
解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
由题意知，抛物线顶点的坐标为(4.5,4.8)，
设抛物线的解析式为y=a(x−4.5) 2+4.8，
∵AD=0.75，
∴D(0,0.75)
∴将点D代入抛物线解析式得，0.75=4.52a+4.8，
解得a=−0.2，
∴抛物线对应的函数的解析式为y=−0.2(x−4.5) 2+4.8，
将x=7.5代入y=−0.2(x−4.5) 2+4.8中，得y=3，
∴点M坐标为(7.5,3)，
∴设直线OM的解析式为y=kx(k≠0)，
将点M(7.5,3)代入y=kx得，7.5k=3，
∴k=0.4，
∴直线OM的解析式为y=0.4x，
设工人能够刷到的最大高度点为E，过E作x轴的垂线交直线OM于点F，∵设点E的坐标为(m,−0.2(m−4.5) 2+4.8)，则F(m,0.4m)，
∴EF=−0.2(m−4.5) 2+4.8−0.4m=−0.2m2+1.4m+0.75=−0.2(m−3.5) 2+3.2，
∵师傅能刷到的最大垂直高度是2.4米，
∴当EF=2.4时，即−0.2(m−3.5) 2+3.2=2.4，
解得m =1.5，m =5.5，
1 2
∵5.5−1.5=4米，
∴工人师傅刷不到的最大水平宽度为4米，
故答案为：4．
8．（2024·河南南阳·三模）如图，是某景区步行街修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点M为顶点，
其高为9米，宽OE为18米，以点O为原点，OE所在直线为x轴建立平面直角坐标系．矩形ABCD是安装
的一个“光带”，且点A，D在抛物线上，点B，C在OE上．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）求所需的三根“光带” AB，AD，DC的长度之和的最大值，并写出此时OB的长．
【思路点拨】
本题考查了二次函数的应用，
（1）利用待定系数法即可求解；
1
（2）设点A的坐标为(m,− m2+2m)，用m的值表示出AB，AD，DC的长度，得到关于m的二次函
9
数，利用二次函数的性质求解即可．正确记忆相关知识点是解题关键．
【解题过程】
（1）解：由题意知，顶点M(9,9)，E(18,0)，
可设该抛物线的函数表达式为y=a(x−9) 2+9，
∵抛物线过原点O(0,0)，
∴a(0−9) 2+9=0，
1
解得a=− ，
9
1 1
∴该抛物线的函数表达式为y=− (x−9) 2+9=− x2+2x；
9 9
1 1
（2）设点A的坐标为(m,− m2+2m)，则OB=m，AB=DC=− m2+2m，
9 9
根据抛物线的轴对称性质，可得OB=CE=m，
故BC=AD=18−2m，
1 1 2 2 9 2 45
∴ AB+AD+DC=− m2+2m+18−2m− m2 +2m=− m2+2m+18=− (m− ) + ，
9 9 9 9 2 2
2
∵− <0，
9
9 45
∴当OB=m= 米时，三根“光带”长度之和的最大值为 米．
2 2
9．（22-23九年级上·浙江湖州·期中）如图，要修建一条截面为抛物线型的隧道，线段OE表示水平的路
面，根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）请建立合适的平面直角坐标系，并求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上同一高度处安装照明灯（即在该抛物线上的点A，B处分别安装照明灯）．若
要求A，B处的照明灯水平距离为5m，求照明灯的高度．
【思路点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
把解析式设为顶点式，根据E(10,0)利用待定系数法求解即可；
（2）先根据题意得到点A到对称轴的距离，即可得到点A的横坐标，再求出点A的纵坐标即可得到答
案．
【解题过程】
（1）解：以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标
系．
由题意，得点E(10,0)，顶点P(5,9)，
设抛物线的函数表达式为y=a(x−5) 2+9，
把E(10,0)代入，得0=a(10−5) 2+9，
9
解得a=− ，
25
9
∴满足设计要求的抛物线的函数表达式为y=− (x−5) 2+9．
25
（2）解：∵点A，B在同一高度，
∴点A，B关于对称轴直线x=5对称，
∵A，B处的照明灯水平距离为5m，
5
∴可知点A距离对称轴 个单位长度，
2
5
∴点A的横坐标为 ，
2
在y=− 9 (x−5) 2+9中，当x= 5 时，y=− 9 (5 −5 ) 2 +9= 27
25 2 25 2 427
∴点A的纵坐标为 ，
4
27
即照明灯的高度为 m．
4
10．（2024·福建龙岩·模拟预测）上杭县东门大桥改建工程项目，于2023年列入上杭县“为民办实事”的
