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课时跟踪检测（七） 函数性质的综合应用
一、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·济南模拟)下列函数既是奇函数，又在[－1，1]上单调递增的是( )
A．f(x)＝|sin x| B．f(x)＝ln
C．f(x)＝(ex－e－x) D．f(x)＝ln(－x)
解析：选C 对于A，f(x)＝|sin x|为偶函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ln 的定义域为(－e，e)，关于原点对称，有f(－x)＝ln ＝ －ln ＝－
f(x)，为奇函数，
设t＝＝－1＋，x∈(－e，e)，在(－e，e)上为减函数，而y＝ln t为增函数，则f(x)＝ln 在(－
e，e)上为减函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝(ex－e－x)，有f(－x)＝(e－x－ex)＝－(ex－e－x)＝－f(x)，为奇函数，且f′(x)
＝(ex＋e－x)>0，则f(x)在R上为增函数，符合题意；
对于D，f(x)＝ln(－x)的定义域为R.
f(－x)＝ln(＋x)＝－ln(－x)＝－f(x)，为奇函数，
设t＝－x＝，易知t在R上为减函数，而y＝ln t为增函数，
则f(x)＝ln(－x)在R上为减函数，不符合题意．故选C.
2．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)
的解集为( )
A. B.
C．[－1,1] D.
解析：选B ∵f(x)是定义在[2b,1－b]上的偶函数，∴2b＋1－b＝0，∴b＝－1，
∵f(x)在[2b,0]上为增函数，即函数f(x)在[－2,0]上为增函数，∴函数f(x)在(0,2]上为减
函数，则由f(x－1)≤f(2x)，得|x－1|≥|2x|，即(x－1)2≥4x2，解得－1≤x≤.
又∵函数f(x)的定义域为[－2,2]，∴解得
综上，所求解集为.
3．已知函数f(x)在[0,4]上是增函数，且函数y＝f(x＋4)是偶函数，则下列结论正确的是(
)
A．f(2)xf(x)＋xf(x)，则称函数y＝f(x)为“H函数”，下列函数为H函数的
2 1 1 2 2 1 2 2 1
是( )
A．f(x)＝sin x B．f(x)＝exC．f(x)＝x3－3x D．f(x)＝x|x|
解析：选D 根据题意，对于任意不相等的实数x，x，xf(x)＋xf(x)>xf(x)＋xf(x)恒
1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
成立，
则有(x－x)[f(x)－f(x )]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，
1 2 1 2
故“H函数”为奇函数且在R上为增函数．
据此依次分析选项：
对于A，f(x)＝sin x，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；
对于B，f(x)＝ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，f(x)＝x3－3x，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；
对于D，f(x)＝x|x|＝为奇函数且在R上为增函数，符合题意，故选D.
5．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称，给出下列关于f(x)的
结论，其中正确的结论是( )
A．f(x)是周期函数
B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)
C．f(x)在(0,2)上单调递减
D．f(x)＝cos 是满足条件的一个函数
解析：选ABD 因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，因为f(x)的图象关于点(1,0)对称，
则f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期
的周期函数，故A正确；可得f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，把x替换成－x可得f(x)＝f(4－x)，故B
正确；f(x)＝cos是定义在R上的偶函数，(1,0)是其图象的一个对称中心，可得D正确；f(x)＝
－cos满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．
6．(多选)设函数f(x)是定义在R上的函数，满足f(－x)－f(x)＝0，且对任意的x∈R，恒有
f(x＋2)＝f(2－x)，已知当x∈时，f(x)＝2－x，则有( )
A．函数的最大值是1，最小值是
B．函数f(x)是周期函数，且周期为2
C．函数f(x)在上递减，在上递增
D．当x∈时，f(x)＝2－x
解析：选AC ∵函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，即f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数．
∵f(x＋2)＝f(2－x)＝f(x－2)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数，B 错误；
∵x∈时，f(x)＝2－x，
∴x∈时，f(x)是增函数，
∴f(x) ＝f(2)＝1，f(x) ＝f(0)＝.
max min
根据函数f(x)是偶函数可知当x∈时，最大值为1，最小值为，由周期性知当x∈R时，最
大值为1，最小值为，A正确；
又∵x∈时，f(x)是增函数，∴x∈时，f(x)是减函数，由T＝4知f(x)在上递减，在上递增，C
正确；令x∈，则－x∈，f(－x)＝2＋x＝f(x)，
∴f(x－4)＝2＋x－4＝x－2＝f(x)，
∴x∈时，f(x)＝x－2，D错误．故选A、C.
7．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝
6－x，则f(919)＝________.
解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，
∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．
又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.
答案：6
8．(2021·衡水中学模拟)已知函数f(x)＝ex－－2sin x，其中e为自然对数的底数，若f(2a2)
＋f(a－3)＋f(0)<0，则实数a的取值范围为________．
解析：因为f(0)＝0，f′(x)＝ex＋e－x－2cos x，ex＋e－x≥2，而2cos x≤2，所以f′(x)≥0，
所以函数y＝f(x)是单调递增函数．又f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数，所以原不等式可
化为f(2a2)<－f(a－3)＝f(3－a)，则2a2<3－a，即2a2＋a－3<0，解得－0时，f(x)>1.
(1)求f(0)的值；
(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数；
(3)求不等式f(x2＋x)<的解集．
解：(1)令a＝1，b＝0，则f(1)＝f(1＋0)＝f(1)f(0)，
∵f(1)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：当x<0时，－x>0.
令a＝x，b＝－x，则f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1，由f(－x)>0得f(x)>0，注意到f(0)＝
1>0，
∴对于任意实数x，f(x)>0.
任取x，x∈R，且x0，f(x－x)>1，
1 2 1 2 2 1 2 1
∵f(x)＝f[x＋(x －x)]＝f(x)f(x－x)>f(x)，
2 1 2 1 1 2 1 1
∴函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
(3)∵＝＝f(－2x＋4)，
∴f(x2＋x)<＝f(－2x＋4)，
由(2)可得x2＋x<－2x＋4，
解得－4f(2x－1)成立的x的取值范围为________．
解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－
1|)．
当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
因为y＝ln(1＋x)与y＝－在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解
得0的解集．
解：由题意易知条件①和②最好只选择一个，否则可能产生矛盾；条件③和④最好也只
选择一个，否则f(x)就变成恒等于0的常数函数，失去研究价值．
如果选择条件①③.由f(x)是定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝0，且
f(x)在关于原点对称的区间上的单调性一致．因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以，当00，当x≥1或－1≤x≤0时，f(x)≤0.f(x－1)>0⇔00的解集为(－∞，0)∪(1,2)．
如果选择条件①④⑤.因为f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)是偶函数，所以f(x)在
(－∞，0)上单调递增，注意到f(－1)＝0，所以f(x－1)>0⇔f(x－1)>f(－1)⇔f(|x－1|)>f(|－1|)⇔|
x－1|<1⇔00的解集为(0,1)∪(1,2)．
选择其他条件组合的解法类似．
如果同时选择条件③④.易知f(x)＝0恒成立，不等式f(x－1)>0的解集为空集．
