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课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用
一、综合练——练思维敏锐度
1．《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这
个命题本质的式子是( )
A．1＋＋＋…＋＝2－
B.＋＋…＋<1
C.＋＋…＋＝1
D.＋＋…＋>1
解析：选B 该命题说明每天取的长度构成了以为首项，为公比的等比数列，因为＋
＋…＋＝1－<1，所以能反映命题本质的式子是＋＋…＋<1.故选B.
2．(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算
经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有
如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大
意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同
数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺
布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所
织布的尺数为a ，b ＝2an，对于数列{a }，{b }，下列选项中正确的为( )
n n n n
A．b ＝8b B．{b }是等比数列
10 5 n
C．ab ＝105 D.＝
1 30
解析：选BD 由题意可知，数列{a }为等差数列，设数列{a }的公差为d，a＝5，由题意
n n 1
可得30a＋＝390，解得d＝，∴a ＝a＋(n－1)d＝，又b ＝2an，∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常
1 n 1 n
数)，则数列{b }是等比数列，B选项正确；∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，∴b ≠8b，A选
n 10 5
项错误；a ＝a＋29d＝5＋16＝21，∴ab ＝5×221>105，C选项错误；a＝a＋3d＝5＋3×
30 1 1 30 4 1
＝，a＝a＋4d＝5＋4×＝，
5 1
∴＝＝＝，D选项正确．
3．(2021·济南模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n
项和是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得S ＝1－＋－＋…＋－＝.
n
4．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q中的所有元素从小
到大依次排列构成一个数列{a }，记S 为数列{a }的前n项和，则使得S <1 000成立的n的最
n n n n
大值为( )
A．9 B．32
C．35 D．61解析：选C 数列{a }的前n项依次为1,2,3,22,5,7，23，….利用列举法可得：当n＝35时，
n
P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a }，所以数列{a }的前35项可重新排
n n
列为1,3,5,7,9,11,13，…，55,57,59,2,4,8,16,32，
则S ＝30＋×2＋＝302＋26－2＝962<1 000，
35
当n＝36时，S ＝962＋61＝1 023>1 000，
36
所以n的最大值为35.故选C.
5．已知数列{a }满足a ＝1，且点(a 2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若对任意的
n 1 n, n＋1
n∈N*，＋＋＋…＋≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为__________．
解析：由数列{a }满足a＝1，且点(a 2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上可得a － a
n 1 n, n＋1 n n
＋1＝0，即a －a ＝1，故{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，故可得a ＝n.对任意的
＋1 n＋1 n n n
n∈N*，＋＋＋…＋≥λ恒成立，即λ≤＋＋…＋的最小值．
令f(n)＝＋＋…＋，
则f(n)－f(n＋1)＝－－＝－＝－<0，
即f(n)
