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专题 02 函数与嵌套函数的零点问题
难点突破
知识讲解
一、函数的零点
1.函数零点的定义
对于函数 ,把使函数 的值为0的实数 叫作函数 的零点.
2.几个等价关系
方程 有实数根⇔函数 的图象与 x 轴 有交点⇔函数 有 零点 .
3.函数零点的判定(函数零点存在定理)
如果函数 在区间 上的图象是一条不间断的曲线,且 f ( a ) · f ( b ) < 0 ,那么,函数 在区间
( a , b ) 上有零点,即存在 ,使得 f ( c ) = 0 ,这个 c 也就是方程 的根.
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数 在定义域上是单调函数,则 至多有一个零点.
(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.
(4)函数的零点是实数,而不是点,是方程 的实根.
(5)由函数 (图象是连续不断的)在闭区间 上有零点不一定能推出 ,如图所
示,所以 是 在闭区间 上有零点的充分不必要条件.
二、二分法
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于在区间 上连续不断且 f ( a ) · f ( b ) < 0 的函数 ,通过不断地把函数 的零点所在的
区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点 ,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
三、二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
判别式符号 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数
y=ax2+bx+c
(a>0)的图象
与 轴的交点 ( x ,0),( x ,0) ( x,0) 无交点
1 2 1
零点个数 2 1 0
题型一、根据零点存在定理判断函数零点所在区间
1．在区间 上有零点的一个函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合选项，利用零点的存在性定理进行验证，即可求解.
【详解】对于A中，由函数 ，可得 ，则 ；
对于B中，由函数 ，可得 ，则 ；
对于C中，由函数 ，可得 则 ；
对于D中，由函数 ，可得 则 ，
所以只有C项，符合函数零点的存在性定理，所以 在 内存在零点.
2．（2011年全国新课标普通高等学校招生统一考试文科数学）在下列区间中，函数 的零
点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数 在 上单调递增，由 ,利用零点存在定理可得结果.
【详解】因为函数 在 上连续单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且 ,所以函数的零点在区间 内.
【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）
函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
3．方程 的根所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，确定其单调性，结合零点存在性定理得到结论.
【详解】令 ，显然 单调递增，
又因为 ， ，
由零点存在性定理可知： 的零点所在区间为 ，
所以 的根所在区间为 .
4．函数 的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.
【详解】函数 , 是单调递增函数，
当 时， ，
，
故 ,故函数的零点所在的区间为 .
5．（2023届广东省二模数学试题）用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 ，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】得出答案.
【详解】令 ，
因为函数 在 上都是增函数，
所以函数 在 上是增函数，
，
所以函数 在区间 上有唯一零点，
所以用二分法求方程 近似解时，所取的第一个区间可以是 .
6．若用二分法求方程 在初始区间 内的近似解，则第三次取区间的中点 .
【答案】 /0.625
【分析】根据零点存在定理及二分法求解即可.
【详解】设 ，
则 ， ，
∴第一次取区间 的中点 ，
，∴ ，∴ 的零点所在的区间为 ，
∴第二次取区间 的中点 ，
，∴ ，∴ 的零点所在的区间为 ，
∴第三次取区间 的中点 .
利用函数零点存在定理判断零点所在区间时,首先看函数 在区间 上的图象是否连续,再看
是否有 .若有,则函数 在区间 内必有零点.
题型二、根据函数图象交点判断函数零点所在区间
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．设函数 ,则函数 ( ).
A.在区间 内均有零点
B.在区间 内均无零点
C.在区间 内有零点,在区间 内无零点
D.在区间 内无零点,在区间 内有零点
【答案】D
【解析】令 得 .作出函数 和 的图象,
如图所示,
由 与 的图象在 内无交点,在 内有交点,
得 在 内无零点,在 内有零点.
2．设 , ,则函数 存在的零点所在的区间一定为( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的零点等价于方程 的根,
即函数 与 图象的交点的横坐标.
作出 与 的大致图象,如图所示,
从图象可知它们仅有一个交点 ,其横坐标的范围为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知函数 ，若 ，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由 得， ，把 转化为 ，
利用二次函数求最值.
【详解】 的图像如图示：
不妨令 ，由图像可知， ，
由 ，
由
当 时， ．
【点睛】二元变量问题通常可以减元，转化为一元函数，利用函数求最值.
数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
题型三、函数零点个数的判断
1．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】解方程 可得结果.
