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专题04 统计概率（解答题11种考点）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考法一 超几何模型
【例1-1】（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的
水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按
分成8组，得到如图所示的频率分布直方
图．
(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在 和 内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中
随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在 内的学员人数为 ，求 的分布列与
数学期望．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) ，
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由直方图可知 ，
解得 ．
因为 ，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在 内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为 ，则 ，
解得 ．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在 内的有4名，在 内的有8名．
由题意可知 的所有可能取值为 ．
， ，
， ，
，
则 的分布列为
0 1 2 3 4
【例1-2】（2023·河南新乡·统考三模）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒
子中4个球．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
(2)已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出 个球进行交换，记交
换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为 ．证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知，
甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率 ．
（2）当 时，X的取值可能是2，3，4，
且 ， ， ，
则 ．
当 时，X的取值可能是0，1，2，
且 ， ， ，
则 ．
故 ．
【例1-3】（2023·山东泰安·校考模拟预测）某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中
心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物
环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统
计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客
满意 不满意 满意 不满意
甲
顾客 不满意 满意 满意 满意
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】乙
顾客
满意 满意 满意 不满意
丙
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分 的数学期望．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列见解析，40
【解析】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，
可能的结果共有： （种）
三名顾客产生的反馈结果总共有： （种）
则 ，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
， ，
（3） 可能的取值为2、3、4、5、6
，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2 3 4 5 6
∵ ，∴ ．
【变式】
1.（2022·广东汕头·二模）袋中装着标有数字1，2，3，4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小
球被取出的可能性都相等．
（Ⅰ）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）用 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量 的分布列和数学期望．
【答案】（1） （2）
【解析】（I）“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为 ，
则 ．
（II）由题意 所有可能的取值为： ， ， ， .
；
；
；
．
所以随机变量 的分布列为
1 2 3 4
随机变量 的均值为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.（2023云南某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，
供全市所辖的 ， ， 三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种．
（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；
（2）记 ， ， 三个区选择的疫苗批号的中位数为 ，求 的分布列．
【答案】（1） ；
（2）随机变量 的分布列为：
1 2 3 4 5
【解析】（1）设三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同为事件 ，则 ．
（2） 的所有可能取值为1，2，3，4，5，则
， ， ，
， ．
所以随机变量 的分布列为：
1 2 3 4 5
3．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教
育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，
扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次
参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人
中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验．
(1)求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次支教活动中恰有两次被抽选到的概率；
(2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数 的分布列；
(3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)最有可能是1人，理由见解析
【解析】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到的概率为 ，
则三次抽取中，“甲”恰有两次被抽取到的概率为 ；
（2）X表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，X的可能取值有0，1，2．
； ； ．
所以分布列为：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
（3）设 表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数， 可能的取值有0，1，2，则有：
，
，
，
因为 ，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
考法二 二项分布
【例2】（2023·宁夏石嘴山·统考一模）人类命运共同体充分展现了中国的大国担当．在第75届联合国大
会上中国承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取
2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经
济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化．新能源汽车、电动
汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．为了解 两个品牌新能源电动汽
车的使用满意度，在某市对购买 两个品牌的用户各随机抽取了100名进行问卷调查，记录他们对A、B
两种品牌的满意度得分（满分100分），将数据分成6组：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)请通过频率分布直方图分别估计A、B两种电动汽车使用满意度的平均得分，并判断哪种品牌电动汽车
更受用户欢迎（同一组中的数据用该组中间的中点值作代表）；
(2)以样本频率估计概率，若使用满意度得分不低于70分说明用户对该品牌电动汽车较满意，现从该市使
用B品牌的用户中随机抽取5个人，用 表示对B品牌较满意的人数，求 的分布列及数学期望．
【答案】(1) ， 品牌电动汽车的满意度平均分分别为 ，B品牌电动汽车更受用户欢迎；
(2)分布列见解析， .
【解析】（1）设用户对 品牌电动汽车的满意度平均分为 ，则
，
设用户对 品牌电动汽车的的满意度平均分为 ，则
，
显然 ，
所以 品牌电动汽车更受用户欢迎．
（2）依题意，用户对 品牌电动汽车满意度不低于70分的频率为 ，
低于70分的频率为 ，
从该市使用 品牌的用户中随机抽取5个人，则 的所有可能取值为 ，则 ，
， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
， ，
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
数学期望 .
【变式】
1．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）学校组织A，B，C，D，E五位同学参加某大学的测试活动，
现有甲、乙两种不同的测试方案，每位同学随机选择其中的一种方案进行测试，选择甲方案测试合格的概
率为 ，选择乙方案测试合格的概率为 ，且每位同学测试的结果互不影响.
(1)若5位同学全选择甲方案，将测试合格的同学的人数记为X，求X的分布列及其方差；
(2)若测试合格的人数的期望值不小于3，求选择甲方案进行测试的同学的可能人数.
【答案】(1)分布列见详解； .
(2)
【解析】（1）由已知随机变量X的取值有 ,则 .
； ；
； ；
； .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
方差 .
（2）设选择甲方案测试的学生人数为 ，
则选择乙方案测试的学生人数为 ，并设通过甲方案测试合格的学生人数为 ，
通过乙方案测试合格的学生人数为 ，
当 时，此时所有学生均选择乙方案测试，则 ，
所以 ，不符合题意；
当 时，此时所有学生均选择甲方案测试，则 ，
所以 ，符合题意；
当 时， ， ，
所以 ，
又 ，
则 ，故当 时，符合题意.
