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课时跟踪检测（三十七） 直线、平面垂直的判定与性
质
1．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
解析：选D 选项A中，m与α的关系是m∥α或m⊂α，故A不正确；选项B中，n与α
之间的关系是n与α相交或n∥α，故B不正确；选项C中，α与β的关系是α∥β或α与β相
交，故C不正确；选项D中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.
2．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题
正确的是( )
A．若m⊂α，则m⊥β
B．若m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C．若m⊄α，m⊥β，则m∥α
D．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α
解析：选C 对于A：若m⊂α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若
m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m⊄α，m⊥β，则
m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误．
3．(2021·湖南五市联考)若α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命
题正确的是( )
A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥β
B．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥n
C．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线
D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
解析：选D 对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A
错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项
C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是
“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定
理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正
确．故选D.
4.如图，在斜三棱柱ABCA B C 中，∠BAC＝90°，且BC ⊥AC，过
1 1 1 1
C 作C H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
1 1
A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部
解析：选B 连接AC ，如图．
1
∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，
∵BC ⊥AC，BC ∩AB＝B，
1 1
∴AC⊥平面ABC .
1
又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC ，则根据
1
面面垂直的性质定理知，在平面ABC 内一点C 向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．
1 1
故选B.
5.一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如
图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，
EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有( )
A．6个 B．8个
C．10个 D．12个
解析：选C 为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体PABC为“鳖臑”，其中
PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，
得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以
AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面体PAEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全
是直角三角形，故选C.
6．(2020·新高考全国卷Ⅰ)日晷是中国古代用来测定时间的仪
器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球
看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤
道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平
面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针
与点A处的水平面所成角为( )
A．20° B．40°
C．50° D．90°
解析：选B 过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD
为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，
所以OA⊥EF，GF⊥CD，CD∥OB，
所以∠CAO＝∠AOB＝40°，∠OAE＝∠AGF＝90°.
又因为∠EAC＝∠FAG，
所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.
7．(多选)(2021·济宁一模)如图，线段AB为圆O的直径，点E，F
在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则( )
A．DF∥平面BCE
B．异面直线BF与DC所成的角为30°
C．△EFC为直角三角形
D．V ∶V ＝1∶4
CBEF FABCD
解析：选 BD 对 A 项，因为 AB∥EF，AB∥CD，所以
EF∥CD，所以四边形CDFE确定一个平面．
由于CD，EF的长度不相等，则DF，CE不平行，即DF与平面
BCE有公共点，故A错误；
对B项，连接OF，OE，OE与BF交于点G.
因为OB∥EF，OB＝EF，OB＝OF＝1，
所以四边形OBEF为菱形，
则BE＝OF＝1，所以△OBE为等边三角形．
由于点G为OE的中点，则∠OBG＝∠OBE＝30°.
因为AB∥CD，所以异面直线BF与DC所成的角为∠ABF＝∠OBG＝30°，故B正确；
对C项，由于四边形OBEF为菱形，
则BF＝2BG＝2 ＝.
由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知，BC⊥BE，BC⊥BF，
所以CF＝＝2，CE＝＝.
又EF2＋CE2＝3≠CF2，所以△EFC不是直角三角形，故C错误；
对D项，因为BF＝，BE＝1，EF＝1，
所以S ＝×× ＝.
△BEF
由面面垂直的性质可知，BC⊥平面BEF，
所以V ＝××1＝.
CBEF
过点F作AB的垂线，垂足为H，则FH＝BF＝，
根据面面垂直的性质可知HF⊥平面ABCD，
则V ＝×2×1×＝，
FABCD
所以V ∶V ＝1∶4，故D正确，故选B、D.
CBEF FABCD
8．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为
________．
①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；
②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；
③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；
④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．
解析：若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；若
m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．
答案：②④
9．(2021·宜昌模拟)在如图所示的实验装置中，正方形框架的边长
都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对
角线AC，BF上移动，若CM＝BN，则MN长度的最小值为________．
解析：过M作MQ⊥AB于Q，连接QN，如图所示．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，且交线为AB，
∴MQ⊥平面ABEF，又QN⊂平面ABEF，∴MQ⊥QN.
