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课时跟踪检测（三十二） 数列求和
一、综合练——练思维敏锐度
1．已知数列{a }满足：a ＝a －a (n≥2，n∈N*)，a＝1，a＝2，S 为数列{a }的前n项
n n＋1 n n－1 1 2 n n
和，则S ＝( )
2 021
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选C ∵a ＝a －a ，a＝1，a＝2，∴a＝1，a＝－1，a＝－2，a＝－1，a＝1，
n＋1 n n－1 1 2 3 4 5 6 7
a＝2，…，故数列{a }是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S ＝336×0＋a
8 n 2 021 2
＋a ＋…＋a ＝a＋a＋a＋a＋a＝1＋2＋1＋(－1)＋(－2)＝1.故选C.
017 2 018 2 021 1 2 3 4 5
2．在数列{a }中，若a ＋(－1)na ＝2n－1，则数列{a }的前12项和等于( )
n n＋1 n n
A．76 B．78
C．80 D．82
解析：选B 由已知a ＋(－1)na ＝2n－1，
n＋1 n
得a ＋(－1)n＋1a ＝2n＋1，
n＋2 n＋1
得a ＋a ＝(－1)n(2n－1)＋(2n＋1)，
n＋2 n
取n＝1,5,9及n＝2,6,10，结果分别相加可得S ＝a ＋a ＋a ＋a ＋…＋a ＋a ＝78.故
12 1 2 3 4 11 12
选B.
3．若数列{a }的通项公式是a ＝，前n项和为9，则n等于( )
n n
A．9 B．99
C．10 D．100
解析：选B 因为a ＝＝－，
n
所以S ＝a＋a＋…＋a ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1，
n 1 2 n
令－1＝9，得n＝99.
4．已知数列{a }满足log a ＝n＋log 3，则a＋a＋a＋…＋a 的值为( )
n 2 n 2 2 4 6 20
A．3×(211－4) B．3×(212－4)
C. D．411－4
解析：选D ∵log a ＝log 2n＋log 3＝log (2n·3)，
2 n 2 2 2
∴a ＝3·2n，a ＝3·22n＝3·4n，
n 2n
∴a＋a＋a＋…＋a ＝3×(4＋42＋43＋…＋410)＝3×＝411－4.故选D.
2 4 6 20
5．设S 是数列{a }的前n项和，且a＝－1，＝S ，则S ＝( )
n n 1 n 10
A. B．－
C．10 D．－10
解析：选B 由＝S ，得a ＝S S .又a ＝S －S ，所以S －S ＝S S ，即－＝
n n＋1 n n＋1 n＋1 n＋1 n n＋1 n n＋1 n
－1，所以数列是以＝＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以＝－10，所以S ＝－，故选B.
10
6．已知数列{a }中，a＝2，a ＝，则＝________.
n 1 n＋1解析：a ＝可化为na ＋2a a ＝(n＋1)a .等号两边同时除以a a ，得－＝2，所以
n＋1 n＋1 n＋1 n n n＋1 n
数列是首项为＝，公差为2的等差数列，所以＝＋＋…＋＝n＋×2＝n2－n.
答案：n2－n
7．在数列{a }中，a＝－2，a＝3，a＝4，a ＋(－1)na ＝2(n∈N*)．记S 是数列{a }的
n 1 2 3 n＋3 n＋1 n n
前n项和，则S 的值为________．
20
解析：由题意知，当n为奇数时，a －a ＝2，又a＝3，所以数列{a }中的偶数项是以3
n＋3 n＋1 2 n
为首项，2为公差的等差数列，
所以a＋a＋a＋…＋a ＝10×3＋×2＝120.
2 4 6 20
当n为偶数时，a ＋a ＝2，又a＋a＝2，
n＋3 n＋1 3 1
所以数列{a }中的相邻的两个奇数项之和均等于2，
n
所以a＋a＋a＋…＋a ＋a ＝(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝2×5＝10，
1 3 5 17 19 1 3 5 7 17 19
所以S ＝120＋10＝130.
20
答案：130
8．(2021·青岛模拟)已知数列{a }的通项公式为a ＝则数列{a }前15项和S 的值为
n n n 15
________．
解析：数列{a }的通项公式为a ＝
n n
由＝，
得S ＝（1－＋－＋－＋…＋－）＋(2＋4＋6＋…＋14)－7×7＝×＋×7×16－49＝.
15
答案：
9．有一正项等比数列{a }的公比为q，前n项和为S ，满足aa ＝64，S ＝14.设b ＝
n n 2 4 3 n
log a (n∈N*)．
2 n
(1)求a，a 的值，并求出数列{a }的通项公式；
1 2 n
(2)判断数列{b }是否为等差数列，并说明理由；
n
(3)记c ＝，求数列{c }的前n项和T .
n n n
解：(1)由aa＝64，得a＝64.又∵a >0，∴a＝8.
