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课时跟踪检测（五十五） 随机事件的概率、古典概型
一、基础练——练手感熟练度
1．在下列六个事件中，随机事件的个数为( )
①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张
号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10
次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选A ①⑥是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．故选A.
2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.3，该同学的
身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.7 D．0.8
解析：选A 由题意得，身高超过175 cm的概率为P＝1－0.3－0.5＝0.2，故选A.
3．某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五选择三天参加活动，
那么甲连续三天参加活动的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 由题意，某单位安排甲去参加周一至周五的公益活动，需要从周一至周五
选择三天参加活动，共有10种不同的安排方式，其中甲连续三天参加活动的有：(周一、二、
三)，(周二、三、四)，(周三、四、五)，共有3种不同的方式，所以甲连续三天参加活动的概率为
P＝，故选A.
4．(多选)从1～20这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，
事件B表示选到的数能被3整除，则对下列事件概率描述正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(A∩B)＝
C．P(A∪B)＝ D．P(∩)＝
解析：选 ABD 依题意得样本空间的样本点，总数为 20，事件 A 的样本点包括
2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，共10个，所以P(A)＝＝，故A正确；事件A∩B表示的是这个数既
能被2整除也能被3整除，其样本点包括6,12,18，共3个，所以P(A∩B)＝，故B正确；事件
A∪ B 表 示 的 是 这 个 数 能 被 2 整 除 或 能 被 3 整 除 ， 其 样 本 点 包 括
2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20，共13个，所以P(A∪B)＝，故C错误；事件∩表示的是这个
数既不能被2整除也不能被3整除，其样本点包括1,5,7,11,13,17,19，共7个，故P(∩)＝，故D
正确，故选A、B、D.
5．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.141 592 6<π<3.141 592 7.为纪
念祖冲之在圆周率上的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某小学
教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字，整数部分3不变，那么得到的数大于3.14的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 选择数字的总的方法有5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不大于3.14的数
为3.11,3.12,3.14，所以得到的数大于3.14的概率为P＝1－＝.故选A.
二、综合练——练思维敏锐度
1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足
球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的
学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56%
C．46% D．42%
解析：选C 设事件A为喜欢足球，事件B为喜欢游泳，
则由题意可知P(A∪B)＝96%，P(A)＝60%，P(B)＝82%.
由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，可得P(A∩B)＝46%，
所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.
2．(2019·全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重
卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图
就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )
A. B．
C. D．
解析：选A 在所有重卦中随机取一重卦，其基本事件总数n＝26＝64，恰有3个阳爻的
基本事件数为CC＝20，所以在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的概率P＝
＝.
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概
率为.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为( )
A. B．
C. D．1
解析：选C 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事
件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)
＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为.
4．有3个不相识的人某天各自乘同一列火车外出，假设火车有10节车厢，那么至少有2
人在同一节车厢的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 因为“3人分别在3节车厢”的概率为P＝＝，从而由对立事件的概率可得所求概率为P＝1－＝，故选B.
5．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正
方形边长的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点，共有C＝10种情况，
满足两点间的距离不小于正方形边长的有C＝6种，故所求概率P＝＝.
6.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北
故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝丫不停
晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一
片兴高采烈之情跃然于绢素之上．甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个
舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每
人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不
模仿“扶”的概率是( )
A. B．
C. D．
解析：选B 依题意，基本事件的总数为A＝24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不
模仿“扶”，
①若甲模仿“扶”，则A包含1×A＝6个基本事件；
②若甲模仿“捡”或“顶”，则A包含2×2×A＝8个基本事件，
综上可知A包含6＋8＝14个基本事件，
所以P(A)＝＝，故选B.
7．著名的“3N＋1猜想”是指对于每一个正整数n，若n是偶数，则让它变成；若n是奇
数，则让它变成3n＋1.如此循环，最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换，
则变换次数为奇数的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 依题意知，5→16→8→4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→5→…，共进
行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由
以上可知，8变换共需要3次；9→28→14→7→…，共进行19次变换．故变换次数为奇数的概
率为.
8．(多选)已知m∈{1,2,3,4}，n∈{2,3,6,8}，设向量p＝(m，n)，且a＝(3,6)，b＝(2，
－1)，则下列结论正确的是( )
A．满足|p|＝的概率为
B．满足p与a共线的概率为
C．满足p⊥b的概率与p与a共线的概率相同
D．满足p·(a＋b)＝50的概率为解析：选BC 依题意，向量p＝(m，n)的所有基本事件如表所示：
p＝(m，n) 2 3 6 8
1 (1,2) (1,3) (1,6) (1,8)
2 (2,2) (2,3) (2,6) (2,8)
3 (3,2) (3,3) (3,6) (3,8)
4 (4,2) (4,3) (4,6) (4,8)
共16个．对于A，由|p|＝，得m2＋n2＝13，满足事件的基本事件只有(2,3)，(3,2)，则其概
率为P＝＝，故A错误；对于B，由p与a共线，得6m－3n＝0，即2m＝n，满足事件的基本事
件有(1,2)，(3,6)，(4,8)，则其概率为，故B正确；对于C，由p⊥b，得2m－n＝0，所以其概率为，
故C正确；对于D，由p·(a＋b)＝50，得5(m＋n)＝50，即m＋n＝10，满足事件的基本事件有
(2,8)，(4,6)，其概率为P＝＝，故D错误，故选B、C.
9．从1,2,3,4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为
________．
解 析 ： 从 1,2,3,4 中 选 取 两 个 不 同 的 数 字 组 成 的 所 有 两 位 数 为 ：
12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共计12个基本事件，其中能被3整除的有：12,21,24,42，
共有4个基本事件，所以这个两位数能被3整除的概率为P＝＝.
答案：
10．(2021·南宁一模)用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一
个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的
概率为______．
解析：5个格子用0与1两个数字随机填入共有25＝32种不同方法，从左到右数，不管数
到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数包含的基本事件有：①全是1，有1种方法；②第
一个格子是1，另外4个格子有一个0，有4种方法；③第一个格子是1，另外4个格子有2个
0，有5种方法，所以共有1＋4＋5＝10种基本方法，那么概率P＝＝.
答案：
11．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理
成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.
商品
甲 乙 丙 丁
顾客人数
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？
解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾
客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.
(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有
200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁
中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.
(3)与(1)同理，可得：
顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
12．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50
名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：
[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10
＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A ，A ，A ；受访职工中评
1 2 3
分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B ，B .从这5名受访职工中随机抽取2人，所
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有可能的结果共有10种，分别是{A ，A }，{A ，A }，{A ，B }，{A ，B }，{A ，A }，{A ，B }，{A ，
1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2
B }，{A ，B }，{A ，B }，{B ，B }．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B ，
2 3 1 3 2 1 2 1
B }，故所求的概率为.
2
13．在某大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服
务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率．
解：(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件E ，
A
则P(E )＝＝，
A
所以甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.
(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E，
则P(E)＝＝，
所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()＝1－P(E)＝.
(3)因为有两人同时参加A岗位服务的概率P ＝＝，所以仅有一人参加A岗位服务的概
2
率P＝1－P＝.
1 2