16个重点工程项目之一，该项目全长937.6米，桥梁全长290米，从稳定性角度考虑．通过桥梁专家设计
论证，桥梁部分按“中承式飞燕提蓝拱桥双向6车道”桥型方案设计．如下图，该“飞燕提蓝拱桥”设计
数据为55m+180m+55m，中间提篮拱桥部分形如抛物线，两桥墩间距（跨径）为180米，桥墩与桥头间
距为55米，桥面上方的桥拱与桥面用竖直的吊杆连接，吊杆间距5米，正常水位时（水刚好淹没桥墩），
桥面距离水面15米，拱顶距离水面60米．
（1）建立恰当的直角坐标系，求拱桥抛物线的解析式；
（2）请问每侧桥拱需要几条吊杆？（参考数据：❑√2≈1414.❑√3≈1.732,❑√5≈2.236）
【思路点拨】
该题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是理解题意．
（1）如图，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为x轴，建立直角坐标系．得出C(180,0)，
D(90,60)，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得出点F,G的纵坐标为15，结合（1）将y=15代入即可求出F(12.06,15),G(167.94,15)
，即可解答；
【解题过程】
（1）解：如图示，以其中一个桥墩为原点，正常水位水平面为x轴，建立直角坐标系．
则有另一桥墩C(180,0)，拱桥顶点D(90,60)，桥面FG，
设桥拱抛物线解析式为y=a(x−90) 2+60，1
把点C(180,0)坐标代入求得a=− ，
135
1
所以拱桥抛物线的解析式为y=− (x−90) 2+60．
135
（2）解：因桥面距离水面15米，所以点F,G的纵坐标为15，
1
当y=15时，15=− (x−90) 2+60，
135
解得x =90+45❑√3≈90+45×1.732=167.94，
1
x =90−45❑√3≈90−45×1.732=12.06，
2
所以，F(12.06,15),G(167.94,15)，
∴|FG)=167.94−12.06=155.88，
∵155.88÷5=31.176，
故单侧需32根吊杆．
11．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面CD与水面平行，在正常水位时桥下水
面宽OA为30米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到OC的水平距离和它到水面OA的距离都为5米．
（1）按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；
（2）求在正常水位时桥面CD距离水面的高度；
（3）一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货
箱最宽应为多少米？
【思路点拨】
（1）设抛物线表达式为y=ax2+bx，将点B(5,5)、A(30,0)代入得¿，计算求解，进而可得抛物线的表达
式．
1 6 1 1
（2）由题意知，y=− x2+ x=− (x−15) 2+9，由− <0，可知当x=15时，y取得最大值，最大
25 5 25 25
值为9，然后作答即可．
1 6
（3）当y=7时， − x2+ x=7，可求x =15+5❑√2，x =15−5❑√2，根据货箱最宽为
25 5 1 2，计算求解即可．
(15+5❑√2)−(15−5❑√2)
【解题过程】
（1）解：设抛物线表达式为y=ax2+bx，
将点B(5,5)、A(30,0)代入得¿，
解得¿
1 6
∴抛物线的表达式为y=− x2+ x．
25 5
1 6 1
（2）解：由题意知，y=− x2+ x=− (x−15) 2+9，
25 5 25
1
∵− <0，
25
∴当x=15时，y取得最大值，最大值为9．
∴在正常水位时桥面CD距离水面的高度为9米．
1 6
（3）解：根据题意，当y=7时， − x2+ x=7，
25 5
解得x =15+5❑√2，x =15−5❑√2，
1 2
∴货箱最宽为(15+5❑√2)−(15−5❑√2)=10❑√2（米）．
∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为10❑√2米．
12．（2024·贵州六盘水·一模）如图①，桐梓隧道位于遵义市桐梓县境内，是贵州省高速公路第一长隧
道．如图②是桐梓隧道的部分截面，图③是其截面简化示意图，由矩形ABCD和抛物线的一部分CED构
成，矩形ABCD的边AB=12m，AD=2m，抛物线的最高点E离地面8m．以AB的中点为原点、AB所在
直线为x轴．建立平面直角坐标系xOy．
（1）求抛物线的解析式，并注明自变量的取值范围；
（2）为了行驶安全，现要在隧道洞口处贴上黄黑立面标记．已知将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域，则贴黄黑立面标记的区域的面积为 m2；
