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课时跟踪检测（二十） 三角函数的图象与性质
一、基础练——练手感熟练度
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sincos B．y＝sin2x
C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cos 2x
解析：选A y＝sin2x为偶函数；y＝tan 2x的周期为；y＝sin 2x＋cos 2x为非奇非偶函数，
故B、C、D都不正确，故选A.
2．(多选)关于函数y＝tan，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间上单调递减
C.为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为
解析：选CD 函数y＝tan是非奇非偶函数，A错；函数y＝tan在区间上单调递增，B错；
最小正周期为，D对；由2x－＝(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．当k＝0时，x＝，所以它的图象关于
对称，C对．故选C、D.
3．函数y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D．
解析：选D 将y＝cos x位于x轴下方的图象关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方
(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．故选D.
4．函数y＝cos2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2
C．2，－1 D．2，－2
解析：选D y＝cos2x－2sin x＝1－sin2x－2sin x
＝－sin2x－2sin x＋1，
令t＝sin x，
则t∈[－1,1]，y＝－t2－2t＋1＝－(t＋1)2＋2，
所以y ＝2，y ＝－2.
max min
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈
时，f(x)＝sin x，则f的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选D ∵f(x)的最小正周期是π，∴f＝f＝f，∵函数f(x)是偶函数，∴f＝f＝f＝sin＝.故选D.
二、综合练——练思维敏锐度
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上为减函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝2|cos x|
C．y＝cos D．y＝tan(－x)
解析：选D A选项，函数在上单调递减，在上单调递增，故排除A；B选项，函数在上单
调递增，故排除B；C选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D.
2．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：选A 由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)，
∴φ＝kπ－(k∈Z)，取k＝0，得|φ|的最小值为.
3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与f＝f的函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
解析：选D 由题意知所求函数的周期为π，且图象关于直线x＝对称．
A．f(x)＝cos 2x的周期为π，f＝0不是函数的最值，∴其图象不关于直线x＝对称．
B．f(x)＝tan x的周期为π，但图象不关于直线x＝对称．
C．f(x)＝sin x的周期为2π，不合题意．
D．f(x)＝sin 2x的周期为π，且f＝1为函数最大值，∴D满足条件．故选D.
4．若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为(
)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D 由题意得f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin.因为函数f(x)为奇函数，所以
θ＋＝kπ(k∈Z)，故θ＝－＋kπ(k∈Z)．当θ＝－时，f(x)＝2sin 2x，在上为增函数，不合题意；
当θ＝时，f(x)＝－2sin 2x，在上为减函数，符合题意，故选D.
5．(2021·惠州模拟)已知函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，其中ω为常数，且
ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x)≤f(x)≤f(x)，则|x－x|的最小值是( )
1 2 1 2
A．1 B．
C．2 D．π
解析：选B 因为函数f(x)＝2sin的图象的一个对称中心为，所以ω＋＝kπ(k∈Z)，所以
ω＝3k－1(k∈Z)，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x－x|的最小值为函数的半个周期，即＝＝.
1 2
6．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f(x)在上为单调函数，
则下述四个结论中正确的是( )A．满足条件的ω取值有2个
B.为函数f(x)的一个对称中心
C．f(x)在上单调递增
D．f(x)在(0，π)上有一个极大值点和一个极小值点
解析：选ABC 因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝对称，所以ω＝＋
kπ(k∈Z)，
解得ω＝>0(k∈Z)，
又f(x)在上为单调函数，所以≤，即ω≤2，
所以ω＝或ω＝2，即f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x，
所以总有f＝0，故A、B正确；
由f(x)＝sinx或f(x)＝sin 2x图象知，
f(x)在上单调递增，故C正确；
当x∈(0，π)时，f(x)＝sinx只有一个极大值点，不符合题意，故D不正确．故选A、B、C.
