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解答题：函数与导数的综合应用
题型一：利用导数研究函数的单调性
（24-25高三上·海南·期中）设函数 .
(1)求曲线 在点 切线方程；
(2)求函数 的单调区间;
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意知 ，
所以 ， ，
故所求切线方程为 ，化简得 .
（2）由（1）知 ，
当 ， 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减；
当 ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
所以当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，
当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的
和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
2、求函数单调区间的步骤
（1）确定函数 的定义域；
（2）求 （通分合并、因式分解）；
（3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
3、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 在 处有极值-1.
(1)求实数a，b的值;
(2)求函数 的单调区间.
【答案】(1) ；(2) 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
【解析】（1）已知函数 ，则 ，
由题意 ，解得 ，
当 时， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上均单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处有极小值 ，满足题意，
综上所述， 符合题意；
（2）由题意 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 .2．（24-25高三上·江苏常州·月考）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间．
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【解析】（1）当 时， ，则 ，
因为 ，所以 .
所以曲线 在 处的切线方程为 .
（2）函数的定义域为 ． ，
令 ，解得
当 ，即 时，
所以函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 ，即 时，
令 ，则 ，令 ，则 ，
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 ，即 时，
令 ，则 ，令 ，则 ，
函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
综上所述：
当 时，函数 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
题型二：利用导数研究函数的极值
（24-25高三上·黑龙江·月考）已知函数 .
(1)当 时，求函数 在 处的切线;
(2)当 时，若 的极小值小于0，求 的取值范围【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，所以 ，
所以函数 在 处的切线为 ，即 ；
（2） 的定义域为 ，且 ，
当 时，令 ，则 ，所以 单调递增；
令 ，则 ，所以 单调递减.
故当 时， 取极小值，
所以 .
设 ，
则 ，所以 是增函数.
因为 ，所以 时， .
综上所述， 的取值范围是 .
1、利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x 附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；②如果由负变正，则 是极小值；③如果在
的根x＝x 的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
根据函数的极值(点)求参数的两个要领：
①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
1．（24-25高三上·福建宁德·期中）已知函数 为 上的奇函数．(1)求 ；
(2)若函数 ，讨论 的极值．
【答案】(1) ；(2)极大值为 ；无极小值.
【解析】（1）因为函数 为 上的奇函数，
由 ，
此时 ，
则 ，
所以 为奇函数．
所以 ；
（2）由（1）得： 定义域为 ，
，
由 ，得 ；由 ，得 ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，
极大值 ；无极小值.
2．（24-25高三上·河南安阳·月考）已知函数 ．
(1)求 的定义域；
(2)若 存在极大值，求 的取值范围
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由 有意义可得 ，所以 ．
所以函数 的定义域为 ；
（2）由题意可得 ，令函数 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
当 时， ，
当 时， ，
则有：①当 ，即 时， 0，即 在 上恒成立，
即 在 上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去；
②当 ，即 时，存在 ，使得 ，
此时，当 时， ，
当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 存在极大值 ，符合题意．
综上所述 ．
题型三：利用导数研究函数的最值
（24-25高三上·江西·月考）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的最值．
【答案】(1) ；(2) 的最大值为 ，无最小值
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ， ，
从而曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）设 ，显然 同号，则 ，
所以 在 上单调递减，
注意到 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递增， 在 上单调递减，
当 趋于负无穷时， 也是趋于负无穷，
当 趋于正无穷时， 趋于0，
所以 的最大值为 ，无最小值.
函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
1．（24-25高三上·北京·期中）已知函数 （ ）在 处取得极小值.
(1)求a的值，并求函数 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1)单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2)最大值为 ，最小值为1.
【解析】（1） ，
由题意得 ，解得 ，
，定义域为R，
，
令 得 或 ，令 得 ，
故 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
此时函数 在 处取得极小值，满足题意；（2）由（1）知，故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值， ，
又 ，其中 ，
故 在区间 上的最小值为1，
综上， 在区间 上的最大值为 ，最小值为1.