（3）该隧道为单向双车道，且规定车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，并保持车辆顶部与
1
隧道有不少于 π的空隙，请利用二次函数的知识确定该隧道车辆的限制高度．
3
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）依据题意得，顶点E(0,8)，从而可设抛物线为y=ax2+8，又AB=12m，AD=2m，则D(6,2)，
−6≤x≤6，进而可得2=36a+8，求出a即可得解；
（2）依据题意，由贴黄黑立面标记的区域+抛物线CED面积=抛物线CED面积+矩形C′D′DC面积，从而
贴黄黑立面标记的区域的面积为1×12=12(m2 )，进而可以得解；
（3）依据题意，由车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，从而可令x=4，则
1 16 16 1
y=− ×42+8= ，又 − =5（米），故可以判断得解．
6 3 3 3
【解题过程】
（1）解：由题意得，顶点E(0,8)，
∴可设抛物线为y=ax2+8．
又∵AB=12m，AD=2m，
∴D(6,2)，−6≤x≤6．
∴2=36a+8．
1
∴a=− ．
6
1
∴所求抛物线的解析式为y=− x2+8(−6≤x≤6)；
6
（2）解：由题意，如图，
将该抛物线向上平移1m所扫过的区域即为贴黄黑立面标记的区域+抛物线CED面积=抛物线CED面积+矩形C′D′DC面积．
∴贴黄黑立面标记的区域的面积为1×12=12(m2 )．
故答案为：12；
（3）解：由题意，∵车辆必须在距离隧道边缘大于等于2m范围内行驶，
1 16
∴可令x=4，则y=− ×42+8= ．
6 3
16 1
又 − =5（米），
3 3
∴该隧道车辆的限制高度为5米．
13．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似看作拋物线，抛
物线解析式的二次项系数为−0.1．已知甲、乙两名学生拿绳的手间距为6.5米，距地面均为1米．
（1）请在图中建立直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
（2）现有一身高为1.75米的同学也想参加这个活动，请问他在跳绳时，头顶与用绳之间的最大竖直距离
为多少（假定当绳用到最高处时，学生双脚处于落地状态）；
（3）若参加跳绳的学生身高均为1.75米，为保证安全，要求相邻学生之间的安全距离不小于0.4米，问跳
绳时，甩绳内部最多可容纳多少名学生？
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握建立适当坐标系，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象
和性质，是解决问题的关键．
（1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，设抛物线的函数表达式为
y=−0.1x2+bx+c，代入(0,1)和(6.5,1)，求出b，c即可；
（2）求出y=−0.1x2+0.65x+1的最大值2.05625米，再减去1.75米，即可得到结果；
（3）解方程−0.1x2+0.65x+1=1.75，两根之差除以0.4，取结果的整数部分加1，即得．
【解题过程】
（1）以甲所在的地面为原点，地面所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，
设抛物线的函数表达式为y=−0.1x2+bx+c，
由题意可知，(0,1)和(6.5,1)都在该抛物线上，{ c=1 )
∴ ，
−0.1×6.52+6.5b+c=1
{b=0.65)
解得， ，
c=1
故抛物线的函数表达式为：y=−0.1x2+0.65x+1；
（2）∵y=−0.1x2+0.65x+1=−0.1(x−3.25) 2+2.05625，
∴当x=3.25时，y =2.05625，甩绳与地面最大距离为2.05625米，
最大值
∴2.05625−1.75=0.30625 (米)，
故他在跳绳时，头顶与甩绳之间的最大竖直距离为0.30625米；
（3）在y=−0.1x2+0.65x+1中，
令y=1.75，得−0.1x2+0.65x+1=1.75，
解得，x =5，x =1.5，
1 2
∴(5−1.5)÷0.4=8.75，
取8，得8+1=9，
故甩绳内部最多可容纳9名学生．
14．（2024九年级下·吉林·专题练习）根据以下素材，探索完成任务
如何设计拱桥上救生圈的悬挂方案？
图1是一座抛物线形拱桥，以抛物线两个水平最
低点连线为x轴，抛物线离地面的最高点的铅垂
素 线为y轴建立平面直角坐标系，如图2所示．
材
1
某时测得水面宽20m，拱顶离水面最大距离为
10m，抛物线拱形最高点与x轴的距离为5m．据
