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课时跟踪检测（三十） 等差数列及其前 n 项和
一、基础练——练手感熟练度
1．已知数列{a }中a＝1，a ＝a －1，则a 等于( )
n 1 n＋1 n 4
A．2 B．0
C．－1 D．－2
解析：选D 因为a＝1，a ＝a －1，所以数列{a }为等差数列，公差d为－1，所以a＝
1 n＋1 n n 4
a＋3d＝1－3＝－2，故选D.
1
2．已知等差数列{a }的前n项和为S ，若a＝2，a＋a ＝28，则S＝( )
n n 1 8 10 9
A．36 B．72
C．144 D．288
解析：选B 法一：∵a＋a ＝2a＋16d＝28，a＝2，
8 10 1 1
∴d＝，∴S＝9×2＋×＝72.
9
法二：∵a＋a ＝2a＝28，∴a＝14，
8 10 9 9
∴S＝＝72.
9
3．公差不为零的等差数列{a }中，a＝2a，则数列{a }中第________项的值与4a 的值相
n 7 5 n 5
等．
解析：设等差数列{a }的公差为d，因为a ＝2a ，所以a ＋6d＝2(a ＋4d)，则a ＝
n 7 5 1 1 1
－2d，所以a ＝a＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a＝4(a＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a ，故数列{a }
n 1 5 1 11 n
中第11项的值与4a 的值相等．
5
答案：11
4．(2019·江苏高考)已知数列{a }(n∈N*)是等差数列，S 是其前n项和．若aa＋a＝0，S
n n 2 5 8 9
＝27，则S 的值是________．
8
解析：设等差数列{a }的首项为a，公差为d.
n 1
法一：由
得解得
∴S＝8a＋d＝8×(－5)＋28×2＝16.
8 1
法二：∵S＝27，∴S＝＝9a＝27，
9 9 5
∴a＝3，又aa＋a＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0.
5 2 5 8
解得d＝2，∴S＝＝4(a＋a)＝4×(1＋3)＝16.
8 4 5
答案：16
5．若等差数列{a }的前17项和S ＝51，则a－a＋a－a ＋a ＝________.
n 17 5 7 9 11 13
解析：因为S ＝×17＝17a＝51，所以a＝3.
17 9 9
根据等差数列的性质知a＋a ＝a＋a ，
5 13 7 11
所以a－a＋a－a ＋a ＝a＝3.
5 7 9 11 13 9
答案：3
6．设S 为等差数列{a }的前n项和，满足S ＝S ，－＝2，则a ＝________，公差d＝
n n 2 6 1________.
解析：由{a }为等差数列，得数列是首项为a，公差为的等差数列，∵－＝2，∴＝2⇒d＝
n 1
4，又S＝S⇒2a＋4＝6a＋×4⇒a＝－14.
2 6 1 1 1
答案：－14 4
二、综合练——练思维敏锐度
1．设等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝－2，S ＝0，S ＝3，则m等于( )
n n m－1 m m＋1
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选C ∵数列{a }为等差数列，且前n项和为S ，
n n
∴数列也为等差数列．
∴＋＝，即＋＝0，
解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.
2．已知数列{a }满足a＝15，且3a ＝3a －2.若a·a <0，则正整数k＝( )
n 1 n＋1 n k k＋1
A．21 B．22
C．23 D．24
解析：选C 由3a ＝3a －2⇒a －a ＝－⇒{a }是等差数列，则a ＝－n.
n＋1 n n＋1 n n n
∵a·a <0，
k k＋1
∴<0，∴S D．S＝S
4 1 4 1
解析：选B 设{a }的公差为d，由a＝－6，a＝6，得解得于是，S＝－9，S＝3×(－9)＋
n 2 6 1 3
×3＝－18，S＝4×(－9)＋×3＝－18，所以S＝S，S0时，n的最小值为
n n n
( )
A．14 B．15
C．16 D．17
解析：选C ∵数列{a }是等差数列，它的前n项和S 有最小值，
n n
∴公差d>0，首项a<0，{a }为递增数列．
1 n
∵<－1，∴a·a<0，a＋a>0，
8 9 8 9
由等差数列的性质知，
2a＝a＋a <0，a＋a＝a＋a >0.
8 1 15 8 9 1 16
∵S ＝，
n
∴当S >0时，n的最小值为16.
n
6．《九章算术》一书中衰分、均输、盈不足等卷中记载了一些有关数列的问题．齐去长安
三千里，今有良马发长安至齐，驽马发齐至长安，同日相向而行．良马初日行一百五十五里，
日增十二里；驽马初日行一百里，日减二里．问几日相遇( )
A．十日 B．十一日
C．十二日 D．六十日
解析：选A 设良马每天行走的里数构成数列{a }，驽马每天行走的里数构成数列{b }，
n n
则{a }，{b }均为等差数列，公差分别为d，d.且a＝155，d＝12，b＝100，d＝－2，设n日相
n n 1 2 1 1 1 2
遇，则由题意知155n＋×12＋100n＋×(－2)＝3 000，解得n＝10.