综上，所以 .
所以当选择甲方案测试的学生人数为 时，测试合格的人数的均值不小于3.
2．（2023·北京密云·统考三模）为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随
机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在 之间，
进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户
居民，求他们月均用电量都不低于 的概率；
(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在 之间的用户数为 ，以频率估计概率，
求 的分布列和数学期望 ；
(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于 的居民用户
每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，
估计 应定为多少合适？（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列答案见解析，
(3)
【解析】（1）由频率分布直方图可知， 户居民中，第 组的居民户数为 ，
第 组的居民户数为 ，
从第 组、第 组中任取 户居民，他们月均用电量都不低于 的概率为 .
（2）该地区月均用电量在 之间的用户所占的频率为 ，
由题意可知， ，
所以， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
.
（3）前 个矩形的面积之和为 ，
设月均用电量的样本数据的第 百分位数为 ，则 ，
则 ，解得 ，
故 应定为 较为合适.
3．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，
凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他
都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根
据摸出球的颜色情况分别进行兑奖.将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况： ：1个红球1个白球，
：2个红球， ：2个白球， ：至少一个黄球.若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等
奖，二等奖，三等奖，不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率
(2)求顾客分别获一､二､三等奖时对应的概率；
(3)若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立.记中奖的人数为 ，求 的分布列和期望.
【答案】(1)
(2)顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为 、 、
(3)分布列答案见解析，
【解析】）设顾客第 次摸到红球为 ，
则 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由题意知， ， ，
， ，
因此，顾客分别获一､二､三等奖的概率分别为 、 、 ；
（3）由（2）可知，顾客抽奖一次获奖的概率为 ，
则 ，
所以 ， ，
， ，
则 分布列为：
1 2 3
数学期望 .
考法三 独立重复试验
【例3-1】（2023·河北沧州·校考三模）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，
第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中
有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁
观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为 ，乙、丙比赛乙胜概率为 ，丙、甲比赛丙胜
概率为 ，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件 ， ， ，则 ， ， 相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各胜1局为事件 ，则 ，
则 ，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为 .
（2）设甲、乙、丙第 局比赛获胜分别为事件 ， ， ， ，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件 ，则
，
，
，
，
，
，
所以 .
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .
【例3-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和
线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，
选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序 ，工序 .经过试验测得小李在这三道工序成功的概率
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】依次为 ， ， .现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金
额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技
术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位
技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【答案】(1) ；
(2) .
【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，
当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
故小李成功完成三道工序的概率为 ；
（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，
有如下几种情况：
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时 ，
；
两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时 ，
；
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时 ， ；
故 .
【变式】
1．（2023·福建龙岩·统考二模）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起体育运动和文化项目比
赛，经过角逐，甲、乙两人进入最后的决赛．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的人获
得该天胜利，此时该天比赛结束．若甲、乙两人中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天甲、
乙两人各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛甲获胜的概率为
，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求X的分布列及 ；
(2)记一共进行的比赛局数为Y，求 ．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)
【解析】（1）解： 可能取值为2，3．
所以 的分布列如下：
2 3
∴ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）前两天中每一天甲以2：0获胜的的概率均为 ；
乙以2：0获胜的的概率均为
甲以2：1获胜的的概率均为
乙以2：1获胜的的概率均为
∴
即获胜方前两天比分为 和 ，或者 和 再加附加赛
甲获胜的概率为 ，
乙获胜的概率为
∴
∴ ．
2．（2023·云南·校联考模拟预测）目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之
一.当前,中小学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节.已知某市 年共有
名考生参加了中小学教师资格考试的笔试,笔试成绩 ,只有笔试成绩高于 分的学生才
能进入面试环节.
(1)从报考中小学教师资格考试的考生中随机抽取 人,求这 人中至少有一人进入面试的概率;
(2)现有甲、乙、丙 名学生进入了面试,且他们通过面试的概率分别为 ,设这 名学生中通过面试的人
数为 ,求随机变量 的分布列和数学期望.
参考数据:若 ,则 , ,
, , .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)随机变量 的分布列见解析；期望为
【解析】（1）记“至少有一人进入面试”为事件 ,由已知得: ,
所以 ,
则 ,
即这 人中至少有一人进入面试的概率为 .
（2） 的可能取值为 ,
,
,
,
,
则随机变量 的分布列为：
, .
3．（2023·江西景德镇·统考三模）部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高
校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知 两所大学的笔试环节都设有三门考试科
目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考 大学，每门科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考 大学，每门科目达到优秀的概率依次为 ， ， ，其中 .
(1)若 ，分别求出该考生报考 两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决
策，该考生更有希望进入 大学的面试环节，求 的范围.
【答案】(1)报考 大学恰好有一门笔试科目优秀概率为 ；报考 大学恰好有一门笔试科目优秀概率为
(2)
【解析】（1）设该考生报考 大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，
则 ；
该考生报考 大学恰好有一门笔试科目优秀为事件 ，
则 .
（2）该考生报考 大学达到优秀科目的个数设为 ，则 ， ；
该考生报考 大学达到优秀科目的个数设为 ，则 所有可能的取值为 ，
；
；
；
；
随机变量 的分布列：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】；
该考生更有希望进入 大学的面试环节， ，即 ，
解得： ， 的范围为 .