7．函数y＝sin x＋cos x＋3cos xsin x的最大值是________，最小值是________．
解析：令t＝sin x＋cos x，
则t∈[－，]．
∵(sin x＋cos x)2－2sin xcos x＝1，
∴sin xcos x＝，
∴y＝t2＋t－，t∈[－， ]，
∵对称轴t＝－∈[－， ]，
∴y ＝f＝×－－＝－，
min
y ＝f()＝＋.
max
故函数的最大值与最小值分别为＋，－.
答案：＋ －
8．(2021年1月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.
解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为y＝sin x，∴此题可考虑在
此基础上调整周期使其满足题意．由此可知f(x)＝sin ωx且T＝⇒f(x)＝sin πx.
答案：sin πx
9．(2020·全国卷Ⅲ)关于函数f(x)＝sin x＋有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
解析：由题意知 f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且关于原点对称．又 f(－x)＝
sin(－x)＋＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以①为假命题，②为真命题．因为f＝sin＋＝cos x＋，f＝sin＋＝cos x＋，所以f＝f，所以函数f(x)的图象关于直
线x＝对称，③为真命题．当sin x<0时，f(x)<0，所以④为假命题．综上，所有真命题的序号是
②③.
答案：②③
10．已知函数f(x)＝cos(2x＋θ)在上单调递增，若f≤m恒成立，则实数m的取值范围为
________．
解析：f(x)＝cos(2x＋θ)，
当x∈时，－π＋θ≤2x＋θ≤－＋θ，
由函数f(x)在上是增函数，
得(k∈Z)，
则2kπ－≤θ≤2kπ＋(k∈Z)．
又0≤θ≤，∴0≤θ≤.
∵f＝cos，又≤θ＋≤π，
∴f ＝0，∴m≥0.
max
答案：[0，＋∞)
11．若函数y＝sin ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：因为函数y＝sin ωx在区间上单调递减，
所以ω＜0且函数y＝sin(－ωx)在区间上单调递增，
则
即解得－4≤ω＜0.
答案：[－4,0)
12．已知函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)的图象关于直线x＝对称；
②函数f(x)在区间上单调递增；
③函数f(x)的最小正周期为π；
④函数f(x)的值域为[－2,2]．
其中是真命题的序号是________．
解析：对于函数f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x，
由于f＝－2，f＝0，
所以f≠f，
故f(x)的图象不关于直线x＝对称，故排除①.
在区间上，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin 2x，2x∈，此时函数f(x)单调递增，故②正确．
函数f＝，f＝0.
所以f≠f，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．
当cos x≥0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝2sin xcos x＋sin 2x＝2sin 2x，故它的最大值
为2，最小值为－2；当cos x<0时，f(x)＝2|cos x|sin x＋sin 2x＝－2sin xcos x＋sin 2x＝0.
综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为－2，故④正确．
答案：②④
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π.
(1)当f(x)为偶函数时，求φ的值；
(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间．
解：因为f(x)的最小正周期为π，所以T＝＝π，即ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ)．
(1)当f(x)为偶函数时，φ＝＋kπ(k∈Z)，
因为0<φ<，所以φ＝.
(2)当f(x)的图象过点时，sin＝，
即sin＝.
又因为0<φ<，所以<＋φ<π.
所以＋φ＝，即φ＝.
所以f(x)＝sin.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
14．在①函数f(x)的图象关于点对称；②函数f(x)在上的最小值为；③函数f(x)的图象关
于直线x＝对称．在这三个条件中任选两个补充到下面的问题中，再解答这个问题．
已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，若满足条件________与________．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)＝f，求g(x)的单调区间．
解：(1)选①②.
∵为f(x)的对称中心，
∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
∴f(x) ＝－＋b＝，∴b＝1，
min
∴f(x)＝sin＋1.
选②③.
∵x＝为f(x)的一条对称轴，
∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝.
∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.∴f(x) ＝－＋b＝，∴b＝1，
min
∴f(x)＝sin＋1.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋1，
则g(x)＝f＝sin＋1
＝－sin＋1，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递减区间为，k∈Z.
由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为，k∈Z.