【详解】当 时，由 可得 ，
解得 （舍去）；
当 时，由 可得 ，即 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】解得 或 .
综上所述，函数 的零点个数为 .
2．已知函数 ，且 ，则 的零点个数为（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【分析】解三角方程求得 的零点即可解决
【详解】由
可得 或 ，又 ，则 ，或 ，或
则 的零点个数为3
3．函数 在 上的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】由 ，数形结合即可得解.
【详解】由 ，得 ，作出函数 在 上的图象如图所示，
因为 ，
所以由图可知直线 与图象有3个交点，从而 在 上有3个零点.
4．已知定义在 上的奇函数 恒有 ，当 时， ，已知
，则函数 在 上的零点个数为（ ）
A．4个 B．5个 C．3个或4个 D．4个或5个
【答案】D
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】利用奇函数性质和关系式转化求出 的关系式并利用单调性画出简图，再利用数形结合思想
根据 的取值范围求出零点个数.
【详解】因为 ，所以 的周期为2，
又因为 为奇函数， ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
当 时， ，
由 单调递减得函数 在 上单调递增，
所以 ，得 ，
作出函数图象如图所示，
由图象可知当 过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时有5个零点.
当 时，有4个零点.
当 经过点 时， ，此时在 上只有3个零点.
当 时，有4个零点.
所以当 时，函数 在 上有4个或5个零点.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(1)通过解方程,判断函数的零点个数,所对应方程 有几个不同的实数解就有几个零点.
(2)函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数问题,先画出两个函数的图象,看其交点的个数,其中交
点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
题型四、根据零点所在区间求参数取值范围
1．设 ， 是函数 的两个极值点，若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求函数的导数，再根据极值点的分布，求参数的取值范围.
【详解】 ，则 ， 是 的两相异实根，则
解得 ．
2．方程 的一根在区间 内，另一根在区间 内，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合二次函数的图象与性质，以及零点存在性定理可得关于 的不等式组，从而可得结果．
【详解】∵方程 的一根在区间 内,另一根在区间 内，
∴函数 的两个零点一个在区间 内,另一个在区间 内，
则 ，解得 ，
∴ 的取值范围是 .
【点睛】对于一元二次方程根的分布题型，常见解法有两个：一是对于未知量为不做限制的题型可以直接
运用判别式解答；二是未知量在区间上 的题型，一般采取列不等式组（主要考虑判别式、对称轴、
的符号）的方法解答.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，再根据 在 上不单调可得 在 上有零点，且在
该零点的两侧附近函数值异号，就 和 分类讨论后可得实数 的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】 ，
若 在 上不单调，令 ，
对称轴方程为 ，则函数 与
轴在 上有交点．当 时，显然不成立；
当 时，有 解得 或 ．
四个选项中的范围，只有 为 的真子集，
∴ 在 上不单调的一个充分不必要条件是 .
4．函数 在 内有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】由 得， ，
因函数 在 内有极值，则 时， 有解，
即在 时，函数 与直线 有公共点，
而 ，即 在 上单调递减， ，则 ，
显然在 零点左右两侧 异号，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：可导函数 在点 处取得极值的充要条件是 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】且在 左侧与右侧 的符号不同．
5．函数 的零点所在的区间为(k，k+1)，则k = ．
【答案】2
【分析】先判断出 在 上单调递增，利用零点存在定理即可求解.
【详解】因为 和 在 上单调递增，所以 在 上单调递增.
因为 ， ，
所以 的零点所在的区间为 .
因为函数 的零点所在的区间为 ，
所以 .
6．（2023年内蒙古模拟考试数学（文）试题）已知函数 在区间 上有
零点，则 ．
【答案】2
【分析】求出函数定义域，求出导函数，求出 ，由零点存在性定理得到答案.
【详解】 定义域为 ，
故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ， ，
因为 区间 上有零点，故 .
7．已知函数 ， ，若存在 ，使得 成立，则 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合导数可求出 在 上的取值范围，即 ，因而要使得 在 上
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有解， 在 也应满足 .通过讨论 ， ， ，结合复合函数的单调性，可求出
的范围.
【详解】解：因为 ，所以 ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 ， ，则 .
又 ，当 时， 的图象与 的图象没有交点，不符合题意；
当 时， 单调递增，则 ，则此时，
的图象与 的图象没有交点，也不符合题意；
当 时， 单调递减，因为 ，所以 的图象与 的图象在
有交点，则
，即 ，解得 .