2．（24-25高三上·湖北武汉·期中）已知函数 ．
(1)若函数 在 上的最小值为 ，求 的值；
(2)若 ，函数 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)1.
【解析】（1）因为 ， ，故可得 ， ，
①若 ， ， 在 单调递减， 的最小值为 ，不满足
；
②若 ，
令 ，解得 ，故 在 单调递增；
令 ，解得 ，故 在 单调递减；
故 的最小值为 ，即 ，解得 ，满足 ；
③若 ， ， 在 单调递增，
的最小值为 ，解得 ，不满足 ；
综上所述， .
（2）若 ， ， ，
定义域为 ， ，
令 ， ，
故 在 单调递增，又 ， ，故存在 ，使得 ，也即 ，且 ，
且当 ， ， ， 在 单调递减；
当 ， ， ， 在 单调递增；
故 的最小值为 ；
由上述求解可知， ，则 ，令 ，
则 ，故 在 单调递增；
，也即 ，又 ，故 ，即 ；
又 .
故 的最小值为 .
题型四：利用导数解决恒成立与能成立
（24-25高三上·河北衡水·月考）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)函数 在 上恒成立，求最小的整数a．
【答案】(1)单调增区间为 ， ，单调减区间为 ；(2)
【解析】（1）因为 ，则 ，
因为 恒成立，由 ，得到 或 ，由 ，得到 ，
所以函数 的单调增区间为 ， ，减区间为 .
（2）由（1）知 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 ， ，显然有 ，
所以 在区间 上最大值为 ，
又函数 在 上恒成立，所以 ，得到最小的整数 .对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和
放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若 对于 恒成立，求 的最大值.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1） ，当 ， 在R上单调递增，
当 ，令 得 ，令 得 ，
故 在 单调递减， 单调递增，
综上，当 时， 在R上为单增递增；
当 时， 在 单调递减， 单调递增；
（2）由（1）知，当 ， 在R上为单调递增，
，不合题意
当 ， 在R上单调递增， ，
故 的最大值为1，
当 ， 在 单调递减， 单调递增，
所以 在 处取得极小值，也是最小值，
，
由不等式 ，可得 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，即 ，
综上， 的最大值为 .
2．（24-25高三上·浙江绍兴·月考）已知函数 .
(1)当 时，求 在区间 上的值域；
(2)若存在 ，当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增.
因为 ， ， ，且 ，
所以 的值域是 .
（2）因为 .
①若 ，当 时， ，所以 在 上递增，
所以 ，不符合题意.
②若 ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上递減，在 上递增，
要存在 ，当 ， ，
则只需 ，所以 .
题型五：利用导数求解函数的零点
（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知函数 ，e为自然对数的底数，函数
.
(1)若 在 处的切线也是 的切线，求实数a的值；
(2)求 在 上的零点个数.
【答案】(1) ；(2)2
【解析】（1） ，则 ，所以切线方程为 ，
又 ，设直线 与 图象的切点为 ，
则 ，解得 .
（2） ，
当 时， ， ， ，所以函数 单调递减，
所以 ，此时函数 无零点；
当 时，设 ，则 ， 即 递增，
， ，
因此 在 即 在上有唯一零点，记零点为 ，即 ，
在 上， ， 单调递减，在 上， ， 单调递增，
又 ， ， ， ，
所以 在 有一个零点，在 上有一个零点，
综上所述， 在 上有2个零点.
导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探
索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值
的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分
类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考
的地方。
1．（24-25高三上·云南玉溪·月考）已知函数
(1)证明： 在区间 存在唯一极大值点；
(2)求 的零点个数．
【答案】(1)证明见解析；(2) 有且仅有两个零点
【解析】（1）设 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减.
又因为 ，所以 在 上有唯一的零点 ，
即函数 在 上存在唯一零点，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，
所以 在 上存在唯一的极大值点 .
（2）①由（1）知： 在 上存在唯一的极大值点 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 在 上恰有一个零点，
又因为 ，
所以 在 上也恰有一个零点.
②当 时，则 ，
设 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以当 时， 恒成立，
所以 在 上没有零点.
