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课时跟踪检测（十三） 函数模型及其应用
1．有一组实验数据如下表所示：
t 1 2 3 4 5
s 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝log x(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
a
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝log x＋b(a>1)
a
解析：选C 由题表中数据可知，s随t的增大而增大且增长速度越来越快，A、D中的函
数的增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数在x>1时，y随x的增
大而增大，且增长速度越来越快．故选C.
2．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400
台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间
关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log x＋100
2
解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选
C.
3．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市
这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B．
C. D．－1
解析：选D 设年平均增长率为x，原生产总值为a，则a(1＋p)·(1＋q)＝a(1＋x)2，解得x
＝－1，故选D.
4．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶
液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质
含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选CD 设经过n次过滤这种溶液的含量达到市场要求，则×n≤，即n≤，
两边取对数得nlg≤－lg 20，
即n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，
得n≥≈7.4，故选C、D.
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．
0
基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在
新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：
天)的变化规律，指数增长率r与R ，T近似满足R ＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R ＝
0 0 03.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln
2≈0.69)( )
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
解析：选B ∵R ＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.
0
由题意，累计感染病例数增加1倍，
则I(t)＝2I(t)，即e0.38t2＝2e0.38t1，
2 1
∴e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t－t)＝ln 2≈0.69，
2 1
解得t－t≈1.8，故选B.
2 1
6．(2021·安徽淮北月考)华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成
果有“华氏定理”“华氏不等式”“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大
力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到
最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，
某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为一组，把
每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，若为阴性，则全部放行；若为阳性，则对该16人再
次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测
可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合
检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分
为2组，选其中一组4人的样本混合检查……依此类推，最终从这16人中认定那名感染者需
要经过检测的次数为( )
A．3 B．4
C．6 D．7
解析：选B 先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性，则认
定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测．继续把认定的这组的8人均分
为2组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在
本组，此时进行了2次检测．继续把认定的这组的4人均分为2组，选其中一组2人的样本混
合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测．选认定
的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性，则认定是另一个人；若为阳性，则认定为此人，
此时进行了4次检测．所以，最终从这16人中认定那名感染者需要经过4次检测．故选B.
7.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与
两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12)，不考虑树的粗细．现用 16
m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的
最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：
m2)的图象大致是( )解析：选B 设AD长为x，则CD长为16－x.
又因为要将P点围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.
则矩形ABCD的面积为x(16－x)．
当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64.
当8<a<12时，u＝a(16－a)．
所以u＝分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近．故选B.
8．某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，
按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月
的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( )
A．13立方米 B．14立方米
C．15立方米 D．16立方米
解析：选C 设该职工某月的实际用水为x立方米时，水费为y元，由题意得y＝即y＝
易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x－20＝55，解得x＝15，故选C.
9.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形ABCD，腰与底
边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横
断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，
外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5
米，则其腰长x的取值范围为( )
A．[2,4] B．[3,4]
C．[2,5] D．[3,5]
解析：选B 根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×＝BC＋x，h＝ x，所以9
＝(2BC＋x)x，得BC＝－，由得2≤x<6.所以y＝BC＋2x＝＋(2≤x<6)，由y＝＋≤10.5，解得
3≤x≤4.因为[3,4]⊆[2,6)，所以腰长x的取值范围为[3,4]．故选B.
10．成都市某物流公司为了配合“北改”项目顺利进行，决定把三环内的租用仓库搬迁
到北三环外重新租地建设．已知仓库每月占用费y 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载
1
货物的运费y 与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两
2
项费用y，y 分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(
1 2
)
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
解析：选A 设仓库应建在离车站x千米处．因为仓库每月占用费y 与仓库到车站的距
1
离成反比，所以令反比例系数为m(m>0)，则y＝.当x＝10时，y＝＝2，所以m＝20.因为每月
1 1车载货物的运费y 与仓库到车站的距离成正比，所以令正比例系数为n(n>0)，则y＝nx，当x
2 2
＝10时，y＝10n＝8，所以n＝.所以两项费用之和为y＝y＋y＝＋≥ 2 ＝8，当且仅当
2 1 2
＝，即x＝5时取等号．所以要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站5千米处．故选A.