综上， 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了方程的根与函数的零点，考查了函数最值求解，考查了复合函数的单调性，考查了分
类的思想.本题的关键是分析出当 时， .
题型五、根据零点个数求参数取值范围
1．已知函数 ，若 恰有两个零点，则正数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数，分段判断函数的零点，以及零点个数，即可求正数 的取值范围.
【详解】当 时， ，得 成立，
因为函数 恰有两个零点，
所以 时， 有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，
当 时，只需满足 ，解得： .
2．已知函数 与函数 的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为方程，在分离参数，再将问题转化为两个函数图象有两个不同交点，利用导数研究
函数 的单调性，并作出草图可解.
【详解】由题意得： ，则 ，
问题转化为 和 有2个交点，而 ，
在 和 上 ， 递增，在 上 ， 递减，
当 趋于正无穷大时， 无限接近于0，且 ， ， ，作出函数 的图
象，如图所示：
观察图象得：函数 和 的图象有2个不同的交点时，
实数 .
3．（2023年辽宁省联考数学（B卷）试题）若函数 有 个不同的零点,则实数 的取值
范围为 .
【答案】
【分析】由已知 ,分为 、 和 进行讨论,利用函数的单调区间和
即可得到答案.
【详解】由已知 ,
当 时,函数 无解,不符合题意;
当 时, 得 , 得 或 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即函数 的增区间为 ,减区间为 ,又 ,
所以函数 有且仅有 个零点,与题意不符;
当 时, 得 或 , 得 ,
即函数 的增区间为 ,减区间为 ,又 ,
要使函数 有 个不同的零点,则需 ,
即 ,解得 .故答案为: .
4．已知函数 与函数 的图象上恰有两对关于 轴对称的点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 对于 恰有两个不等式的实根，等价于方程
对于 恰有两个不等式的实根，令 ，可转化为 与
两个函数图象在 有两个不同的交点，对 求导判断单调性，作出其函数图
象，数形结合即可求解.
【详解】若函数 与函数 的图象上恰有两对关于 轴对称的点，则
对于 恰有两个不等式的实根，
即 对于 恰有两个不等式的实根，
可得 对于 恰有两个不等式的实根，
令 ，
则 与 两个函数图象在 有两个不同的交点，
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，
所以 图象如图所示：
当 时， ，
当 时， ，
若 与 两个函数图象在 有两个不同的交点，
由图知 ，
所以实数 的取值范围是 ，
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
题型六、根据零点为整数求参数取值范围
1．（全国卷2022届高三一轮复习联考（五）文科数学试题）已知关于x的不等式 的解
集中只有1个整数，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得不等式 仅有1个整数解，利用数形结合可得 ，即求.
【详解】由题可知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以不等式 ，即 只有一个整数解，
令 ，不等式 仅有1个整数解，
令 ， ，则函数 图象上仅有1个横坐标为整数的点落在直线 的下
方，
∵ ，由 ，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，因为直线 恒过点 ，
作出函数 与直线 的大致图象，
由图象可知，这个点 ，可得 ，即 ．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是把问题转化为函数 与直线 的的交点的位置问题，
然后利用数形结合解决.
2．已知函数 ，若 恰有3个正整数解，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】不等式有解问题转化为相应两个函数图象交点问题，根据数形结合思想，通过运算进行求解即可.
【详解】解：由题意， 恰有3个正整数解，转换为 的图象与 的图象交点
问题，
作出 和 的图象，如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】要使 恰有3个正整数解，
则需满足： ，
解得： ，
【点睛】方法点睛：不等式解和方程根的问题往往转化为函数图象交点问题，利用数形结合思想进行求解.
1.已知函数的零点求参数,主要方法有:(1)直接求方程的根,构建方程(不等式)求参数;(2)数形结合.
2.已知函数零点的个数求参数范围,常利用数形结合法将其转化为两个函数图象的交点问题,需准确画出
两个函数的图象,利用图象写出满足条件的参数范围.
题型七、多个零点问题
1．（2023年河南郑州模拟考试数学试题）已知定义在 上的函数 满足:① , ②
,③在 上表达式为 ,则函数 的零点个数为（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】由 可得函数 的图象关于直线 对称,由 可知函数
是周期为2的周期函数.结合函数在 上的解析式和性质可绘制函数的图象,在同一个平面直角坐标系中
绘制函数 的图象,如图所示,观察可得,函数 的零点个数为4.
