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课时跟踪检测（二十一） 函数 y=A sin （ωx+φ）的图
象及三角函数模型的简单应用
一、基础练——练手感熟练度
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )
A．在上单调递增 B．在上单调递减
C．在上单调递增 D．在上单调递减
解析：选A 把函数y＝sin的图象向右平移个单位长度得函数g(x)＝sin＝sin 2x的图象，
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，令k＝1，得≤x≤，即函数g(x)＝
sin 2x的一个单调递增区间为.
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(
)
A．－ B．
C．1 D．
解析：选D 由题意可知该函数的周期为，
∴＝，即ω＝2，∴f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
4.(2021·扬州检测)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则φ
的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选B 由题图，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图
可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝.
5．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝
1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12月份的平均气温最低，为18
℃，则10月份的平均气温值为_______℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
6．若将函数y＝sin 2x的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到的图象关于直线x＝对
称，则φ的最小值为________．
解析：平移后解析式为y＝sin(2x－2φ)，∵图象关于x＝对称，∴2·－2φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝－π－(k∈Z)，又∵φ>0，∴当k＝－1时，φ的值最小，为.答案：
二、综合练——练思维敏锐度
1．(多选)要得到y＝sin的图象，可以将函数y＝sin x的图象上所有的点( )
A．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
B．向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍
C．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍，再把所得各点向右平行移动个单位长度
解析：选AD 将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y
＝sin的图象，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin的图象，故A正确；将函
数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再把所得
各点的横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin的图象，故B错误；将函数y＝sin x的图象上所
有的点横坐标缩短到原来的倍，得到y＝sin 2x的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长
度，得到y＝sin的图象，故C错误；将函数y＝sin x的图象上所有的点横坐标缩短到原来的
倍，得到y＝sin 2x的图象，再把所得各点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象，故
D正确．故选A、D.
2．在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的
图象经过原点，则φ的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B 将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析
式为y＝sin[3(x＋φ)＋]，因为其图象经过原点，所以sin(3φ＋)＝0，所以3φ＋＝kπ(k∈Z)，解
得φ＝－(k∈Z)，又φ>0，所以φ的最小值为－＝，故选B.
3.函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象如图所示，则函数g(x)＝
的最小正周期为( )
A．π B．2π
C．4π D．
解析：选A 根据函数f(x)＝cos(ωx＋φ) 的部分图象，
可得＝π－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
点是五点作图的第二个点，则2×＋φ＝，
∴φ＝－，∴f(x)＝cos.
∴g(x)＝＝，
易知y＝g(x)与y＝cos＋的最小正周期相同，均为T＝＝π.故选A.
4．(多选)将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则g(x)
具有的性质为( )A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．为奇函数，在上单调递增
C．为偶函数，在上单调递增
D．周期为π，图象关于点对称
解析：选BD 将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝
sin 2x的图象，则函数g(x)的最大值为1，其图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故选项A不正
确；函数g(x)为奇函数，当x∈时，2x∈，故函数g(x)在上单调递增，故选项B正确，选项C不
正确；函数g(x)的周期为π，其图象关于点(k∈Z)对称，故选项D正确．故选B、D.
5．(2021·大同一中质检)将函数f(x)＝tan(0<ω<10)的图象向右平移个单位长度之后与函
数f(x)的图象重合，则ω＝( )
A．9 B．6
C．4 D．8
解析：选B 函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式
为f(x)＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝
－6k(k∈Z)．又0<ω<10，∴ω＝6.故选B.
6．(多选)将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，
若函数g(x)在区间上是单调增函数，则实数ω可能的取值为( )
A. B．1
C. D．2
解析：选ABC 由题意知g(x)＝sin ，
g(x)的一个增区间为，
要使g(x)在上单调递增，
只需，
解得0<ω≤，故选A、B、C.
7.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，φ∈)的部分图象如图所示，其
中f(0)＝1，|MN|＝，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数
g(x)的图象，则g(x)的解析式是( )
A．g(x)＝2cos x B．g(x)＝2sin
C．g(x)＝2sin D．g(x)＝－2cos x
解析：选A 设函数f(x)的最小正周期为T.由题图及|MN|＝，得＝，则T＝6，ω＝.又由
f(0)＝1，φ∈得sin φ＝，φ＝.所以f(x)＝2sin(x＋).则g(x)＝2sin＝2cos x.故选A.