调查，该河段水位在此基础上再涨1m达到最高．
为方便救助溺水者，拟在图1的桥拱上方栏杆处
悬挂救生圈，如图3，救生圈悬挂点为了方便悬
素
挂，救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，且相
材
邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m．为美观，放
2
置后救生圈关于y轴成轴对称分布．（悬挂救生
圈的柱子大小忽略不计）
任
务 确定桥拱形状 根据图2，求抛物线的函数表达式．
1
任 拟定设计方案 求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一
务 个救生圈悬挂点的坐标．2
当水位达到最高时，上游个落水者顺流而下到达
任 抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥
务 探究救生绳长度 上任何一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者
3 身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽
略不计，结果保留整数）
问题解决
（1）任务1：确定桥拱形状
根据图2，求抛物线的函数表达式．
（2）任务2：拟定设计方案
求符合悬挂条件的救生圈个数，并求出最右侧一个救生圈悬挂点的坐标．
（3）任务3：探究救生绳长度
当水位达到最高时，上游一个落水者顺流而下到达抛物线拱形桥面的瞬间，若要确保救助者把拱桥上任何
一处悬挂点的救生圈抛出都能抛到落水者身边，求救生绳至少需要多长．（救生圈大小忽略不计，结果保
留整数）
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理：
1
（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为y=ax2+k(a≠0)，待定系数法求解得y=− x2+5．
20
1
（2）抛物线y=− x2+5，得与横轴交点F(−10,0)，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y
20
轴成轴对称，由(10−2)÷4=2，得桥面可挂6个．
（3）如图，当水位达到最高时，水位线为y=−4，当x=−10时，E(−10,1)，EN=5，MN=10，勾股
定理求得Rt△EMN中，EM=❑√EN2+M N2≈21m．
【解题过程】
（1）如图，知抛物线关于y轴对称，设解析式为y=ax2+k(a≠0)，抛物线经过(10,0)，(0,5)，得
{100a+k=0) { a=− 1 )
，解得 20
k=5
k=5
1
∴y=− x2+5．
201 1
（2）解：在y=− x2+5，当y=0，− x2+5=0，解得x=−10或x=10，
20 20
∴点F(−10,0)
如题，相邻两救生圈悬挂点的水平间距为4m，且关于y轴成轴对称，
∵ (10−2)÷4=2
∴左侧可挂3个，
由对称性只看右面，右面可挂3个，则此时最中间的两个救生圈的水平距离为10+10−4−4−4−4=4m
，符合题意，
∴桥面一共可以挂6个救生圈，最右侧位于点G上方1m处，即该点的坐标为(10,1)．
（3）解：如图，当水位达到最高时，水位线为y=−(10−5−1)=−4，
救生圈悬挂点距离抛物线拱面上方1m，当x=−10时，E(−10,1)，EN=1−(−4)=5m，MN=20m，
Rt△EMN中，EM=❑√EN2+M N2=❑√52+202=5❑√17≈21m，
∴绳长至少需21m．
15．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽
OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m．
（1）按如图所示的坐标系，求该桥拱OBA的函数表达式；
（2）要保证高2.26米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于0.3米），求小船的最大宽度是多少？
（3）如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数
图象．现将新函数图象向右平移m（m>0）个单位长度，使得平移后的函数图象在9≤x≤10之间，且y随
x的增大而减小，请直接写出m的取值范围．
【思路点拨】
（1）先求出顶点B的坐标，再根据待定系数法求解即可得解；
1 1
（2）二次函数的表达式y=− x2+2x中，令y=2.26+0.3=2.56得2.56=− x2+2x，求解该方程即可
4 4
得解；
（3）根据平移规律得到点O平移后的对应点为(m,0)，对称轴平移后的对称轴为x=4+m，点A平移后的
对应点为(8+m,0)，从而得m≤x≤4+m或x≥8+m上，满足y随x的增大而减小，解不等式组即可得解．