2．函数 的所有零点之和为 .
【答案】10
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】可转化为求函数 与 的图象在 上交点的横坐标的和,因为两个
函数图象均关于直线 对称,所以两个函数图象在 两侧的交点对称,则每对对称点的横坐标的和为2.
如图,分别画出两个函数的图象,易知两个函数图象在 两侧分别有5个交点,所以零点之和为 .
3.已知函数 是定义在 上且以3为周期的奇函数,当 时, ,则函数
在区间 上的零点个数为（ ）.
A.3 B.5 C.7 D.9
【答案】D
【解析】∵当 时, ,
令 ,则 ,解得 或 (舍去).
又∵函数 是定义域为 的奇函数,以3为周期,∴在区间 上, , ,
∴ ,又 ,
∴ ,
∴ .
则函数 在区间 上的零点有 共9个.
函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从
而解决问题,提升直观想象核心素养.
题型八、比较零点大小
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．已知函数 ， ， 的零点分别为 、 、 ，则 、 、 的大小
顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出 的值，利用零点存在定理求出 、 所在区间，由此可得出 、 、 的大小关系.
【详解】因为函数 、 均为 上的增函数，故函数 为 上的增函数，
因为 ， ，所以， ，
因为函数 、 在 上均为增函数，故函数 在 上为增函数，
因为 ， ，所以， ，
由 可得 ，因此， .
2．已知正实数 ， ， 满足： ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】 ､ ､ 的值可以理解为图象交点的横坐标，则根据图象可判断 ， ， 大小关系.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ､ ､ 为 与 ， ， 的交点的横坐标，
如图所示：
由图象知： .
【点睛】本题主要考查对数函数，指数函数的图象性质以及函数零点问题，还考查了数形结合的思想方法，
属中挡题.
3．若 ，则下列不等关系一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】D
【分析】将条件转化为 ，结合对应函数的性质画出函数图象，判断它们与 有交点
时各交点横坐标的大小情况.
【详解】由 ，得 ．
由 ，得 ， ，
作函数 ， ， 的图象，再作直线 ．
变换 的值发现： ， ， 均能够成立， D不可能成立.
4．已知函数 ， ， 的零点分别为 ， ， ，则 ， ， 的大
小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可将函数的零点转化为函数 、 、 与 的交点的横坐标，画出函数
图象，结合图象即可判断；
【详解】解：依题意令 ，即 ，
同理可得 ， ，
则函数的零点转化为 、 、 与 的交点的横坐标，
在平面直角坐标系上画出函数图象如下：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可得 ， ， ，即 .
5．（2023年江苏省模拟数学试题）函数 的零点为 ，函数
的零点为 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性,再由 确定范围,即可确定实数 的取值范围.
【详解】已知 , ,
函数 的零点为 ，
函数 的零点为 ，
则
又因为 , 这两函数均单调递增，
当 时， ,解得 .
6．已知函数 ， ， 的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺
序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先可求出 ，再由 得 ，由 得 ，将其转化为 、
与 的交点，数形结合即可判断.
【详解】由 得 ， ，
由 得 ，由 得 .
在同一平面直角坐标系中画出 、 、 的图象，
由图象知 ， ， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．设函数 ， ， 的零点分别为a，b，c，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将零点转化为函数交点，画出四个函数 ， ， ，
的图象，判断交点的位置.
【详解】设函数 ， ， ， ，
则 是 与 图象交点的横坐标，
是 与 图象交点的横坐标，
是 与 图象交点的横坐标．
在同一坐标系中，作出 ， ， ， 的图象，如图所示．
由图可知 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查比较函数零点大小，本题的关键是将函数零点转化为两个函数的交点，在
同一坐标系下画出函数的图象，比较交点的横坐标.
8．已知函数 （ ），其中 ，若方程
恰好有3个不同解 ， ， （ ），则 与 的大小关系为（ ）
A．不能确定 B． C． D．
【答案】A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先求出 ，得到 （极大值）， （极小值），
（极大值）， （极小值）．再分三种情况讨论结合数形结合分析得解.