7．已知{a }，{b }均为等差数列，且a＝4，a＝6，b＝3，b＝9，由{a }，{b }的公共项组成
n n 2 4 3 7 n n
新数列{c }，则c ＝( )
n 10
A．18 B．24
C．30 D．36
解析：选C 因为数列{a }为等差数列，且a＝4，a＝6，
n 2 4
所以其公差d＝＝1，通项公式为a ＝n＋2.
1 n
因为数列{b }为等差数列，且b＝3，b＝9，
n 3 7
所以其公差d＝＝，通项公式为b ＝－.
2 n
则a＝b＝3为数列{c }的第一项，a＝b＝6为数列{c }的第二项，a＝b＝9为数列{c }
1 3 n 4 5 n 7 7 n
的第三项，…，知{c }为等差数列，{c }的公差d＝3，且c ＝3＋(n－1)·3＝3n，
n n n
则c ＝3×10＝30，故选C.
10
8．已知数列{a }满足5an＋1＝25·5an，且a＋a＋a＝9，则log (a＋a＋a)＝( )
n 2 4 6 5 7 9
A．－3 B．3
C．－ D.
解析：选A 数列{a }满足5 an＋1＝25·5 an，∴a ＝a ＋2，即a －a ＝2，
n n＋1 n n＋1 n∴数列{a }是等差数列，公差为2.
n
∵a＋a＋a＝9，∴3a＝9，a＝3.
2 4 6 4 4
∴a＋3×2＝3，解得a＝－3.
1 1
∴a＋a＋a＝3a＝3×(－3＋6×2)＝27，
5 7 9 7
则log (a＋a＋a)＝log 33＝－3.故选A.
5 7 9
9．(多选)(2021·青岛模拟)设d，S 分别为等差数列{a }的公差与前n项和，若S ＝S ，则
n n 10 20
下列论断中正确的有( )
A．当n＝15时，S 取最大值 B．当n＝30时，S ＝0
n n
C．当d>0时，a ＋a >0 D．当d<0时，|a |>|a |
10 22 10 22
解析：选BC 因为S ＝S ，所以10a＋d＝20a＋d，解得a＝－d.因为无法确定a 和d
10 20 1 1 1 1
的正负性，所以无法确定S 是否有最大值，故A错误．S ＝30a＋d＝30×＋15×29d＝0，故
n 30 1
B正确．a ＋a ＝2a ＝2(a＋15d)＝2＝d>0，故C正确．a ＝a＋9d＝－d＋d＝－d，a ＝a
10 22 16 1 10 1 22 1
＋21d＝－d＋d＝d，因为d<0，所以|a |＝－d，|a |＝－d，|a |<|a |，故D错误．
10 22 10 22
10．已知等差数列{a }的公差为－2，前n项和为S ，a，a，a 为某三角形的三边长，且该
n n 3 4 5
三角形有一个内角为120°，若S ≤S 对任意的n∈N*恒成立，则实数m＝( )
n m
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选B ∵等差数列{a }的公差为－2，a，a，a 为某三角形的三边长，且该三角形有
n 3 4 5
一个内角为120°，
∴a＝a＋a－2a·acos 120°，
4 5
即(a＋2)2＝a＋(a－2)2＋2a(a－2)×，
4 4 4 4
化为a－5a＝0，又a≠0，解得a＝5，
4 4 4
∴a＝7，a＝3，a＝1，a＝－1.
3 5 6 7
∵S ≤S 对任意的n∈N*恒成立，∴实数m＝6.故选B.
n m
11．等差数列{a }，{b }满足：对任意n∈N*，都有＝，则＋＝________.
n n
解析：由等差数列的性质可得b＋b＝b＋b＝2b，
3 9 4 8 6
a＋a＝2a.
7 5 6
∴＋＝＝＝＝＝1.
答案：1
12．已知数列{a }满足递推关系式a ＝2a ＋2n－1(n∈N*)，且为等差数列，则λ的值是
n n＋1 n
________．
解析：因为为等差数列，a ＝2a ＋2n－1，
n＋1 n
所以－＝－＝＋＋－－＝＋－是与n无关的常数，
则－＝0，即＝0，则λ－1－2λ＝0，
解得λ＝－1.答案：－1
13．等差数列{a }中，S 是它的前n项和，且SS，给出下列结论：
n n 6 7 6 8
①数列{a }的公差d<0；②SS，
6 7 6 8
∴SS＋a＋a.
6 6 7 6 6 7 8
∴a>0，a＋a<0.
7 7 8
∴a>0，a<0.
7 8
①数列{a }的公差d<0，正确；
n
②由①得a＋a＋a<0，∴S＋a＋a＋aa，
3 5 3 5
解方程x2＋8x＋7＝0，得a＝－1，a＝－7，
3 5
∴解得a＝5，d＝－3.
1
∴a ＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
n
(2)由(1)知{a }的前n项和S ＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
n n
∵b ＝|a |，∴b＝5，b＝2，b＝|－1|＝1，b＝|－4|＝4，
n n 1 2 3 4
当n≥3时，b ＝|a |＝3n－8.
n n
当n<3时，T＝5，T＝7；
1 2
当n≥3时，T ＝－S ＋2S＝－＋14.
n n 2
∵T ≥1 464，∴T ＝－＋14≥1 464，
n n
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值为34.