考法四 正态分布
【例4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）2022年，随着最低工资标准提高，商品价
格上涨，每个家庭的日常消费也随着提高，某社会机构随机调查了200个家庭的日常消费金额并进行了统
计整理，得到数据如下表：
消费金额（千元）
人数 40 60 40 30 20 10
以频率估计概率，如果家庭消费金额可视为服从正态分布 ， 分别为这200个家庭消费金额的
平均数 及方差 （同一区间的花费用区间的中点值替代）．
(1)求 和 的值；
(2)试估计这200个家庭消费金额为 的概率（保留一位小数）；
(3)依据上面的统计结果，现要在10个家庭中随机抽取4个家庭进行更细致的消费调查，记消费金额为
的家庭个数为 ，求 的分布列及期望．
参考数据： ；
若随机变量 ，则 ， ，
.
【答案】(1)4.3；2.06
(2)0.8
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)分布列见解析，
【解析】（1）由题意得
（2）由（1）得
所以
.
（3）由题意知这10个家庭中消费金额在 范围内的有8个家庭，
故X的所有取值为2，3，4，
， ， ，
所以X的分布列为
X 2 3 4
P
所以 ．
【变式】
1．（2023·西藏日喀则·统考一模）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织
全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了
300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成 六组，并绘制
成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本的平均数，
经计算知 ．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在 内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在 内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3
人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在 内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
【答案】(1)
(2)估计该地区教职工中学习时间在 内的人数约为4093
(3)这3人中学习时间在 内的教职工平均人数约为1
【解析】（1）由题意得 ，
解得 ．
（2）由题意知样本的平均数为
，
所以 ．
又 ，所以
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，
所以估计该地区教职工中学习时间在 内的人数约为4093．
（3） 对应的频率比为 ，即为 ，
所以抽取的5人中学习时间在 内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在 内的人数为 ，
则 的所有可能取值为0，1，2，
， ， ，
所以 ．
则这3人中学习时间在 内的教职工平均人数约为1
考法五 条件概率与全概率
【例5】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的
次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工
的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
(3)参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
【答案】(1)0.0525
(2)
(3)第1，2台车床操作员应承担 ，第3台车床操作员应承担 .
【解析】（1）设 “任取一零件为次品”， “零件为第i台车床加工” ，
则 ，且 ， ， 两两互斥，根据题意得，
， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， ，
由全概率公式，得
；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件 发生的概率，
；
（3）根据（2）
，
，
故第1，2台车床操作员应承担 ，第3台车床操作员应承担 .
【变式】
1．（2023·福建泉州·统考模拟预测）泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之
路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至
少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古
厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若
只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡
景点情况相互独立.
(1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率；
(2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率.
【答案】(1)0.999
(2)
【解析】（1）设3人抽奖总次数为 ，则 的可能取值为3，4，5，6.
由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为 ，只打卡一个景点的概率为 ，随机抽取3
人，3人打卡景点情况相互独立.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点.
依题意可得， ，
所以 .
（2）记事件 “每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”，
则 “每位打卡十八景游客只打卡一个景点”，
事件 “一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”，
则 ， ， ， ，
由全概率公式得，
.
2．（2023·福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技
体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外
活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取 局 胜制，每局都是单打模式，每队有 名队
员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、
乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手 对乙队每名队员的胜率均为 ，甲队
其余 名队员对乙队每名队员的胜率均为 .（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终 获胜且种子选手 上场的概率；
(2)已知甲队 获得最终胜利，求种子选手 上场的概率.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：设事件 “种子选手 第 局上场” ，
事件 “甲队最终 获胜且种子选手 上场”.
由全概率公式知，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为每名队员上场顺序随机，故 ，
， ， .
所以 ，
所以甲队最终 获胜且种子选手 上场的概率为 .
（2）解：设事件 “种子选手 未上场”，事件 “甲队 获得胜利”，
， ， ，
，
因为 .
由（1）知 ，所以 .
所以，已知甲队 获得最终胜利，种子选手 上场的概率为 .
3．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金一代”的中国男足U23
代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术核心，来自沈阳的陈涛入选了奏事最佳阵容．
世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个阶段．小组赛中，参赛的32支代表队被分为8各小组，每个小组4
支球队，按照单循环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队捉对厮杀，败者淘汰胜者晋级，通
过4轮比赛决出最后的冠军．
(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分．小组赛阶段中国队与巴拿马、土
耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．
面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马对，根据赛前球探报告分析，中国队都有实力优势，可以近似认
为后两场比赛中国的获胜的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．设中国队三场小组赛
之后的总积分为随机变量X，求出其分布列和期望．
(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据表示，在所有陈涛出
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，在所有陈涛没有进球或者助攻的比赛中，
中国队赢得了其中20%的场次，陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助
攻．在本届比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．已知在
淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努力，仍然不敌强大的德国队，
遗憾告别世界杯．那么，若以过往的数据估计概率，请估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．
【答案】(1)分布列见解析，期望为 分；
(2) .
【解析】（1）依题意，随机变量 可取值为：3，4，5，6，7，9，
,
，
所以 的分布列为：
3 4 5 6 7 9
0.09 0.12 0.04 0.3 0.2 0.25
的期望为 分
（2）记事件 为陈涛取得进球或者助攻，则 为末进球且未助攻，则 ，
，
事件 为中国队获胜，则 ，
，
， ，
所以 ，即在中国队输给德国队的前提下，陈涛进球或助攻的概率为 .