【详解】 ， ．
当 时， ，
即 ，
当 时， ，
若 ，则 ， ；
若 ，则 ， ，
又 ，∴ ，
又 （极大值）， （极小值）， （极大值），
（极小值）．要使 恰好有3个不同解，结合图象得：
①当 ，即 时，得 ，不存在这样的示数 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②当 ，即 时，解得 ，
此时 ，又因为 与 关于 对称，
∴ ，∴ ．
③当 ，即 时，解得 ．此时， ， 是方程 的两实根，
所以 ，而 ，所以 .
【点睛】方法点睛：研究函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法
（直接画出函数 的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数 得到 分析函数
的图象即得解）. 数形结合是高中数学的一种重要数学思想，要注意灵活运用，提高解题效率.
题型九、求由零点组成代数式的取值范围
1．已知函数 ，若存在 ，使得 ，现给出下列四
个结论：① ，② 的最大值为 ，③ 的取值范围是 ，④ 的取值范围是
．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【答案】A
【分析】分析画出图像，得 的取值范围，再依次判断.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】
由图像可得，
是方程 的两根，所以 ，
是方程 的根，而 ，所以 ，
所以①③④正确；
而 ，所以②错；
2．已知函数 ，若a，b，c互不相等，且 ，则abc的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用分段函数的定义作出函数 的图象，然后可令 （a） （b） （c） 则可得 ， ，
即为函数 与 的交点的横坐标根据图象可得出 ， ， 的范围同时 ， 还满足 ，
即可得答案．
【详解】根据已知画出函数图象：
不妨设 ，
（a） （b） （c），
，
，
解得 ， ，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．设函数 ， 有四个实数根 ， ， ， ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式研究 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得
、 、 ，进而将目标式转化并令 ，构
造 ，则只需研究 在 上的范围即可.
【详解】由分段函数知： 时 且递减； 时 且递增；
时， 且递减； 时， 且递增；
∴ 的图象如下： 有四个实数根 ， ， ， 且 ，
由图知： 时 有四个实数根，且 ，又 ，
由对数函数的性质： ，可得 ，
∴令 ，且 ，
由 在 上单增，可知 ，所以 .
4．已知函数 ，若方程 有三个实数根 ， ， ，且 ，则下列
结论不正确的为（ ）
A． B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D．不等式 的解集为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】C
【分析】分析给定函数的性质，作出函数 的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答.
【详解】
可得方程 的根，即为函数 的图象与直线 的交点的横坐标
作出函数 的图象和直线 ，
①如图，由图可知： ， ， ，A正确；
②又 由 得
∴ ，又①可知
∴ ，故B正确；
③
结合图象可知， ，故C错误；
④由 ，
当 时， ，可得 ，
当 时， ，可得
综上 ，故D正确.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，
利用数形结合的方法求解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题,通过画图分析图象的特征、图象间的关系,从
而解决问题,提升直观想象核心素养.
题型十、具体函数求零点的和
1．（2023年甘肃省模拟考试（文科）数学试题）定义域在 上的奇函数 ，当 时，
，则关于 的函数 的所有零点的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画出函数 与直线 的图像，利用数形结合即可求得所有零点之和.
【详解】由题意可知：函数 的零点，等价于函数 与直线 的交点的横坐标，
作函数 与直线 的图象如下：
结合图象，设函数 的零点分别为 ，
则由对称性可知： ，
又有： ，
解得： ，
故 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．已知函数 ， 是方程 的五个不等的实数根，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出函数 的图像，根据函数图像的对称性和 的值域，即得.
【详解】函数 的图像如图所示，可得 和 关于 轴对称， 和 关于 轴对称，则有 ，
，若 的五个不等的实数根，则 ，解得： ，所以
的取值范围是 .
【点睛】本题考查方程解的范围，由图像得到 和 是解题关键，有一定的综合性.
3．已知函数 ，若方程 的所有实根之和为4，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题对 取特殊值，利用数形结合，排除不合题意的选项即得.
【详解】令 ，当 时，方程为 ，即 ，
作出函数 及 的图象，
由图象可知方程的根为 或 ，即 或 ，
作出函数 的图象，结合图象可得所有根的和为5，不合题意，故BD错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，方程为 ，即 ，
由图象可知方程的根 ，即 ，
结合函数 的图象，可得方程有四个根，所有根的和为4，满足题意，故A错误.
4．已知 ，若互不相等的实数 ， ， 满足 ，则
的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作函数 的图象,设 ,结合函数的图象性质,易得 ,
,进而可求出答案.
