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课时跟踪检测（二十八） 复数
1．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为( )
A．－2i B．2i
C．2 D．－2
解析：选C z＝＝＝＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.
2．设复数z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析：选C ∵z＝＝＝＝－i，
∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 020＋(－i)2 019＋…＋(－i)＋1.
∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，
∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.
3．若z＝＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：选C 因为z＝＋(m－2)i为纯虚数，所以解得m＝－3，故选C.
4．复数z＝在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D 由题得复数z＝＝＝＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故
选D.
5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C 当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，
可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；
当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有解得a＝－2，
可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．
综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．
6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
解析：选A ∵z＝a＋i，∴＝a－i，∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.
7．已知m∈R，复数z＝1＋3i，z＝m＋2i，且z· 为实数，则m＝( )
1 2 1 2
A．－ B．
C．3 D．－3
解析：选B 因为z· ＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解
1 2
得m＝.故选B.
8．已知复数z，z 在复平面内的对应点关于实轴对称，z＝3－i(i为虚数单位)，则＝(
1 2 1
)
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
解析：选A 由题意，复数z，z 在复平面内的对应点关于实轴对称，z＝3－i，则z＝3＋
1 2 1 2
i，则根据复数的运算，得＝＝－i.
9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝( )
A．5 B．
C．3 D．
解析：选B 由已知得(a＋i)2＝bi，
所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，
解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，
所以|z|＝＝.
10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C ∵|z－i|≤2，
∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内
部(如图)．
∴|z|的最大值为3.
11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2
＋2i，则点D对应的复数为( )
A．4－i B．－3－2i
C．5 D．－1＋4i
解析：选D 由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，
设D(x，y)，
则AB＝(3，－2)，DC＝(2－x,2－y)，
因为AB＝DC，所以
解得x＝－1，y＝4.所以点D的坐标为(－1,4)，
所以点D对应的复数为－1＋4i.
12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则( )
A．|z|＝
B.＝－
C．复数z的实部为－1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
解析：选BD 因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A错误；
＝－－i，故B正确；复数z的实部为－，故C错误；复数z对应复平面上的点在第二象限，故
D正确．
13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝，则复数z在复平面内的点到原点的距离为
( )
A. B．
C. D．
解析：选B 由z－2i＝，
得z＝2i＋＝2i＋＝＋i，
∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为 ＝.
14．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
解析：选BC 根据题意，M＝，
∴M＝.
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.
15．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z，z 满足|z|＝|z|＝2，z＋z＝＋i，则|z－z|＝_______.
1 2 1 2 1 2 1 2
解析：法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝－a＋(1－b)i，则即
1 2
所以|z－z|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，
1 2
所以|z－z|＝2.
1 2
法二：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.
因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，
所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，
即|z－z|＝2.
1 2
法三：设复数z，z 在复平面内分别对应向量OA，OB，则z＋z 对应
1 2 1 2
向量OA＋OB.由题知|OA|＝|OB|＝|OA＋OB|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z－z 对应向量BA.
1 2
由OA＝AC＝OC＝2，
可得BA＝2OAsin 60°＝2.
故|z－z|＝|BA|＝2.
1 2
答案：2
16．已知复数 z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在 x轴上方，则 m的取值范围是
________．
解析：复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果
该点落在x轴上方，则有3－m>0，解得m<3.
答案：(－∞，3)
17．已知i为虚数单位，z＝对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．
解析：∵z＝＝
＝cos 2θ＋isin 2θ对应的点在第二象限，
∴cos 2θ＜0，sin 2θ＞0，
∴2kπ＋＜2θ＜2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜θ＜2nπ＋，θ为第一象限角；
当k＝2n－1(n∈Z)时，2nπ－＜θ＜2nπ－，θ为第三象限角．
综上可得，θ是第一、三象限的角．
答案：一、三
18．满足条件|z－i|＝|1＋i|的复数 z 在复平面上对应的点(x，y)的轨迹方程为
________________．
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R.
∵|z－i|＝|1＋i|＝2，∴|x＋(y－1)i|＝2，
∴＝2，∴x2＋(y－1)2＝4.
答案：x2＋(y－1)2＝4