③当 时， ，
设 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以当 时， 恒成立，
所以 在 上没有零点.
综上， 有且仅有两个零点.
2．（24-25高三上·四川绵阳·月考）函数 .
(1)若 ，求函数 在 处的切线方程；
(2)证明：存在实数 使得曲线 关于点 成中心对称图形；
(3)讨论函数 零点的个数.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)答案见解析【解析】（1）当 时， ， ，
则 ， ，
故 在 处的切线方程为 ，即 .
（2）由 ，
若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，
现在只需证明当 时， ，
事实上， ，
于是
即存在实数 使得 即 是 的对称中心.
（3） ，
当 时， 时， ，故 在 上单调递增，
时， ， 在 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ，而 ，根据零点存在定理 在 上有一个零点；
①若 ，即 ， 在 无零点，从而 在 上有1个零点；
②若 ，即 ， ， 在 有一个零点，
，故 在 有一个零点，
从而 在 上有3个零点；
③若 ，即 ， 在 有一个零点，从而 在 上有2个零点；
当 时， 在 上单调递增， ， 时， ，
从而 在 上有一个零点；
当 时， 时 ，
故 在 上单调递增， 时， ， 在 上单调递减.
而 ， ，故 在 无零点，
又 ，由 ，
故 ， ，从而 在 有一个零点，
从而 在 上有一个零点.
综上：当 时， 在 上只有1个零点；
时， 在 上有2个零点；
时 在 上有3个零点.题型六：利用导数证明不等式
（24-25高三上·广东·月考）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，即切点为 ，
又 ，则 ，即在点 的切线的斜率为 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， ， ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即当 时， ，
则 在 上单调递减；
当 时， ，即当 时， ，则 在 上单调递增，
故 ．
利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
1．（24-25高三上·广东广州·月考）已知函数
(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)当 时，求证：
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）由题可知 ， ，则 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）令 ，
则 ，令 ，解得 或 ，
当 时， ， 的变化情况如下表所示：
x 2
0
单调递减 单调递增
又因为 ， ,
所以 在区间 的最大值为
即当 时， 恒成立，亦即 .
2．（24-25高三上·河北保定·期中）已知函数 .
(1)已知直线 是曲线 的切线，求实数a的值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)求证： 恒成立.
【答案】(1) ；(2) 在 上单调递减，在 上单调递增；(3)证明见解析
【解析】（1） ，
，解得 切点为 ，
.
（2） ，
当 时， 单调递减，
当 时， ，单调递增， 单调递递增.
综上所述， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（3） 恒成立 ，
恒成立 恒成立.
令 ，
则 ，
令 ，则 单调递增，
又 ， 当 时， ，即 单调递减；
当 时， ，即 单调递增；
恒成立.
题型七：利用导数研究双变量问题
（24-25高三上·福建龙岩·期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间;
(2)设 ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）由 ， ，
得 .
令 ，解得 .
当 时， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.当 时， 恒成立， 在 上单调递增.
当 时， ，
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
（2）因为对任意 ，均存在 ，使得 ，
所以 ，
当 时， 取得最大值，最大值为0.
由（1）得，当 时， 在 ]上单调递增，
即当 时， 取得最大值 ，
所以 ，解得 ，即 .
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得最大值 .
设 ，
则 ， 单调递增，
所以 成立，所以 无解.
综上所述， 的取值范围为 .
双变量不等式的处理策略：含两个变量的不等式，基本的思路是将之转化为一元的不等式，
具体转化方法主要有三种:整体代换，分离变量，选取主元.
1．（24-25高三上·湖北·期中）已知 为函数 的极小值点.
(1)求 的值；
(2)设函数 ，若对 ， ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）函数 的定义域为R，求导得 ，
依题意， ，解得 或 ，
当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，
因此 为函数 的极小值点，符合题意，则 ；
当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，
因此 为函数 的极大值点，不符合题意，
所以 .