【详解】作函数 的图象,如下图，
当 时, 的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为 ,最小值为 ；当 时,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为直线 的一部分.
设 , ,
由图象可知, ,
令 ,解得 ,则 ,且 ,
则 ,即 .
【点睛】关键点点睛：作出分段函数的图象，利用二次函数对称性，转化为求 的取值范围，利用一次函
数的图象及性质求出 ，是解题的关键.
5．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数
的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数各区间的函数性质画出 的图象，将问题转化为 与直线 的交点问题，
结合已知条件判断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.
【详解】由题设，画出 上 的大致图象，又 为奇函数，可得 的图象如下：
的零点，即为方程 的根，即 图像与直线 的交点.
由图象知： 与 有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为 ，
1、 关于 对称， ；
2、 且满足方程 即 ，解得： ；
3、 关于 轴对称，则 ；
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】6．（2023年黑龙江省模拟考试数学试题）函数 在 上的所有零点之和为
.
【答案】8
【分析】利用数形结合，将函数零点问题转化为函数 和 的交点问题，再利用函数的
对称性，可求零点的和.
【详解】函数 ，即 ，
函数 和 都关于 对称，
所以函数 和 的交点也关于 对称，
根据余弦函数的周期性，画出两个函数在区间 的函数部分图象，
两个函数图象有8个交点，利用对称性可知，交点横坐标的和 .
题型十一、抽象函数求零点的和
1．（2023届广东省模拟数学试题）已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减，
为偶函数，若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则
.
【答案】24
【分析】由题设可得 的周期为8，且关于 对称的奇函数，结合区间单调性判断 上单调情况，
根据 与 有4个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由 为偶函数，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故 ，即有 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上， 的周期为8，且关于 对称的奇函数，
由 在 上单调递减，结合上述分析知：在 上递增， 上递减， 上递增，
所以 在 的大致草图如下：
要使 在 上恰好有4个不同的实数根，即 与 有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于 对称，则 .
2．已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则方程 在区
间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】令 ，由已知可得函数 与 的图象在区间 上关于直线 对称，利用对
称性即可求解.
【详解】解：因为函数 满足 ，所以函数 的图象关于直线 对称，
又函数 为偶函数，所以 ，
所以函数 是周期为2的函数，又 的图象也关于直线 对称，
作出函数 与 在区间 上的图象，如图所示：
由图可知，函数 与 的图象在区间 上有8个交点，且关于直线 对称，
所以方程 在区间 上所有解的和为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】3．（2023届福建省质量监测数学试题）已知定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ．若 与 的图象交于点 、 、 、 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数 是以 为周期的周期函数，且直线 是函数 图象的一条对称轴，点
是函数 图象的一个对称中心，直线 关于点 对称，作出图形，结合对称性可求得
结果.
【详解】由题意可得 ，所以， ，
故函数 是以 为周期的周期函数，且直线 是函数 图象的一条对称轴，
且 ，
故点 是函数 图象的一个对称中心，
作出函数 的图象如下图所示：
且当 时， ；当 时， .
且直线 关于点 对称，
由图可知，直线 与曲线 有 个不同的公共点，
故 ，
，
因此， .
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题的关键在于分析函数的对称性与周期性，利用图象
并结合对称性来处理.
题型十二、嵌套函数零点个数的判断
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】1．（2024届河南省模拟考试数学试题）已知函数 （ 为自然对数的底数），则函数
的零点个数为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】D
【分析】令 ，则方程 变为了 ，在同一直角坐标系中分别画出
和 的图象得到相应的 范围，再画出 的图象，结合图像即可得解.
【详解】首先由 定义知道 ，又由 的定义域知道 ，所以有 .
然后在同一直角坐标系中先分别画出 和 的图象，如下图所示：
设方程 的三个根从大到小依次排列为 ，
则由图可知 .
现在在同一直角坐标系中先分别画出 ， ， ， 的图象如下图：
由图可知 分别与 ， ， 的图象分别交于 一共七个点，
所以方程 有7个根，
则函数 的零点个数为7.
【点睛】关键点睛：解题关键是首先将原问题转化为求方程 的根之后，利用了换元
的思想方法，进一步只需讨论 和 的图象交点个数以及相应的 的范围(这里用到了数学
结合的思想方法)，进而再次利用数形结合即可得解.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令 ，根据 分别求出函数 的零点或零点所在区间，再作出函数
的图象，根据数形结合即可求出函数 的零点个数；
【详解】令 ．
①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ，由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
②当 时， ，由 ，解得 ．
作出函数 ，直线 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；直线 与函数 的图象有且只有一个交点．综
上所述，函数 的零点个数为5．
3．已知函数 则关于 的函数 的零点的个数为（ ）.