【解题过程】
（1）解：∵OA=8，且点A在x轴上，
∴A(8,0)，
0+8
根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线x= =4，
2
∴点B(4,4)，
设抛物线的解析式为y=a(x−4) 2+4，把原点(0,0)代入得
0=a(0−4) 2+4，
1
解得a=− ，
4
1 1
∴此二次函数的表达式y=− (x−4) 2+4=− x2+2x(0≤x≤8)．
4 4
1
（2）解：∵二次函数的表达式y=− x2+2x，
4
∴令y=2.26+0.3=2.56得：
1
2.56=− x2+2x，
4
解得：x =6.4，x =1.6，
1 2
∴小船的最大宽度为：6.4−1.6=4.8米．
（3）解：根据平移规律得到点O平移后的对应点为(m,0)，对称轴平移后的对称轴为x=4+m，点A平移后的对应点为(8+m,0)，根据图像性质，得到函数在m≤x≤4+m或x≥8+m上，满足y随x的增大而减
小，
{ m≤9 )
∴ 或8≤8+m≤9，
4+m≥10
解得6≤n≤9或00时，y随着x的
5
增大而减小，当p>0，根据题意列方程即可得到结论．
【解题过程】
（1）解：∵CO=5，AB=10，
∴C(0,5)，A(−5,0)，B(5,0)，
设抛物线的函数表达式为y=ax2+5，
把B(5,0)代入得25a+5=0，
1
解得a=− ，
5
1
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+5；
5
（2）解：∵四边形DEFG是矩形，
∴∠FEO=90°，
∵DE:EF=4:3，
∴设DE=4a，EF=3a，
∴F(2a,3a)，
1 1
把F(2a,3a)代入y=− x2+5得3a=− ×(2a) 2+5，
5 5
5
解得a= （负值舍去），
4
15
∴EF= ；
4
1
（3）解：∵a=− <0，对称轴为直线x=0，
5
∴当x<0时，y随着x的增大而增大，
当p<0，
∴当p≤x≤p+1时，y随着x的增大而增大，
1 1
∴函数的最大值y=− (p+1) 2+5，函数最小值y=− p2+5，
5 5∵函数的最大值与最小值的差为1，
1 1
− (p+1) 2+5+ p2−5=1，
5 5
∴p=−3；
当x>0时，y随着x的增大而减小，
当p>0，
∴当p≤x≤p+1时，y随着x的增大而减小，
1 1
∴函数的最小值y=− (p+1) 2+5，函数最小值y=− p2+5，
5 5
∵函数的最大值与最小值的差为1，
1 1
∴− p2+5+ (p+1) 2−5=1，
5 5
∴p=2，
综上所述，p的值为−3或2．
17．（2024·山东青岛·二模）某农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线
型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如
图1所示，其中支架DE=BC=3米，OF=DF=BD=2米，两种支架各用了200根．
为增加棚内空间，农场决定将图1中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化情况如图2所
示，调整后C与E上升相同的高度，其横截面顶部仍为抛物线型，若增加的支架单价为60元/米（接口忽
略不计），经费预算为40000元．
（1）分别以OB和OA所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的顶部抛物线的函数解析式；
②求出改造前大棚的最大高度；
（2）只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
【思路点拨】
本题主要考查了二次函数的应用．熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称性，一元一
次函数的增减性，是解题的关键．（1）①设改造前的函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据所建立的平面直角坐标系得到A(0,1)，
E(4,3)，C(6,3)，然后代入解析式得到关于a、b、c的方程组，求解即可；②把得到函数的解析式配
方，即可得到结论；
（2）求出G ( 2, 7) ，设改造后抛物线解析式为y =ax2+bx+1，根据对称轴x=− b =5，得到
3 2 2a
4
y =ax2−10ax+1，根据x=2时，求出 G'(2,−16a+1)，得到GG'=−16a− ．同理x=4时，得到
2 3
[ 4 )
CC'=EE'=−24a−2， 根据经费预算为40000元，得到 −16a− +(−24a−2) ×200×60≤40000
3
1 1
，解得a≥− ，根据CC'随a的增大而减小，得到a=− 时， CC' =2．
6 6 最大
【解题过程】
