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课时跟踪检测（二十五）平面向量的概念及线性运算
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要
条件是( )
A．a∥b B．θ＝0
C．a＝2b D．θ＝π
解析：选BC ＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝
2b，则a与b同向共线，故C正确．
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( )
A．AD B．AD
C.BC D．BC
解析：选A 由题意得EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.
3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析：选B 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正
确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于
D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
4.如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝( )
A．0 B．BE
C．AD D．CF
解析：选D 由题图知BA＋CD＋EF＝BA＋AF＋CB＝CB＋BF＝CF.
5．在△ABC中，O为△ABC的重心，若BO＝λAB＋μAC，则λ－2μ＝( )
A．－ B．－1
C. D．－
解析：选D 如图，延长BO交AC于点M，∵点O为△ABC的重心，
∴M是AC的中点，
∴BO＝BM＝
＝BA＋BC＝－AB＋(AC－AB)
＝－AB＋AC，
又BO＝λAB＋μAC，∴λ＝－，μ＝，
∴λ－2μ＝－，故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．已知两个非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b与n＝2a＋λb共线，则实数λ的
值为( )A．5 B．3
C. D．2
解析：选C ∵a，b是非零向量，且互相垂直，
∴4a＋5b≠0，m≠0.
∵m，n共线，∴n＝μm，即2a＋λb＝μ(4a＋5b)，
∴解得λ＝.
2．设平面向量a，b不共线，若AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则( )
A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
解析：选A ∵AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，∴AD＝AB＋BC＋CD＝(a＋5b)＋
(－2a＋8b)＋3(a－b)＝2(a＋5b)＝2AB，∴AD与AB共线，即A，B，D三点共线．
3．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且2OP＝2OA＋BA，则( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：选B 因为2OP＝2OA＋BA，所以2AP＝BA，所以点P在线段AB的反向延长线上．
4．(多选)在△ABC中，点E，F分别是边BC和AC的中点，P是 AE与BF的交点，则有(
)
A．AE＝AB＋AC B．AB＝2EF
C．CP＝CA＋CB D．CP＝CA＋CB
解析：选AC 如图，根据三角形中线性质和平行四边形法则知，
AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝(AC＋AB)，A是正确的；因为
EF是中位线，所以AB＝2FE，B是错误的；设AB的中点为G，则根据三角
形重心性质知，CP＝2PG，所以CP＝CG＝× ＝，所以C是正确
的，D错误．
5．设向量a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数
p的值为( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共
线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－
1.
6．(多选)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2,1)，OC＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角
形，则实数t可以为( )
A．－2 B．C．1 D．－1
解析：选ABD 若点A，B，C能构成三角形，则A，B，C三点不共线，故向量AB，BC不共
线．由于向量OA＝(1，－3)，OB＝(－2,1)，OC＝(t＋3，t－8)，故AB＝OB－OA＝(－3,4)，BC＝OC－
OB＝(t＋5，t－9)，若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1.
7．已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且OA＋OB＋CO＝0，则△ABC的内角A等于(
)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A 由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，由O是△ABC外接圆的圆心，结合向量
加法的几何意义知，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°，选A.
8．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的
值为( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或－
解析：选B 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k<0)，
于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，
整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
由于a，b不共线，所以有
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
又因为k<0，所以λ<0，故λ＝－.
9．在△ABC中，D为△ABC所在平面内一点，且AD＝AB＋AC，则＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 如图，由已知得，点D在△ABC中与AB平行的中位线
上，且在靠近BC边的三等分点处，从而有S ＝S ，S ＝ S ，
△ABD △ABC △ACD △ABC
S ＝S ＝S ，所以＝.
△BCD △ABC △ABC
10.如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别
以正六边形的顶点和中心为始点或终点的向量中，与向 量OA相等的向量有
________个．
解析：根据正六边形的性质和相等向量的定义，易 知与向量OA相等的
向量有CB，DO，EF，共3个．
答案：3
11.如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且AD＋AE＝xAB＋
yAC，则＋的最小值为________．解析：易知x，y均为正数，
设AD＝mAB＋nAC，AE＝λAB＋μAC，
∵B，C，D共线，∴m＋n＝1，同理，λ＋μ＝1.
∵AD＋AE＝xAB＋yAC＝(m＋λ)AB＋(n＋μ)AC，
∴x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2.
∴＋＝(x＋y)＝≥＝，当且仅当y＝2x时等号成立，则＋的最小值为.
答案：
12．在△ABC中，P为BC的中点，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cAC＋aPA＋bPB
＝0，则△ABC的形状为________．
解析：∵在△ABC中，P为BC的中点，∴PA＝－ (AB＋AC)，
又∵cAC＋aPA＋bPB＝0，PB＝CB＝(AB－AC)，
∴cAC－a(AB＋AC)＋b(AB－AC)＝0，
∴AC－AB＝0，
即AC＝AB，
又AB，AC 不共线，∴解得a＝b＝c，
∴△ABC为等边三角形．
答案：等边三角形
13．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，点E在线段CD上，若
AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________．
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝，∴AB＝2DC.
∵点E在线段CD上，
∴DE＝λDC (0≤λ≤1)．
∵AE＝AD＋DE，
又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，
∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，
即μ的取值范围是.
答案：
14．如图，O，A，B三点不共线，OC＝2OA，OD＝3OB，设OA＝a，
OB＝b.
(1)试用a，b表示向量OE；
(2)设线段AB，OE，CD的中点分别为L，M，N，试证明：L，
M，N三点共线．
解：(1)∵B，E，C三点共线，
∴OE＝xOC＋(1－x)OB＝2xa＋(1－x)b，①
同理，∵A，E，D三点共线，可得OE＝ya＋3(1－y)b，②
由①②，得解得x＝，y＝，∴OE＝a＋b.
(2)证明：∵OL＝，OM＝OE＝，
ON＝(OC＋OD)＝，
∴MN＝ON－OM＝，ML＝OL－OM＝，
∴MN＝6ML，
又∵MN与ML有公共点M，∴L，M，N三点共线．
15．已知a，b不共线，OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e
＝t(a＋b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上？若存在，求出实数t的值；若不存
在，请说明理由．
解：由题设知，CD＝d－c＝2b－3a，CE＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三点在一条直线上的
充要条件是存在实数k，使得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，
整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.
因为a，b不共线，所以有解得t＝.
故存在实数t＝使C，D，E三点在一条直线上．