A．8 B．7 C．5 D．2
【答案】B
【解析】根据题意,令 ,得 或 .作出 的简图,如图,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图象可得当 和 时,分别有4个和3个交点,
故关于 的函数 的零点的个数为7.
4．已知函数 则下列关于函数 的零点个数判断正确的是
.
①当 时,有1个零点
②当 时,有4个零点
③无论 取何值,均有2个零点
④无论 取何值,均有4个零点
【答案】①②
【解析】依题意,函数 在 上单调递增,其取值集合为 .当 时, , ,当 时,
在 上单调递增,其取值集合为 ,当 时, 在 上单调递减,其取值集合为
.令 ,当 时,由 得 或 ,当 时,由 得 ,当
时,若 ,由 得 或 ,若 ,由 得 或
,因此,当 时,函数 有4个零点,②正确; 当 时, ,由 得
,因此当 时,函数 有1个零点,①正确,③,④均不正确.
5．已知 则函数 的零点个数是( ).
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】函数 的零点,即方程 和 的根,函
数 的图象如图所示,
由图可得方程 和 共有5个根,
即函数 有5个零点.
6．（2023年江苏省联合调研测试数学试题）已知函数 则函数
的零点个数为 ．
【答案】5
【分析】方法一：令 ，将问题转化为 ，根据图象分析得 有两个零点为
， ，从而考虑 与 根的个数即可求解；方法二：利用导函数以及零点的
存在性定理讨论 的根分别为 ．
，从而用数形结合的方法确定 与 根的个数即可求解.
【详解】方法一： 大致图象如下
令
所以 式方程的一个根 ，
再由图可知 式方程的另一个根 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 与 的图象有2个交点，所以 有2个实根，
当 时， 与 的图象有3个交点，所以 有3个实根，
共有5个零点.
方法二：
令 时，
，
当 时， ，
所以 在 单调递减，
所以 在 有且仅有一个零点 ，
其中 ，则 有且仅有一个零点 ，其中 ．
时， 时，
在 单调递增，
，
在 有且仅有一个零点 ， ，
时，结合函数图象可知 无解， 有两个根
因为 ，所以由图象可得 与 的图象有2个交点，
所以 有2个实根，
当 时， 与 的图象有3个交点，
所以 有3个实根， 共有5个零点.
1.判断嵌套函数零点个数的主要步骤
(1)换元解套,转化为 与 的零点;(2)依次解方程,令 ,求 的值,代入 求出
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的值或判断图象交点个数.
2.抓住两点:(1)转化换元;(2)充分利用函数的图象与性质.
题型十三、已知嵌套函数的零点个数求参数
1．已知函数 若关于 的不等式 恰有1个整数解，则实
数 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【分析】由分段函数的性质画出函数图象草图，根据题设不等式可令解集为 且 ，结合图
象判断恰有1个整数解时 的可能取值范围，由 求参数 的最大值.
【详解】由题设，分段函数的图象如下：
若不等式有 且 ，要使 上 恰有1个整数解，
因为 ，
由图及函数性质知： 或 ，而 ，故 的最大值是8.
2．已知函数 若函数 恰好有5个不同的零点,则
实数 的取值范围是（ ）.
A．(0,1] B．(0,1) C．[1,+∞) D．(1,+∞)
【答案】A
【解析】画出函数 的大致图象,如图所示,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵函数 恰好有5个不同的零点,∴方程
有5个根.设 ,则方程化为 ,即 ,解得 , ,结合图象
可得 ,即 .
3．已知函数 若关于 的方程 有两个不等实根
x1,x2,且 ,则 的最大值是（ ）.
A．0 B．2 C． D．4+2ln 2
【答案】C
【解析】由于 在 上恒成立,故函数 在 上单调递增,又方程 有两
个相异实根,所以存在 ,使得 有两个不等实根,作出函数 的图象,如图所示
,由图以及题意可知, ,由 ,解得 ,即有 .设
,可得 ,所以 在 上单调递增,
.
4.已知函数 若方程 有六个不等实根,则实数 的取值范围
是 .
