课时跟踪检测（三十三） 数列的综合应用
一、综合练——练思维敏锐度
1．《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”反映这
个命题本质的式子是( )
A．1＋＋＋…＋＝2－
B.＋＋…＋<1
C.＋＋…＋＝1
D.＋＋…＋>1
解析：选B 该命题说明每天取的长度构成了以为首项，为公比的等比数列，因为＋
＋…＋＝1－<1，所以能反映命题本质的式子是＋＋…＋<1.故选B.
2．(多选)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算
经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有
如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大
意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同
数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺
布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n天所
织布的尺数为a ，b ＝2an，对于数列{a }，{b }，下列选项中正确的为( )
n n n n
A．b ＝8b B．{b }是等比数列
10 5 n
C．ab ＝105 D.＝
1 30
解析：选BD 由题意可知，数列{a }为等差数列，设数列{a }的公差为d，a＝5，由题意
n n 1
可得30a＋＝390，解得d＝，∴a ＝a＋(n－1)d＝，又b ＝2an，∴＝＝2an＋1－an＝2d(非零常
1 n 1 n
数)，则数列{b }是等比数列，B选项正确；∵5d＝5×＝≠3，＝(2d)5＝25d≠23，∴b ≠8b，A选
n 10 5
项错误；a ＝a＋29d＝5＋16＝21，∴ab ＝5×221>105，C选项错误；a＝a＋3d＝5＋3×
30 1 1 30 4 1
＝，a＝a＋4d＝5＋4×＝，
5 1
∴＝＝＝，D选项正确．
3．(2021·济南模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则数列(n∈N*)的前n
项和是( )
A. B.
C. D.
解析：选A ∵f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1，∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，则＝＝－，用裂项法求和得S ＝1－＋－＋…＋－＝.
n
4．已知集合P＝{x|x＝2n，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，将P∪Q中的所有元素从小
到大依次排列构成一个数列{a }，记S 为数列{a }的前n项和，则使得S <1 000成立的n的最
n n n n
大值为( )
A．9 B．32
C．35 D．61解析：选C 数列{a }的前n项依次为1,2,3,22,5,7，23，….利用列举法可得：当n＝35时，
n
P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a }，所以数列{a }的前35项可重新排
n n
列为1,3,5,7,9,11,13，…，55,57,59,2,4,8,16,32，
则S ＝30＋×2＋＝302＋26－2＝962<1 000，
35
当n＝36时，S ＝962＋61＝1 023>1 000，
36
所以n的最大值为35.故选C.
5．已知数列{a }满足a ＝1，且点(a 2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，若对任意的
n 1 n, n＋1
n∈N*，＋＋＋…＋≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为__________．
解析：由数列{a }满足a＝1，且点(a 2a )(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上可得a － a
n 1 n, n＋1 n n
＋1＝0，即a －a ＝1，故{a }是以1为首项，1为公差的等差数列，故可得a ＝n.对任意的
＋1 n＋1 n n n
n∈N*，＋＋＋…＋≥λ恒成立，即λ≤＋＋…＋的最小值．
令f(n)＝＋＋…＋，
则f(n)－f(n＋1)＝－－＝－＝－<0，
即f(n)<f(n＋1)，可得f(n)递增，即f(1)为最小值，且为，可得λ≤，则实数λ的取值范围为.
答案：
6．(2021·济宁模拟)若数列{a }满足：只要a＝a(p，q∈N*)，必有a ＝a ，那么就称数
n p q p＋1 q＋1
列{a }具有性质P.已知数列{a }具有性质P，且a＝1，a＝2，a＝3，a＝2，a＋a＋a＝21，则
n n 1 2 3 5 6 7 8
a ＝________.
2 020
解析：根据题意，数列{a }具有性质P，且a＝a＝2，
n 2 5
则有a＝a＝3，a＝a，a＝a＝2.
3 6 4 7 5 8
由a＋a＋a＝21，可得a＋a＋a＝21，
6 7 8 3 4 5
则a＝21－3－2＝16，
4
进而分析可得a＝a＝a＝…＝a ＝3，a＝a＝a ＝…＝a ＝16，a＝a＝…＝ a
3 6 9 3n 4 7 10 3n＋1 5 8 3n
＝2(n≥1)，
＋2
则a ＝a ＝16.