考法六 统计案例
【例6-1】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】据，用最小二乘法得到电动汽车销量 （单位：万台）关于 （年份）的线性回归方程 ，
且销量 的方差为 ，年份 的方差为 ．
(1)求 与 的相关系数 ，并据此判断电动汽车销量 与年份 的线性相关性的强弱．
(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买电动汽
性别 购买非电动汽车 总计
车
男性 39 6 45
女性 30 15 45
总计 69 21 90
依据小概率值 的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？
(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中男
性的人数为 ，求 的分布列和数学期望．
①参考数据： ．
②参考公式：线性回归方程为 ，其中 ；
相关系数 ，若 ，则可判断 与 线性相关较强；
，其中 ．附表：
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)电动汽车销量 与年份 的线性相关性的较强；
(2)依据小概率值 的独立性检验，认为购买电动汽车与车主性别有关；
(3)分布列见解析，数学期望为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由 ，得 ，由 ，得 ，
因为线性回归方程 ，则 ，
即 ，
因此相关系数 ，
所以电动汽车销量 与年份 的线性相关性的较强.
（2）零假设 ：购买电动汽车与车主性别无关，
由表中数据得： ，
依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（3）按购买电动汽车的车主进行分层抽样，抽取的7人中男性有 人，女性有5人，
则 的可能值为 ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
的数学期望
【例6-2】（2023·广东广州·广州六中校考三模）随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国
新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新
能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月份的生产利润y（单位，百万
元）关于月份 的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．
月份 1 2 3 4 5 6
收入 （百万元） 6.8 8.6 16.1 19.6 28.1 40.0
(1)根据散点图判断， 与 （ ， ， ，d均为常数）哪一个更
适宜作为利润 关于月份 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于 的回归方程；
(3)该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞
等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞实验车的多车碰撞实验，测
得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞
实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为
0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率．
参考数据：
19.87 2.80 17.50 113.75 6.30
其中，设 ， ．
参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据 ，其回归直线 的斜率和截距
的最小二乘估计公式分别为 ， ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)选用 作为利润 关于月份 的回归方程更合适
(2)
(3)
【解析】（1）散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在 轴上的差距是增大的趋势．故选用
作为利润 关于月份 的回归方程更合适．
（2）由 ，取对数可得 ，设 ，所以 ，
， ， ， ，
所以 ，
，所以 ，
，即 ．
（3）设事件 为“实验车报废”，事件 为“只有一车碰撞实验车”，事件 为“恰有两车碰撞实验
车”，事件 为“三车碰撞实验车”，
则
由已知得 ，
利用全概率公式得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得
所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．
【变式】
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）跑腿服务是随即时物流发展出现的非标准化服务，省
时省力是消费者使用跑腿服务的主要目的，随着消费者即时需求和节约时间需求的提升，跑腿经济的发展
空间有望逐步扩大，某跑腿服务公司随机统计了800名不同年龄消费者每月的跑腿服务使用频率得到如下
频数分布表：
每月1次 50 40 40 90
每月2～4次 80 80 100 60
每月5～10次 60 75 56 47
每月10次以上 10 5 4 3
(1)若把年龄在 内的人称为青年，年龄在 内的人称为中年，每月使用跑腿服务低于5次的为使
用频率低，不低于5次的为使用频率高，补全下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为跑腿服务
的使用频率高低与年龄有关?
青
中年 合计
年
使用频率高
使用频率低
合计
(2)从样本中每月使用跑腿服务2～4次且年龄在 内的消费者中按照年龄段利用分层抽样的方法抽取8
人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 内的人数分别为X、Y，若 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】求 的分布列与数学期望.
参考公式： ，其中
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有；
(2)分布列见解析， .
【解析】（1）补全的 列联表如下：
青
中年 合计
年
使用频率高 150 110 260
使用频率低 250 290 540
合计 400 400 800
所以 ，
所以有99%的把握认为跑腿服务的使用频率高低与年龄有关.
（2）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 ， 内的人数分别为5，3，
依题意， 的所有可能取值分别为为1，3，
所以 ，
，
所以 的分布列为：
1 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】P
所以 的数学期望为 .
2．（2023·全国·模拟预测）某乡镇全面实施乡村振兴，大力发展特色产业——富硒水果．工作人员统计了
近8年富硒水果种植面积 （单位：百亩）与年销售额 （单位：千万元）的数据 ．经计
算得到如下处理后的统计量： ， ， ， ， ，
， ， ， ，其中
， ．
(1)根据以上数据，从相关系数的角度，判断 与 哪个适宜作为年销售额 关于种植面积
的回归方程类型（相关系数精确到0.01）．
(2)根据（1）的判断结果及相关数据，建立 关于 的回归方程（系数精确到0.01）．
(3)该乡镇计划年销售额不低于10亿元，请预测种植面积至少为多少亩．
附：相关系数 ，回归直线 的斜率与截距的最小二乘估计分别为
， ．
参考数据： ， ．
【答案】(1) 适宜作为年销售额 关于种植面积 的回归方程类型
(2)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)706亩
【解析】（1）若用 作为年销售额 关于种植面积 的回归方程类型，则设 ，则 ．
设 与 的相关系数为 ，则 ．
由 ， ，得 ，
则 ，所以 ．
若用 作为年销售额 关于种植面积 的回归方程类型，则 ．
设 ，则 ．
设 与 的相关系数为 ，则
．
因为 ，所以 适宜作为年销售额 关于种植面积 的回归方程类型．
（2） ．
由 ，得 ．
，
所以 关于 的线性方程为 ，则 关于 的回归方程为 ．
（3）由题意可知 ．整理，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
解得 或 （舍去），
故种植面积至少为706亩．
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指
标之一.某机场自2012年起采取相关策略优化各个服务环节，运行效率不断提升.以下是根据近10年年份数
与该机场飞往A地航班放行准点率 （ ）（单位：百分比）的统计数据所作的散点图及经过
初步处理后得到的一些统计量的值.