8.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最
小值时，x的集合为______________________．
解析：根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)
＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x)＝
sin，∴f＝sin，当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．答案：
9．将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移个单位
长度得到g(x)的图象，则g(x)＝________；若函数g(x)在区间，上单调递增，则实数a的取值
范围是________．
解析：将函数f(x)＝2sin x图象的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝2sin 2x
的图象；再向左平移个单位长度得到g(x)＝2sin的图象．
若函数g(x)在区间，上单调递增，
则
解得≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
答案：2sin
10．已知函数f(x)＝cos ωx＋sin(ω>0)在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，则ω的
取值范围是________．
解析：f(x)＝cos ωx＋sin＝cos ωx＋sin ωx＝sin，由x∈[0，π]，ω>0，得ωx＋∈.因为f(x)
在[0，π]上恰有一个最大值点和两个零点，所以2π≤ωπ＋<，解得≤ω<，所以ω的取值范围
是.
答案：
11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与点P最近的一个最高点是Q.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解：(1)依题意得A＝5，周期T＝4＝π，
∴ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P，
∴5sin＝0，
由已知可得＋φ＝kπ(k∈Z)，
∵|φ|<，∴φ＝－，
∴y＝5sin.
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
12.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；
(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．
解：(1)由图可得A＝2，＝－＝，
所以T＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，因为|φ|<，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．
(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，
则g(x)＝2sin＋2cos
＝2sin＋2[1－2sin2]，
令t＝sin，t∈[－1,1]，
记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，
因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，
即g(x)∈，故a∈.
故a的取值范围为.
三、自选练——练高考区分度
1．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图
象如图中实线所示，图中圆C与f(x)的图象交于M，N两点，且M在y
轴上，则下列说法正确的是( )
A．函数f(x)在上单调递增
B．函数f(x)的图象关于点成中心对称
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度后关于直线x＝成轴对称
D．若圆的半径为，则函数f(x)的解析式为f(x)＝sin
解析：选BD 由题图可知，C为函数f(x)图象的对称中心，且点C的横坐标为，所以f(x)
的最小正周期T＝π，即＝π，所以ω＝2，由f＝0及0＜φ＜π，解得φ＝，所以f(x)＝Asin.
当x∈时，2x＋∈，显然f(x)不单调，所以A选项错误；f＝Asin(－π)＝0，所以函数f(x)的
图象关于点成中心对称，所以B选项正确；将直线x＝向左平移个单位长度后得到直线x＝，
sin＝sin＝－，所以C选项错误；若圆的半径为，则A＝，解得A＝π，故D选项正确．故选B、
D.
2．(多选)已知函数f(x)＝cos(2x＋φ)，F(x)＝f(x)＋f′(x)为奇函数，则下述说法中正确的
是( )
A．tan φ＝
B．若f(x)在[－a，a]上存在零点，则a的最小值为
C．F(x)在上单调递增
D．f(x)在上有且仅有一个极大值点
解析：选BC 因为f(x)＝cos(2x＋φ)，所以f′(x)＝－2sin(2x＋φ)，所以F(x)＝f(x)＋
f′(x)＝cos(2x＋φ)－sin(2x＋φ)＝2cos，又F(x)为奇函数，所以F(0)＝0，即cos＝0，令φ＋＝
kπ＋，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝.对于A，tan φ＝tan＝，故A错误；对于B，
由f(x)＝cos＝0，得x＝＋，k∈Z，若f(x)在[－a，a]上存在零点，则a＞0且a的最小值为，故B正确；对于C，F(x)＝2cos＝－2sin 2x，当x∈时，2x∈，则F(x)在上单调递增，故C正确；对
于D，由f′(x)＝－2sin＝0，x∈，可得x＝，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈时，f′(x)＞0，所以
f(x)在上单调递减，在上单调递增，故D错误，所以选B、C.
3．(多选)(2021·湖南六校联考)筒车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是
一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1
000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一
个半径为R的筒车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一
周用时120秒，经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝
Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是( )
A．φ＝－
B．当t∈[0,60]时，函数y＝f(t)单调递增
C．当t∈[0,60]时，|f(t)|的最大值为3
D．当t＝100时，|PA|＝6
解析：选AD 由题意可知y＝f(t)的最小正周期T＝120，所以＝
120，即ω＝.如图，由题意原问题可转化为P从A出发，沿圆周按逆时针
方向匀速运动，A(3，－3)，∠AOx∈，所以tan∠AOx＝＝，所以∠AOx
＝，且R＝6，连接OP，则∠xOP＝ωt－＝t－.根据三角函数的定义可得＝
sin∠xOP＝sin，即y＝Rsin＝6sin，所以φ＝－，故选项A正确；当0≤t≤60时，－≤t－≤，所
以函数y＝f(t)＝6sin在t∈[0,60]时不单调递增，故选项B错误；当0≤t≤60时，－≤t－≤，
所以当t－＝，即t＝50时，函数y＝f(t)＝6sin取得最大值6，所以|f(t)|的最大值为6，故选项C
错误；当t＝100时，y＝6sin＝6sin＝－3，此时x＝6cos＝－3，即P(－3，－3)，所以|PA|＝6，故
选项D正确．综上可知，选A、D.