2 020 3×673＋1
答案：16
7．定义各项为正数的数列{p }的“美数”为(n∈N*)．若各项为正数的数列{a }的“美
n n
数”为，且b ＝，则＋＋…＋＝________.
n
解析：因为各项为正数的数列{a }的“美数”为，
n
所以＝.
设数列{a }的前n项和为S ，则S ＝n(2n＋1)，
n n n
S
n－1
＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)，
所以a ＝S －S ＝4n－1(n≥2)．
n n n－1
又＝，所以a＝3，满足式子a ＝4n－1，
1 n
所以a ＝4n－1(n∈N*)．
n
又b ＝，所以b ＝n，
n n所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：
8．(2020·天津高考)已知{a }为等差数列，{b }为等比数列，a＝b＝1，a＝5(a－a)，b＝
n n 1 1 5 4 3 5
4(b－b)．
4 3
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)记{a }的前n项和为S ，求证：S S <S(n∈N*)；
n n n n＋2
(3)对任意的正整数n，设c ＝求数列{c }的前2n项和．
n n
解：(1)设等差数列{a }的公差为d，等比数列{b }的公比为q.由a＝1，a＝5(a－a)，可得
n n 1 5 4 3
d＝1，从而{a }的通项公式为a ＝n.
n n
由b＝1，b＝4(b－b)，q≠0，可得q2－4q＋4＝0，
1 5 4 3
解得q＝2，从而{b }的通项公式为b ＝2n－1.
n n
(2)证明：由(1)可得S ＝，
n
故S S ＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，
n n＋2
S＝(n＋1)2(n＋2)2，
从而S S －S＝－(n＋1)(n＋2)<0，
n n＋2
所以S S <S.
n n＋2
(3)当n为奇数时，c ＝＝＝－；
n
当n为偶数时，c ＝＝.
n
对任意的正整数n，有
＝＝－1，
2k－1
＝＝＋＋＋…＋.①
2k
由①得 ＝＋＋…＋＋.②
2k
由①－②得 ＝＋＋…＋－＝－－，
2k
从而得 ＝－.
2k
因此 ＝ ＋ ＝－－.
k 2k－1 2k
所以数列{c }的前2n项和为－－.
n
9．近日，某市实施机动车单双号限行，新能源汽车不在限行范围内，某人为了出行方便，
准备购买某新能源汽车．假设购车费用为14.4万元，每年应交付保险费、充电费等其他费用
共0.9万元，汽车的保养维修费为：第一年0.2万元，第二年0.4万元，第三年0.6万元，…，依
等差数列逐年递增．
(1)设使用n年该车的总费用(包括购车费用)为f(n)，试写出f(n)的表达式；
(2)问这种新能源汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少)，年平均
费用的最小值是多少？
解：(1)由题意得f(n)＝14.4＋(0.2＋0.4＋0.6＋…＋0.2n)＋0.9n＝14.4＋＋0.9n＝0.1n2＋n
＋14.4.
(2)设该车的年平均费用为S万元，则有S＝f(n)＝(0.1n2＋n＋14.4)＝＋＋1≥2＋1＝3.4.
当且仅当＝，即n＝12时，等号成立，即S取最小值3.4万元．所以这种新能源汽车使用
12年报废最合算，年平均费用的最小值是3.4万元．
10．甲、乙两同学在复习数列知识时发现曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，一个
条件看不清了，具体如下：
等比数列{a }的前n项和为S ，已知________，
n n
(1)判断S，S，S 的关系；
1 2 3
(2)若a－a＝3，设b ＝|a |，记{b }的前n项和为 T ，证明：T <.
1 3 n n n n n
甲同学记得缺少的条件是首项a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩
1
都记得第(1)问的答案是S，S，S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你
1 3 2
通过推理把条件补充完整并解答此题．
解：设等比数列{a }的公比为q，
n
则S＝a，S＝a＋aq，S＝a＋aq＋aq2.
1 1 2 1 1 3 1 1 1
又S，S，S 成等差数列，所以S＋S＝2S，
1 3 2 1 2 3
即a＋a＋aq＝2a＋2aq＋2aq2，
1 1 1 1 1 1
整理可得aq(1＋2q)＝0.
1
由于在等比数列{a }中，a≠0，q≠0，所以q＝－，
n 1
故乙同学记得的缺少的条件是正确的．
故补充的条件为q＝－.