2017.5 80.4 1.5 40703145.0 1621254.2 27.7 1226.8
其中 ，
(1)根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关
于年份数x的经验回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并根据表中数据建立经验回归方程，
由此预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率.
(2)已知2023年该机场飞往A地､B地和其他地区的航班比例分别为0.2、0.2和0.6.若以（1）中的预测值作
为2023年该机场飞往A地航班放行准点率的估计值，且2023年该机场飞往B地及其他地区（不包含A、B
两地）航班放行准点率的估计值分别为 和 ，试解决以下问题：
（i）现从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；
（ii）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A地、B地、其他地区等三种情况中的哪种情
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】况的可能性最大，说明你的理由.
附：（1）对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估
计分别为 ，
参考数据： ， ， .
【答案】(1) 适宜，预测2023年该机场飞往A地的航班放行准点率
(2)（i）0.778；（ii）可判断该航班飞往其他地区的可能性最大，理由见解析
【解析】（1）由散点图判断 适宜作为该机场飞往A地航班放行准点率y关于年份数x
的经验回归方程类型.
令 ，先建立y关于t的线性回归方程.
由于 ，
，
该机场飞往A地航班放行准点率y关于t的线性回归方程为 ，
因此y关于年份数x的回归方程为
所以当 时，该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为
.
所以2023年该机场飞往A地航班放行准点率y的预报值为 .
（2）设 “该航班飞往A地”， “该航班飞往B地”， “该航班飞往其他地区”， “该
航班准点放行”，
则 ， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ， .
（i）由全概率公式得，
，
所以该航班准点放行的概率为0.778.
（ii） ，
，
，
因为 ，
所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大.
考法七 决策问题
【例7】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）新高考数学试卷中的多项选择题，给出的4个选项中有2个以上
选项是正确的，每一道题考生全部选对得5分. 对而不全得2分，选项中有错误得0分. 设一套数学试卷的
多选题中有2个选项正确的概率为 ，有3个选项正确的概率为 ，没有4个选项都正确的
（在本问题中认为其概率为0）. 在一次模拟考试中：
(1)小明可以确认一道多选题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题
得5分的概率为 ，求 ；
(2)小明可以确认另一道多选题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择. 小明有三种方案：①只选A
不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个，共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2
个，共选3个. 若 ，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？
【答案】(1)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)①
【解析】（1）记一道多选题“有2个选项正确”为事件 ，“有3个选项正确”为事件 ，“小明该题
得5分”为事件B，
则 ，求得 .
（2）若小明选择方案①，则小强的得分为2分.
若小明选择方案②，记小强该题得分为X，则 ，
且 ，
，
，
所以， ，
若小明选择方案③，记小强该题得分为Y，则 ，且
，
，
所以， ,
因为 ，所以小明应选择方案①.
【变式】
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 的
三个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭.主持人知道金蛋在哪个箱子里.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到 元奖金；若金蛋
不在此箱子里，抽奖人得到 元参与奖.无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人都重新随机放置金蛋，关闭三
个箱子，等待下一个抽奖人。
(1)求前 位抽奖人抽中金蛋人数 的分布列和方差；
(2)为了增加节目效果，改变游戏规则.当抽奖人选定编号后，主持人在剩下的两个箱子中打开一个空箱子.
与此同时，主持人也给抽奖人一个改变选择的机会.如果抽奖人改变选择后，抽到金蛋，奖金翻倍；否则，
取消参与奖.若仅从最终所获得的奖金考虑，抽奖人该如何抉择呢？
【答案】(1)分布列见解析；
(2)抽奖人应改变选择
【解析】（1）由题意知：抽中金蛋人数 服从于二项分布，即 ，
即 所有可能的取值为 ，
； ； ；
；
的分布列为：
中奖人数的方差 .
（2）若改变选择，记获得奖金数为 ，则 可能的取值为 ，
则 ， ，
改变选择时，获得奖金数的数学期望 ；
若不改变选择，记获得奖金数为 ，则 可能的取值为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ， ，
不改变选择时，获得奖金数的数学期望 ；
， 抽奖人应改变选择.
2．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，乙
获胜的概率为 ，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者
获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；
(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子
向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.
【答案】(1)
(2)方案二被选择的可能性更大，理由见解析
【解析】（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A
甲获胜事件A包含甲连胜两局记为 ；甲第一局负，第二、三局胜记为 ；甲第一局胜，第二局负、第三
局胜记为 且 互斥，且每局比赛相互独立.
则 ， ，
∴
所以甲获胜的概率为 .
（2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为 ，有36个样本点，为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
它们是等可能的，故这是个古典概型.
两点数之和不大于6的样本点有15个：
,
记事件C为“两点数之和不大于6”，所以 .
记事件D为“点数之和大于6”，所以 .
