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专题02 数列（解答题12种考法）
1．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列 中， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
2．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 ．3（2023秋·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）在等差数列 中， ， ，数列 的
前 项和为 ，且 .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 .
4．（2023·四川成都·校联考二模）已知数列 是公差为2的等差数列，且 是 和 的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .5．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知数列 的前n项和为 ， ，且 ．
(1)证明：数列 为等比数列，并求其通项公式；
(2)若______，求数列 的前n项和 ．
从① ；② ；③ ，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并解
答问题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知数列 的首项 ，其前 项和
为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式 ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .7．（2023·广东汕头·统考三模）等差数列 和各项均为正数的等比数列 满足： ，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 是由数列 和 中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列 的前 项
和为 ，求 .
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ．9．（2023秋·天津河东·高三校考阶段练习）正项数列 的首项为3的等差数列，前 项和为 ，且
，正项数列 是首项为1的等比数列，且
(1)求 ；
(2)设 ，求数列 的前 项的和 ；
(3)设 ，求数列 的前 项的和 ．10．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知数列 中， ， 是 与9的等差中项，
记 为数列 的前 项和，满足 （ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求实数 的最小值.
11.（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考模拟预测）已知数列 满足 ．(1)证明 为等差数列，并 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
12．（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）已知各项均为正数的数列 满足 ，其中
是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若对任意 ，且当 时，总有 恒成立，求实数 的取值范围.
13．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）记 为数列 的前n项和，已知.
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)数列{ }满足 且 ， 的前n项和为 ，证明: .
14．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 和 满足： ， ，
（ 为常数，且 ）．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 的表达式．15．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求集合 中元素的个数.
16．（2023秋·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列的前 项和 .
(3)设 ，求数列 的前 项和 .
(4)记 的前 项和为 ，求证： ；17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列 为等差数列，且 ，
．
(1)求 的通项公式；
(2)数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
18．（2023·全国·统考高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．19．（2023·全国·统考高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
20．（2022·天津·统考高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．21．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知数列 与 的前 项和分别为 和 ，且对任意 ，
恒成立.
(1)若 ， ，求 ；
(2)若对任意 ，都有 及 恒成立，求正整数 的最小值.
22．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）已知数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 ，数列 的前n项和 ，求证： .
23．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）在某个周末，甲、乙、丙、丁四名同学相约打台球．
四人约定游戏规则：①每轮游戏均将四人分成两组，进行组内一对一对打；②第一轮甲乙对打、丙丁对打；
③每轮游戏结束后，两名优胜者组成优胜组在下一轮游戏中对打，同样的，两名失败者组成败者组在下一
轮游戏中对打；④每轮比赛均无平局出现．已知甲胜乙、乙胜丙、丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、乙胜丁
的概率均为 ，甲胜丁的概率为 ．
(1)设在前三轮比赛中，甲乙对打的次数为随机变量X，求X的数学期望；
(2)求在第10轮比赛中，甲丙对打的概率．
24．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和为 ，从① ；② ， ；③ 中任选一个条件作为已
知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和 ，求证： .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
25．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选择题有A，B，C，D这4个选项，4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的
得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否
为正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为 ，并且规定若第 题正确选项为
两个，则第 题正确选项为两个的概率为 ；第 题正确选项为三个，则第 题正确选
项为三个的概率为 .
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n题正确选项为两个的概率；
(3)若第n题只选择B、C两个选项，设Y表示第n题得分，求证： .26．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知等差数列 满足 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，其中 为数列 的前 项和.设 表示不超过 的最大正整数，求使
的最大正整数 的值.
27．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设 为数列 的前 项和，已知 ，且满足
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，当 时， ．若对于任意 ，有 ，求 的取值
范围．28．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知数列 的前 项和 满足 ，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
29．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）已知 是各项均为正数的数列， 为 的前n项
和，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前n项和 ．30．（2023·河北·统考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列 的前 项和 .（注：如果选
择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
① ；② ；③ .
