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课时跟踪检测（三十五） 空间点、直线、平面之间的
位置关系
一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)下列推断中，正确的是( )
A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α
D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
解析：选ABD 直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，
所以C错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选A、B、D.
2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，
则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
解析：选D 依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.
3．下列命题中，错误命题的个数为( )
①直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行；
②直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直；
③异面直线a，b不垂直，则过直线a的任何平面与直线b都不垂直；
④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于①，若直线a在平面α内，这时直线a和平面α不平行，但是平面内存
在直线和a是平行的，故①错误；对于②，若直线a在平面α内，这时直线a和平面α不垂直，
但是平面内存在直线和直线a是垂直的，故②错误；对于③，根据线面垂直的定义可知，③是
正确的；对于④，直线a，c有可能是异面直线，故④错误．综上所述，有3个命题是错误命题，
故选C.
4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )
A．12对 B．24对
C．36对 D．48对
解析：选B 如图所示，与AB异面的直线有B C ，CC ，A D，DD 四
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条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，
共有异面直线＝24(对)．
5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题
乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相
交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成
立的充分不必要条件．
6.(2021·临沂模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，
它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．
解析：
如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线
AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
答案：
二、综合练——练思维敏锐度
1．(2021·威海一中月考)设α，β为不重合的两个平面，m，n为不重合的两条直线，则下列
命题正确的是( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α
解析：选D 对于A，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与α有可能相交，也有可能m⊂α，
故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β有可能相交，也有可能平行，故B错误；对
于C，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β有可能平行，也有可能相交，故C错误；对于D，由于
m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又知n⊥α，所以m⊥α，故D正确．故选D.
2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是( )
A．α∥β，m⊂α，n⊂β ⇒m∥n
B．α⊥γ，β⊥γ ⇒α∥β
C．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β
D．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n⇒α∥γ
解析：选C 对于A，由α∥β，m⊂α，n⊂β，可知m，n无公共点，
则m与n平行或异面，故A错误；对于B，由α⊥γ，β⊥γ，可知α与β可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，由于m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又知α∥β，所以
n⊥β，故C正确；对于D，如图所示，α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，但α与γ相交，故D错误．故
选C.
3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA B C D 中，
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AA ＝2AB＝2，则异面直线A B与AD 所成角的余弦值为( )
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A. B.
C. D.
解析：选D 连接BC ，易证BC ∥AD，则∠A BC (或
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其补角)即为异面直线A B与AD 所成的角．
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连接A C ，由AB＝1，AA ＝2，则A C ＝，A B＝BC ＝，
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在△A BC 中，由余弦定理得cos∠A BC ＝＝.
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4．若平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一
条公共直线．
以上四个判断中不成立的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相
交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．
5．(2021·沈阳模拟)如图，在三棱柱ABCA B C 中，侧棱AA ⊥底面
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A B C ，底面三角形A B C 是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确
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的是( )
A．CC 与B E是异面直线
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B．AC⊥平面ABB A
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C．AE，B C 为异面直线且AE⊥B C
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D．A C ∥平面AB E
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解析：选C CC 与B E在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错误；由题意知，上
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底面是一个正三角形，故AC不可能垂直于平面ABB A ，所以B错误；因为AE，B C 为在两
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个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且因为△ABC为正三角形，点E为
BC中点，所以AE⊥BC，又因为BC∥B C ，所以AE⊥B C ，所以C正确；因为A C 所在的平
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面A B C 与平面AB E相交，且A C 与交线有公共点，故A C ∥平面AB E不正确，所以D
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错误．故选C.
6．(多选)(2021·日照模拟)如图，在长方体ABCDA B C D 中，AA ＝AB
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＝4，BC＝2，M，N分别为棱C D，CC 的中点，则( )
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A．A，M，N，B四点共面
B．平面ADM⊥平面CDD C
1 1C．直线BN与B M所成的角为60°
1
D．BN∥平面ADM
解析：选BC 如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，
N，B四点不共面，故A错误；对于B，在长方体ABCDA B C D 中，可得
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AD⊥平面CDD C ，所以平面ADM⊥平面CDD C ，故B正确；对于C，取
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CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；
对于D，因为BN∥平面AA DD，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．
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故选B、C.
7.如图，已知圆柱的轴截面ABB A 是正方形，C是圆柱下底面弧AB
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的中点，C 是圆柱上底面弧A B 的中点，那么异面直线AC 与BC所成角
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的正切值为________．
解析：如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C D，AD，
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∵C是圆柱下底面弧AB的中点，
∴AD∥BC，
∴直线AC 与AD所成的角即为异面直线AC 与BC所成的角．
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∵C 是圆柱上底面弧A B 的中点，
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∴C D⊥圆柱下底面，∴C D⊥AD.
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∵圆柱的轴截面ABB A 是正方形，
1 1
∴C D＝AB＝AD，
1
∴直线AC 与AD所成角的正切值为，
1
∴异面直线AC 与BC所成角的正切值为.
1
答案：
8.如图，在正方体ABCDA B C D 中，M，N分别为棱C D，C C的中点，
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有以下四个结论：
①直线AM与CC 是相交直线；
1
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB 是异面直线；
1
④直线AM与DD 是异面直线．
1
其中正确的结论为________(填序号)．
解析：直线AM与CC 是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
1
答案：③④
9．(2021·洛阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝
3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所
成角的余弦值是________．
解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，∴MK∥AN，
∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，
由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝ ＝.
在△CKM中，由余弦定理，
得cos∠KMC＝＝，
∴异面直线AN，CM所成角的余弦值是.
答案：
10．已知在直三棱柱ABCA B C 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC ＝，P是BC 上一动
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点，则A P＋PC的最小值为________．
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解析：如图①，连接A B，由已知数据可得BC ＝2，A B＝2，则A C＋BC＝A B2，
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∴∠A C B＝90°.将△BCC 沿BC 展平在平面A BC 内，连接A C，如图②，则A P＋PC的最
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小值为线段A C的长．在△A C C中，A C ＝2，CC ＝，易知∠A C C＝135°，由余弦定理得，
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A C2＝A C＋CC－2A C ·CC ·cos∠A C C＝22＋()2－2×2××cos 135°＝4＋2＋4＝10，∴A C
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＝，即A P＋PC的最小值为.
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答案：
11.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，
OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
(1)求四棱锥OABCD的体积；
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．
解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，
∴四棱锥OABCD的体积V＝×4×2＝.
(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA
的中点，
∴ME∥OC，
则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE
＝，EM＝，MD＝，
∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，
∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，
∴tan∠EMD＝＝＝.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.
12.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的
中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．
解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而
DF与BE共面，即AD与BC共面，
所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF
与BD是异面直线．
(2)如图，取CD的中点G，连接EG，FG，
则AC∥FG，EG∥BD.
所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG，
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF
与BD所成的角为45°.