11．中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会
认可，良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史，考古科学家在
测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的
质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N·2(N 表示碳14原有的质量)，则经过5 730
0 0
年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是
原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到________年之间．(参考数据：lg
2≈0.30，lg 7≈0.85，lg 3≈0.48)
解析：∵N＝N·2 ，∴当t＝5 730时，N＝N·2－1＝N.∴经过5 730年后，碳14的质量
0 0 0
变为原来的.
由题意可知2 >，
两边同时取以2为底的对数得，log 2 >log ，
2 2
∴>＝≈－1.2，∴t<6 876，
∴推测良渚古城存在的时期距今约在5 730年到6 876年之间．
答案： 6 876
12．已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数
且a>0)，广告效应D＝a－A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的
广告费应为________．(用常数a表示)
解析：由题意得D＝a－A＝－2＋，且A≥0，∴当＝，即A＝时，D最大，最大为.
答案：
13．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时
间t(小时)的关系为P＝Pe－kt，P 为过滤前的污染物数量．如果在前5小时消除了10%的污
0 0
染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．
解析：由题设可得(1－0.1)P＝Pe－5k，即0.9＝e－5k，故－5k＝ln 0.9；又(1－0.19)P＝Pe－
0 0 0 0
kt，即0.81＝e－kt，故－kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝－10k，故t＝10.
答案：10
14.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块，中间建三个
矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示)，大棚
占地面积为 S 平方米，其中 a∶b＝1∶2，若要使 S 最大，则 y＝
________.
解析：由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，S＝
(x－2)a＋(x－3)×b＝(3x－8)a＝(3x－8)×＝1 808－3x－y＝1 808－3x－×＝1 808－≤1
808－2 ＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40时取等号，所以当S取得最大值时，y＝＝45.
答案：45
15．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明： “活水围
网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度 v(单位：千克/年)是养殖密度
x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4<x≤20时，
v
是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
(1)当0<x≤20时，求函数
v
关于x的函数解析式；
(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最
大值．
解：(1)由题意得当0<x≤4时，
v
＝2；
当4<x≤20时，设
v
＝ax＋b，
显然
v
＝ax＋b在(4,20]内是减函数，
由已知得解得
所以
v
＝－x＋，故函数
v
＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得，f(x)＝
当0<x≤4时，f(x)为增函数，故f(x) ＝f(4)＝4×2＝8；
max
当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x) ＝f(10)＝12.5.
max
所以当x＝10时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立
方米．
16．某厂有一个容量300吨的水塔，每天从早六点到晚十点供应生活和生产用水，已知
该厂生活用水每小时10吨，生产用水总量W(吨)与时间t(单位：小时，规定早晨六点时t＝0)
的函数关系为W＝100，水塔的进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，
进水量增加10吨．若某天水塔原有水100吨，在供应时同时打开进水管，问该天进水量应选
择第几级，既能保证该厂用水(即水塔中水不空)，又不会使水溢出？
解：设水塔进水量选择第n级，在t时刻水塔中的水容量y等于水塔中的存水量100吨加
上进水量10nt吨，减去生活用水10t吨，再减去生产用水W＝100吨，
即y＝100＋10nt－10t－100(0<t≤16)．
若水塔中的水量既能保证该厂用水，又不会使水溢出，则一定有0<y≤300，即0<100＋
10nt－10t－100≤300，
所以－＋＋1<n≤＋＋1对一切t∈(0,16]恒成立．
因为－＋＋1＝－102＋≤，
＋＋1＝202－≥，所以<n≤，即n＝4.即进水量应选择第4级．
17．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是
[10,100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资
收益x(单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条
件；
(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y＝x＋1；(ⅱ)y＝log x－2.试分析这两个函数模型是否符
2
合公司要求．
解：(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10,100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10,100]时，f(x)≤5恒成立；
③当x∈[10,100]时，f(x)≤恒成立．
(2)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10,100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②，故该函数模型不符合公司要
求．
对于函数模型(ⅱ)y＝log x－2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①；
2
x＝100时，y ＝log 100－2＝2log 5<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②；
max 2 2
设h(x)＝log x－2－x，则h′(x)＝－，
2
又x∈[10,100]，所以≤≤，
所以h′(x)≤－<－＝0，
所以h(x)在[10,100]上是递减的，因此h(x)≤h(10)＝log 10－4<0，即f(x)≤恒成立，满
2
足条件③.
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log x－2符合公司要求．
2