（2）由（1）知，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，因此
，
①当 时，对 ， ，使得 ，
因此 ，符合题意，则 ；
②当 时， ，取 ，对 ，有 ，不符合题意；
③当 时，函数 ，求导得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，则 ，
若对 ， ，使得 ，只需 ，即 ，解得
，
所以 的取值范围为 .2．（24-25高三上·上海·期中）已知实数 ，设 .
(1)若 ，求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若 ，已知函数 ， 的值域为 ，求实数 的取值范围；
(3)若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【解析】（1）由题得 ，所以 ，所以 ，
所以在点 的切线方程为 ；
（2）由题得 ，
所以 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，此时 在 单调递减；
当 时， ，此时 在 单调递增；
当 时， ，此时 在 单调递减；
，
当 时，解 ，得 ，即
因为 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
所以要使函数 ， 的值域为
此时 .
（3）由题可知， ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
所以有极小值 ，有极大值令 ，解得 或 ，
所以有当 ， ，当 ， ，
因为对于任意的 ，总存在 ，使得
不成立，故 ，即
由题可知，对于任意的 ，总存在 ，使得 ，
不妨令集合 ，则有 ，
当 ，即 时，有 ，此时 在 单调递减，
所以 ，
显然 不成立；
当 ，即 ，此时有 ， ， 在 单调递减，
所以 ， ，故 ，
综上所述， .
题型八：利用导数研究极值点偏移问题
（24-25高三上·云南·月考）已知函数 .
(1)若 为增函数，求 的取值范围；
(2)若 有两个极值点 ，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1） 为增函数，则 恒成立，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 是函数 的极小值点，
故当 ，即 恒成立，
所以当 为增函数， 的取值范围为 .
（2） ， ， ，由（1）知当 ，
即 时， 有两个极值点 ，
故 ，设 ，则 ，
设 ，
则 ，
故 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，又 ，
故 ，
所以 ，
又 在 上单调递减，
故 ，所以 .
1、和型 （或 ）问题的基本步骤：
①首先构造函数 ，求导，确定函数 和函数 的单调性；
②确定两个零点 ，且 ，由函数值 与 的大小关系，
得 与零进行大小比较；
③再由函数 在区间 上的单调性得到 与 的大小，从而证明相应问题；
2、积型 问题的基本步骤：
①求导确定 的单调性，得到 的范围；
②构造函数 ，求导可得 恒正或恒负；
③得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
④根据 与 的范围，结合 的单调性，可得 与 的大小关系，由此证得结论.1．（23-24高三上·天津·月考）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若函数 有两个极值点 ，求证： .
【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，故切点坐标为 ，
又 ，所以 ，
故切线的斜率为 ，由点斜式可得 ，即 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2） 的定义域为 ，
又 ，
当 ，即 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减；
当 ，即 或 ，
令 ，解得 ，
若 时，则当 或 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调
递增；
若 时， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递减，当 时， 在 上单调递减，
在 上单调递增；
（3）由（2）可知，当 时， 有两个极值点 ，则 ，
由题意可得： ，
则
，
令 ，
则 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
故当 时， 取得最大值 ，
所以 .
2．（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）设函数 ，
(1)证明： 有两个零点；
(2)记 是 的导数， 为 的两个零点，证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】（1）由 ，得 ，即 ，令 ，
函数 有两个零点，即函数 有两个零点，求导得 ，
当 时， ；当 时， ，函数 在 上递减，在 上递增，
又 ，
因此 使得 ， 使得 ，所以函数 有两个零点.
（2）由（1）知函数 的零点 满足： ，
求导得 ，要证 ，即证 ，即证明
，
令 ，求导得
，
函数 在 上单调递减，则 ，由 ，得 ，
即 ，由 ，得 ，且 在 上单调递增，
因此 ，即 ，命题得证．
题型九：隐零点问题综合应用
（23-24高三下·湖南衡阳·一模）已知函数
(1)若 在 处的切线方程为 ，求 、 的值；
(2)若 时，在 上 恒成立，求 的取值范围；
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】（1） ，
由题意得 ，
所以 ，即 ，
，
所以 ，
故 ， .