因为 ，所以方案二被选择的可能性更大。
3．（2023·江西九江·统考三模）人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧
生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标 ，当
时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，
则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件．
(1)若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量 的分布列和数学期
望：
(2)已知P ，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．
产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工
厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利
均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案．
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2) ，从工厂盈利的角度应选择方案一
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）由题意可知 的可能取值为1,2,3，
∴ξ的分布列如下：
1 2 3
P
．
∴ ．
（2）∵ 且 ，
∴ ．
∴这批产品的次品率为
设该工厂生产的这批产品有n件，记Y为这批产品的次品数量，则
若这批产品不检测，则该工厂的利润的期望为 ．
若选择方案一，
则该工厂的利润的期望为
令 ，解得 ．
若选择方案二，
假设抽样检测 件，则检测出的次品的期望为0.04m件，不检测的产品有 件，则该工厂的利
润的期望为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ，解得 ．
则 ，
∵ ，且 ，
∴ ．
∴ ，并从工厂盈利的角度应选择方案一、
考法八 数列与统计概率综合
【例8】（2023·山西晋中·统考三模）晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完
好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．
某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景
观的概率是 ，选择自然景观的概率为 ，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
(2)现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分
的概率为 ，求 ．
【答案】(1) ，
(2)
【解析】（1）由题可知 ，（或者列出分布列）
于是 ， ．
（2）法一：由题可知 ， ．
时， ，也即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 为常数数列，且 ，
∴ ，∴ 是以 为首项、 为公比的等比数列，
∴ ，∴ ．
法二：由题可知 ， ．
时， ，也即 ，
∴ 是以 为首项、 为公比的等比数列，
∴ ，
，
……
，
相加得： ，
∴ ,又 也满足，
所以 .
【变式】
1（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工
作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天（视作2个月）的
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】稳健型（不会亏损）理财方案.
方案一：年化率 ，且有 的可能只收回本金；
方案二：年化率 ，且有 的可能只收回本金；
已知老张对每期的投资本金固定（都为10万元），且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不
间断地进行下一期投资，并且他有 的可能选择另一种理财方案进行投资.
(1)设第i次投资（ ）选择方案一的概率为 ，求 ；
(2)求一年后老张可获得总利润的期望（精确到1元）.
注：若拿1千元进行5个月年化率为 的投资，则该次投资获利 元.
【答案】(1)
(2)2255元
【解析】（1）由题意知， ，
整理得， ，其中 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
即 ，那么 ；
（2）当某期选择方案一时，获利期望值为 元；
当某期选择方案二时，获利期望值为 元；
那么，在一年间，老张共投资了6次，获得的总利润的期望为
元，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即一年后老张可获得的利润的期望约为2255元.
2．（2023·湖南郴州·校联考二模）马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记
忆”的性质，即第 次状态的概率分布只跟第 次的状态有关，与第 次状态是“没有
任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子
中各任取一个球交换，重复进行 次操作后，记甲盒子中黑球个数为 ，甲盒中恰有1个黑球的
概率为 ，恰有2个黑球的概率为 .
(1)求 的分布列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)求 的期望.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)1
【解析】（1）（1）由题可知， 的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知：
; ; ，
故 的分布列如下表：
0 1 2
（2）由全概率公式可知：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即： ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
所以，数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，
即： .
（3）由全概率公式可得：
,
即： ,
又 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 .
3．（2023·河北邯郸·统考三模）邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”．为了让广大市民更
好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置 道题，参加比赛的选手从第一题开
始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为 ，
各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)记答题结束时答题个数为 ，当 时，若 ，求 的取值范围；
(2)（i）记答题结束时答对个数为 ，求 ；
（ii）当 时，求使 的 的最小值．
参考数据： ， .
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）9
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）根据题意， 可取1，2，3，
， ， ，
所以 ，
由 得 ，又 ，
所以 的取值范围是 .
（2）（ⅰ） ，其中 ， ，
所以 的数学期望为
，
设 ，
利用错位相减可得 ，
所以 .
另解：
.
（ⅱ）依题意， ，即 ，
即 ，
所以 ，又 ，故 的最小值为9.
考法九 统计概率与函数导数综合
【例9】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）适量的运动有助于增强自身体质，加快体内新陈代谢，有利于抵
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】御疾病．某社区组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知小李每次在罚球点投进的概率都为 ．
(1)若每次投篮相互独立，小李在罚球点连续投篮6次，恰好投进4次的概率为 ，求 的最大值点
；
(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每投进一次，奖励两盒鸡蛋，每次投篮相互
独立，每次在罚球点投进的概率都以（1）中确定的 作为p的值；规则二：连续投篮3次，每投进一次，
奖励四盒鸡蛋．第一次在罚球点投篮，投进的概率以（1）中确定的 作为p的值，若前次投进，则下一
次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退1米，投进概率变为上次投进概率
的一半．请分析小李应选哪种比赛规则对自己更有利．
【答案】(1)最大值点
(2)小李应选规则一参加比赛．
【解析】（1）由题意得则 ，
则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 在区间 内单调递增，当 时， ， 在区间
内单调递减，所以 的最大值点 ．
（2）若选规则一，记X为小李投进的次数，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6．
则 ，则 ，
记Y为小李所得鸡蛋的盒数，则 ， ．
若选规则二，记Z为小李投进的次数，则Z的所有可能取值为0，1，2，3．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】记小李第k次投进为事件 ，未投进为事件 ，
所以投进0次对应事件为 ，其概率为 ；
投进1次对应事件为 ，
其概率 ；
投进2次对应事件为 ，
其概率 ．
投进3次对应事件为 ，
其概率 ，
所以Z的分布列为
Z 0 1 2 3
P
所以 ；
记L为小李所得鸡蛋的盒数，则 ， ，
因为 ，所以小李应选规则一参加比赛．
【变式】
1．（2023·广东茂名·统考二模）春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.