(1)由题意可得S＝a，
1 1
S＝a＋a＝a－a＝a，
2 1 2 1 1 1
S＝a＋a＋a＝a－a＋a＝a，
3 1 2 3 1 1 1 1
可得S＋S＝2S，即S，S，S 成等差数列．
1 2 3 1 3 2
(2)证明：由a－a＝3，可得a－a＝3，解得a＝4，
1 3 1 1 1
则b ＝|a |＝·＝n·n，
n n
则T ＝，
n
T ＝，
n
上面两式相减可得，
T ＝
n
＝，
化简可得T ＝，由1－<1，
n
可得T <.
n
二、自选练——练高考区分度
1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续
偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连
续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…，则在这个子数列中第2 020个数是( )
A．3 976 B．3 974
C．3 978 D．3 973
解析：选A 由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了1＋2＋
3＋…＋n＝个数，且第n次取的最后一个数为n2.当n＝63时，＝2 016，故前63次共取了2
016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为632＝3 969，即第2 016个数为3 969，
所以当n＝64时，依次取3 970,3 972,3 974,3 976，…，所以第2 020个数是3 976.
2．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有
厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小
老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后老鼠相遇？( )
A．2天 B．3天
C．4天 D．5天
解析：选B 设第n天老鼠相遇，则依题意得
大老鼠打洞：1＋2＋22＋23＋…＋2n－1(尺)；
小老鼠打洞：1＋＋2＋3＋…＋n－1(尺)．
可得方程：1＋2＋22＋23＋…＋2n－1＋1＋＋2＋3＋…＋n－1＝5.
利用等比数列求和公式得：＋＝5，化简得22n－4×2n－2＝0，解得2n＝2＋.
因为4<2＋<8，所以2<n<3，
所以两鼠在第3天相遇．
3．(2021·青岛模拟)已知{a }为等差数列，a，a，a 分别是下表第一、二、三行中的某一个
n 1 2 3
数，且a，a，a 中的任何两个数都不在下表的同一列.
1 2 3
第一列 第二列 第三列
第一行
第二行 4 6 9
第三行 12 8 7
请从①a＝2，②a＝1，③a＝3的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列
1 1 1
{a }存在；并在此存在的数列{a }中，试解答下列两个问题．
n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }满足b ＝(－1)n＋1a，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
解：(1)若选择条件①，当第一行第一列为a 时，由题意知，可能的组合有，
1
a＝2，a＝6，a＝7不是等差数列，a＝2，a＝9，a＝8不是等差数列；
1 2 3 1 2 3
当第一行第二列为a 时，由题意知，可能的组合有，
1
a＝2，a＝4，a＝7不是等差数列，
1 2 3
a＝2，a＝9，a＝12不是等差数列；
1 2 3
当第一行第三列为a 时，由题意知，可能的组合有，
1a＝2，a＝4，a＝8不是等差数列，a＝2，a＝6，a＝12不是等差数列．
1 2 3 1 2 3
则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a }都不存在．
n
若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知a＝1，a＝4，a＝7，
1 2 3
则公差d＝a－a＝3，所以a ＝a＋(n－1)d＝3n－2，n∈N*.
2 1 n 1
若选择条件③，当第一行第一列为a 时，由题意知，可能的组合有，
1
a＝3，a＝6，a＝7不是等差数列，a＝3，a＝9，a＝8不是等差数列；
1 2 3 1 2 3
当第一行第二列为a 时，由题意知，可能的组合有，
1
a＝3，a＝4，a＝7不是等差数列，
1 2 3
a＝3，a＝9，a＝12不是等差数列；
1 2 3
当第一行第三列为a 时，由题意知，可能的组合有，
1
a＝3，a＝4，a＝8不是等差数列，a＝3，a＝6，a＝12不是等差数列．
1 2 3 1 2 3
则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{a }都不存在．
n
综上可知：a ＝3n－2，n∈N*.
n
(2)由(1)知，b ＝(－1)n＋1(3n－2)2，所以当n为偶数时，
n
T ＝b ＋b ＋b ＋…＋b ＝a－a＋a－a＋…＋a－a＝(a ＋a)(a －a)＋(a －a)(a ＋a)
n 1 2 3 n 1 2 1 2 3 4 3 4
＋…＋(a ＋a )·(a －a )＝－3(a＋a＋a＋…＋a )＝－3×＝－n2＋ n；
n－1 n n－1 n 1 2 3 n
当n为奇数时，T ＝T ＋b ＝－(n－1)2＋(n－1)＋(3n－2)2＝n2－n－2，
n n－1 n
∴T ＝
n