（2） ，
若 上 恒成立，即 ，
故 是 在 上的极小值，所以 ，
， ，解得 ，
下证 时， ，令 ， ，
①在 上 单调递减， ， ，
由零点存在定理， ，使得 ，
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
， ， ，
由零点存在定理 ，使得 ，
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，
所以 上， ， ， ，
②在 上， 单调递增，
， 单调递减，所以 ，
综上，只有当 时，在 上 ，所以 .
隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉零点存在的
区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与简单函数的
替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
1．（24-25高三上·浙江杭州·月考）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明过程见解析
【解析】（1） 的定义域为 ，故 ，
若 时，令 得 ，令 得 ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，若 时， ，故 在 上单调递增，
若 时， ，令 得 或 ，
令 得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
若 时， ，令 得 或 ，
令 得 ，
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减.
（2） ，
即 ，
令 ，定义域为 ，
，其在 上单调递增，
又 ， ，
由零点存在性定理得，存在唯一的 ，使得 ，
即 ，故 ，
当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
其中 ，
两边取对数得 ，故 ，
所以 ，证毕.
2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知函数 （其中 ）
(1)当 时，证明：
(2)若 时， ，求实数 的取值范围；
(3)记函数 的最小值为 ，求证：
【答案】(1)证明见解析；(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， ， ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
，得证.
（2）法一：由 ， ，
①当 时， ， ， ，
单调递增， ，
单调递增， ， 成立；
②当 时，当 ， ，
单调递减， ，
单调递减， ，与条件矛盾， 不成立；
综上所述： .
法二：由 ，即 成立，设
，设 ，， 单调递增，
， 单调递增
即 ， 单调递增，
由洛必达法则 ， .
（3） ，则 ，
设 ，则 ，又因 ，
在 单调递增，
又 ，
，使得 ，即 ①，
且 ， ， 单调递减；
， ， 单调递增，
，
由①得 ，
又 ， ，
，使得 ，即 ，即 ，
且 ， ， 单调递减；
， ， 单调递增，
，
， ，
再设 ，则 在 单调递减，
， 也即 大于 ，
要证 ，即证 ，又即证 ，
由（2）问 ，，得证.
题型十：导数与数列综合问题
（23-24高三下·河北·三模）已知函数 ．
(1)若 在 恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1） 在 恒成立．
构造函数 ，则 在 恒成立．
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，矛盾，故舍去
当 时，由 得 ，所以 在 上单调递增，
故 ，均有 ，矛盾，故舍去
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，满足题意；
综上，实数a的取值范围为
（2）由（1）知当 时， 恒成立，
即 在 上恒成立，当且仅当 时取等号．
所以当 时，可得
同理 ， ， ，两边分别累加得：
即
即
导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变
量，
通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式
常由第一问根据特征式的特征而得到.
1．（23-24高三下·四川雅安·一模）已知函数 ．
(1)若 有2个相异极值点，求a的取值范围；
(2)若 ，求a的值；
(3)设m为正整数，若 ， ，求m的最小值．
【答案】(1) 或 ；(2) ；(3)3.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，求导得 ，
由 有2个相异极值点，得方程 有两个相异正实根 ，
于是 ，解得 或 ，
所以a的取值范围是 或 .
（2）令 ，求导得 ，
当 时，函数 在 上单调递增，而 ，，则 ，使得 ，
当 时， ，因此函数 在 上单调递增，而 ，
则当 时， ，即 ，不符合题意；
当 时，而 时， ，不等式 不恒成立，不符合题意；
当 时， ，求导得 ，当 时， ，当 时，
，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即对任意正数 ， 恒成立，即不等式 恒成立，符合题意，
所以 .
（3）由（2）知，对任意 ，不等式 ，当且仅当 时取等号，
令 ，则 ，
则
，即 ，
因此 ，
当 时， ，
所以对 ， 时，正整数 的最小值为3.
