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课时跟踪检测（二十三） 三角函数图象与性质的综
合问题
一、综合练——练思维敏锐度
1．已知函数y＝sin在[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B 函数y＝sin的周期T＝6，当x＝0时，y＝，当x＝1时，y＝1，所以函数y＝
sin在[0，t]上至少取得2次最大值，有t－1≥T，即t≥7，所以正整数t的最小值为7.故选B.
2．已知函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，
若|a－b|的最小值是1，则f＝( )
A．2 B．－2
C. D．－
解析：选B 因为函数f(x)＝4cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，
所以φ＝，所以f(x)＝－4sin ωx，又A(a,0)，B(b,0)是其图象上两点，且|a－b|的最小值是1，所
以函数f(x)的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f(x)＝－4sin πx，所以f＝－4sin ＝－2.故选
B.
3．(2021·武昌调研)已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，
则ω的最小值是( )
A．3 B．
C. D．
解析：选A 将f(x)的图象向右平移个单位后所得到的图象对应的函数解析式为y＝2sin
－1＝2sin－1，由题意知＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝3k(k∈Z)，因为ω>0，所以ω的最小值为3.故
选A.
4．若函数f(x)＝sin x＋cos x在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，则函数g(x)
＝cos x－sin x在区间[a，b]上( )
A．是增函数 B．是减函数
C．可以取得最大值2 D．可以取得最小值－2
解析：选D f(x)＝2sin，g(x)＝2cos＝2sin，
则g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位得到的．
f(x)在区间[a，b]上是减函数，且f(a)＝2，f(b)＝－2，
令x＋＝t，则可取t∈，
将y＝2sin t的图象向左平移个单位，即个周期，
可得g(t)＝2sin的图象．
g(t)在t∈时的最小值为－2，
即g(t)可以取得最小值－2.故选D.5．直线y＝a与函数f(x)＝tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为2π，若f(x)在(－m，
m)(m>0)上是增函数，则m的取值范围是( )
A. B．
C. D．
解析：选B ∵直线y＝a与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离是一个周期，
∴ω＝，∴f(x)＝tan.
由kπ－0)的一个最大值点和
一个最小值点，那么m的取值范围是( )
A．[2，＋∞) B．
C. D．
解析：选D 化简f(x)＝2sin2－cos(x＋)得f(x)＝2sin＋1，所以，函数f(x)靠近圆心(0,1)的
最大值点为，最小值点为，
所以只需
解得m≥.故选D.
8．设函数f(x)＝sin(2x＋)，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x，x，x(x0,0<φ<π)的图象经过点和，当x∈时，方程f(x)＝2a－
有两个不等的实根，则实数a的取值范围是________．
解析：∵点在函数图象上，∴Asin [2×＋φ]＝0.∵0<φ<π，∴φ＝.又点在函数图象上，
∴Asin＝，∴A＝，∴f(x)＝sin(2x＋).∵x∈，∴2x＋∈，当方程f(x)＝2a－有两个不等的实根
时，函数y＝f(x)的图象与直线y＝2a－有两个不同的交点，由图象可知≤2a－<，∴≤a<.
答案：
10．已知定义在R上的函数f(x)，恒有f＝f，当x∈[0，π)时，f(x)＝ sin x．若
∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)<4，则a的取值集合为________．
解析：由f＝f得f(x)＝f(x＋π)，
则函数f(x)＝
易知当x∈(－∞，0)时f(x)≤.
由x∈[0，π)上的图象可先作出[0,4π)上的图象，如图．
当3π≤x＜4π时，
由f(x)＝4得
8sin(x－3π)＝4，
∴sin(x－3π)＝，
解得x＝π，x＝π.
1 2
要使∀x∈(－∞，a]，恒有f(x)＜4，
则根据图象知a的取值范围为.
答案：
11．已知函数f(x)＝a(2cos2＋sin x)＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
解：已知函数f(x)＝a(1＋cos x＋sin x)＋b＝asin＋a＋b.
(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为[2kπ＋，2kπ＋] (k∈Z)．
(2)∵0≤x≤π，∴≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，得∴a＝3－3，b＝5；
②当a<0时，得∴a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.
12．已知函数f(x)＝1＋cos 2x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)若方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝1＋cos 2x－2sin2
＝cos 2x＋cos＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
∴最小正周期T＝＝π.
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2)由题意知，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点．
由(1)知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x) ＝f＝－2，又f＝1，f(π)＝，
min
∴当－2＜m≤1时，函数y＝f(x)在区间上的图象与直线y＝m有两个不同的交点，
即方程f(x)－m＝0在区间上有两个不同的实数解．
∴实数m的取值范围为(－2,1]．
二、自选练——练高考区分度
1.如图是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 图象的一部分，对任意的 x ，
1
x∈[a，b]，且x≠x，若f(x)＝f(x)，有f(x＋x)＝1，则φ的值为(
2 1 2 1 2 1 2
)
A. B．
C. D．
解析：选B 由题图可得A＝2，x，x 关于函数f(x)图象的对称轴对称，即直线x＝是f(x)
1 2
图象的一条对称轴，且f＝2，可得2sinω＋φ＝2，可得ω＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，①
∵f(x＋x)＝1，∴2sin[ω(x＋x )＋φ]＝1，
1 2 1 2可得ω(x＋x)＋φ＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)，②
1 2
令k＝0，由①②得φ＝或，
∵|φ|<，∴φ＝.
2．已知函数f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos x·cos在上单调递增．若f≤m恒成立，则实
数m的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(1－2cos2x)sin－2sin xcos x·cos＝－cos 2x(－cos θ)－ sin 2xsin θ＝
cos(2x＋θ)，当x∈时，－＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，∴由函数递增知解得－≤θ≤.∵f＝cos，0≤＋
θ≤，
∴f≤1.∵f≤m恒成立，∴m≥1.
答案：[1，＋∞)
3．已知函数f(x)＝sin－cos ωx (ω＞0)．若函数f(x)的图象关于直线x＝2π对称，且在区
间上是单调函数，则ω的取值集合为________．
解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，
因为f(x)的图象关于直线x＝2π对称，
所以f(2π)＝±1，
则2πω－＝kπ＋(k∈Z)，
所以ω＝＋(k∈Z)．
因为函数f(x)在区间上是单调函数，
所以最小正周期T≥2，
即≥π，解得0＜ω≤2，
所以ω＝或ω＝或ω＝或ω＝.
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上为增函数；
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上为增函数；
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上为增函数；
当ω＝时，f(x)＝sin，
x∈时，x－∈，
此时f(x)在区间上不是单调函数．
综上，ω∈.
答案：
4．已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx(ω>0)，周期是.(1)求f(x)的解析式以及x∈时f(x)的值域；
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移个单位，最后将整个函
数图象向上平移个单位后得到函数g(x)的图象，若|g(x)－m|<2成立的充分条件是≤x≤ π，
求m的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx
＝sin 2ωx－(1＋cos 2ωx)
＝sin－.
由T＝＝，解得ω＝2.
∴函数f(x)＝sin－.
∵0≤x≤，∴－≤4x－≤π，
结合函数y＝sin－的图象及性质得，
－≤sin≤1，∴－1≤sin－≤，
即函数f(x)在上的值域是.
(2)依题意g(x)＝sin＋1.
∵|g(x)－m|<2，∴g(x)－2