【答案】
【解析】 的图象如图所示,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】令 ,则要使方程 有6个不等实根,
即使 在 上有两个相异实根,
则 解得 .
5．已知函数 ，若函数 有4个零点，则实数 的取值范围为
．
【答案】
【分析】画出 的图像，在 中将 看成一个整体，则 可以看做是关
于 的一元二次函数，
又因为 有四个零点，所以 必有两个根，所以 必有 可求出 部分范围，并求出
的根 ；
结合 的图像确定 的范围求出 部分范围，将两部分 部分范围求交集即可得到最终结果.
【详解】对于 ，若 为零点，且 为定义域上的单调增函数，
的图像如图所示，
又 有四个零点，且 最多两个解， 可以看做是关于 的一元二次函数 必定
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】有2个不同的实数根，
即 或 ，
而 的实数根为 ，根据 的图像可知： 要与 图像有两个交点，
则需满足： 又 或 ，
故答案为：
6．定义域为 的函数 若关于x的函数 有5个不同的零点 、
、 、 、 ，则 等于（ ）．
A．15 B．20 C．30 D．35
【答案】C
【分析】结合函数的图象可知 ，进而可得 或 ，即求.
【详解】作函数 的图象如图所示，
则由函数 有5个不同的零点知 ，
解得 ．解 得 或 ．
若 ，则 或 或 ；
若 ，则 或 ．
故 .
7．（2023届福建省质量检测数学试题）已知函数 ，若函数
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】恰有5个零点 ，且 ， ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将 看成整体解出 或 ，作出 的大致图象，将式子化为
，然后转化为 的范围进行分类讨论
即可判断.
【详解】当 时， ，此时， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
可得 在 上单调递减且恒负，在 上单调递增且恒负，且 ，
当 时， ，作出 的大致图象如图所示，
函数 恰有5个零点 ，
等价于方程 有5个不同的实数根，
解得： 或 ， ，该方程有5个根，
且 ，则 ， ，
当 时， ，
，故 ，
所以
；
当 时， ，
，故 ，
所以
，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上： 的取值范围是： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对 的理解，将 看成一个 ，解出其值，
然后通过图象分析，转化为直线 与图象的交点情况.
8．已知函数 是偶函数．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 的最小值为 ，求实数 的值；
(3)当 为何值时，讨论关于 的方程 的根的个数．
【答案】(1) ;
(2) ;
(3)当 时，方程有一个根；
当 时，方程没有根；
当 或 或 时，方程有两个根；
当 时，方程有三个根；
当 时，方程有四个根．
【分析】（1）利用偶函数满足 ，求出 的值；（2）对函数变形后利用二次函数的最值求
的值；（3）定义法得到 的单调性，方程通过换元后得到 的根的情况，通过分类
讨论最终求出结果.
【详解】（1）由题意得： ，即 ，所以
，其中
，
∴ ，解得：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2） ，
∴ ，
故函数 的最小值为 ，
令 ，故 的最小值为 ，
等价于 ，
解得：
或 ，无解
综上： ．
（3）由 ，
令 ， ，
有
．
由 ，有 ， ，可得 ，可知函数 为增函数，故当 时，
函数 单调递增，由函数 为偶函数，可知函数 的增区间为 ，减区间为 ，
令 ，有 ，
方程 （记为方程①）可化为 ，整理为：
（记为方程②），
，
当 时，有 ，此时方程②无解，可得方程①无解；
当 时， 时，方程②的解为 ，可得方程①仅有一个解为 ；
时，方程②的解为 ，可得方程①有两个解；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，可得 或 ，
1°当方程②有零根时， ，此时方程②还有一根为 ，可得此时方程①有三个解；
2°当方程②有两负根时， 可得 ，不可能；
3°当方程②有两正根时， 可得： ，
又由 ，可得 ，此时方程①有四个根；
4°当方程②有一正根一负根时， ，可得： 或 ，
又由 ，可得 或 ，此时方程①有两个根，
由上知：当 时，方程①有一个根；
当 时，方程①没有根；
当 或 或 时，方程①有两个根；
当 时，方程①有三个根；
当 时，方程①有四个根．
【点睛】对于复合函数根的个数问题，要用换元法来求解，通常方法会用到根的判别式，导函数，基本不
等式等.
(1)求解本题抓住分段函数的图象与性质,由 与 的图象,确定 的取值范围,进而由
的图象确定零点的个数.
(2)含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