2．（24-25高三上·上海·月考）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)①当 时， 恒成立，求正整数 的最大值；
②证明：
【答案】(1)极小值为 ，没有极大值；
(2)①正整数 的最大值为 ，②证明见解析.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
导函数 ， ，令 ，又 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取极小值，极小值为 ，
所以函数 的极小值为 ，没有极大值；
（2）①因为当 时， 恒成立，
所以当 时， ，
由（1）若 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
（a）当 时， 在 上单调递增， 满足题意；
（b）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
且 ， ， ，
所以存在 使得 ，
则 的解集为 ，
综上满足条件的正数 的取值范围 ，其中 ，
所以正整数 的最大值 ；
（ii）证明：要证
两边取对数，即证
也即证
由①知 ，
令 ，则
所以
所以
所以 ．1．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数 ， ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，设 ，若 既有极大值又有极小值，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)
【解析】（1）当 时， 的定义域为 ， ，
当 时， 恒成立， 在 上为增函数；
当 时， ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
当 时， ，当 或 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ．
综上所述，当 时， 在 上为增函数；
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
（2）因为 ，所以 ，
若 既有极大值又有极小值，则 至少存在两个变号零点，
即 至少有两个不同实数根，
记 ，则 ，当 时， ，当 时， ，
所以 在 时，取得极大值 ，
又 趋近于0时， 趋近于 ，当 趋近于 时， 趋近于0，
所以， 的图像如图所示，
由图可知，当 ，即 时， 有两个变号零点，
且分别为 极大值点和极小值点，所以 的取值范围为 ．
2．（24-25高三上·山东·期中）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)当 时， ，求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2) 在 上单调递增；(3)
【解析】（1）由题意可知 ，
，则 ，
故曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）当 时， .则 .
当 时， ，此时
.
当 时， .
故 在 上恒成立.
再由 可知 为偶函数，
于是 在 上恒成立.故 在 上单调递增.
（3）当 时， 符合题意.
当 时，由 可得 .
令 ，则 .令 ，则 .
令 ，则 .
令 ，
当 时， ，故 在 上单调递减.
又 ，则此时 .故 在 上单调递减.
因为 ， ，则存在 ，使得 ，
于是 在 上单调递增，在 上单调递减.
由于 ， ，则当 时， ，此时 .
因此 在 上单调递增.
故当 时， .
令 ， ，则 .
当 时， ，则 在 上单调递增，
此时 .故当 时， .
故 在 上恒成立.
因此 的取值范围为 .
3．（24-25高三上·北京房山·期中）已知函数 在点 处取得极大值5，其导函数
的图象经过点 ， ，如图所示.求：
(1) 的值；
(2) ， ， 的值；
(3)函数 在区间 上的最大值和最小值.
【答案】(1) ；(2) ， ， ；(3) ，
【解析】（1）由图象可知：在 上， ；在 上， ；在 上，
在 ， 上单调递增，在 上单调递减，在 处取得极大值， ；
（2）因为 且 ， ， ，
得： ，解得： ， ， ；
（3）由（2）得 ，则 ，
可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
， ，
又 ， ， ， ，
， .
4．（24-25高三上·江苏盐城·期中）设函数 ， .
(1)求 的极值；
(2)已知实数 ，若存在正实数x使不等式 成立，求a的取值范围；
(3)已知不等式 对满足 的一切实数m，n恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)极小值 ，无极大值；(2) ；(3) .
【解析】（1）由题设 ，
时， ，即 在 上递减，
时， ，即 在 上递增，
所以 有极小值 ，无极大值.
（2）由 且 ，则 ，
所以，问题化为 ， 使 成立，
令 ，则 ，且 时 ，
时 ，即 在 上递减，对应值域为 ；
时 ，即 在 上递增，对应值域为 ；
由于 ，于是 ，即 ，此时 ，对于 且 ，则 ，
故 时 ，即 在 上递增，
时 ，即 在 上递减，
所以 ，故 .
（3）由题设，令 ，而 ，
所以 在 上恒成立，
令 在 上递增，则 ，
令 ，则 ，
故 上 ，即 在 上递减；
上 ，即 在 上递增；
所以 ，
综上 ，故只需 .