设CM＝BN＝a(0<a<)，
则AM＝NF＝－a，
∵MQ⊥AB，∴MQ∥BC，
∴＝＝，
又知CM＝BN，AM＝NF，AC＝BF，∴＝＝，
∴QN∥AF，且QN＝a.
同理，QM＝1－a.在Rt△MQN中，
MN＝＝
＝ ＝ ，
∵0<a<，∴当a＝时，MN取得最小值.
即MN长度的最小值为.
答案：
10．(2021·泉州模拟)如图，在三棱柱ABCA B C 中，CA＝CB，AA
1 1 1 1
＝AB＝2，∠A AB＝60°.
1
(1)求证：AB⊥A C；
1
(2)若平面ABC⊥平面AA B B，且AC⊥B C ，求该三棱柱的体积．
1 1 1 1
解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OA ，A B.
1 1
∵CA＝CB，∴AB⊥CO.
∵AA ＝AB，∠A AB＝60°，
1 1
∴△ABA 是等边三角形，∴AB⊥OA .
1 1
又CO∩OA ＝O，∴AB⊥平面OA C.
1 1
又A C⊂平面OA C，∴AB⊥A C.
1 1 1
(2)∵平面ABC⊥平面AA B B，平面ABC∩平面AA B B＝AB，A O⊥AB，A O⊂平面
1 1 1 1 1 1
AA B B，
1 1
∴A O⊥平面ABC.∵AC⊥B C ，BC∥B C ，∴AC⊥BC.
1 1 1 1 1
又AC＝BC，AB＝2，
∴S ＝×AC×BC＝1，A O＝，
△ABC 1
∴三棱柱的体积V＝S ·A O＝.
△ABC 111.(2020·全国卷Ⅰ)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，
△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)设DO＝，圆锥的侧面积为π，求三棱锥PABC的体积．
解：(1)证明：由题设可知，PA＝PB＝PC.
由于△ABC是正三角形，
故可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.
又∠APC＝90°，所以∠APB＝90°，∠BPC＝90°.
从而PB⊥PA，PB⊥PC.
因为PA∩PC＝P，所以PB⊥平面PAC.
又PB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l.
由题设可得rl＝，l2－r2＝2.解得r＝1，l＝.
从而AB＝.由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，
所以PA＝PB＝PC＝.
所以三棱锥PABC的体积为
××PA×PB×PC＝××3＝.
12.(2020·全国卷Ⅲ)如图，在长方体ABCDA B C D 中，点E，F分别在
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棱DD ，BB 上，且2DE＝ED，BF＝2FB .证明：
1 1 1 1
(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；
(2)点C 在平面AEF内．
1
证明：(1)如图，连接BD，B D.
1 1
因为AB＝BC，
所以四边形ABCD为正方形，
所以AC⊥BD.
又因为BB ⊥平面ABCD，
1
所以AC⊥BB .
1
因为BD∩BB ＝B，
1
所以AC⊥平面BB DD.
1 1
因为EF⊂平面BB DD，所以EF⊥AC.
1 1
(2)如图，在棱AA 上取点G，使得AG＝2GA ，连接GD ，FC ，FG.
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因为DE＝DD ，AG＝AA ，DD 綊AA ，
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所以ED 綊AG，所以四边形EDGA为平行四边形，所以 AE∥GD .
1 1 1
因为B F＝BB ，A G＝AA ，BB 綊AA ，
1 1 1 1 1 1
所以FG綊A B ，FG綊C D，
1 1 1 1
所以四边形FGD C 为平行四边形，所以GD ∥FC .
1 1 1 1于是AE∥FC .所以A，E，F，C 四点共面，即点C 在平面AEF内．
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13.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，
四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是
CE，CF的中点．
(1)求证：AC⊥平面BDEF；
(2)求证：平面BDGH∥平面AEF.
证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.
又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以
AC⊥平面BDEF.
(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.
又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD＝O，连接OH，如图．
在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，所以OH∥AF.
因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.因为
OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.
