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课时跟踪检测（十三） 函数模型及其应用
1．有一组实验数据如下表所示：
t 1 2 3 4 5
s 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝log x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
a
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log x＋b(a>1)
a
解析：选C 由题表中数据可知，s随t的增大而增大且增长速度越来越快，A、D中的函
数的增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数在x>1时，y随x的增
大而增大，且增长速度越来越快．故选C.
2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400
台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间
关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log x＋100
2
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选
C.
3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市
这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B．
C. D．－1
解析：选D 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x
＝－1，故选D.
4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶
液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质
含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选CD 设经过n次过滤这种溶液的含量达到市场要求，则×n≤，即n≤，
两边取对数得nlg≤－lg 20，
即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥≈7.4，故选C、D.
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．
0
基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在
新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：
天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R ＝
0 0 03.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
解析：选B ∵R ＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
0
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t)＝2I(t)，即e0.38t2＝2e0.38t1，
2 1
∴e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t－t)＝ln 2≈0.69，
2 1
解得t－t≈1.8，故选B.
2 1
6．(2021·安徽淮北月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成
果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大
力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到
最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，
某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把
每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，若为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该16人再
次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测
可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合
检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分
为2组，选其中一组4人的样本混合检查……依此类推，最终从这16人中认定那名感染者需
要经过检测的次数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
解析：选B 先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认
定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分
为2组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在
本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分为2组，选其中一组2人的样本混
合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定
的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性，则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，
此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B.
7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与
两墙的距离分别是4 m和a m(00)，则y＝.当x＝10时，y＝＝2，所以m＝20.因为每月
1 1车载货物的运费y 与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y＝nx，当x
2 2
＝10时，y＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y＋y＝＋≥ 2 ＝8，当且仅当
2 1 2
＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.
11．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会
认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史，考古科学家在
测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的
质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N·2(N 表示碳14原有的质量)，则经过5 730
0 0
年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是
原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间．(参考数据：lg
2≈0.30，lg 7≈0.85，lg 3≈0.48)
解析：∵N＝N·2 ，∴当t＝5 730时，N＝N·2－1＝N.∴经过5 730年后，碳14的质量
0 0 0
变为原来的.
由题意可知2 >，
两边同时取以2为底的对数得，log 2 >log ，
2 2
∴>＝≈－1.2，∴t<6 876，
∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．
答案： 6 876
12．已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数
且a>0)，广告效应D＝a－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的
广告费应为________．(用常数a表示)
解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，最大为.
答案：
13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时
间t(小时)的关系为P＝Pe－kt，P 为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污
0 0
染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
解析：由题设可得(1－0.1)P＝Pe－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P＝Pe－
0 0 0 0
kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10.
答案：10
14.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个
矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚
占地面积为 S 平方米，其中 a∶b＝1∶2，若要使 S 最大，则 y＝
________.
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝
(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1
808－2 ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45.
答案：45
15．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度
x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当480时，y>5，不满足条件②，故该函数模型不符合公司要
求．
对于函数模型(ⅱ)y＝log x－2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①；
2
x＝100时，y ＝log 100－2＝2log 5<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②；
max 2 2
设h(x)＝log x－2－x，则h′(x)＝－，
2
又x∈[10,100]，所以≤≤，
所以h′(x)≤－<－＝0，
所以h(x)在[10,100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log 10－4<0，即f(x)≤恒成立，满
2
足条件③.
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log x－2符合公司要求．
2