5．（23-24高三下·广东佛山·一模）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若存 、 在，满足 ，证明： ；
(3)对任意的 ， 恒成立，其中 是函数 的导数，求 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1） 的定义域为 ， ．
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 或 （舍去），
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）方法一：当 时， ，由 ，
得 ，即
由于 ，事实上，令 ， ，
时， ； 时， ；所以 ，
所以 ，即 ．
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，得证．
方法二：当 时， ， ，
由（1）知 时， 在 上单调递增，
当 时，可证 ．
不妨设 ，要证 ，即证 ，即证 ，
因为 ，所以即证 ．
令 ，其中 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 ．
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
综上， ．
（3）方法一： ，由 ，
得 ，即 ，
所以对任意的 ， 恒成立，
等价于 ，
由于 ，事实上，令 ， ，
时， ； 时， ；所以 ，所以 ，即 ．
所以 ，
当且仅当 时，等号成立（方程显然有解），
即 ，所以 ．
所以 的取值范围是 ．
方法二： ，由 ，得 ，
即 ，所以对任意的 ， 恒成立，
等价于
令 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，
令 ， ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以
又 时， ； 时， ，
所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 ．
6．（23-24高三下·浙江杭州·一模）已知函数 .(1)若 ，求 的单调区间;
(2)若 ，求证: ;
(3)若 使得 ，求证: .
【答案】(1)单调递减区间是 ，无增区间；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）当 时， ， ，
则
令 ，则 ，
令 ，∵ ，∴ ，
∴ 在区间 上单调递减增，在区间 上单调递减，
∴ ，
∴ 的单调递减区间是 ，无增区间.
（2）∵ ，
当 时， 显然成立，
当 时， ，令 ，
∴ ，
∴ 在区间 上单调递减，∴ ，
∴ 在区间 上单调递减，∴ ，
综上所述，当 时， .
（3） ，
∴ ，令 ，则 ，
∴ 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
∵ ，∴ .
不妨设 ，则 ， ，
先证： ，易知 在 处的切线方程为 ，该切线与直线 的交点的横坐标为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，此时 ，
∴当 时， 图像在 下方.
∴ ，∴ ，
再证 ，设 ， ，
易知直线 方程为 ，直线 方程为 ，
则直线 ， 与直线 交点的横坐标为 ， ，
∴ ，
∵ ，同理可证： ，
∴ ，类似的可以证明 ，
∴ ，即 ，
∴
1．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)当 时，证明：当 时， 恒成立．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【解析】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；
当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，令 ，下证 即可.
，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
2．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值；(2)
【解析】（1）当 时， ，
故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；
综上， .
3．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
4．（2024·天津·高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意 成立，求实数 的值；
(3)若 ，求证： ．
【答案】(1) ；(2)2；(3)证明过程见解析
【解析】（1）由于 ，故 .
所以 ， ，所以所求的切线经过 ，且斜率为 ，故其方程为 .
（2）设 ，则 ，从而当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增，这就说明 ，即 ，且等号成立当
且仅当 .
设 ，则
.
当 时， 的取值范围是 ，所以命题等价于对任意 ，都有 .
一方面，若对任意 ，都有 ，则对 有
，
取 ，得 ，故 .
再取 ，得 ，所以 .另一方面，若 ，则对任意 都有 ，满足条件.
综合以上两个方面，知 的值是2.
（3）先证明一个结论：对 ，有 .
证明：前面已经证明不等式 ，故
，
且 ，
所以 ，即 .
由 ，可知当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增.
不妨设 ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.
情况一：当 时，
有 ，结论成立；
情况二：当 时，有 .
对任意的 ，设 ，则 .
由于 单调递增，且有
，
且当 ， 时，由 可知
.
所以 在 上存在零点 ，再结合 单调递增，即知 时 ，
时 .故 在 上递减，在 上递增.
①当 时，有 ；
②当 时，由于 ，故我们可以取 .
从而当 时，由 ，可得
.
再根据 在 上递减，即知对 都有 ；
综合①②可知对任意 ，都有 ，即 .
