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课时跟踪检测（五十二） 变量间的相关性与统计案
例
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：
℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x，y)(i＝1,2，…，20)
i i
得到下面的散点图：
由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温
度x的回归方程类型的是( )
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
解析：选D 用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的大致走向判断，此函数应该
是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y＝a＋bln x.
2．(多选)(2021·济宁模拟)下列说法正确的是( )
A．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B．某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报
并不科学
C．回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
D．在回归直线方程y＝0.1x＋10中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个
单位
解析：选CD 对A项，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表
示回归效果越好，故A错误；对B项，概率只说明事件发生的可能性，某次事件不一定发生，
所以并不能说明天气预报不科学，故B错误；对C项，在回归分析模型中，残差平方和越小，
说明模型的拟合效果越好，故C正确；对D项，在回归直线方程y＝0.1x＋10中，当解释变量
x每增加1个单位时，预报变量y增加0.1个单位，故D正确，故选C、D.
3．某模具厂采用了新工艺后，原材料支出费用x与销售额y(单位：万元)之间有如下数据，
由散点图可知，销售额y与原材料支出费用x有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y＝
bx＋48，则当原材料支出费用为40时，预估销售额为( )
x 10 15 20 25 30
y 110 125 160 185 220
A.252 B．268
C．272 D．288解析：选C 由题意得＝20，＝160，将点代入回归方程y＝bx＋48中，得b＝5.6，∴回归
方程为y＝5.6x＋48，∴当x＝40时，y＝272，故选C.
4．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某
机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
计算得，K2≈9.616.
参照下表，
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
0
k 3.841 6.635 10.828
0
下列结论正确的是( )
A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D．有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
解析：选C 因为K2≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别
有关”，故选C.
5．(多选)我国5G技术研发试验在2016～2018年进行，分为5G关键技术试验、5G技术
方案验证和5G系统验证三个阶段.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，
5G手机的销量也逐渐上升．某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：
2020年 2020年 2020年 2020年 2020年
月份
8月 9月 10月 11月 12月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y/部 50 96 a 185 227
若y与x线性相关，且求得线性回归方程为y＝45x＋5，则下列说法正确的是( )
A．a＝142
B．y与x正相关
C．y与x的相关系数为负数
D．2021年2月该手机商城的5G手机销量约为365部
解析：选AB ＝＝3，
＝＝，因为点(，)在回归直线上，所以＝45×3＋5，解得a＝142，所以选项A正确；
从表格数据看，y随x的增大而增大，所以y与x正相关，所以选项B正确；
因为y与x正相关，所以y与x的相关系数为正数，所以选项C错误；
2021年2月对应的月份编号x＝7，当x＝7时，y＝45×7＋5＝320，所以2021年2月该
手机商城的5G手机销量约为320部，所以选项D错误．故选A、B.
6．(多选)千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、厚度、颜色
等变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地
上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜
后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
夜晚天气
下雨 未下雨
日落云里走
出现 25 5
未出现 25 45
临界值表
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
并计算得到K2≈19.05，下列小波对地区A天气判断正确的是( )
A．夜晚下雨的概率约为
B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为
C．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关
D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨
解析：选D 由题意，把频率看作概率可得夜晚下雨的概率约为＝，故A判断正确；未出
现“日落云里走”，夜晚下雨的概率约为＝，故B判断正确；由K2≈19.05>10.828，根据临界
值表，可得有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故
C判断正确，D判断错误，故选D.
7．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入
x(单位：万元)和年教育支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关
关系，并由调查数据得到y与x的回归直线方程为y＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭
年收入每增加1万元，则年教育支出平均增加________万元．
解析：因为回归直线的斜率为0.15，所以家庭年收入每增加1万元，年教育支出平均增
加0.15万元．
答案：0.15
8．心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个
结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代
数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超
过________．
附表：
P(K2≥k) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
0
解析：由列联表计算K2的观测值k＝≈5.556>5.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025.
答案：0.025
9．(2021·甘肃兰州一诊)近五年来某草场羊只数量与草地植被指数两变量间的关系如表
所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 1 2 3 4 5
羊只数量/万只 1.4 0.9 0.75 0.6 0.3
草地植被指数 1.1 4.3 15.6 31.3 49.7
根据表及图得到以下判断：
①羊只数量与草地植被指数成减函数关系；
②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r，去掉第一年数据后得到的相关系
1
数为r，则|r|＜|r|；
2 1 2
③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草地植被指数．
以上判断中正确的个数是________．
解析：对于①，羊只数量与草地植被指数成负相关关系，不是减函数关系，所以①错误；
对于②，用这五组数据得到的两变量间的相关系数为r，因为第一年数据(1.4,1.1)是离群值，
1
去掉后得到的相关系数为r，其相关性更强，所以|r|＜|r|，②正确；对于③，利用回归直线方
2 1 2
程，不能准确得到当羊只数量为2万只时的草地植被指数，得到的只是预测值，所以③错误．
综上知，正确的判断序号是②，共1个．
答案：1
10．(2021·佛山质检)“学习强国”APP是由中宣部主管以习近平新时代中国特色社会
主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端＋手机客户端”两大终端二合一模式的学
习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某
两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表(1)所示：
表(1)
分数 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
人数 50 100 20 30
(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机
选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；
(2)为了调查“学习强国”APP得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取
了机关事业单位党员以及国有企业党员作出调查，得到的数据如表所示：
表(2)
机关事业单位党员 国有企业党员
分数超过80 220 150
分数不超过80 80 50
判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001
0
k 2.706 3.841 6.635 10.828
0
解：(1)由题意得，分数在上抽取2人，记为a，b；分数在上抽取3人，记为A，B，C.
选取2人作为学习小组长的基本事件有10个，即(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，
B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，其中两位小组长的分数都在上的有(A，B)，(A，C)，(B，C)共
3个基本事件，∴所求概率P＝.
(2)完善表格如下：
机关事业单位党员 国有企业党员 总计
分数超过80 220 150 370
分数不超过80 80 50 130
总计 300 200 500
K2＝≈0.173<6.635，
故没有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．
11．一汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销售量之间的关
系进行分析研究并做了记录，得到如下资料：
日期 第一年 第二年 第三年 第四年
优惠金额x/千元 10 11 13 12
销售量y/辆 22 24 31 27
(1)求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)若第5年优惠金额8.5千元，估计第5年的销售量y(辆)的值．
参考公式：b＝，a＝－b.
解：(1)由题中数据可得＝11.5，＝26，∑xy＝1 211，
i i
∑x＝534，
∴b＝＝＝＝3，
故a＝－b＝26－3×11.5＝－8.5，
∴y关于x的线性回归方程为y＝3x－8.5.
(2)由(1)得，当x＝8.5时，y＝17，
∴第5年优惠金额为8.5千元时，销售量估计为17辆．
二、自选练——练高考区分度
某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销
售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x和年销售量y(i＝1，
i i
2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(x
i
－)· (wi －)·
(x
i
－)2 (wi －)2
(y－)
i (y－)
i
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中 wi ＝，＝ i .
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的
回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.
根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u
1
，
v1
)，(u
2
，
v2
)，…，(u
n
，
vn
)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的
最小二乘估计分别为
β＝，α＝－β.解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类
型．
(2)令
w
＝，先建立y关于
w
的线性回归方程，由于
d＝＝＝68，
c＝－d＝563－68×6.8＝100.6.
所以y关于
w
的线性回归方程为y＝100.6＋68w ，
因此y关于x的回归方程为y＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，
年销售量y的预报值y＝100.6＋68＝576.6，
年利润z的预报值z＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，z取得最大值，
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
