文档内容
专题02 复数（选填题10种考法）考法一 复数的实部与虚部
【例1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知 ，若 的虚部等于实部的两倍，则实数
（ ）
A．3 B． C． D．
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B．3 C． D．4
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若i是虚数单位，则复数 的虚部等于（ ）
A．2 B． C． D．
3（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数 ，则 的实部为（ ）
A． B． C． D．4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）设 ，若复数 的虚部为3（其中 为虚数单位），则
（ ）
A． B． C． D．3
考法二 共轭复数
【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数 满足 ，则 的共轭复
数 （ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考法三 相等复数
【例3-1】（2023·新疆·统考三模）已知 ，其中 ， 为虚数单位，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【例3-2】（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数 满足 ，其中 为虚数
单位，则 （ ）A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设 ，其中 ， 为实数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2023·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
考法四 复数的模长
【例4-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【例4-2】．（2023·全国·统考高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【变式】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）.
A． B． C．2 D．1
3（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若复数 ，则 （ ）A．0 B． C．1 D．2
考法五 在复平面对应的象限
【例5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数z满足 ，则z在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）复数 在复平面内对应的点位于第二象限，则实
数 的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河南开封·统考三模）“ ”是“复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点在第
四象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考法六 复数的分类
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数 为纯虚数（ ），则 （ ）A． B．2 C． D．
【例6-2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知 ，复数 ， 是实数，则
（ ）
A．5 B．10 C． D．
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数 为纯虚数，则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0或-1 D．0或1
2．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知 为虚数单位，若 为实数，则实数
（ ）
A． B．4 C．2 D．
3．（2023·河南·统考三模）复数 纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C．4 D．1
考法七 在复数的范围内解方程
【例7-1】（2023·山东济南·统考三模）已知复数 是关于 的方程 的两根，则 的值为
（ ）
A．-3 B．-2 C．2 D．3
【例7-2】（2023·河南·统考模拟预测）已知 ， 为实数， （i为虚数单位）是关于 的方程
的一个根，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式】
1．（2023·重庆·统考三模）设 ， 是方程 在复数范围内的两个解，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程的一个根，则 （ ）
A．9 B．1 C． D．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程 有实根
b，且 ，则复数z等于（ ）
A． B． C． D．
考法八 与复数相关的轨迹
【例8】．（2023·河北沧州·校考三模）设复数 满足 ， 在复平面内对应的点为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数 为虚数单位 为纯虚数，则在复平面内，
对应的点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．一条线段 C．两条直线 D．不含端点的4条射线
2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知复数 满足 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应点 ，则
下列为真命题的是（ ）．
A．若 ，则点 在圆上
B．若 ，则点 在椭圆上C．若 ，则点 在双曲线上
D．若 ，则点 在抛物线上
考法九 最值
【例9-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，且 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z满足 ，则 的最小值
为（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设 且 ，满足 ，则 的取值范围为_____．
考法十 复数的综合运用
【例10】（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）（多选）设复数 ，且 ,其中
为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若 ，则 是实数
B．若 ，则存在唯一实数对 使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若 ，则
【变式】
1．（2023秋·辽宁抚顺）（多选）若复数 在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 在第二象限
B．若 为纯虚数，则 在虚轴上
C．若 ，则点 的集合所构成的图形的面积为
D．若 ， 互为共轭复数，则 是实数
2．（2023春·河北石家庄）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若 ，则复数 一定为实数
D．若复数 满足 ，则 最大值为
3．（2023秋·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）（多选）已知复数z， ， ， 是z的共轭
复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 的最小值为1
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题） （ ）A． B．1 C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题） （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）设 ，其中 为实数，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2021·全国·统考高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2021·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知复数z在复平面内对应的点在第三象限， ， ，