根据 和 的任意性，取 ， ，就得到 .
所以 .
情况三：当 时，根据情况一和情况二的讨论，
可得 ， .
而根据 的单调性，知 或 .
故一定有 成立.
综上，结论成立.
5．（2024·全国·高考真题）已知函数
(1)若 ，且 ，求 的最小值；
(2)证明：曲线 是中心对称图形；
(3)若 当且仅当 ，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)
【解析】（1） 时， ，其中 ，
则 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，而 成立，故 即 ，所以 的最小值为 .，
（2） 的定义域为 ，
设 为 图象上任意一点，
关于 的对称点为 ，
因为 在 图象上，故 ，
而 ，
所以 也在 图象上，
由 的任意性可得 图象为中心对称图形，且对称中心为 .
（3）因为 当且仅当 ，故 为 的一个解，
所以 即 ，
先考虑 时， 恒成立.
此时 即为 在 上恒成立，
设 ，则 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
当 ， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 时， ，
故 恒成立，故 在 上为增函数，
故 即 在 上恒成立.
当 ，则当 时，
故在 上 为减函数，故 ，不合题意，舍；
综上， 在 上恒成立时 .而当 时，
而 时，由上述过程可得 在 递增，故 的解为 ，
即 的解为 .
综上， .
6．（2024·北京·高考真题）设函数 ，直线 是曲线 在点
处的切线．
(1)当 时，求 的单调区间.
(2)求证： 不经过点 .
(3)当 时，设点 ， ， ， 为 与 轴的交点， 与 分别表示
与 的面积．是否存在点 使得 成立？若存在，这样的点 有几个？
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；(2)证明见解析；(3)2
【解析】（1） ，
当 时， ；当 ， ；
在 上单调递减，在 上单调递增.
则 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（2） ，切线 的斜率为 ，
则切线方程为 ，
将 代入则 ，
即 ，则 ， ，
令 ，
假设 过 ，则 在 存在零点.
， 在 上单调递增， ，
在 无零点， 与假设矛盾，故直线 不过 .（3） 时， .
，设 与 轴交点 为 ，
时，若 ，则此时 与 必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知 .所以 ，
则切线 的方程为 ，
令 ，则 .
，则 ，
，记 ，
满足条件的 有几个即 有几个零点.
，
当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减；
因为 ，
，
所以由零点存在性定理及 的单调性， 在 上必有一个零点，在 上必有一个零
点，
综上所述， 有两个零点，即满足 的 有两个.
7．（2024·上海·高考真题）对于一个函数 和一个点 ，令 ，若是 取到最小值的点，则称 是 在 的“最近点”．
(1)对于 ，求证：对于点 ，存在点 ，使得点 是 在 的“最近点”；
(2)对于 ，请判断是否存在一个点 ，它是 在 的“最近点”，且直线 与
在点 处的切线垂直；
(3)已知 在定义域R上存在导函数 ，且函数 在定义域R上恒正，设点
， ．若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近
点”，试判断 的单调性．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在， ；(3)严格单调递减
【解析】（1）当 时， ，
当且仅当 即 时取等号，
故对于点 ，存在点 ，使得该点是 在 的“最近点”．
（2）由题设可得 ，
则 ，因为 均为 上单调递增函数，
则 在 上为严格增函数，
而 ，故当 时， ，当 时， ，
故 ，此时 ，
而 ，故 在点 处的切线方程为 .
而 ，故 ，故直线 与 在点 处的切线垂直．
（3）设 ，
，
而 ，
，
若对任意的 ，存在点 同时是 在 的“最近点”，
设 ，则 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
因为两函数的定义域均为 ，则 也是两函数的极小值点，
则存在 ,使得 ，
即 ①②
由①②相等得 ，即 ，
即 ，又因为函数 在定义域R上恒正，
则 恒成立，
接下来证明 ，
因为 既是 的最小值点，也是 的最小值点，
则 ，
即 ，③
，④
③ ④得
即 ，因为
则 ，解得 ，
则 恒成立，因为 的任意性，则 严格单调递减.
