文档文本内容
课时跟踪检测（二十二） 三角恒等变换
一、基础练——练手感熟练度
1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )
A．1 B．
C. D．－
解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝
sin(45°－15°)＝sin 30°＝.
2．已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由二倍角公式可知4sin αcos α＝2cos2α.
∵α∈，∴cos α≠0，sin α>0，
∴2sin α＝cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin α＝.故选B.
3．(2021·苏州模拟)若cos＝－，则cos＋cos α＝( )
A．－ B．±
C．－1 D．±1
解析：选C cos＋cos α＝cos α＋sin α＋cos α＝cos α＋sin α＝ cos＝－1.
4．tan 18°＋tan 12°＋tan 18°tan 12°＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝＝，∴tan 18°＋tan 12°＝(1－tan 18°tan 12°)，
∴原式＝.
5．若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选C 由3cos 2α＝sin，可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，又由α∈，可知cos α
－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.
6．已知sin＝，α∈，则cos的值为________．
解析：由已知得cos α＝，sin α＝－，
所以cos＝cos α＋sin α＝－.
答案：－
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知sin＝cos，则tan α＝( )
A．1 B．－1
C. D．0解析：选B ∵sin＝cos，
∴cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝cos α，
∴tan α＝＝－1.
2．(多选)下列各式中，值为的是( )
A. B．tan 15°cos215°
C.cos2－sin2 D．
解析：选ACD ∵＝tan 45°＝，
tan 15°·cos215°＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，
cos2－sin2＝cos ＝，
＝sin 30°＝，∴选A、C、D.
3．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则的值为( )
A．5 B．－1
C．6 D．
解析：选A 由题意知sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝5，即＝5.故选A.
4．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B ∵sin θ＋sin＝sin θ＋cos θ＝sin＝1，∴sin＝.故选B.
5．(2021·辽宁八校联考)已知cos＝3sin，则tan＝( )
A．4－2 B．2－4
C．4－4 D．4－4
解析：选B 由题意可得－sin α＝－3sin，
即sin＝3sin，
sinα＋·cos －cossin ＝3sincos ＋3cossin ，
整理可得tan＝－2tan ＝－2tan＝－2×＝2－4.
故选B.
6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有
两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金
矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底
与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个
顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五
角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据
这些信息，可得sin 234°＝( )
A. B．－C．－ D．－
解析：选C 由图可知，∠ACB＝72°，
且cos 72°＝＝，
∴cos 144°＝2cos272°－1＝－.
则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－.
7．设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选C 利用辅助角公式可得f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x－φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.
当函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值时，θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)，则
cos θ＝cos＝－sin φ＝－(k∈Z)．故选C.
8．设0°<α<90°，若sin(75°＋2α)＝－，则sin(15°＋α)·sin(75°－α)＝( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选B 因为0°<α<90°，所以75°<75°＋2α<255°.又因为sin(75°＋2α)＝－<0，所以
180°<75°＋2α<255°，角 75°＋2α为第三象限角，所以 cos(75°＋2α)＝－.所以 sin(15°＋
α)sin(75°－α)＝sin(15°＋α)cos(15°＋α)＝sin(30°＋2α)＝sin[(75°＋2α)－45°]＝[sin(75°＋
2α)·cos 45°－cos(75°＋2α)sin 45°]＝×－×＋×＝.故选B.
9．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是( )
A. B．
C.或 D．或
解析：选A ∵α∈，∴2α∈，
∵sin 2α＝>0，∴2α∈，
∴α∈且cos 2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
10．化简：－＝________.
解析：－＝
＝＝＝4.
答案：4
11．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，则cos(α＋β)＝________.
解析：∵α∈，∴－α∈，又cos＝，∴sin＝－.
∵sin＝－，∴sin＝.
又∵β∈，∴＋β∈，
∴cos＝，
∴cos(α＋β)＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×－×＝－.
答案：－
12．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝
________.
解析：依题意有
∴tan(α＋β)＝＝＝1.
又
∴tan α<0且tan β<0，
∴－<α<0且－<β<0，
即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.
答案：－
13．已知A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，则cos＝________.
解析：因为A，B均为锐角，cos(A＋B)＝－，cos＝－，
所以<A＋B<π，<B＋<，所以sin(A＋B)＝＝，
sin＝ ＝.
所以cos＝cos＝－ ×＋×＝.
答案：
14．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x)＝，x∈，求cos 2x 的值．
0 0 0
解：(1)由f(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋1，
得f(x)＝(2sin xcos x)－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
∴函数f(x)的最小正周期为π.
易知f(x)＝2sin在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又f(0)＝－1，f＝2，f＝－1，
∴函数f(x)在上的最大值为2，最小值为－1.
(2)∵2sin＝，∴sin＝.
又x∈，∴2x－∈，
0 0∴cos＝.
∴cos 2x＝cos
0
＝coscos－sinsin
＝×－×＝.
15．持续高温使某市多地出现干旱，城市用水紧张，为了宣传节约用水，某人准备在一片
扇形区域(如图1)上按照图2的方式放置一块矩形ABCD区域宣传节约用水，其中顶点B，C
在半径ON上，顶点A在半径OM上，顶点D在 上，∠MON＝，ON＝OM＝10 m，设
∠DON＝θ，矩形ABCD的面积为S.
(1)用含θ的式子表示DC，OB的长；
(2)若此人布置1 m2的宣传区域需要花费40元，试将S表示为θ的函数，并求布置此矩
形宣传栏最多要花费多少元钱？
解：(1)在△ODC中，DC＝10sin θ，
在△OAB中，OB＝＝10sin θ.
(2)在△ODC中OC＝10cos θ，
从而S＝BC×CD＝100(cos θsin θ－sin2θ)
＝100
＝100
＝100sin－50，0<θ<，
当2θ＋＝，即θ＝时，S取得最大值100－50≈13.4，
所以布置此矩形宣传栏最多要花费13.4×40＝536元．