（1）①设改造前的抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，
由题意可知，A(0,1)，E(4,3)，C(6,3)在抛物线上，
{
c=1
)
∴ 16a+4b+c=3 ，
36a+6b+c=3
1
{a=−
)
12
解得， 5 ，
b=
6
c=1
1 5
∴y=− x2+ x+1．
12 6
1 5 1 37 1
②∵y=− x2+ x+1=− (x−5) 2+ ，− <0，0≤x≤6，
12 6 12 12 12
∴x=5时，
37
y = ．
最大 121 5 7
（2）y=− x2+ x+1中，当x=2时，y= ，
12 6 3
( 7)
∴G 2, ，
3
设改造后抛物线解析式为y =ax2+bx+1，
2
b
∵对称轴x=− =5，
2a
∴b=−10a，
∴y =ax2−10ax+1，
2
当x=2时，y =−16a+1，
2
∴G' (2,−16a+1)，
7 4
∴G'G=−16a+1− =−16a− ．
3 3
当x=4时，y =−24a+1，
2
∴E'(4,−24a+1)，
∵E(4,3)，
∴E'E=−24a+1−3=−24a−2．
∴CC'=−24a−2，
∵经费预算为40000元，[ 4 )
∴ −16a− +(−24a−2) ×200×60≤40000，
3
1
解得，a≥− ，
6
∵−24<0，
∴CC'随a的增大而减小，
1
∴a=− 时，CC'最大，CC' =2．
6 最大
答：CC'最大值是2米．
18．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）有一座横截面由矩形和抛物线构成的拱桥，抛物线上方是路面，抛
15
物线下方是水面，如图所示，并建立平面直角坐标系，已如水面宽OA是16m；当水面上升 m时，水面
8
宽减少了2m ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）一艘横截面为矩形的货船，最宽处为10m ，露出水面的高度为3.5m ，该货船能否正常通过这座拱
桥？请说明理由；
（3）现需要在拱桥的抛物线上点B处安装一个矩形BCDE灯带来美化桥面，点C在抛物线上且BC与水面
平行，D，E在路面上，路面到水面的垂直距离为10米．为了美观，点B距离水面不能低于7.5m，求矩形
BCDE灯带的周长l范围．
【思路点拨】
本题考查二次函数的图象及性质实际应用问题，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
15
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，当水面上升 m时，水面宽减少了2m，则抛物线经过
8
15 1
(1, )，又因为抛物线经过(0,0)，(16,0)，利用待定系数法求得该抛物线的解析式y=− x2+2x．
8 8
（2）因为抛物线拱桥的对称轴为x=8，船露出水面的高度为3.5m，故当水面与拱桥的距离不低于3.5米1
时，船能安全通过．当y=3.5时，− x2+2x=3.5，求得x的值，船的最宽处为10m，且14−2=12>10
8
，则该轮船能正常通过这座拱桥．
1 1
（3）将y=7.5代入y=− x2+2x中，得：7.5=− x2+2x， 求出点B的坐标为(6,7.5)，点C的坐标为
8 8
(10,7.5)，则EB的长为10−7.5=2.5 米，BC的长为10−6=4米，则矩形BCDE的周长
l=(2.5+4)×2=6.5×2=13（米），故此时矩形BCDE 的周长小于13米，再求出抛物线的顶点坐标为
(8,8)，则线段BE的长为10−8=2m，故矩形BCDE的周长大于4米，所以矩形灯带周长l的范围为：
4m10，
所以货船能正常通过拱桥；
（3）当点B距水面7.5m时，
如图，作直线y=7.5，与抛物线交于B、C 两点．
1
将y=7.5代入y=− x2+2x中，
8
1
得：7.5=− x2+2x，60=−x2+16x，x2−16x+60=0，
8
(x−6)(x−10)=0，
解得x =6，x =10，
1 2
即点B的坐标为(6,7.5)，
点C的坐标为(10,7.5)，
此时EB的长为10−7.5=2.5 米，
BC的长为10−6=4米，
则矩形BCDE的周长l=(2.5+4)×2=6.5×2=13（米)．点B距水面高于7.5m时：此时点B位于抛物线上BC部分，显然这时的矩形要比点B距水面7.5m时的矩形
小，故此时矩形BCDE 的周长小于13米．
当点B位于抛物线顶点位置时：此时不存在矩形ABCD，仅有线段BE，由(6,.7.5)和(10,7.5)可知
1
y=− x2+2x 的对称轴为直线x=(6+10)÷2=8，
8
1 1
将x=8代入y=− x2+2x，得y=− ×64+2×8=−8+16=8，
8 8
所以抛物线的顶点坐标为(8,8)，
因此当B在抛物线的顶点处时，线段BE的长为10−8=2m，故矩形BCDE的周长大于4米，
综上，矩形BCDE灯带的周长l的范围为：4
