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课时跟踪检测（二十四） 解三角形及应用举例
一、综合练——练思维敏锐度
1．若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则
等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D 由bsin 2A＝asin B及正弦定理得2sin Bsin A·cos A＝sin Asin B，解得
cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选
D.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝b，A－B＝，则角C＝( )
A. B．
C. D．
解析：选B 因为在△ABC中，A－B＝，所以A＝B＋，所以sin A＝sin＝ cos B，因
为a＝b，所以由正弦定理得sin A＝sin B，所以cos B＝sin B，所以tan B＝，因为B∈(0，π)，
所以B＝，所以C＝π－－＝.故选B.
3．在△ABC中，如果cos(2B＋C)＋cos C>0，那么△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
解析：选A ∵cos(2B＋C)＋cos C
＝cos(2B＋π－A－B)＋cos(π－A－B)
＝cos[π－(A－B)]＋cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A－B)－cos(A＋B)
＝－cos Acos B－sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B
＝－2cos Acos B>0，
∴cos Acos B<0，
又∵A，B∈(0，π)，
∴A，B中有一个锐角，一个钝角．故选A.
4．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，若sin A＝，sin B> sin C，a
＝3，S ＝2，则b的值为( )
△ABC
A．2或3 B．2
C．3 D．6
解析：选C 因为△ABC为锐角三角形，所以cos A＝＝，由余弦定理得cos A＝＝＝，①
因为S ＝bcsin A＝bc×＝2，所以bc＝6，②
△ABC
将②代入①得＝，则b2＋c2＝13，③
由sin B>sin C可得b>c，
联立②③可得b＝3，c＝2.故选C.5．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )
A. B．
C. D．
解析：选D 在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定
理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的
面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.
6.(2021·重庆调研)《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中有广
泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学和其他学科仍有深刻的影响．
如图就是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，
中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已
知正八边形的边长为8 m，代表阴阳太极图的圆的半径为2 m，则每块八卦田的面积约为(
)
A．42 m2 B．37 m2
C．32 m2 D．84 m2
解析：选B 由图，正八边形分割成8个等腰三角形，顶角为＝45°，设三角形的腰为a，
由正弦定理可得＝，解得a＝8sin，所以三角形的面积S＝ 2sin 45°＝32·＝16(＋1)，
所以每块八卦田的面积约为：16(＋1)－×π×22≈37 m2.
7.已知在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD，BD＝AD，BC
＝2AD，则sin C的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A 设AB＝AD＝2a，则BD＝a，则BC＝4a，所以cos∠ADB＝＝＝，所以
cos∠BDC＝＝－，整理得CD2＋3aCD－10a2＝0，解得CD＝2a或者CD＝－5a(舍去)．故cos
C＝＝＝，而C∈，故sin C＝.故选A.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin C＋2sin Ccos B＝sin A，C∈，a
＝，cos B＝，则b＝________.
解析：由正弦定理及题意可得c＋2c×＝a，即a＝c，又a＝，所以c＝，由余弦定理得b2＝
6＋－＝，所以b＝.
答案：
9．(2021·恩施质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝
4，S ＝4，则△ABC的周长为________．
△ABC
解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由
b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，
所以△ABC的周长为4＋4.
答案：4＋4
10．(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若
∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.解析：如图，易知sin C＝，sin A＝，cos A＝.
在△BDC中，由正弦定理可得
＝，
∴BD＝＝＝.
∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos 45°cos A＋sin 45°sin A＝×＋×＝.
答案：
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，＝.
(1)若△ABC还同时满足下列四个条件中的三个：①a＝7，②b＝10，③c＝8，④△ABC
的面积S＝10，请指出这三个条件，并说明理由；
(2)若a＝3，求△ABC周长l的取值范围．
解：∵＝，
∴sin Acos B＋sin Acos C＝sin Bcos A＋sin Ccos A，
即sin Acos B－sin Bcos A＝sin Ccos A－cos Csin A，
∴sin(A－B)＝sin(C－A)，
∵A，B，C∈(0，π)，∴A－B＝C－A，
即2A＝B＋C，∴A＝.
(1)△ABC还同时满足①③④.
理由如下：若△ABC同时满足条件①②，
则由正弦定理得sin B＝＝>1，这不可能．
∴△ABC不能同时满足条件①②，
∴△ABC同时满足③④，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝b×8×＝10，解得b＝5，与②矛盾．
∴△ABC还同时满足条件①③④.
(2)在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝2，
∵C＝－B，∴b＝2sin B，c＝2sin，
∴l＝a＋b＋c＝2＋3
＝6＋3＝6sin＋3.
∵B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，
∴△ABC周长l的取值范围为(6,9]．
12．(2021·济宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin A＋cos A
＝0.有三个条件：①a＝1；②b＝；③S ＝.其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的
△ABC
条件并解答下面两个问题：
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)因为sin A＋cos A＝0，所以tan A＋1＝0，得tan A＝－，
因为0＜A＜π，所以A＝，A为钝角，与a＝1＜b＝矛盾，
故①②中仅有一个正确，③正确．
显然S ＝bcsin A＝，得bc＝.
△ABC
当①③正确时，由a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2＋c2＝－2(无解)；
当②③正确时，由于bc＝，b＝，得c＝1.
(2)如图，因为A＝，∠CAD＝，则∠BAD＝，
则＝＝，
所以S ＝S ＝×＝.
△ABD △ABC
二、自选练——练高考区分度
1．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)(sin A＋sin B)＝(c
－b)sin C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是( )
A．(3,6] B．(3,5)
C．(5,6] D．[5,6]
解析：选C 由正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝bc，cos A＝＝，又
A∈，∴A＝.∵＝＝＝2，∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝4[sin2B＋sin2(A＋B)]＝4＝sin 2B－
cos 2B＋4＝2sin＋4.∵△ABC是锐角三角形，∴B∈，即2B－∈，∴
