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课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前 n 项和
一、基础练——练手感熟练度
1．已知各项均为正数的等比数列{a }满足aa＝16，a＝2，则公比q＝( )
n 1 5 2
A．4 B.
C．2 D.
解析：选C 由题意，得解得或(舍去)，故选C.
2．公比不为1的等比数列{a }满足aa＋aa＝18，若aa ＝9，则m的值为( )
n 5 6 4 7 1 m
A．8 B．9
C．10 D．11
解析：选C 由题意得，2aa＝18，∴aa＝9，∵aa ＝aa＝9，∴m＝10.
5 6 5 6 1 m 5 6
3．已知公比q≠1的等比数列{a }的前n项和为S ，a＝1，S＝3a，则S＝( )
n n 1 3 3 5
A．1 B．5
C. D.
解析：选D 由题意得＝3aq2，解得q＝－或q＝1(舍)，所以S＝＝＝.
1 5
4．已知{a }是公差为3的等差数列，若a，a，a 成等比数列，则{a }的前10项和S ＝(
n 1 2 4 n 10
)
A．165 B．138
C．60 D．30
解析：选A 由a，a，a 成等比数列得a＝aa，即(a＋3)2＝a·(a＋9)，解得a＝3，则S
1 2 4 1 4 1 1 1 1 10
＝10a＋d＝10×3＋45×3＝165.故选A.
1
5．已知等比数列{a }的各项均为正数，S 为其前n项和，且满足：a＋3a＝，S＝，则a＝
n n 1 3 3 4
( )
A. B.
C．4 D．8
解析：选A 设等比数列{a }的公比为q，则q>0.
n
∵a＋3a＝，S＝，∴a＋3aq2＝，a(1＋q＋q2)＝，联立解得a＝2，q＝.
1 3 3 1 1 1 1
则a＝2×3＝.故选A.
4
二、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·福州模拟)已知等比数列{a }各项均为正数，满足a＋a＝3，a＋a＝6，则aa＋
n 1 3 3 5 1 3
aa＋aa＋aa＋aa＝( )
2 4 3 5 4 6 5 7
A．62 B．62
C．61 D．61
解析：选A 设正项等比数列{a }的公比为q(q>0)，
n
∵a＋a＝3，a＋a＝6，
1 3 3 5∴a(1＋q2)＝3，a(q2＋q4)＝6，联立解得a＝1，q2＝2.
1 1 1
∵＝q2＝2，aa＝1×(1×2)＝2，∴{a a }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴aa＋
1 3 n n＋2 1 3
aa＋aa＋aa＋aa＝＝62.故选A.
2 4 3 5 4 6 5 7
2．已知各项均为正数的等比数列{a }中，a 与a 的等比中项为，则a＋a的最小值是(
n 2 8
)
A．1 B．2
C．4 D．8
解析：选C ∵等比数列{a }中，a 与a 的等比中项为，∴aa＝aa＝2.
n 2 8 4 6 2 8
则a＋a≥2aa＝4，当且仅当a＝a＝时取等号．故选C.
4 6 4 6
3．已知数列{a }，{b }满足a＝b＝1，a －a ＝＝3，n∈N*，则数列{b }的前10项和为(
n n 1 1 n＋1 n an
)
A.(310－1) B.(910－1)
C.(279－1) D.(2710－1)
解析：选D 由a －a ＝3，知数列{a }为公差为3的等差数列，则a ＝1＋(n－1)×3＝
n＋1 n n n
3n－2；由＝3，知数列{b }为公比为3的等比数列，则b ＝3n－1.所以b ＝33n－3＝ 27n－1，
n n an
则数列{ b }为首项为1，公比为27的等比数列，则数列{ b }的前10项和为＝(2710－1)．故
an an
选D.
4．(2021·邵阳模拟)设S 是等比数列{a }的前n项和，若＝3，则＝( )
n n
A．2 B.
C. D．1或2
解析：选B 设S＝k(k≠0)，S＝3k，∵数列{a }为等比数列，∴S，S－S，S－S 也为等
2 4 n 2 4 2 6 4
比数列，又S＝k，S－S＝2k，∴S－S＝4k，∴S＝7k，∴＝＝，故选B.