2 4 n 3
∵S＝a＋a＋a，∴a＋a＋8＝14，∴a＋aq＝6，
3 1 2 3 1 2 1 1
即a(1＋q)＝6，∴(1＋q)＝6，即3q2－4q－4＝0，
1
解得q＝2或q＝－(舍去)．
∴a＝2，a＝4，a ＝2×2n－1＝2n(n∈N*)．
1 2 n
(2)数列{b }为等差数列．理由如下：
n
由(1)知a ＝2n，∴b ＝log a ＝log 2n＝n，
n n 2 n 2
∴b ＝n＋1，∴b －b ＝1.又b＝1，
n＋1 n＋1 n 1
∴{b }是以1为首项，1为公差的等差数列．
n
(3)由(2)可知，b ＝n，∴c ＝＝＝－，
n n
∴T ＝c＋c＋c＋…＋c ＝＋＋＋…＋＝1－＝.
n 1 2 3 n
10．已知数列{a }的前n项和为S ，a＝5，nS －(n＋1)S ＝n2＋n.
n n 1 n＋1 n(1)求证：数列为等差数列；
(2)令b ＝2na ，求数列{b }的前n项和T .
n n n n
解：(1)证明：由nS －(n＋1)S ＝n2＋n得－＝1，又＝5，所以数列是首项为5，公差为1
n＋1 n
的等差数列．
(2)由(1)可知＝5＋(n－1)＝n＋4，所以S ＝n2＋4n.
n
当n≥2时，a ＝S －S ＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3.
n n n－1
又a＝5也符合上式，所以a ＝2n＋3(n∈N*)，
1 n
所以b ＝(2n＋3)2n，
n
所以T ＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n＋3)2n，①
n
2T ＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n＋1)2n＋(2n＋3)·2n＋1，②
n
所以②－①得
T ＝(2n＋3)2n＋1－10－(23＋24＋…＋2n＋1)
n
＝(2n＋3)2n＋1－10－
＝(2n＋3)2n＋1－10－(2n＋2－8)
＝(2n＋1)2n＋1－2.
二、自选练——练高考区分度
1．在公差不为零的等差数列{a }中，已知a＝1，且a，a，a 成等比数列，{a }的前n项
n 1 2 5 14 n
和为S ，b ＝(－1)nS ，则a ＝________，数列{b }的前n项和T ＝________.
n n n n n n
解析：设等差数列{a }的公差为d(d≠0)，
n
则由a，a，a 成等比数列得a＝a·a ，
2 5 14 2 14
即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝2，
则a ＝a＋(n－1)d＝2n－1，S ＝na ＋d＝n2.
n 1 n 1
当n为偶数时，T ＝－S＋S－S＋S－…－S ＋S
n 1 2 3 4 n－1 n
＝－12＋22－32＋42－…－(n－1)2＋n2
＝3＋7＋…＋(2n－1)＝；
当n为大于1的奇数时，
T ＝－S＋S－S＋S－…＋S －S
n 1 2 3 4 n－1 n
＝－12＋22－32＋42－…－(n－2)2＋(n－1)2－n2
＝3＋7＋…＋(2n－3)－n2＝－，
当n＝1时，也符合上式．综上所述，T ＝(－1)n.
n
答案：2n－1 (－1)n
2．(2021·肥城教学研究中心高三模拟)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横
线上，并作答．
①a，，a 成等差数列；②a，a＋1，a 成等比数列；③S＝.
1 2 1 2 3 3
已知S 为数列{a }的前n项和，3S ＝a ＋2a(n∈N*)，a≠0，且________．
n n n n 1 1
(1)求数列{a }的通项公式．
n(2)记b ＝求数列{b }的前2n＋1项和T .
n n 2n＋1
解：(1)由已知3S ＝a ＋2a，n≥2时，3S ＝a ＋2a.
n n 1 n－1 n－1 1
两式相减得到3a ＝a －a ，即＝－.
n n n－1
因为a≠0，所以数列{a }是公比为－的等比数列，从而a ＝an－1.
1 n n 1
若选①，由a，，a 成等差数列可得a＋a＝2×，
1 2 1 2
即a－a＝，解得a＝1，所以a ＝n－1.
1 1 1 n
若选②，由a，a＋1，a 成等比数列可得aa＝(a＋1)2，
1 2 3 1 3 2
即a×a＝2，解得a＝1，
1 1 1
所以a ＝n－1.
n
若选③，由S＝可得a＋a＋a＝，
3 1 2 3
即a－a＋a＝，解得a＝1，
1 1 1 1
所以a ＝n－1.
n
(2)当n为奇数时，b ＝log n－1＝log n－1＝－(n－1)log 2.
n 3 3 3
记前2n＋1项和T 中奇数项和为T ，
2n＋1 奇
则T ＝b＋b＋b＋…＋b
奇 1 3 5 2n＋1
＝－(0＋2＋4＋…＋2n)log 2
3
＝－n(n＋1)log 2.
3
当n为偶数时，b ＝n－1＝－n－1，
n
记前2n＋1项和T 中偶数项和为T ，
2n＋1 偶
则T ＝b＋b＋b＋…＋b
偶 2 4 6 2n
＝－
＝－＝－.
故T ＝－n(n＋1)log 2－.
2n＋1 3
