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课时跟踪检测（三十六） 直线、平面平行的判定与性
质
1．(多选)已知直线a，b，l，平面α，β，则下列命题中错误的选项为( )
A．若α⊥β，l⊥α，则l∥β B．若a⊥l，b⊥l，则a∥b
C．若α⊥β，l⊂α，则l⊥β D．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
解析：选ABC 对于A，由α⊥β，l⊥α，可知l⊂β或l∥β，故A错误；对于B，当a⊥l，
b⊥l时，直线a与b可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错误；对于C，当α⊥β，l⊂α时，
l可能与平面β平行，也可能斜交，故C错误；对于D，垂直于同一条直线的两个平面互相平
行，故D正确．
2．(多选)已知α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线．给出下列命题，其中正确的命题是(
)
A．若l上两点到α的距离相等，则l∥α
B．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
C．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β
D．若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n
解析：选BC 对于A，若直线l在平面α内，l上有两点到α的距离为0，相等，此时l不
与α平行，所以A错误；对于B，因为l∥β，所以存在直线m⊂β使得l∥m，因为l⊥α，所以
m⊥α，又m⊂β，所以β⊥α，所以B正确；对于C，l∥α，故存在m⊂α使得l∥m，因为α∥β，
所以m∥β，因为l∥m，l⊄β，所以l∥β，C正确；对于D，因为m⊥α，n⊥β，α⊥β，所以m⊥n，
所以D错误，故选B、C.
3．(2021·潍坊期中)m，n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 由已知条件m∥α，结合线面平行的性质定理可得，过直线m作一平面β交
α于直线l，则m∥l，从而存在l⊂α有m∥l，再由m∥n可得n∥l，从而有n∥α.反之，不一定
成立，m，n可能相交、平行或异面．所以m∥n是n∥α的充分不必要条件，故选A.
4．若平面β截三棱锥所得的截面为平行四边形，则该三棱锥的所有棱中与平面β平行的
棱有( )
A．0条 B．1条
C．2条 D．1条或2条
解析：选C 如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH.
∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，
∴EF∥平面BCD，又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.
又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH.同理，AB∥平面EFGH.故有2条棱与平面EFGH平行．因此选C.
5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A．②③ B．③④
C．①④ D．①②
解析：选A 对于命题①，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的；易知②③正确；
对于命题④，直线m，n可以相交、平行或异面，故是错误的．故选A.
6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，
m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
解析：选D m∥α，m∥β，则有m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，所以A成
立；由于m∥l，l⊥AC，所以m⊥AC，所以B成立；AB∥l，且A∈α，A∉l，α∩β
＝l，所以AB∥β，所以C成立；C点可以在平面β内，AC与直线l异面垂直，
如图所示，此时AC⊥β不成立，所以D不一定成立．
7.如图所示，三棱柱ABCA B C 的侧面BCC B 是菱形，设D是A C
1 1 1 1 1 1 1
上的点且A B∥平面B CD，则A D∶DC 的值为________．
1 1 1 1
解析：如图，设BC ∩B C＝O，连接OD.
1 1
∵A B∥平面B CD且平面A BC ∩平面B CD＝OD，∴A B∥OD，
1 1 1 1 1 1
∵四边形BCC B 是菱形，
1 1
∴O为BC 的中点，
1
∴D为A C 的中点，则A D∶DC ＝1.
1 1 1 1
答案：1
8．(2021·苏州调研)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个
命题：
①若m⊂α，n∥α，则m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中是真命题的是________(填序号)．
解析：①m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③m∥β或m⊂β，故③错误；
④α∥β或α与β相交，故④错误．
答案：②
9．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________．
解析：①中，易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B，可得出AB∥平面MNP(如图)．
④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.
在②③中不能判定AB∥平面MNP.
答案：①④
10.(2021·武汉模拟)如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平
行四边形，侧面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中点．
(1)求证：PC∥平面BDE；
(2)平面BDE分此棱锥为两部分，求这两部分的体积比．
解：(1)证明：在平行四边形ABCD中，连接AC，设AC，BD的交点为O(图略)，则O是
AC的中点．
又E是PA的中点，连接EO，
则EO是△PAC的中位线，所以PC∥EO，
又EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD，所以PC∥平面EBD.
(2)设三棱锥EABD的体积为V ，高为h，四棱锥PABCD的体积为V，
1
则三棱锥EABD的体积V ＝×S ×h，
1 △ABD
因为E是PA的中点，所以四棱锥PABCD的高为2h，所以四棱锥PABCD的体积V＝
×S ×2h＝4×S ×h＝4V ，所以(V－V )∶V ＝3∶1，
四边形ABCD △ABD 1 1 1
所以平面BDE分此棱锥得到的两部分的体积比为3∶1或1∶3.
11.如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是
AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明：(1)如图，连接AE，
则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，
MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE⊂平面BDE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
12．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，E，F分别在BC，AD
上，EF∥AB.现将四边形ABCD沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC.
若BE＝1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，且AP＝λPD，使得CP∥平面
ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解：AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF，此时λ＝.
理由如下：
当λ＝时，AP＝PD，可知＝，
如图，过点P作MP∥FD交AF于点M，连接EM，PC，
则有＝＝，
又BE＝1，可得FD＝5，
故MP＝3，
又EC＝3，MP∥FD∥EC，故有MP綊EC，
故四边形MPCE为平行四边形，所以CP∥ME，
又ME⊂平面ABEF，CP⊄平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF.