某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过
近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 ，在社
交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为 ；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进
行复购的概率为 ，在社交媒体平台复购的概率为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为 ，若 ，试求 的分布列和期望；
(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为 ，当 取得最大值时， 为
何值？
(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，
在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的
广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第
（2）问所得 值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润
总额.
【答案】(1)分布列见解析；当 时，期望为1；当 时，期望为3；
(2)
(3)805500元
【解析】（1）由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为 ，复购的人数 满足二项分布，即
，
故 ,故 或 .
又知 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
①当 时,
的分布列为
0 1 2 3 4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时期望为 ，
② 时,
，
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
此时期望为
（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为 ，由题得, .
,
,
令 ,得 或1，
所以 时, ，函数 单调递增,当 时, ，函数 单调递减.
故当 取得最大值.
由 可得，此时 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（3）短视频平台: (元),
社交媒体平台: (元),
净利润总额: (元).
故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.
2．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）根据社会人口学研究发现，一个家庭有 个孩子的概
率模型为：
1 2 3 0
概率
其中 ， .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 且相互独立，事件 表示一个家庭有
个孩子 ，事件 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩
多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增
加等），是否存在 的值使得 ，请说明理由.
(2)若 ，求 ，并根据全概率公式 ，求 .
【答案】(1)不存在 的值使得 ，理由见解析
(2) ，
【解析】（1）不存在 的值使得 ，理由如下：
由题意得， ①，且 ②，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由②得到 ，将其代入①，整理得到 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
又 ，
故 无解，
所以不存在 的值使得
（2）若 ，则 ，解得 ，
， ， ，
由全概率公式可得 ，
因为 ， ，所以 .
3．（2023·安徽·校联考模拟预测）某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由
甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合
格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，
如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车.假设甲、乙、丙三名质检员
的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为 .
(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率 ；
(2)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前
后两轮检测的总费用为100元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为1万元，若300辆汽车全部参与
质量检测，实际费用是否会超出预算?
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)不会
【解析】（1）由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为 ，
每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为 ，
综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为
.
（2）设每辆汽车质量检测的费用为 元，则 的可能取值为60，100，
由题意知 ， ，
所以随机变量 的数学期望为
（元）， ，
令 ， ，
则 ，
所以当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 （元）.
所以此方案的最高费用为 （万元），
综上可知，实际费用估计不会超过预算.
考法十 最值问题
【例10-1】（2023·全国·镇海中学校联考模拟预测）某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、
12位教师一起参加社会实践活动.
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为 ，从学校全体男生中随机选取3人，记
为3人中身高不超过 的人数，以频率估计概率求 的分布列及数学期望；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有 个男生的
概率为 ，求使得 取得最大值的 的值.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 ；
(2) .
【解析】（1） 所有可能的取值为 ，且 .
；
；
；
.
故 的分布列为
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
所以 .
（2）设事件 为“被选出的人中恰好有 位男生”，
则30个人中剩下 个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为 ，
所以 .
所以 ，解得 .
所以 ，
故当 时， 最大.
【例10-2】（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩（单位：
分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.
(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）
(2)从竞赛成绩在 的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机
抽取3人，记竞赛成绩在 的学生人数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
(3)以样本的频率估计概率，从 随机抽取20名学生，用 表示这20名学生中恰有 名学生竞赛
成绩在 内的概率，其中 ．当 最大时，求 .
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3) 或
【解析】（1）由直方图可知成绩在 ， ， ， 的频率和为
，而成绩在 的频率为 ，
则抽取的100名学生成绩的中位数在 内，设中位数为x，则 ，
解得 ，所以该100名学生竞赛成绩的中位数约为 ；
（2）由频率分布直方图可得：竞赛成绩在 ， 两组的频率之比为 ，
则10人中竞赛成绩在 的人数为 人；在 的人数为 人；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则X所有可能的取值为0，1，2，3，
于是 ， ，
， ，
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
数学期望为 ；
（3）用频率估计概率，竞赛成绩在 内的概率 ，
则 ，
．
令 ，解得 ，
当且仅当 时取等号，即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 或 ， 最大.
【变式】
1．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）某学校有 两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的
选择一家餐厅用餐.如果第一天去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为0.6；如果第一天去 餐厅，那么
第二天去 餐厅的概率为0.8.
(1)计算王同学第二天去 餐厅用餐的概率；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)王同学某次在 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心， 种中式点心，王同学从这些点心
中选择3种点心，记选择西式点心的种数为 ，求 的最大值，并求此时 的值.
【答案】(1)0.7
(2) 或10时， 有最大值为
【解析】（1）设 “第一天去 餐厅用餐”， “第一天去 餐厅用餐”，
“第二天去A餐厅用餐”，
根据题意得 ，
由全概率公式，得： ，
所以，王同学第二天去A餐厅用餐的概率为0.7.
（2）由题意， 的可能取值有：0，1，2，3，
由超几何分布可知 ，
令 ，若 最大，则 ，
即 ，解得 ，
又∵ ， 所以 ，
易知当 和 时， 的值相等，
所以当 或10时， 有最大值为 ，
即当 的值为9或10时，使得 最大.