2 4 2 6 4 6
5．(多选)在公比为q的等比数列{a }中，S 是数列{a }的前n项和，若a＝1，a＝27a，则
n n n 1 5 2
下列说法正确的是( )
A．q＝3 B．数列{S ＋2}是等比数列
n
C．S＝121 D．2lg a ＝lg a ＋lg a (n≥3)
5 n n－2 n＋2
解析：选ACD 因为a＝1，a＝27a，所以有a·q4＝27a·q⇒q3＝27⇒q＝3，因此选项A
1 5 2 1 1
正确；
因为S ＝＝(3n－1)，所以S ＋2＝(3n＋3)，
n n
因为＝＝1＋≠常数，所以数列{S ＋2}不是等比数列，故选项B不正确；
n
因为S＝(35－1)＝121，所以选项C正确；
5
a ＝a·qn－1＝3n－1>0，
n 1
因为当n≥3时，lg a ＋lg a ＝lg(a ·a )
n－2 n＋2 n－2 n＋2
＝lg a＝2lg a ，所以选项D正确．
n
6．已知正项等比数列{a }满足：aa＝16a，a＋a＝20，若存在两项a ，a 使得＝32，则
n 2 8 5 3 5 m n
＋的最小值为( )A. B.
C. D.
解析：选A 设公比为q，q>0.
∵数列{a }是正项等比数列，∴aa＝a＝16a，
n 2 8 5
∴a＝16，又a＋a＝20，∴a＝4，
5 3 5 3
∴q＝2，∴a＝1，∴a ＝aqn－1＝2n－1.
1 n 1
∵＝32，∴2m－12n－1＝210，即m＋n＝12，
∴＋＝(m＋n)＝≥＝(m，n∈N*)，
当且仅当n＝2m，即m＝4，n＝8时“＝”成立，
∴＋的最小值为，故选A.
7．设等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2n＋1＋λ，则λ＝( )
n n n
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选A 法一：依题意，a＝S＝4＋λ，a＝S－S＝4，a＝S－S＝8，
1 1 2 2 1 3 3 2
因为{a }是等比数列，所以a＝a·a，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.
n 1 3
法二：S ＝2n＋1＋λ＝2×2n＋λ，易知q≠1，因为{a }是等比数列，所以S ＝－qn，据此可得
n n n
λ＝－2.故选A.
8．设数列{(n2＋n)a }是等比数列，且a＝，a＝，则数列{3na }的前15项和为( )
n 1 2 n
A. B.
C. D.
解析：选B 等比数列{(n2＋n)a }的首项为2a＝，第二项为6a＝，故公比为，所以(n2＋
n 1 2
n)a ＝·n－1＝，所以a ＝，则3na ＝＝－，其前n项和为1－，当n＝15时，前15项和为1－＝.
n n n
9．各项均为正数的等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝2，S ＝14，则S 等于( )
n n n 3n 4n
A．80 B．30
C．26 D．16
解析：选B 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S ，S －S ，S －S ，S －S ，…
n 2n n 3n 2n 4n 3n
仍为等比数列．
设S ＝x，则2，x－2,14－x成等比数列．
2n
由(x－2)2＝2×(14－x)，
解得x＝6或x＝－4(舍去)．
∴S ，S －S ，S －S ，S －S ，…是首项为2，公比为2的等比数列．
n 2n n 3n 2n 4n 3n
又∵S ＝14，∴S ＝14＋2×23＝30.
3n 4n
10．已知等比数列{a }的前n项积为T ，若a＝－24，a＝－，则当T 取得最大值时，n的
n n 1 4 n
值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6解析：选C 设等比数列{a }的公比为q，则a＝－24q3＝－，所以q3＝，q＝，易知此等比
n 4
数列各项均为负数，则当n为奇数时，T 为负数，当n为偶数时，T 为正数，所以T 取得最大
n n n
值时，n为偶数，排除B；而T＝(－24)2×＝24×8＝192，T＝(－24)4× 6＝84×＝>192，T＝
2 4 6
(－24)6×15＝86×9＝＝×<，所以T 最大．故选C.
4
11．设数列{a }为等差数列，数列{b }为等比数列．若a ＋a ＋a ＝π，则cos(a ＋a)＝
n n 1 5 9 2 8
______；若b >0，且bb＋bb＝4，则bb…b ＝________.
n 5 6 4 7 1 2 10
解析：因为数列{a }为等差数列，a＋a＋a＝π，
n 1 5 9
所以3a＝π⇒a＝，
5 5
所以cos(a＋a)＝cos(2a)＝cos＝－.
2 8 5
又因为数列{b }为等比数列，b >0，且bb＋bb＝4，
n n 5 6 4 7
所以2bb＝4⇒bb＝2，所以bb…b ＝(bb)5＝25＝32.
