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课时跟踪检测（五十七） 二项分布与正态分布
1．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人
是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为( )
A．0.12 B．0.42
C．0.46 D．0.88
解析：选D 因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两
人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P＝1－(1－0.6)×(1－0.7)＝1－
0.12＝0.88.
2．用电脑每次可以自动生成一个(0,1)内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若
用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选C 由题意可得，用该电脑生成1个实数，且这个实数大于的概率为P＝1－＝，
则用该电脑连续生成3个实数，这3个实数都大于的概率为3＝.故选C.
3．(多选)(2021·济南模拟)已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分
布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是( )
附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜ξ＜μ
＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.997 3.
A．该市学生数学成绩的期望为100
B．该市学生数学成绩的标准差为100
C．该市学生数学成绩及格率超过0.8
D．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等
解析：选AC 数学成绩X服从正态分布N(100,100)，则数学成绩的期望为100，数学成
绩的标准差为10，故A正确，B错误；及格率为p＝1－＝0.841 35，C正确；不及格概率为p
1 2
＝0.158 65，优秀概率p＝＝0.022 75，D错误．故选A、C.
3
4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X
为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( )
A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
解析：选B 由题知X～B(10，p)，则D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又
∵P(X＝4)＜P(X＝6)，即Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4⇒(1－p)2＜p2⇒p＞0.5，
∴p＝0.6，故选B.
5．某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概
率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后
出现红灯的概率为( )
A. B．C. D．
解析：选C 设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”
为事件B，则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合
出现红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C.
6．一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，
加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 假设总时间为1，则在1时间内，加工零件A停机的概率是×＝，加工零件
B停机的概率是×＝，所以这台机床停机的概率是＋＝.
7．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新
取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )
A. B．3×
C.× D．C×3×
解析：选B 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取
的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.
8．(2021·南昌月考)已知1号箱中有2个白球和4个红球、2号箱中有5个白球和3个红
球，现随机从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则两次都取到红
球的概率是________．
解析：设“从1号箱取到红球”为事件A，“从2号箱取到红球”为事件B.
由题意，P(A)＝＝，P(B|A)＝＝，
所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，
所以两次都取到红球的概率为.
答案：
9．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互
不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率
为________．
解析：依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝；甲、乙两球都不落入盒子的概率
为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝.
答案：
10．(2021年1月新高考八省联考卷)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值
作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差ε ～N，为使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小
n n
于0.954 5，至少要测量________次(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5)．
解析：根据正态曲线的对称性知：要使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 5，则(μ－
n
2σ，μ＋2σ)⊂(－0.5，0.5)且μ＝0，σ＝ ，∴0.5≥2 ⇒n≥32.
答案：3211．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验
活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领
养了此种盆栽植物10株，设X为其中成活的株数，若X的方差D(X)＝2.1，P(X＝3)<P(X＝
7)，则p＝________.
解析：由题意可知，X～B(10，p)，
∴即
解得p＝0.7.
答案：0.7
12．某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次
选拔赛只有出线和未出线两种情况．若一个运动员出线记1分，未出线记0分．假设甲、乙、
丙出线的概率分别为，，，他们出线与未出线是相互独立的．
(1)求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；
(2)记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的
分布列和数学期望E(ξ)．
解：(1)记“甲出线”为事件A，“乙出线”为事件B，“丙出线”为事件C，“甲、乙、丙
至少有一名出线”为事件D，
则P(D)＝1－P( )＝1－××＝.
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P( )＝，
P(ξ＝1)＝P(A )＋P( B )＋P( C)＝，
P(ξ＝2)＝P(A B )＋P(A C)＋P( B C)＝，
P(ξ＝3)＝P(ABC)＝.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
13．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展，据
统计，在2019年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了
解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：
老年人 中年人 青年人
满意度 乘坐 乘坐 乘坐 乘坐 乘坐 乘坐
高铁 飞机 高铁 飞机 高铁 飞机
10分(满意) 12 1 20 2 20 1
5分(一般) 2 3 6 2 4 9
0分(不满意) 1 0 6 3 4 4(1)在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率．
(2)在2019年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人
出行的人次为X.以频率作为概率，求X的分布列和数学期望．
(3)如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞
机？并说明理由．
解：(1)设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，
由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19,39,42，
所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率P(M)＝＝.
(2)由题意，X的所有可能取值为0,1,2，
因为在2019年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年
人的概率是＝，
所以P(X＝0)＝C×2＝，
P(X＝1)＝C××＝，
P(X＝2)＝C×2＝，
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)从满意度的均值来分析问题如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
＝，
乘坐飞机的人满意度均值为：
＝.
因为>，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．
14．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由
检测结果得如图所示的频率分布直方图：
(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间
的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(175.6<Z<224.4)；
②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z∈(175.6,224.4))的定
价为16元；若为次品(质量指标值Z∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客
户48元. 若该公司卖出100件这种产品，用Y表示这100件产品的利润，求E(Y)．
附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.68, P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.
解：(1)由题意得＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋
220×0.08＋230×0.02＝200，
∴s2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋
(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150，
即样本平均数为200，样本方差为150.
(2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝≈12.2，
∴Z～N(200,12.22)，
∴P(175.6<Z<224.4)＝P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.95.
②设X表示100件产品的正品数，
由题意得X～B，∴E(X)＝100×0.95＝95，
∴E(Y)＝16E(X)－48×5－100×10＝280.