2．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加
各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20
分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2
局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得
第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18
局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2
分､1分的概率分别为 ， ， ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 ， .
(1)设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 ，每局是否赢
得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大
【解析】（1）记事件 表示第一局获得 分，事件 表示第二局获得 分，
这些事件相互独立，由条件知 的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
5 4 3 2
所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设小明每天赢得的局数为 ，则易知 ，
于是 .
假设赢得 局的概率最大，则据条件得 ，
即 ，
整理得 ，解之得 ，
又因为 ，所以 ，
因此在每天的20局四人赛中，小明赢得5局的比赛概率最大.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）网络直播带货作为一种新型的销售土特产的方式，受到社会各界的追捧.
湖北某地盛产夏橙，为帮助当地农民销售夏橙，当地政府邀请了甲、乙两名网红在某天通过直播带货销售
夏橙.现对某时间段100名观看直播后选择在甲、乙两名网红的直播间（以下简称甲直播间、乙直播间）购
买夏橙的情况进行调查（假定每人只在一个直播间购买夏橙），得到如下数据：
在直播间购买夏橙的情况
网民类
合计
型
在甲直播间购买 在乙直播间购买
男网民 50 5 55
女网民 30 15 45
合计 80 20 100
(1)依据小概率值 的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联？
(2)网民黄蓉上午、下午均从甲、乙两个直播间中选择其中一个购买夏橙，且上午在甲直播间购买夏橙的概
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】率为 .若上午选择在甲直播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ；若上午选择在乙直
播间购买夏橙，则下午选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，求黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率；
(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若共有50008名网民在甲、乙直播间购买夏橙，且网民选择在
甲、乙哪个直播间购买夏橙互不影响，记其中在甲直播间购买夏橙的网民人数为X，求使事件“ ”
的概率取最大值的k的值.
附： ，其中 .
0.1 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
【答案】(1)能
(2)
(3)40007
【解析】（1）提出零假设 ：网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别没有关联.
经计算得 ，
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买夏橙与性别有关联.
（2）记事件A：黄蓉上午在甲直播间购买夏橙，
事件B：黄蓉下午在乙直播间购买夏橙，
则 ， ， ，
由全概率公式可得 ，
所以黄蓉下午选择在乙直播间购买夏橙的概率为 .
（3）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为 ，
则 ，记 ， ，
则 ，
则问题等价于求当k取何值时 取最大值.
解法1：由 ，化简得 ，
即 ，所以 ，因 ，解得 ，
所以使事件“ ”的概率取最大值的k的值为40007.
解法2：因为 ， ，
所以当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，
所以 ，
且 ，
所以当 时， 取最大值，
即使事件“ ”的概率取最大值的k的值为40007.
考法十一 新情景统计概率
【例11】（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），
同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
良好
好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该
疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标
为R．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附 ，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii) ；
【解析】（1）由已知 ，
又 ， ，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以
所以 ，
(ii)
由已知 ， ，
又 ， ，
所以
【变式】
1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）现有4个除颜色外完全一样的小球和3个分别标有甲、
乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空盒）．
(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量 ，求 的数学期望；
(2)对于两个不互相独立的事件 ，若 ，称 为
事件 的相关系数．
①若 ，求证： ；
②若事件 盒子乙不空，事件 至少有两个盒子不空，求 ．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
【解析】（1）由题意可知， 的可能的取值为0,1,2,3,4，且 ，故 ；
（2）①因为 ，且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，即 ，而 ,
所以 成立.
②事件 ：盒子乙不空，则事件 ：盒子乙空，
由第1问可知 ，所以 ，
事件 ：至少有两个盒子不空，则事件 ：有一个盒子不空，
，所以
事件 ：至少有两个盒子不空且盒子乙不空，分为两种情况，一种是三个盒子都不空，按照1、1、2分
组；另一种是两个盒子不空且乙不空，此时甲或者丙是空的，故按照1、3或者2、2分组即可，
故 ,
所以 ，
化简得 .
2．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属
由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）
不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
设 为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有 ，
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期
望间的关系．当 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
设 的分布列为 其中 ，则对任意
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，其中符号 表示对所有满足 的
指标 所对应的 求和．
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量 的期望为 ，方差为 ，则对任意 ，均有
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为 ．现随机选择了100名患者，经过使用该
药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【答案】(1)证明见解析
(2)不可信
【解析】（1）法一：对非负离散型随机变量 及正数 使用马尔科夫不等式，
有 ．
法二：设 的分布列为
其中 ，记 ，则对任意 ，
.
（2）设在100名患者中治愈的人数为 ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下， ．
由切比雪夫不等式，有 ．
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
3．（2023·重庆·校联考三模）卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密
率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安
图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列： 且 ．如果能把
公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种
例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在 上，你每个单位时间可以向上走一格，
或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到 ，0≤n有多少
种不同的合法路径．记合法路径的总数为
(1)证明 是卡特兰数；
(2)求 的通项公式．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】（1）若先走到 则合法路径 ，
若先走到 且不走到 ，
相当于走到 后向右走到 再走到 ，
合法路径
若先走到 且不走到 ，
相当于走到 后再从 走到 ，
合法路径 ，
于是 ，即 为卡特兰数.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）记直线 ，则所有不合法路线都会与直线 有交点，
记第一个交点为 ，
将 之后的路径都沿着 对称，
那么这条不合法路径的终点成为了 ，
于是总路线为 ，不合法路线为 ，
合法路径为 ，
即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
