文档内容
课时跟踪检测（二十七） 平面向量的数量积及应用
一、综合练——练思维敏锐度
1．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝( )
A．(2,12) B．(－2,12)
C．14 D．10
解析：选C 由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即 －
4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．又a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.
2．已知非零向量a，b的夹角为60°，且|b|＝1，|2a－b|＝1，则|a|＝( )
A. B．1
C. D．2
解析：选A 由题意得a·b＝|a|×1×＝，
又|2a－b|＝1，
∴|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝4|a|2－2|a|＋1＝1，
即4|a|2－2|a|＝0，又|a|≠0，解得|a|＝.
3．已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为，则a·b＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B 因为a＝(2sin 13°，2sin 77°)，所以|a|＝＝＝2，又因为|a－b|＝1，向量a与a
－b的夹角为，
所以cos ＝＝＝＝，所以a·b＝3，故选B.
4.如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则AC·BD＝( )
A．2 B．3
C．6 D．12
解析：选C AC·BD＝(AB＋BC)·(AD－AB)＝(AB＋BC)·(2BC－AB)＝2|BC|2＋BC·AB－|AB|2＝8＋
2×2×－4＝6.
5．(多选)(2021·石家庄质检)已知向量a＝(6,2)，b＝(－2，k)，k为实数，则下列结论正确的
是( )
A．若a·b＝6，则k＝9
B．若|a＋b|≤5，则－5≤k≤1
C．不存在实数k，使(a－b)⊥b成立
D．若a与b的夹角为钝角，则k<6
解析：选ABC 对于A，由a·b＝6×(－2)＋2k＝6，解得k＝9，A正确；
对于B，a＋b＝(4,2＋k)，由|a＋b|≤5，得16＋(2＋k)2≤25，解得－5≤k≤1，B正确；
对于C，因为a－b＝(8,2－k)，由(a－b)⊥b，得(8,2－k)·(－2，k)＝0，即k2－2k＋16＝0，此方程无解，所以不存在实数k，使(a－b)⊥b成立，C正确；
对于D，若a与b的夹角为钝角，则a·b<0，且a与b不共线，即6×(－2)＋2k<0,6k－(－
2)×2≠0，
解得k<6且k≠－，D错误，故选A、B、C.
6.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，
且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则PM·PN的最大
值为( )
A. B．
C．1 D．
解析：选C ∵扇形OAB的半径为1，∴|OP|＝1，∵OP⊥OB，∴OP·OB＝0.
∵∠AOB＝，∴∠AOP＝，∴PM·PN＝(PO＋OM)·(PO＋ON)＝PO2＋ON·PO＋OM·PO＋OM·ON＝1
＋|OM|cos ＋|OM|·|ON|cos ≤1＋0×＋0×＝1，故选C.
7．直角△ABC中，AB＝AC＝2，D为AB边上的点，且＝2，则CD·CA＝________；若CD＝
xCA＋yCB，则xy＝________.
解析：以A为原点，分别以AB，AC的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系(图
略)，则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，D，则CD＝，CA＝(0，－2)，CB＝(2，－2)，则CD·CA＝·(0，－2)＝×0
＋(－2)×(－2)＝4.由CD＝xCA＋yCB＝x(0，－2)＋y(2，－2)＝(2y，－2x－2y)＝，
得解得则xy＝.
答案：4
8．已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围为
________．
解析：在△ABC中，设AB＝a，AC＝b，
则b－a＝AC－AB＝BC，
∵a与b－a的夹角为120°，∴∠B＝60°，
由正弦定理得＝，
∴|a|＝＝sin C.
∵0°sin A，∴B>A，故A为锐角，
∴cos A＝，
∴cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得，
16＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，当且仅当a＝c时等号成立，∴ac≤13，
∴AB·BC＝accos(π－B)＝－accos B＝－ac≥－5.
故AB·BC的最小值为－5.
二、自选练——练高考区分度
1.△ABC中，|AC|＝2，|AB|＝2，∠BAC＝120°，AE＝λAB，AF＝μAC，M
为线段EF的中点，若|AM|＝1，则λ＋μ的最大值为( )
A. B．C．2 D．
解析：选C AM＝(AE＋AF)
＝AB＋AC，
∴|AM|2＝2＝λ2＋μ2＋×4cos 120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，
∴1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－(λ＋μ)2＝(λ＋μ)2，
∴λ＋μ≤2，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立．故选C.
2．(2021·河北部分重点中学联考)已知向量a，b，c满足：a＝(4,0)，b＝(4,4)，(a－c)·(b－c)
＝0，则b·c的最大值是( )
A．24 B．24－8
C．24＋8 D．8
解析：选C 设OA＝a＝(4,0)，OB＝b＝(4,4)，OC＝c＝(x，y)，则a－c＝(4－x，－y)，b－c＝
(4－x,4－y)，又知(a－c)·(b－c)＝0，∴(4－x)2－y(4－y)＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝4，∴点C的
轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.
而b·c＝4x＋4y，令z＝4x＋4y，由平面几何知识可得当直线4x＋4y－z＝0与圆(x－4)2＋
(y－2)2＝4相切时，z取得最大值或最小值，即z ＝24＋8，故选C.
max
3．已知平面向量PA，PB满足|PA|＝|PB|＝1，PA·PB＝－.若|BC|＝1，则|AC|的最大值为( )
A.－1 B．－1
C.＋1 D．＋1
解析：选D 因为|PA|＝|PB|＝1，PA·PB＝－，所以cos∠APB＝－，
即∠APB＝，由余弦定理可得AB＝＝.如图，建立平面直角坐标系，则
A，B，由题设点C(x，y)在以B为圆心，半径为1的圆上运动，结合图形
可知，点C(x，y)运动到点D时，有|AC| ＝|AD|＝|AB|＋1＝＋1.故选
max
D.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)BA·BC＝cCB·CA.
(1)求角B的大小；
(2)若|BA－BC|＝，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.
根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以sin Acos B＝sin(C＋B)，
即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，
所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因为|BA－BC|＝，所以|CA|＝，即b＝，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等
号)，
即ac≤3(2＋)．
故△ABC的面积S＝acsin B≤，因此△ABC的面积的最大值为.
