文档文本内容
课时跟踪检测（三） 不等式的性质及一元二次不等
式
一、基础练——练手感熟练度
1．(2021·大连模拟)已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，则p与q的大小关系为( )
A．p≤q B．p≥q
C．p<q D．p>q
解析：选D 因为p－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q，故选D.
2．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是( )
A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1
解析：选A ∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0.
3．不等式2x2－x－3>0的解集是( )
A. B．(－∞，－1)∪
C. D.∪(1，＋∞)
解析：选B 2x2－x－3>0可化为(x＋1)(2x－3)>0，
解得x>或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪.故选B.
4．若实数m，n满足m>n>0，则( )
A．－<－ B.＋>
C.m>n D．m2<mn
解析：选B 取m＝2，n＝1，代入各选择项验证A、C、D不成立，只有B项成立(事实上
＋1>)．
5．若∀x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．
解析：由题意可知Δ＝m2－24≤0，解得－2≤m≤2.
答案：[－2，2]
二、综合练——练思维敏锐度
1．(多选)设a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式恒成立的是( )
A．a2>ab B．a2<b2
C.< D．a3<b3
解析：选CD 对于A，当a＝2，b＝3时，a<b，
但22<2×3，故A中不等式不一定成立；
对于B，当a＝－2，b＝1时，a<b，但(－2)2>12，
故B中不等式不一定成立；
对于C，∵a<b，∴－＝<0，
故C中不等式恒成立；
对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)，
∵a<b，∴a－b<0，又2＋b2>0，
∴a3<b3，故D中不等式恒成立．故选C、D.
2．已知a为实数，“a>1”是“a2<a3”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当a>1时，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a2<a3；当a2<a3时，a2(a－1)>0，所以
a>1.综上，“a>1”是“a2<a3”的充要条件．故选C.
3．若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的
解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选C 关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，
＋∞)，∴a＝b<0，
∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化为(x＋1)(x－3)<0，
解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．
4．设函数f(x)＝若不等式xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，则a的值为( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
解析：选B 因为xf(x－1)≥a的解集为[3，＋∞)，所以3为方程xf(x－1)＝a的根，所以
a＝3f(3－1)＝3×(2－1)＝3，故选B.
5．若存在x∈[－2,3]，使不等式2x－x≥a成立，则实数a的取值范围是( )
0 0
A．(－∞，1] B．(－∞，－8]
C．[1，＋∞) D．[－8，＋∞)
解析：选A 设f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因为存在x∈[－2,3]，使不等式2x－
0 0
x≥a成立，所以a≤f(x) ，所以a≤1，故选A.
max
6．若a>1，则关于x的不等式≥1的解集是( )
A.
B.
C．(－∞，1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪
解析：选D 由≥1得－1≥0，即≥0，∴[(a－1)x－1](x＋1)≥0且x≠－1，
解得x<－1或x≥，
则不等式的解集为(－∞，－1)∪，故选D.
7．(多选)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是( )
A．a>0 B．b>0C．c>0 D．a＋b＋c>0
解析：选BCD 因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图象开口向下，所以a<0，故A错误；
易知2和－是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝2×＝－1<0，－＝2＋＝
>0，又a<0，所以b>0，c>0，故B、C正确；
因为＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正确，故选B、C、D.
8．在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2个整数，则a的取值范围是
( )
A．(－3,5) B．(－2,4)
C．[－3,5] D．[－2,4]
解析：选D 关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0.当a>1时，不等式
的解集为(1，a)；当a<1时，不等式的解集为(a,1)．要使得解集中至多包含2个整数，则a≤4
且a≥－2.又当 a＝1时，不等式的解集为∅，符合题意．所以a的取值范围是[－2,4]，故选
D.
9．若0<a<1，则不等式(a－x)>0的解集是________________．
解析：原不等式等价于(x－a)<0，
由0<a<1，得a<，∴a<x<.
答案：
10．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．
解析：＋－＝＋＝(a－b)·＝.
∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.
∴＋≥＋.
答案：＋≥＋
11．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞.
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.
答案：a＜0＜b
12．若不等式x2＋ax－2>0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是__________．
解析：令f(x)＝x2＋ax－2.∵f(0)＝－2，于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)
＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
答案：
13．已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．
解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即
bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜
4；当x＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)14．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－
2<a<3＋2.
∴不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}．
(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴解得
故a的值为3±，b的值为－3.
15．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成
(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成．要求售价不能低于成本价．
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围．
解：(1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0，解得0≤x≤2.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为{x|0≤x≤2}．
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤.
又0≤x≤2，所以x的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝x2－x＋1.
(1)若f(x)≥0在R上恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若∃x∈[1,2]，f(x)≥2成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意得Δ＝－4≤0，解得－4≤a≤4，
∴实数a的取值范围为[－4,4]．
(2)由题意得∃x∈[1,2]，使≤x－成立．
令g(x)＝x－，x∈[1,2]，则g(x)在区间[1,2]上单调递增，∴g(x) ＝g(2)＝，
max
∴≤，解得a≤3，∴实数a的取值范围为(－∞，3]．