5 6 5 6 1 2 10 5 6
答案：－ 32
12．已知等比数列{a }的公比为正数，且aa＝2a，a＝1，则a＝________.
n 3 9 2 1
解析：∵aa＝a，∴a＝2a，设等比数列{a }的公比为q，∴q2＝2，由于q>0，解得q＝，∴a
3 9 n 1
＝＝.
答案：
13．等比数列{a }中，已知各项都是正数，且a，a 2a 成等差数列，则＝________.
n 1 3, 2
解析：设{a }的公比为q.由题意得a＋2a＝a，则a(1＋2q)＝aq2，q2－2q－1＝0，所以q
n 1 2 3 1 1
＝＝1＋(舍负)，则＝＝－1.
答案：－1
14．在数列{a }中，a＋2a ＝a a ＋a ＋a ，且a＝2，a＝5.
n n＋1 n n＋2 n n＋2 1 2
(1)证明：数列{a ＋1}是等比数列；
n
(2)求数列{a }的前n项和S .
n n
解：(1)证明：∵a＋2a ＝a a ＋a ＋a ，
n＋1 n n＋2 n n＋2
∴(a ＋1)2＝(a ＋1)(a ＋1)，
n＋1 n n＋2
即＝.
∵a＝2，a＝5，∴a＋1＝3，a＋1＝6，∴＝2，
1 2 1 2
∴数列{a ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列．
n
(2)由(1)知，a ＋1＝3·2n－1，
n
∴a ＝3·2n－1－1，∴S ＝－n＝3·2n－n－3.
n n
15．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a }满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记b 为{a }在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{b }的前100项和S .
m n m 100
解：(1)设{a }的公比为q.
n
由题设得aq＋aq3＝20，aq2＝8.
1 1 1
解得q＝2或q＝(舍去)．所以a＝2.
1所以{a }的通项公式为a ＝2n.
n n
(2)由题设及(1)知b＝0，且当2n≤m<2n＋1时，b ＝n.
1 m
所以S ＝b＋(b＋b)＋(b＋b＋b＋b)＋…＋(b ＋b ＋…＋b )＋(b ＋b ＋…＋b )
100 1 2 3 4 5 6 7 32 33 63 64 65 100
＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.
16．(2021·青岛一模)设数列的前n项和为S ，a＝1，________.
n 1
给出下列三个条件：
①：数列为等比数列，数列{S ＋a}也为等比数列；
n 1
②：点(S ，a )在直线y＝x＋1上；
n n＋1
③：2na＋2n－1a＋…＋2a ＝na .
1 2 n n＋1
试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
(1)求数列的通项公式；
(2)设b ＝，求数列{b }的前n项和T .
n n n
解：(1)选条件①.
因为数列为等比数列，
所以(S＋a)2＝(S＋a)(S＋a)，
2 1 1 1 3 1
即(2a＋a)2＝2a(2a＋a＋a)，
1 2 1 1 2 3
设等比数列{a }的公比为q，因为a＝1，
n 1
所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，
所以a ＝aqn－1＝2n－1(n∈N*)．
n 1
选条件②.
因为点(S ，a )在直线y＝x＋1上，
n n＋1
所以a ＝S ＋1(n∈N*)，所以a ＝S ＋1(n≥2)，
n＋1 n n n－1
两式相减得a －a ＝a ，＝2(n≥2)，
n＋1 n n
因为a＝1，a＝S＋1＝a＋1＝2，＝2也适合上式，
1 2 1 1
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a ＝aqn－1＝2n－1(n∈N*)．
n 1
选条件③.
当n≥2时，
因为2na＋2n－1a＋…＋2a ＝na (n∈N*)，(ⅰ)
1 2 n n＋1
所以2n－1a＋2n－2a＋…＋2a ＝(n－1)a ，
1 2 n－1 n
所以2na＋2n－1a＋…＋22a ＝2(n－1)a .(ⅱ)
1 2 n－1 n
(ⅰ)－(ⅱ)得2a ＝na －2(n－1)a ，即＝2(n≥2)，
n n＋1 n
当n＝1时，2a＝a，＝2也适合上式，
1 2
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以a ＝aqn－1＝2n－1(n∈N*)．
n 1
(2)由(1)得a ＝2n－1(n∈N*)，
n所以b ＝＝
n
＝，
所以T ＝＋＋＋…＋＋
n
＝＝－
＝－.