若 ，则z的虚部为（ ）
A．-3 B．3 C．-4 D．4
11．（2023·海南·统考模拟预测）下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数 是最小的纯虚数
B．在复数范围内，模为1的复数共有 和 四个C． 与 是一对共轭复数
D．虚轴上的点都表示纯虚数
12．（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）欧拉公式 由瑞士数学家欧拉发现，其将自
然对数的底数 ，虚数单位 与三角函数 ， 联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数 ，
则z的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
13．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）已知 是虚数单位，复数 满足 ，则
（ ）
A． 的实部为3 B． 的虚部为1
C． D． 在复平面对应的点在第二象限
14．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知 （a， ，i为虚数单位），则复数
（ ）
A．2 B． C． D．6
15．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）已知 是关于方程 的一
个根，则（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知 ，其中a，b为实数，则在复平面内复数 对应
的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．（2023·河南·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．1或
18．（2023·河南·校联考模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）已知复数 （其中 为虚数单位）在复
平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
20．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知复数 ， ，且z在复平面上对应
的点位于第二象限，则 （ ）
A．4 B． C． D．
21（2023·湖北武汉·统考三模）设复数 满足 为纯虚数，则 （ ）
A． B． C． D．
22．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知复数 ，则
（ ）
A．2022 B．2023 C． D．
23（2023·重庆·校联考三模）已知方程 在复数范围内有一根为 ，其中i为虚数
单位，则复数 在复平面上对应的点在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
24．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知 是关于 的方程 的一个根，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
25．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）在复数范围内解得方程 的两根为 ，则
（ ）
A．4 B．1 C．2 D．3
26．（2023春·云南）已知复数 ， 和 满足 ，若 ，则 的最大值为
（ ）
A． B．3 C． D．1
27．（2023春·河北石家庄 ）复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．（2023·山东）设 ，则满足 的复数在复平面上的对应点构成图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
29．（2023春·宁夏银川 ）设复数 ， 满足 ， ，复数 在复平面内所
对应的点分别为A，B，C，则三角形 的面积为（ ）
A．3 B． C．2 D．
30．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z满足 ，则 的最小
值为（ ）
A．1 B．3 C． D．
二、多选题
31．（2023·山西吕梁·统考二模）已知 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．复数 的虚部为C．若 ， 互为共轭复数，则 D．若复数 为纯虚数，则
32．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 是虚数单位，复数 ，
，则（ ）
A．任意 ，均有 B．任意 ，均有
C．存在 ，使得 D．存在 ，使得
33．（2023·辽宁·校联考模拟预测）已知 ， 为复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
34．（2023·海南·海南中学校考三模）已知复数 ，复数 满足 ，则（ ）
A．
B．
C．复数 在复平面内所对应的点的坐标是
D．复数 在复平面内所对应的点为 ，则
35．（2023·广东佛山·统考模拟预测）设z， ， 是复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则D．若 ，则
36．（2023·浙江宁波·镇海中学校考二模）下面四个命题中的真命题为（ ）
A．若复数 满足 ，则
B．若复数 满足 ，则
C．若复数 ， 满足 ，则
D．若复数 ，则
37．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习）已知 为虚数单位，以下四种说法中正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，且 ，则
C．若 ，则复平面内 对应的点位于第三象限
D．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为直线
38．（2023秋·山东·高二济南市历城第二中学校联考开学考试）若复数 ，则下列命题中
正确的是（ ）
A． 为纯虚数的充要条件是 且 B．
C．若 ，则 D．若 ，则
39．（2023·全国·高一专题练习）（多选）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数 （i为虚数单位），则
B．若复数z满足 ，则
C．若复数 ，则z为纯虚数的充要条件是 且
D．若复数z满足 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆40．（2023秋·辽宁 ）设复数z满足 （其中 是虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为 B． 在复平面内对应的点位于第四象限
C． D．若 ，则
三、填空题
41．（2023·天津·统考高考真题）已知 是虚数单位，化简 的结果为 ．
42．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：
．据此公式，复数 的虚部为 ．
43．（2023·四川成都·校联考二模）若复数 满足 ，则复数 的虚部为 ．
44．（2023·四川·校联考模拟预测）已知 ， 是虚数单位，复数 ， ，若 为纯虚数，
则复数 的虚部为 .
45．（2023·江西景德镇·统考三模）已知 为虚数单位，且 ，则 的最大值是 .
46．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）复数 满足 ，则 .
47．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则
.
48．（2023春·江苏镇江·高一校联考阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点为Z，且满足 ，
O为原点， ，求 的取值范围 .49（2023·全国·高三专题练习）设复数 满足 的实部与虚部之比为 ，其中 是虚数单位， ，
，则 的最小值为 .
50．（2023·全国·高三专题练习）已知三个复数 ，并且 ， 所对应的向量 ，
满足 ，则 的取值范围是 .
